備戰2018中考系列：核號2耳中有1羊挑柩

第七篇專題復習篇

專題33探索規律問題

b解讀老立

知識點名師點睛

1.數字猜想型在分析比較的基礎上發現題目中所蘊涵的數最關系，先猜想，然后通過適

當的計算回答問題.

通過觀察、分析、歸納、驗證，然后得出一般性的結論，以列代數式即函

2.數式規律型

數關系式為主要內容.

規律

圖形規律問題主要是觀察圖形的組成、分拆等過程中的特點，分析其聯系

類型3.圖形規律型

和區別，用相應的算式描述其中的規律，注意對應思想和數形結合.

首先要觀察圖形，從中發現圖形的變化方式，再將圖形的變化以數或式的

4.數形結合猜想型形式反映出來，從而得出圖形與數或式的對應關系.

要將圖形每一次的變化與前一次變化進行比較，明確哪些結果發生了變化，

5.動態規律型哪些結果沒有發生變化，從而逐步發現規律.

百2年中居

[2017年題組】

一、選擇題

1.（2017四川省自貢市）填在下面各正方形中四個數之間都有相同的規律，根據這種規律m的值為（）

A.180B.182C.184D.186

【答案】C.

【解析】

考點：規律型：數字的變化類.

2.（2017四川省達州市）如圖，將矩形ABC。繞其右下角的頂點按順時針方向旋轉90°至圖①位置，繼續

繞右下角的頂點按順時針方向旋轉90°至圖②位置，以此類推，這樣連續旋轉2017次.若AB=4,AD=3,

則頂點A在整個旋轉過程中所經過的路徑總長為（）

A.2017nR.2034nC.3024nD.2026JT

【答案】D.

【解析】

9（）乃x4

試題分析：??工5=4,BC=3,：,AC=BD=5,轉動一次A的路線長是：-------=2n,轉動第二次的路線長

180

9。萬x55QO^-x34

是：把上=巳。，轉動第三次的路線長是：=-n,轉動第四次的路線長是：0,以此類推，

18021802

53

每四次循環，故頂點A轉動四次經過的路線長為：一。一兀+211=6%???2017+4=504…1,J頂點A轉

22

動四次經過的路線長為：6nX504+2n=3026n,故選D.

考點：1.軌跡；2.矩形的性質；3.旋轉的性質；4.規律型；5.綜合題.

3.（20I7臨沂）將一些相同的按如圖所示擺放，觀察每個圖形中的“0”的個數，若第〃個圖形中

“O”的個數是78,則〃的值是（）

A.11B.12C.13D.14

【答案】B.

【解析】

考點：1.規律型：圖形的變化類；2.綜合題.

4.（2017江蘇省揚州市）在一列數：m，G，6,…，為中，3=3,“2=7,從第三個數開始，每一個數都等

于它前兩個數之積的個位數字，則這一列數中的第2017個數是（）

A.1B.3C.7D.9

【答案】B.

【解析】

試題分析：依題意得：0=3,。2=7,。3=1，。4=7,。5=7,%=9,。7=3,。8=7；

周期為6；

20174-6=336-1,所以。2017=。尸3.

故選B

考點：規律型：數字的變化類

5.（2017江蘇省連云港市）如圖所示，一動點從半徑為2的。O上的Ao點出發，沿著射線A0O方向運動到

。0上的點4處，再向左沿著與射線40夾角為60°的方向運動到。0上的點A?處：接著又從4點出發,

沿著射線A2O方向運動到。O上的點4處，再向左沿著與射線A.0夾角為60°的方向運動到。O上的點

Aw處；…按此規律運動到點42017處，則點4017與點4間的距離是（）

A.4B.2石C.2D.0

【答案】A.

【解析】

考點：1.規律型：圖形的變化類；2.綜合題.

6.（2017浙江省溫州市）我們把1,1,2,3,5,8,13,21,…這組數稱為斐波那契數列，為了進一步研

究，依次以這列數為半徑作90°圓弧江工，巨工，萬方，…得到斐波那契螺旋線，然后順次連結PP2,

P2P3,P3P4，…得到螺旋折線（如圖），已知點P\（0,1）,P2（-1，0）,尸3（0,-1）,則該折線上的點

%的竺標為（）

A.（-6,24）B.（-6,25）C.（-5,24）D.（-5,25）

【答案】B.

【解析】

考點：1.規律型：點的坐標；2.推理填空題.

7.（2017貴州省銅仁市）觀察下列關于自然數的式子：

4X12-I2@

4X22-3?②

4X32-52（3）

根據上述規律，則第2017個式子的值是（）

A.8064B.8065C.8066D.8067

【答案】D.

【解析】

試題分析：4XP-12?

4X22-S2@

4X32-52@

4層?（2/7-1）M/2-1,所以第2017個式子的值是：4X2017-1=8067.

故選D.

考點：1.規律型：數字的變化類；2.有理數的混合運算.

8.（2017貴州省黔西南州）如圖，用相同的小正方形按照某種規律進行擺放,則第8個圖形中小正方形的

個數是（)

A.71R.7RC.R5D.RO

【答案】D.

【解析】

考點：規律型：圖形的變化類.

9.（2017四川省內江市）如圖，過點A（2,0）作直線/：y=的垂線，垂足為點Ai，過點4作4A2

_LX軸，垂足為點A2,過點4作垂足為點43,…，這樣依次下去，得到一組線段：AA.,AIA2,

4狀3,…’則線段A2016A2107的長為（）

【答案】B.

【解析】

試題分析：由y=X-x,得【的傾斜角為30°,點A坐標為（2,0）,???。4:2,???04二^-。4二G，

32

OA2=~~~OA\=一?OAT,-~~~OA2=:~~~6M3=—，…，OA?-（—―）wOA=2X（—―＞）n,OA2oi6=2

22'242-822

xg產6,420nH2間的長;義2X（半嚴6=（日嚴6,故選B.

考點：1.一次函數圖象上點的坐標特征；2.規律型；3.綜合題.

二,填空題

10.（2017內蒙古呼和浩特市）我國魏晉時期數學家劉徽首創“割圓術”計算圓周率.隨著時代發展，現在

人們依據頻率估計概率這一原理，常用隨機模擬的方法對圓周率n進行估計，用計算機隨機產生加個有序

數對5,y）（x,y是實數，且OWxWl,OWyWl）,它們對應的點在平面直角坐標系中全部在某一個正方

形的邊界及其內部.如果統計出這些點中到原點的距離小于或等于1的點有〃個，則據此可估計兀的值

為.（用含機，〃的式子表示）

■〃

【答窠】—4.

m

【解析】

考點：1.利用頻率估計概率；2.規律型：點的坐標.

11.（2017內蒙古赤峰市）在平面直角坐標系中，點P（x,y）經過某種變換后得到點P'（-/1,廿2）,

我們把點P'（?/1,x+2）叫做點PG,y）的終結點.已知點P的終結點為P?，點P?的終結點為尸3，

點P3的終結點為這樣依次得到P、22、丹、P]、…P”、…,若點P1的坐標為（2,0）,則點P刈7的坐

標為.

【答案】（2,0）.

【解析】

試題分析：Pi坐標為（2,0）,則P2坐標為（1，4）,P3坐標為（7,3）,尸4坐標為（-2,-1）,Ps坐

標為⑵0）,〃的坐標為（2,0）,（1,4）,（-3,3）,（-2,-1）循環，72017=2016+1=4X504+1,

AP2017坐標與Pi點重合，故答案為：（2,0）.

考點：1.規律型：點的坐標；2.綜合題.

12.（2017四川省樂山市）莊子說：“一尺之椎，日取其半，萬世不竭”.這句話（文字語言）表達了古人

將事物無限分割的思想，用圖形語言表示為圖1,按此圖分割的方法，可得到一個等式（符號語言）：

?1111

1=—I—T-H——H---1----1-…，

222232n

圖2也是一種無限分割：在△ABC中，2090°,NB=30°,過點C作CG_L4B于點G,再過點G作

GC218c于點C2，又過點C2作C2c3_LAB于點C3，如此無限繼續下去，則可將利△ABC分割成△4CG、

△CC1C2、AC|C2C3>Z\C2c3c4、…、△&-2a7c.假設AC=2,這些三角形的面積和可以得到一個等

式是.

【答案】25/3=-^[1+^+（^）2+（1）3+（$"+...].

【解析】

試題分析:如圖2,,.10=2,/3=30°,CC：LAB,：.Rt^CCi中,4CG=30。，且BO2^3,：,ACi=-AC=l,

2

CC}=5/3AC]=5/3f.*.s^<cci=—7clec—XIX5/3=;

222

1尸

?/C1C21BC,：.ZCC1C:=Z-4CC]=30°,/.CCi=；CCi='CC+-,

,C：G=75SACCIC2

g,CC2GQ=gXX■二xg，同理可得，SArrr一有32

-X()H*

222224Acic2csT4'Sac2csaT

**,SArrr~~~~x(-)w-1?又,:SAML~~ACXBC=-X2X2>/3=2>/3，:.2\/3-■+x—+?

Accc

a-2?-i?24222242

X（（扣+孝義卓+…+孚乂寧+…

故答案為：26=曰口+'+(1)2+4)3+...+0)"T+(()〃+…]?

考點：1.規律型：圖形的變化類；2.綜合題.

13.（2017四川省涼山州）古希臘數學家把1、3、6、10、15、21、…叫做三角形數，其中1是第一個三角

形數，3是第二個三角形數，6是第三個三角形數，…，依此類推，第100個三角形數是.

【答案】5050.

【解析】

考點：1.規律型：數字的變化類；2.綜合題.

14.（2017四川省廣安市）正方形4囪G。，A2&C2G，4383c3c2…按如圖所示放置，點4、A?、4…在直

線戶/1上，點G、。2、C3…在x軸上，則4的坐標是.

【答案】（2”T-1,2〃T）.

【解析】

試題分析：：直線產x+1和y軸交于A”的坐標（0,1）,即04=1,;四邊形GOAiBi是正方形，，

0004=1,把尸1代入產什1得：產2,."2的坐標為（1，2）,同理小的坐標為⑶4）,???

A”的坐標為2"T）,故答案為：（2"一1一1,2小）.

考點：1.一次函數圖象上點的坐標特征；2.規律型：點的坐標；3.綜合題.

15.（2017四川省阿壩州）如圖，在平面直角坐標系中，一動點從原點。出發，沿著箭頭所示方向，每次

移動1個單位，依次得到點Pi（0,1）,Pi（1,1）,P3（1,0）,P4（1,-1）,P5（2,-1）,P6（2,0）,…,

則點尸2017的坐標是.

【答案】（672,1）.

【解析】

考點：1.規律型：點的坐標；2.綜合題.

16.（2017山東省威海市）某廣場用同一種如圖所示的地磚拼圖案，第一次拼成形如圖1所示的圖案，第二

拼成形如圖2所示的圖案，第三次拼成形如圖3所示的圖案，第四次拼成形如圖4所示的圖案…按照這樣

的規律進行下去，第〃次拼成的圖案共有地磚塊.

【答案】21+2〃.

【解析】

試題分析：第一次拼成形如圖1所示的圖案共有4塊地磚，4=2X(1X2),第二拼成形如圖2所示的圖案

共有12塊地磚，12=2X(2X3),第三次拼成形如圖3所示的圖案共有24塊地磚，24=2X(3X4),第四

次拼成形如圖4所示的圖案共有40塊地磚，40=2X(4X5),…

第〃次拼成形如圖1所示的圖案共有2X〃(〃+1)=2/+2〃塊地磚，故答案為：2r+2〃.

考點：1.規律型：圖形的變化類；2.綜合題

17.(2017濟寧)如圖，正六邊形AifijCiDiEiFi的邊長為1,它的六條對角線又圍成一個正六邊形

A2B2C2D2E2F2,如此繼續下去，則正六邊形&的面積是.

【答案】g

18

【解析】

考點：1.正多邊形和圓；2.規律型；3.綜合題.

18.(2017山東省淄博市)設△A8C的面積為1.

如圖I,分別將AC,8C邊2等分，Di，凡是其分點，連接4臼，交于點Fi，得到四邊形CdFi?,其

面積5i=-.

3

如圖2,分別將AC,BC邊3等分，Di，O2,Ei，&是其分點，連接4反，交于點B，得到四邊形。。2尸2及，

其面積S2=~；

6

如圖3,分別將AC,BC邊4等分，Di，/>2,A，Ei，及，&是其分點，連接4昂，85交于點尸3,得到四

邊形CD3F3E3,其面積Sy=—;

10

按照這個規律進行下去，若分別將AC,BC邊(〃+1)等分，…，得到四邊形其面積5=

2

【答案】

(n+1)(/1+2)

【解析】

考點：1.規律型：圖形的變化類；2.三角形的面積；3.規律型；4,綜合題.

19.(2017濱州)觀察下列各式：—=1-i,—=---

1x3132x424

請利用你所得結論,化簡代數式總+言+&+???+品（心3且為整數），其結果為一

3r+5〃

【答案】

2(〃+1)(〃+2)

【解析】

考點：1.分式的加減法；2.規律型：3.綜合題.

20.（2017浙江省嘉興市）如圖，把〃個邊長為1的正方形拼接成一排，求得5N64O1,tanZBA2C=-,

3

tanZ.BAi,C=—,計算tanZBA4C=，…按此規律，寫出tanZBA?C=（用含n的代數式表示）.

【解析】

考點：1.解直角三角形；2.勾股定理；3.正方形的性質：4.規律型：5.綜合題.

21.（2017浙江省湖州市）如圖，已知/八。8=30°,在射線。4上取點。］，以。|為圓心的圓與04相切；

在射線O1A上取點。2，以。2為圓心，。2。1為半徑的圓與03相切；在射線。認上取點。3，以。3為圓心,

0?。2為半徑的圓與OB相切；…；在射線09A上取點Oio,以Oio為圓心，O10O9為半徑的圓與。8相切.若

的半徑為1,則€>Ou）的半徑長是.

【答案】2篤

【解析】

尸

試題分析：作OC、。2。、OyE分別_LO&NAOB=30°,OO\=2CO\,002DO?,OO^lEOy,VOIO2=DO2,

Q03=EQ，???圓的半徑呈2倍遞增，???。0”的半徑為21co”,??。彷的半徑為1,???。。0的半徑長=29,

故答案為：2、

考點：1.切線的性質；2.規律型.

22.（2017天門）如圖，在平面直角坐標系中，/XABC的頂點坐標分別為4（-1,1）,B（0,?2）,C（1,

0）,點P（0,2）繞點A旋轉180°得到點外，點Pi繞點B旋轉180°得到點P2，點P2繞點。旋轉180°

得到點P3,點P3繞點A旋轉180°得到點P4,…，按此作法進行下去，則點P2017的坐標為.

【答案】（-2,0）.

【解析】

考點：1.坐標與圖形變化-旋轉；2.規律型：點的坐標.

23.（2017湖北省咸寧市）如圖，邊長為4的正六邊形4BCDE尸的中心與坐標原點。重合，A尸〃x軸，將

正六邊形A8COE尸繞原點。順時針旋轉"次，每次旋轉60°.當H2017時，頂點A的坐標為.

【答案】（2,2石）.

【解析】

考點：1.坐標與圖形變化■旋轉；2.規律型：點的坐標.

24.（2017湖北省荊州市）觀察下列圖形:它們是按一定規律排列的，依照此規律,第9個圖形中共有個

點.

【答案】135.

【解析】

考點：1.規律型：圖形的變化類；2.綜合題.

25.（2017湖北省黃石市）觀察下列格式：

請按上述規律，寫出第〃個式子的計算結果（〃為正整數）.（寫出最簡計算結果即可）

【答案】—.

【解析】

試題分析：下1時，結果為：—=-：

1+12

22

n-2時，結果為：----=一:

2+13

33

〃二3時，結果為：----=—；

3+14

所以第八個式子的結果為：—.故答案為：—.

72+1/1+1

考點：規律型：數字的變化類.

26.（2017湖南省常德市）如圖，有一條折線A]61A252&&A4&…，它是由過（0,0）,B\（2,2）,小

（4,0）組成的折線依次平移4,8,12,…個單位得到的，直線戶22與此折線恰有2〃（“21,且為整數）

個交點，則k的值為.

【答案】

2n

【解析】

考點：1.一次函數圖象上點的坐標特征；2.坐標與圖形變化■平移；3.規律型；4.綜合題.

27.（2017湖南省永州市）一小球從距地面1m高處自由落下，每次著地后乂跳回到原高度的一半再落下.

（1）小球第3次著地時，經過的總路程為m；

（2）小球第〃次著地時，經過的總路程為九

【答案】（1）2.5：（2）3-（-r2.

【解析】

試題分析：（1）由題意可得，小球第3次著地時，經過的總路程為：1+2+[+'+」=2.5（加），故答案

2244

為：2.5；

（2）由題意可得，小球第〃次著地時，經過的總路程為：1+2['+2_+...+（[）二]:3-2廣2,故答案為:

2422

3-（g）”2.

考點：1.二次函數的應用；2.規律型.

28.（2017貴州省黔東南州）把多塊大小不同的30°直角三角板如圖所示，擺放在平面直角坐標系中，第

一塊三角板AO8的一條直角邊與），軸重合且點A的坐標為（0,1）,NA3O=30°；第二塊三角板的斜邊8所

與第一塊三角板的斜邊AB垂直且交y軸于點Bi：第三塊三角板的斜邊8/2與第二塊三角板的斜邊BB、垂

直且交x軸于點場；第四塊三角板的斜邊&&與第三塊三角板的斜邊巴&C垂直且交），軸于點當；…按此

規律繼續下去，則點的坐標為.

【答案】（0,-（V3）2018）.

【解析】

考點：規律型：點的坐標.

29.（2017貴州省黔南州）楊輝三角，又稱賈憲三角，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，如圖，觀

察下面的楊輝三角：

按照前面的規律，則Q+b）5=.

【答案】1a5+5a4b+10a3b2+10^〃+5用+1護.

【解析】

試題分析：觀察圖形，可知：（a+b）5=]〃+54%+10/從+10。283+5〃/+]護

故答案為：1as+5a4b+10a3b2+1QaV+5ab4+1b5.

考點：1.完全平方公式；2.規律型.

30.（2017遼寧省撫順市）如圖，等邊△4GC2的周長為1，作GQI_L4C2于回，在GCz的延長線上取點

G，使DC3=AG，連接。C3，以c2c3為邊作等邊2c3；作C2D2L42G于。2,在C2G的延長線上取

點。4,使。2。4=。2。2,連接02c4，以C3c4為邊作等邊△A3C3C4；…且點A,4,4，…都在直線同

側，如此下去，則△4GQ，ZVI2c2c3，A43C3c4,…，的周長和為.（〃22,且〃為整

數）

2n-l

【答案］—

【解析】

考點：1.等邊三角形的性質；2.規律型；3.綜合題.

31.（2017遼寧省盤錦市）如圖，點AQ,1）在直線尸上，過點4分別作），軸、x軸的平行線交直線y=與x

于點8”即過點反作y軸的平行線交直線尸于點4,過點4作x軸的平行線交直線y=于點即…,

按照此規律進行下去，則點4的橫坐標為

【答案】

【解析】

2x/3???點A2的坐標為（巫,述），點&的坐標為（殛，1）,???A2&二矩,1

?1+46二---->

33333

4444

二平R二上4-2J牛3，，點4的坐標為（士，士），點&的坐標為（上，2牛G）.

B333333

同理，可得：點4的坐標為（（乎）〃T，（竿）"T）.故答案為：（手）”T.

考點：1.一次函數圖象上點的坐標特征：2.規律型：點的坐標；3.綜合題.

32.（2017黑龍江省綏化市）如圖，順次連接腰長為2的等腰直角三角形各邊中點得到第1個小三角形，再

順次連接所得的小三角形各邊中點得到第2個小三角形,如此操作下去，則第八個小三角形的面積為.

【答案】擊.

【解析】

試題分析：記原來三角形的面積為S,第一個小三角形的面積為51，第二個小三角形的面積為S2,…，;

1111111111必應.田匯1

"二屋"百"'52=4*45=2^6二聲"'，??$，尸聲7二聲?展2=產「故答案為：聲「

考點：1.三角形中位線定理；2.等腰直角三角形；3.綜合題；4.規律型；5.操作型.

33.（2017黑龍江省齊齊哈爾市）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形04A2的直角邊04在y

軸的正半軸上，且。以.04為直角邊作第二個等腰直角三角形。4么3，以為直角邊作第三

個等腰直角三角形0A/4,…，依此規律，得到等腰直角三角形OA2017A2018,則點A20I7的坐標為.

【答案】（0,（x/2）2016）或（0,2'008）.

【解析】

考點：1.規律型：點的坐標；2.綜合題.

3.4.（2017黑龍江省龍東地區）如圖，四條直線（：州=當心/2：廳6X,，3：”=-Gx,/4：、4=-~^~x,

。4尸1,過點A\作A\A2-LX軸，交八于點再過點Ai作A2A3J_/3交y軸于點4…，則點A2017坐標為.

【答案】（（苧嚴,0）.

【解析】

試題分析：'.6=理工，Z：：乂二百x,h：>3=-73x,U：y4=-與x,軸、h、h、1y軸、h、八依次相

交為30的角，???2017=168X12+l,???點出o】6在x軸的正半軸上，???。山=」；77=攣，℃=（攣）

cos3033

。從201戶（2,嚴5,?,?點42017坐標為（（一?嚴6,0）.

故答案為：（（￥了36,0）.

考點：1.規律型：點的坐標；2.規律型；3.綜合題.

35.（2017四川省德陽市）若拋物線丁=-如2+名竺烏工——L與％軸交于A“、以兩點（。為常數，。

W0,.口為自然數，用S”表示4”、加兩點間的距離，則S1+S2+....+S2oi7=.

一心、2017

【答窠】-----.

2018

【解析】

2

試題分析：；y=-ax+2""="x-------=-a（x--）（x--）=0,:.點An的坐標為（—,0）,

〃（〃+1）n（n+l）n+\nn+1

點比的坐標為（L,0）（不失一般性，設點4在點反的左側）,???s尸-1

nn〃+1

111120172017

S1+S2+…+S2017I---+------+H-------二1-------故答案為:

22320172018201820182018

考點：1.拋物線與x軸的交點；2.規律型；3.綜合題.

三、解答題

36.（2017四川省內江市）觀察下列等式:

二2二1______1

第一個等式:

"1+3x2+2x22-2+1-22+1

211

第二個等式：，

21+3x2?+2x(22)222+123+r

211

第三個等式：，

的-1+3x23+2x(23)2-23+l24+l'

211

第四個等式：，

包-1+3x2,+2x(24)2一2"+125+r

按上達規律，回答下列問題:

（1）請寫出第六個等式：由=—=；

（2）用含〃的代數式表示第〃個等式：所—=

（3）。1+。2+。3+。4+。5+。6=（得出最簡結果）；

（4）計算：4|+。2+…

【答案】(1)----------------------------,---------------------(2)-----------------------------,------------------------(3)—

1+3X26+2X(26)226+127+1l+3x2w+2x(2w)22n+l2e+143

（4）2：2

3（2叫1）

【解析】

試題分析：（1）根據已知4個等式可得；

（2）根據已知等式得出答案；

（3）利用所得等式的規律列出算式，然后兩兩相消，計算化簡后的算式即可得；

（4）根據已知等式規律，列項相消求解可得.

261126

試題解析：（1）由題意知，Qfr-76,=-6---------7，故答案為：-76~，

1+3X26-2X（26）226+127+11+3X26+2X（26）2

1______1

26+1-27+1

T

---------------,故答案為?---------------------，-----------------

H+,nH+,

1+3X2"+2X(2”)22"+12+l,1+3x2"+2X(2")22+l2+l

(3)原式------T-+-T-----^―+…+-A-]_]______1_14

2+122+122+123+126+127+1-2+T_27+l-43

14

故答案為：—

43

11111112向-2

(4)原式=--------------------hH----------------n+,M+l

2+122+122+123+1…2〃+12n+,+l2+T2+r3(2+l)

考點：1.規律型：數字的變化類；2.綜合題.

37.（2017安徽省）【閱讀理解】

我們知道，1+2+3+…+〃=心+1）,那么『+22+3?+???+/結果等于多少呢？

2

在圖1所示三角形數陣中，第1行圓圈中的數為1,即第2行兩個圓圈中數的和為2+2,即22,…；第

〃行〃個圓圈中數的和為〃+〃+,??+〃，即"這樣，該三角形數陣中共有迎土2個圓圈，所有圓圈中數

1工-2

的和為1~+2~+3~+,+n~.

【規律探究】

將三角形數陣經兩次旋轉可得如圖2所示的三角形數陣，觀察這三個三角形數陣各行同一位置圓圈中的數

（如第〃?1行的第一個圓圈中的數分別為〃-1,2,〃），發現每個，立置上三個圓圈中數的和均

為,由此可得，這三個三免形數許所有圓圈中數的總和為3（『+22+32+…+〃2）一=

因此，12+22+32+-+〃2=

【解決問題】

12+22+32++20172

根據以上發現，計算:的結果為

1+2+3++2017

【答案】【規律探究】2〃+1,———-----———-----:；【解決問題】1345.

26

【解析】

試題解析：【規律探究】

由題意知，每個位置上三個圓圈中數的和均為〃-1+2+〃=2〃+1,由此可得，這三個三角形數陣所有圓圈中數

的總和為：

3(凸22|32|…I〃2)=(2〃I1)x(1i2i3/r〃)=(2〃i1)X"("十1),因此，12%2|3?i…1層二〃(〃+1)(2〃+1)；

26

〃(〃+1)(2〃+1)

故答案為：2〃+1,———------

26

【解決問題】

-x2017x(2017+1)x(2x2017+1)1

原式--------------------------------=-X(2017X2+1)=1345,故答案為：1345.

-x2017x(2017+l)3

考點：1.規律型：數字的變化類；2.綜合題.

38.(2017貴州省貴陽市)我們知道，經過原點的拋物線可以用丁=以2+A(々W0)表示，對于這樣的

拋物線：

(1)當拋物線經過點(?2,0)和(-1,3)時，求拋物線的表達式；

(2)當拋物線的頂點在直線產?2r上時，求b的值；

(3)如圖，現有一組這樣的拋物線，它們的頂點4、4、…，A“在直線產-2x上，橫坐標依次為-1,-

2,-3,…，-〃(〃為正整數，且〃W12),分別過每個頂點作x軸的垂線，垂足記為當、&,…，B”,以

線段4&為邊向左作正方形如果這組拋物線中的某一條經過點。”求此時滿足條件的正方形

的邊長.

【答案】(1)y=-3x2-6x；(2)-4或0；(3)10.

【解析】

(3)由于這組拋物線的頂點A、A2、…，4在直線產?2A?上，根據(2)的結論可知，尻4或爐0.①當

爐0時，不合題總舍去：②當斤?4時，拋物線的表iA式為廣加^期.由題總可知，第〃條拋物線的頂點

為4(-〃，2”)，則。”(?3〃，2〃)，因為以4為頂點的拋物線不可能經過點設第〃+2(人為正整數)

條拋物線經過點D”,此時第mk條拋物線的頂點坐標是(-〃7,2〃+22),根據-一=-n-k,得出

2a

Ir\

a-------=------，即第〃+攵條拋物線的表達式為廣-------x2-4x,根據￡>〃(-3〃，2〃)在第八+A條

2(n+k)n+kn+k

24

拋物線上，得到2〃=------X(-3Q2-4X(-3〃)，解得匕一〃，進而求解即可.

幾十k5

、(4a—2b=0fa=—3

試題解析：(1)???拋物線y=a?+區經過點(2,0)和(7,3),???《，解得：，

a-b=3b=-6

???拋物線的表達式為y=-3x2-6x：

.,212f

（2）?:拋物線y=ax1+隊的頂點坐標是（一一），且該點在直線產-上，???一一=-2X（--）,

2a4。4。2a

??ZHO,，-廬二46，解彳導"=-4,歷=0；

（3）這組拋物線的頂點4、A2、…，4在直線產-2x上，由（2）可知，爐4或60.

①當2尸0時，拋物線的頂點在坐標原點，不合題意，舍去；

②當人-4時，拋物線的表達式為y=辦2一4院

由題意可知，第〃條拋物線的頂點為4（-〃，2〃），則。〃（-3〃，2〃），???以4為頂點的拋物線不可能經

過點D?,設第n+k（k為正整數）條拋物線經過點此時第，計k條拋物線的頂點坐標是-A,2〃+2k）,

Lh00

:.——二?n?k，：.a=--------=--------,<第〃+2條拋物線的表達式為-------.r-4.r,'：Dn（-3/i,

2a2（n+k）n+kn+k

24

2/i）在第〃+々條拋物線上，???2k-------X（-3?）2-4X（-3?）,解得上一〃，???〃，女為正整數，且〃

n+k5

W12,，加=5,/Z2—10.

當〃:5時，AF4,n+k=9；

當〃=10時，公8,〃+公18>12（舍去），：.D5（-15,10）,???正方形的邊長是10.

考點：1.二次函數綜合題：2.規律型；3.正方形的性質；4.壓軸題.

【2016年題組】

一、選擇題

1.（2016四川省內江市）一組正方形按如圖所示的方式放置，其中頂點3在y軸上，頂點G、豆、及、。2、

七3、品、C3…在％軸上,已知正方形Ai8G￡>i的邊長為1,ZB|CiO=60e,BCi〃32c2〃