高考數學核心必考點詳解總結

一、三角函數部分

sinOL

1、同角三角函數的基本關系：sin2a+cos2a=l>--------=tana、tanacota=l

cosa

2、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：

sin(<z±/7)=sincrcos/7±cosasinp

cos(a±/?)=cosacos/y+：smasin/?

/,c、tana±tan3

tan(a±B]—---------------------

1Ttanatanft

3、降幕公式：

sinxcosx=gsin2x；sin2x=^(1—cos2x)；cos2x=

asing：+6cosoxx=^/a2sin(cox-+/)(輔助角0由(a,6)所在象限決定，tan0=g)

5、二倍角的正弦、余弦、正切公式：

sin2ce=2smcrcosa

cos2a=cos2a-sin2a—2cos2a—1=1—2sin2a

?2tana

tan2oc=---------；-

1-tan'a

正弦定理：是△加。外接圓的半徑)

6、-^-=-^—=-^-；=2R(H

sinAsmBsinG

7、余弦定理：

a2=fe2+-2bccosA;b2=a2+c2-2accosB;c2=Z>2+a2-2bacosC.

8、三角形面積公式：

①S=g叫=g嘰

②5=LcsinZ=-acsin^=」aZ>sinC

222

③$=喀（N為△/6C外接圓半徑）

4R

④S=[(o+b+c)/C，為△H5C內切圓半徑)

⑤海倫公式：S=yjp(p-a)(p-p-c)(其中a=g(a+6+c))

⑥坐標表示：/啟=（%,必），則玉川

^C=（x2,j2）,5=3|y2-4

9、常用名稱和術語：坡角、仰角、俯角、方位角、方向角

二、數列部分

W5=i)

10、“，與S”的關系：%=4

耳一Sz(心2)

11、等差數列:

①定義：4—△OwN一心2)或%-4=dOENQ

②等差數列的通項公式及其變形:

血十一，(切、?€)

4=4+(〃—1)H=6(/?€N+)-an=an—m)d

d=—_—(“w/n,m、〃eN.)

n-m

③等差數列的前盟項和S”：

建（4+4）-1）

S『八27=”中；，〃二叫十笠一^

12、等比數列：

①定義：力）

~^~=q（qw°,weNf,w>2）gL-^=Q（qHO,

an-lan

②等比數列的通項公式及其變形：

%=6"二%q”(g*o,〃GN+)

q=%q"E(q=o,"z,"wN.)

，

a*n=Omd=4<fQq*0m,?eN+)

sm+n=&,+&/=&+5泄/

5（夕=1）

③等比數列的前藺項和凡：，,二1.（1—夕〃）/_40

、"ql-q（"）

13.求數列的通項公式外的方法

①公式法：

若數列｛%｝是等差數列：找.和d,再利用公式%=.+（〃-1財C-N.）；

若數列｛勺｝是等差數列：找4和%再利用公式勺=.廣?C?eN.）.

②知工求心法：利用4='I?\；

IA-S"”河

③疊加法：形如：%=4.1+/（箝）（〃￡N*,心2）或/t=4+g（及）（，eN.）；

@構造法：形如：/=k%+b（左、6均為常數，且上工1,bwO,〃EN.,侖2）；

構造一：設（4+2）=村4T+2）=>｛%+不是等比數列

構造二M由4=陶T+5=>4+1=他+6,相減整理：磬二^二k=>應一%（｝式

等比數列

⑤廣義疊加法：形如：/=?_1+/（力）（左為常數，且人工1,力￡此，22）或

勺.1二包+g（盟）（上為常數，且kHl，力eN.）

構造一：4：包一小”^0尊二名十警，令2=張，轉化成?=d_1+g（力）

kkkK

再疊加；

構造二：。田=陶+雙力）n第=*+與"，令黑產符,轉化成“]=。+。（〃）

KkkK

再疊加；

?疊乘法：形如：署二，（〃）（刀GN-啰2）或｝二g（〃）（neN.）；

47an

⑦對數變換法：形如：％=皿/">0,4>0,勿EN.，聯2）或、1=乩/（方>0，

%>0,z?eN+,w>2）；

構造一：an-ban^=>lgan=lgZ>,令b”=lg4，化成九二瓦%一切再用構

造法即可

構造一*%+i=3Z=電%+1=上電/+坨分，令,+1=Wq…化成鼠?=皈+5再用

構造法即可

注意：底數不一定要取10,可根據題意選擇

⑧倒數變換法：形如：4-4一1=陶4T（左為常數且無HO，〃eN.,心2）或

man

%+1一%=電+1。〃（k為常數且上工0，-wN.）或4+1=1a+k（小，執'方均為不

為零常數，〃￡此）

aakaa11.11

構造一：n-n-i=n?-in丁一丁=一欠=一>是等差數列；

anan-X[a?]

構造二：--4=3“4=>j一一T=~k=>I']是等差數列

口用%〔a"

ma1k\b,1

構造三：磯二豆丁n7=二二二十嬴令％=募，化成再用

構造法.

⑨遞推公式：形如：4+2=也“+643,b均為不為零常數，力fN.）

p+q=k

法一（待定系數法）4+2=包+1+婀>=>（%+2一的+1）=。（％1一叫）=>,

—pq=b

=｛。曰一夕4｝是等比數列，進而化歸為q+La.+gO）形式再用廣義疊加法即可.

法二（特征根法）/短=電+1+合4，3=/，%=0=若%，電是特征方程

x2-kx-b=0的兩個根，當毛工電時，4=+及丁（4，3由1=a,%=B,

〃=L2決定）?

當演=/時，％=（月+笈%）石1（A,B由.=a,%=。,"=L2決定）.

說明：若數列｛/｝是斐波那契數列：滿足%=%+*"*）

〔心N用…屋

…pa+qk

?不動點法：形如：%=屋內（k,b,P,夕均為常數，且冰工破，bH0,q土一不，

?€N+)

構造：=：：”：：n特征方程^=笠邛,當特征方程有且僅有一根X。時，則

I」一>是等差數列；當特征方程有兩個不同的實根0，與時，則［殳二4是等

14一XoJ［4一川

比數列.

14、求數列的前盟項和公式色的方法：主要看通項的形式，選擇不同的方法.

①公式法：

4s=先猜后證｛an｝是等差數列n況=必，或S+"丁'd；

4=1）

幺=叱=>先猜后證｛4｝是等比數列=>S”=\

:i-q.’（"I

②倒序相加法：如：等差數列前力項和1="（%；/）由此法得到.

③裂項相消法：形如：［」一］（｛4｝是公差為d的等差數列，常見的拆項

如下：

i=iri____i_'ii1__i

w+i

%%一￡〔三一二/n（n+i）萬

（2吁。（2"1廠212力-12*7；

G十配a-b1），

1=

z,\7|~---77|（止為常數，且^工0）;

〃（〃+左）k\^n?+1/

④錯位相減法：形如：｛4?｝或1/，（｛/｝是等差數列，血｝是等比數列）

四步：乘以公比、錯位相減、等比求和、化簡一

⑤十秒錯位相減法：

形如：4=（Qi+6）q",S?=（An^B）qn-B（其中/=3，）

⑥九秒錯位相減法：

n+

形如：^n=（kn+b）qtSn=1人〕/------y----Q

（夕-1q—l（…門［g-1（＜Z-1）J

⑦分組求和法：形如通項外二等差土等比土常見數列,分類求和再相加減.

⑧奇偶求和法：針對奇、偶數項，要考慮符號的數列求S“，就必須分奇偶來討論，最

后進行綜合

⑨分類討論法：針對數列｛4｝的其中幾項符號與另外的項不同，而求各項絕對值的和

的問題，主要是分段求.如：求數列｛⑸|｝的前曾項和.

⑩數學歸納法：針對無法求出通項或無法根據通項求出各項之和的數列，先用不完全

歸納法猜出S”的表達式，然后用數學歸納法證明之.

三、立體幾何部分

15、三視圖：將三視圖還原實物圖：（三步法）

看視圖.明關系f分部分，想整體T綜合起來，定整體.

16、六大必考定理：（碼條件）

①線面平行

b-----------

符號：

條件：aua、b<za,b//a

結果：b//a

②線面垂直：

符號：

條件：aua、bua,aflb=尸，lA.a,l±b

結果：IA.ex

③面面平行：

符號：

條件：auP、bu。，aC\b—P,a//a,b//a

結果：a"6

④面面垂直

條件：IYa.Ju戶

結果：aLp

⑤線面平行n線線平行

\/3—^―\

b

a

符號：

條件：a〃a,aafl,a(~]/f=b

結果：b1//a

條件：a±fi,Iu￡,aC\/3=a,ILa

結果：/_La

17、空間向量與立體幾何（理科）

（1）空間向量

①空間兩點間的距離：設點，（0乂，4）,8（嗎,%,4）,

貝IJ卜司=一十（乃一乂）2+（一一句）2

②空間向量直角坐標運算：設￡=（4乂,馬），5=（七,％,芍）則：

￡十日二（七十x2,yA十%，4+Z2）；a-b=（x,-x2,y1-yZ9z1-z2）；

Aa=（/Ltj,）C>IGR）；a-b=x^xzH-y}y24-zyz2.

③空間向量的坐標表示：設力=（生乂，4）,3=3，8尼），

則：BA=OA-OB=（xl-x2,y}-y2>zx-z2）

④空間的線線平行、垂直、夾角公式：設熄=（不,必,與），6=（^2,y2,z2）,貝卜

［巧=網

a//b^>a=^Jb（石#6）=，乂；

a±A<=>a-S=O<=>xix2+yxy2+zxzz—0；

夾角公式：8S（?J.C%U《力小小

推論：（項三十%%+2/2）2+N；+Z,（*；+貢+N；）（三維柯西不等式）

異面直線所成的角8:〃￡（0。,90

當;笥;；L（其中6為異面直線a，b所

cos￡=cos（叫=所忑

成的角，￡，*分別為異面直線&，b的方向向量）;

直線神與平面a所成的角6：夕w[00,90°]

AB-m

sin0=?—~pzq,夕=arcsin,-1——..（歷為平面a的法向量.N萬為直線的方

網同網.阿

向向量）；

二面角以一，一〃的平面角6：6>e[0°,180°]

m-nm-nm-n

cosff=0=arccos1門或兀一arccos

同中即「產百（加、力為平面a、戶的法向量）

⑤利用法向量求空間距離：

點Q到直線/的距離：，（卜||4）-（點若Q為直線/外的一點，尸在直線

/上，萬為直線/的方向向量，b=PQ^則點。到直線/距離為）

點/到平面a的距離：若點/為平面"外一點，點Z為平面a內任一點，平面a的法

向量為G，則尸到平面々的距離就等于必在法向量分方向上的投影的絕對值.

n-MP\

即d=1A/中COS=卜/4.

7^P\

異面直線間的距離：設向量方與兩異面直線。，b都垂直，Mea,尸則兩異面直

線a,b間的距離d就是通5在向量■方向上投影的絕對值.

即d，?

HId

四、概率與統計部分

18、數字特征：

-1

平均數：樣本數據的算術平均數，即工=一（$+0+與+~+/）

n

樣本方差：+62—％）+…+（X“-X）1

19、線性回歸方程：y=bx+a（最小二乘法）

￡/兄~nxy

----------------

注意：線性回歸直線經過定點（總了）

^x^-nx

Rl

a=y-bx

n(ad-be)1

20、獨立性檢驗：Kz,其中〃=a+b+c+d為樣本容

(a+b)(c+d){a+c)(b4-d)

量，42的值越大，說明“x與y有關系”成立的可能性越大.

21、概率部分

（1）隨機事件/的概率：P（A）=—（0<PM）<l）

n

(2)互斥事件：尸（力+石）=P（/）+尸（石）

⑶對立事件：尸（4）+玖/）=1

(4)古典概型：事件/發生的概率P（Z）=—；

n

d的測度

(5)幾何概型：尸=.其中測度根據題目確定，一般為線段、角度、面

的測度

積、體積等.

（6）離散型隨機變量的分布列：離散型隨機變量X可能取的不同值為冷電，…，芭，

=1.

(7)兩點分布：X?(0」)，E(X)=p,D(Y)=Ml—p)

(8)二項分布：X?B(”),E(X)”,D(X)”(l-p)

⑼超幾何分布：X?E(X)i空，D(x)=〃3fl-給?亭

NN'NJ\N)

(10)條件概率：公式：P(3|/)=,P(A)>0.

(ID事件的獨立性：P(4B)=P(A)P(B).

C12)獨立重復試瞼的概率公式：

如果在1次試驗中某事件發生的概率是。，那么在"次獨立重復試驗中這個試驗恰好發

nk

生4次的概率：Pn(Jc)=C*X(1-py~7=0,LZ…")

C13)取有限值的離散型隨機變量的數學期望、方差：

巨(X)=七P1%+…+…+玉心；D(X)=￡(七一々x)y2

i=i

H(aT+b)=W(X)+，；Z?(oY+6)=a2Q(x)

五、圓錐曲線部分

22、超級韋達定理:

x2y2

P""廬二1,消y得(/加+》2/)/—*8)=0

Ax+By+C=0

A=4a2b2B2(a2A2+b2￡?2-C2)>0=>a2Az-￥b2B2-C2>0

2a2AC

X.4-X,=--r—z---r—r

'a2A2+b2B2

a2(C2-b2B2)

a2A2-^b2B2

lab-.yl^A2+b2B2cz

23、弦長硬算公式：弦長|心|=

a2A2+b2B2

24、弦長公式:

2

①\AB\=J1+左］占—x2|=+x2)—4xtx2=-py

\aI

乂一詞

+，Jf必=亞?音

25、點差法：將將力（王jJ,3（法,片）代入橢圓方程中做差：（.（七），乂）是相交弦

/

-

從2222

不

O(-/%-兄O

中點）92-

必

一

從

=------2■―7-----------V-7~\~kAB---------------F(_QV/Va)

%一2(玉一工2)(須+工2)號a

若冗>（%,%）在橢圓［+A=1上，則過外的橢圓的切線方程是警+券=L

26、

abab

27、若尺>（%，乂）在橢圓=1外，則過P。作橢圓的兩條切線切點為％、P2,

ab

則切點弦PiP2的直線方程是岑+誓=1.

ab

28、若PQ是橢圓二十5=1（a>b>0）上對中心張直角的弦，則

o2b2

占+3=4+^X。尸M

rvrzab

29、若橢圓W+4=l(a>b>0)上中心張直角的弦L所在直線方程為出+為=1

ab

則(1)之+占=/a十月七⑵七=23/+”二

aba^-\-bB

22z2222222L

30、給定橢圓Q：bx-\-ay=ab(a>b>0),C2：bx4-ay=(-^；—ab)

a+b

對G上任意給定的點功(%。,%),它的任一直角弦必須經過Cz上一定

標―〃a2_bz

M((二萬飛,一再至耳).

3,橢圓二+二=1(a>b>0)的焦半徑公式:

MF\|=q+ex0,|MF?\=a-ex0

a2b2

x2y2

32、己知橢圓二十彳=1Ca>b>0),O為坐標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且

a2b2

]1114『房

。尸①所+研=/+F；②IOPEOQI2的最大值為B?⑥

2?2

SkQPQ的最小值是-：2?

ci4-h

33、設P點是橢圓W+4=l(a>b>0)上異于長軸端點的任一點,Fi、Fz為其焦點

記4%=。，則①|產冗||尸耳②邑好=ytan/

1+8S62

X2v2

34、設A、B是橢圓F+-=1(a>b>0)的長軸兩端點，P是橢圓上的一點，

a2b2

ZPAB=a,"BA=氏/BPA=y,c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有①

?lab1|cosa|/c，2…-Zcfb2

l^l|=-------;------.②tanatan4=l-e?③S=~^------------rcot/.

a-ccosy0PAsb-a

35、過平面上的產點作直線=及=的平行線，分別交X軸于A/,汽,

aa

交y軸于R.Q.①若|OVf|2+\ON\2=a2,則尸的軌跡方程是

l+^=l(a>0,6>0).②若|OQ『+|O尺/=〃，則P的軌跡方程是

a2o

22

—&=1(。>0,6>0).

ao

36、若不(%,%)在雙曲線二一二_=1(a>Ozb>O)±,則過兄的雙曲線的切線方程

CTb2

是彳一丁T

37、若不(％,乂)在雙曲線二一二=1(a>Ozb>O)夕卜，則過P。作雙曲線的兩條切

oro

線切點為Pl、P2.則切點弦P】P2的直線方程是里一岑=1.

ab

2z

38、若PQ是雙曲線0一匕=1(b>a>0)上對中心張直角的弦，貝U

ab

"+點=2一5

39、雙曲線二一J=1(a>0.b>o)的焦半徑公式：(片(一C,0)，E(Q0)

ab

當,在右支上時，|A/片|=笈0+。,|從6|=%一々.

當"(%，乂)在左支上時，IA/石U-eXo+aJAZK\=-ex0-a.

40、己知雙曲線《一4=1(b>a>0),O為坐標原點，P、Q為雙曲線上兩動點,

aa

且。八絲.①冊+蘇=』-奈②IOPEOQ〃的最小值為送學

③S&Qg的最小值是?/a

六、導數部分

41,函數在某點處的導數：i/(線+㈤-〃：)=/()

42、導函數的定義：，(切=lim〃二十&)_〃.)=生；

')AXTOAVdx

43、導數的幾何意義：7=/'(%),F(不，無)為切點

44、常見初等函數的導數公式

C'=O(。為常數)(/j=i

(sinx)=cosx(cosx)=-sinx

(/)=ax\na(白>。且=1)(/)'="

(log：)=(a>0且Hl)(In%)=-

xlnax

45、導數的運算法則：設/(x),g(x)是可導的則

(r(x)土g(x)j=廠(x)土發⑺；(〃x)?g(;r))=f(x)g(x)+/(x)gr(x)

"(x)[_廠(x)g(x)—/(x)g<x)((x—o).

_g⑺」/(X)

[Cf(x)J=C^(x)(。為常數)

46、復合函數求導的鏈式法則：設y=/(花),”=g(x),則y=/(g(x))

一=M?/=r(〃)?g〈x)=/〈g(x))?g〈x)；

47、導數單調性的判斷：

①如果在(4b)內，r(x)>o,那么/(?)在此區間是增函數；

②如果在(。力)內，r(x)<0,那么〃X)在此區間是減函數；

③如果在(耳與內，r(x)=O,那么/(X)在此區間是常數函數.

48、求單調區間的一般步驟：

①求”⑼的定義域；②求二(X);③畫出了'(X)的示意圖；④作答.

49、求可導函數y=/(x)極值的步驟:

①求〃X)的定義域；②求/'(幻；③令/'O)=0求零點；④畫出廣(x)示意圖;

⑤列表：⑥作答.

50、求函數y=/(x)在口6］上的最大值與最小值的步驟：

①求函數y=，(x)在(口力)內的單調性；

②求函數y=，(x)在(口用)內的極值；

③比較函數y=/(x)的各極值與端點處的函數值了(。)，〃6),其中最大的一個是

最大值，最小的一個是最小值.

51、零點定理：

①零點存在性定理：若在區間3句上連續不斷，/(a)-/(6)<0,則

歹=/(刈在(見6)內有零點.

②零點唯一性定理：若y=/(x)在區間匕可上連續不斷且單調，/(a)-/S)vO,

則刈在(外與內有唯一零點.

③等價關系：函數y=/(x)的零點=方程〃*)=0的根o?=/(*)與“軸有交點

的橫坐標.

52、利用導數解決恒成問題：

①“任意2C<)任意”型

VXGD,(f為常數)恒成立o/(x)E二f；

VxeD,?為常數)恒成立0〃肛而金；

毛￡口,,〃玉)泊(々)恒成立o/(工人之皿；

VVx2eD28⑸

Y*GD、,VX2eD2,/(不)工&(毛)恒成立o/⑺24g(x)M.

②“存在2(<)存在”型.

HXGZ),〃工)型(，為常數)能成立o/(x)gNf；

Hxw。，(f為常數)能成立Q/(村…工，；

4WR,壬2/，/GRg(占)能成立O/(x)m。(*).；

叫WR,羽仁烏，"天)Wg(修)能成立O,⑺皿Wg(x)m.

③“任意2(<)存在”型.

rK\WD\、加￡烏,/(毛)之虱玉)成立O了⑺."(x*；

詡￡2，(毛)成立O"MEWgOLx；

那WD"Vx2GD2,〃與)澤仁)成立O/(x)aNg(x)g；

*WR,\/x2GD2,〃大)Kg(j)成立O"%)皿"(Ma.

④“存在=存在”型與“任意=存在“型

敵H，女20。2，/&)=g(芍)能成立。/(十)與雙“)的值域有公共部分;

7丫。,Bx2eD2,/(*)=g(不)能成立o〃x)的值域是g(x)的值域的子集.

53、利用導數證明不等式：

①函數不等式：

函數類不等式：欲證/(x)>g(x),構造了(X)=/(")-g(x),只需要證明尸(x)>0

即可7

②數列不等式：根據所證不等式的特征，建立函數不等式，對自變量適當賦值，放

縮.

54、必須爛熟在心里的不等式：當x>0時，ex>x+l>x>x-l>lnx>l一一

x

55、泰勒公式：

2

x工3x?

ex=1+X4---1+…H----F…

/"

=l-x+------+…+(-1)“一十

2!3!''聞

352/1+1

.XX/…工

sinx=X-----------H-----------+??'4-(-1)--------4----

315!I/(2盟+1)!

n

---=1——l)j<十.一

1+X

----=1+x+xz+x3+---+xn+???

1-X

ln(l-Fx)=r-

X

56、洛必達法則：若函數〃%)和g(x)滿足下列條件:

Hm/(x)=O及理g(x)=O；

lim/(x)=O及!吧g(*)=0；

七、選考部分

58、坐標系與極坐標：

(1)點"的極坐標：極徑、極角、點〃的極坐標記為"("，),也可寫成2kn)

(AreZ).

(2)極坐標和直角坐標的互化：x=pcos6,y=/?sin6,d=/+/，tan^=0).

59、極坐標系下的兩點間的距離公式：|耳引=)0：+比-2vG8s(e-q),

耳(01,a)，，=1，2

60、圓錐曲線極坐標方程統一形式rr=-^―,其中〃為焦點到準線的距離;

1±ecos0

61、參數方程：

(工)直線的參數方程：經過點(飛,乂)，傾斜角為。的直線的參數方程為

(x=xQ+tcosa

[y=%+fsina'

x=rcos6

(2)圓的參數方程：圓心為(a,b),半徑為尸的圓的參數方程為

y=b+rsin6'

推圓[4=1的參數方程為X=acos6

(3)橢圓的參數方程:

(y—bsin。

62、直線的參數方程意義：經過點以。(%,外),傾斜角為"的直線的參數方程為

1=*+tcosa

{p二No+fsina,

①設點A/的參數為f,則|4=川/1/；

②設點A/-對應的參數分別為4，4，則線段川也^2的中點/對應的參數

”號星，線段MM』長度為匕一寸；

63、不等式的性質：

①對稱性：a>b<=>6<a；

②傳遞性：a>b,b>c=>a>c.

③加法法則：a>b=a+c>b+c；a>b,c>d=>a-^ob-'rd.

④減法法貝ha>b,c<da-c>b—d；

⑤乘法法則：

a>b9c>0ac>be\

a>b,c<0ac<be-

a>b>0,c>6f>0->aobd.

⑥除法法則：a>b>0d<c<d—?>—?

fca

⑦倒數法則：

a>b9ab>0=>1<：；

ab

⑧乘方法則：n且力

a>b>0=>cT>b（weN+,22）

⑨開方法則：a>b>。=網>班（力wN.,且〃22）

64、含有絕對值的不等式：當a>0時，有

國vau>/vo2=-a<x<a,

國〉ao/>/ox>a^x<-a

65、絕對值三角不等式性質：|4一同工1±4〈問十|4

66、柯西不等式：

①設a,b,c,d均為實數,貝1」（/十廿乂/+1）之（々c+3）2,當且僅當扇/=*

時等號成立.

②設。，…，和…，,均為實數，

4，%,344，b2,63,

貝U（a：+屬+/?!---b￡）（牙+公+6；H------Hb：）之3“+生，+見瓦十…+4b

當且僅當，=0（，=1,2,3,…，力）或存在一個實數無，使得多=屹（/=U

2,3,…，時，等號成立.

八、選填小題部分

67、摩根定理：①（Ct/）n&8）=.（xu8）；②&4）u（c/）=7（』nB）

68、注意區分集合中元素的含義：【數集一般都要進一步化簡】

①數集：

A=｛x\f（x）=O｝方程的解集

6=k]?=/（》）｝函數y=