第14章三角形章節壓軸題專練

I能力提升

一、單選題

1.（2019?上海七年級課時練習）如圖，OP//QR//ST下列各式中正確的是（）

A.Z1+Z2+Z3=18O°B.N1+N2-N3=9O,

C.Z1-Z2+Z3=9OD.Z2+Z3-Z1=18O

【答案】D

.?.N2=N4,

；N3與NESR互補,

.,.ZESR=180°-Z3,

是aFSR的外角，

.,.ZESR+Z1=Z4,即180°-Z3+Z1=Z2,

/.Z2+Z3-Z1=180°.

故選D.

考點：平行線的性質.

2.（2018?上海市第八中學七年級月考）如圖所示，已知點F、E分別在AB、AC上，且AE=AF,

當滿足下列條件仍無法確定的AABE烏4ACF是（）

A.AB=ACB.CF=BEC.BF=CED.ZB=ZC

【答案】B

【分析】由條件隱含條件是公共角NA,AE=AF,然后再逐個添加條件，如果不符合判定法則，

即為答案.

【詳解】解：結合已知條件：可發現A選項滿足SAS;C選項和已知條件AE=AF,可說明AB=AC,滿

足SAS即C可以；B選項添加條件后變為SSA,但SSA不能證明三角形全等，故B錯誤；D選項滿足

ASA;

故選B

【點睛】本題考查添加一個條件讓三角形全等，SSA不能證明三角形全等是解答本題的關鍵.

二、填空題

3.（2019?上海閔行區?七年級期中）如圖，對面積為1的小鉆。逐次進行操作：第一次操

作，分別延長A8、BC、C4至點4、B］、C,,使得A8=2AB,B】C=2BC,C,A=2CA,

順次連接4、4、￡,得到A418G,記其面積為S”第二次操作，分別延長為巴、B￡、

GA至點4、B2、C2,使得&4=24與、BQ=2BC、=2。小，順次連接&、B2C2,

得到A4282c2,記其面積為邑，…，按此規律繼續下去，可得到M&CG，則其面積52=

【答案】361

【分析】根據三角形等高時底之比等于面積比得出AA8C的面積為AABC面積的兩倍，則

△44。的面積是AA8C的2倍…，以此類推，得出A&B2G的面積.

【詳解】

連接AC,,根據A8=2AB,A41BC的面積為AABC的2倍，所以郎田。的面積

為2；同理想耳。的面積為AABC的2倍，所以A4#C的面積為4；

以此類推：A4cBi的面積為2,A4G用的面積為4,的面積為2,A4￡G的面積為4

/.A4,BC=4=19,即△ABC面積為AABC面積的19倍，以此類推“與C2的面積為

MBC面積的0倍，所以AA/2G=S2=19?x1=361.

故答案為：361

【點睛】利用三角形的底與高之間的數量關系判斷面積的數量關系是解決本題的關鍵.

4.（2019?上海奉賢區?）如圖，已知AADC的面積為4,AD平分N8AC,且4）,80于

點O,那么AABC的面積為.

【答案】8

【分析】延長BD交AC于點E,則可知AABE為等腰三角形，則SAHS皿：,可得出義,、“二

GSAW.即可求出答案.

2

【詳解】解：如圖，延長BD交AC于點E,

；AD平分NBAE,ADXBD,

ZBAD=ZEAD,ZADB=ZADE,

在4ABD和aAED中，

NBAD=NEAD

<AD=AD,

ZBDA=ZEDA

AAABD^AAED（ASA）,

???BD=DE,

=

??SAABDSAADE，SABIX^SACDE9

???SAABD+SABDC=SAADE+SACDI^SAAIK-,

SAADC~-SAABC,

2

??=2x4=8；

故答案為：8.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質和判定的應用，全等三角形的判定和性質，由BD=DE得

至USAABD=SAADE,SABIGSACDE是解題的關鍵.

5.（2019?上海普陀區?七年級期末）已知一個等腰三角形的三邊長都是整數，如果周長是

10,那么底邊長等于.

【答案】2或4

【分析】設等腰三角形的腰是X,底是y,然后判斷1至4中能構成三角形的情況.

【詳解】設等腰三角形的腰是x,底是y,.?.2x+y=10

當x取正整數時，x的值可以是：從1到4共4個數，

相應的y的對應值是：8,6,4,2.

經判斷能構成三角形的有：3、3、4或4、4、2,

故答案為2或4.

【點睛】此題考查二角形的二邊關系及等腰二角形的定義，首先根據周長找到整數的邊長的

情況，判斷其是否為等腰三角形即可解答.

6.（2019?上海浦東新區?七年級月考）在中，AB=AC,把AABC折疊，使點3與

點A重合，且折痕交邊A3于點M，交邊于點N.如果AC4N是以CN為腰的等腰三角

形，則D8的度數是_______.

【答案】45。或36°

【分析】是AB的中垂線，則AABN是等腰三角形，且NA=NB,即可得到

ZB=ZBAN=ZC.然后對AANC中的邊進行討論，然后在AABC中，利用三角形內角和

定理即可求得D8的度數.

【詳解】解：?.?把A46C折疊，使點3與點A重合，折痕交AB于點M，交BC于點N,

.?.MN是A3的中垂線.：.NB=NA.：.ZB=ZBAN,

?.?AB=AC，.-.ZB=ZC.

設ZB=x。，則NC=N￡L47V=x。.

1）當⑷V=NC時，NGW=NC=x°.

則在MBC中，根據三角形內角和定理可得：4%=180,

解得：x=45。則4=45°；

18（）_x

2）當C4=GV0寸，NNAC=ZANC=------.

在AA8C中，根據三角形內角和定理得到：x+x+x+------=18（）.

2

解得：x=36。.故DB的度數為45?；?6。.

故答案為：45。或36°.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，等邊對等角，正確對AANC的邊進行討論是解題的

關鍵.

7.（2019?上海浦東新區?七年級期末）如圖，8/平分NABD,CE平分NACO,BF與

CE交于G,若NBDC=m。,ZBGC=n°,則NA的度數為.（用〃?，〃表示）

【答案】2n°-m°

【分析】連接BC,根據三角形內角和定理可求得NDBC+NDCB的度數，再根據三角形內角和定

理及三角形角平分線的定義可求得NABC+NACB的度數，從而不難求得/A的度數.

【詳解】連接BC.VZBDC=m",ZDBC+ZDCB=180°-m°,

VZBGC=n°,AZGBC+ZGCB=180°-n°,

ZGBD+ZGCD=(180°-n°)-(180°-m°)=m°-n°,

???BF是NABD的平分線，CE是NACD的平分線，

ZABD+ZACD=2ZGBD+2ZGCD=2m°-2n°,

/.ZABC+ZACB=2m°-2n°+180°-m°=180°+m°-2n°,

ZA=180°-(ZABC+ZACB)=180°-(180°+m°-2n°)=2n°-m°,

故答案為2n°-m°.

【點睛】本題考查的是二角形內角和定理，根據題意作出輔助線，構造出三角形是解答此題

的關鍵.

8.(2018?上海市第八中學七年級月考)如圖,在△ABC中，ZA=58°,AB=AC,BD=CF,BE=CD,

貝ijZEDF=度。

【答案】61°

【分析】先由等腰三角形的性質求得NB的大小，再證明4EBD也△DFC,得到/DEB=NFDC;又

由三角形內角和為NBED+NB+/EDB=180°,即ZFDC+NB+/EDB=180°,可得/FDC+N

EDB=180°-/B由因為/BDC是平角可得：ZEDF=180°-(/FDC+/EDB),即可完成作答。

【詳解】解：?等腰三角形ABC

在aEBD和aDFC中

BD=CF

<NB=NC

BE=CD

.,.△EBD^ADFC(AAS)

NDEB=NFDC

又；在aEBD中，ZBED+ZB+ZEDB=180

AZFDC+ZEDB=180°-ZB=119°

又ZEDF+(ZFDC+ZEDB)=180°

.,.ZEDF=180°-(ZFDC+ZEDB)=180°-119°=61°

故答案為61°。

【點睛】本題考查了等腰三角形和全等三角形的知識，特別是角的等量代換成為本題解答的

關鍵。

9.（2018?上海市第八中學七年級月考）如圖，^ABC中，ZC=90°,DE1AB,ZBAD=ZCAD,

BE=2,AC=4,貝i]AB=。

【答案】6

【分析】根據已知條件判定△CDATaEDA,然后利用其性質得到AE=AC,又AB=AE+EB,即可求出

答案。

【詳解】解：由題意得：

ZAED=ZC

-/BAD=ZCAD

AD=AD

.,.△CDA^AEDA（AAS）

Z.AE=AC=4

又?；AB=AE+EB

；.AB=4+2=6

故答案為6.

【點睛】本題主要考查了角平分線的定義、全等三角形的判定以及線段和差，其中分析出利

用全等正確線段的相等是解題的關鍵。

10.（2018?上海市第八中學七年級月考）如圖，已知CDJ_AB于點D,BEJ_AC于點E,CD、

BE交于點0,且AO平分NBAC,則圖中的全等三角形共有對。

［分析］先利用已知條件和隱含條件AO=AO確定△ADOgAAEO,然后再利用由全等得到的條件,

繼續判定其他三角形的全等。

【詳解】解：VCD±AB,BE±AC,A0平分NBAC

A.ZAD0=ZAE0=90°,ZDAO=ZEAOAO=AO

.,.△ADO^AAEO；(AAS)

,\OD=OE,AD=AE

ZDOB=ZEOC,ZODB=Z0EC=90°

.二△BOD絲△COE：

，.BD=CE,OB=OC,ZB=ZC

VAE=AD,NDAC=NCAB,ZADC=ZAEB=90°

.,.△ADC^AAEB；(ASA)

；.AD=AE,BD=CE

XV.AB=ACOB=OC,AO=AO

△ABO^AACO.(SSS)

故答案為4..

【點睛】本題考查全等三角形的綜合知識，特別是在確定三角形全等后，再應用全等三角形

的性質得到條件，再證明其他三角形全等，是解答本題的關鍵。

11.(2018?上海市第八中學七年級月考)一個三角形有兩邊長分為3與2。若它的第三邊的

長為偶數。則它的第三邊長為。

【答案】2或4

【分析】根據三角形的邊的關系，求得第三邊的取值范圍，在結合偶數條件，即可確定答案。

【詳解】解：設第三邊長為x

根據三角形的邊的關系可得：l<x<5,

又由第三邊為偶數，所以第三邊長為2或4

故答案為：2或4

【點睛】本題考查了三角形的三邊關系，確定第三邊的取值范圍是關鍵。也可使用列舉，但

是容易因遺漏導致錯誤。

12.(2019?上海七年級期中)在△/比中，ZJ=36°.當/小°,四

等腰三角形.

【答案】72°、36°、108°

【分析】在等腰三角形中，當不確定//為頂角還是底角時，分類處理：(1)當N4=36°為

頂角，可得底角/小勺值.（2）當/4=36°為底角時，2物頂角或底角，根據內角和性質代

入求解即可得出結論.

【詳解】解：（1）當/斤36°為頂角時，4=180-36。=72。；

2

（2）當/4=36°為底角時，/相為底角，則/俏24=36°,

N席為頂角,NC=180°-36°-36°=108°，

故答案為72°、36°、108°

【點睛】本題考查等腰三角形的性質及三角形內角和定理，本題關鍵在于不確定等腰三角形

的頂角與底角的情況下，要注意分類討論.

三、解答題

13.（2018?上海市第八中學七年級月考）如圖，已知aABC和4CDE都是等邊三角形，且B、

C、E在一直線上，AC、BD交于F點，AE、CD交于G點，試說明FG〃BE的理由.

【分析】運用SAS證得△ACD04ACE,得到NCAE=NCBD,/BCD=NACE;由公共部分/ACD,利

用角和差可確定/BCF=NDCF,結合BC-AC,判定△BCF@Z\ACG,可得NACD=/BAC=60°,CF=CG;

可以發現aCFC也是等邊三角形，則NCFG=60°,即NCFG=NBCA=60°,利用平行線判定定理,

即可判定平行.

【詳解】解：理由如下：

,/已知△ABC和4CDE都是等邊三角形

.\AC=AB,CD=CE,ZBAC=ZABC=ZBCA=ZDCE=ZCED=ZEDC=60°

，ZACB+ZACD=ZDCE+ZACD,即/BCD=NACE

在AACD和4ACE中

BC^AC

</BCD=NACE

CD=CE

.,.△ACD^AACE(SAS)

NCAE=NCBD,ZBCD=ZACE

ZBCD-ZACD=ZACE-ZACD即NACD=NBCA=60°；

在4BCF和4ACG中

NCAE=ZCBD

<AC=BC

ZACD=ZBCA

.,.△BCF^AACG(ASA)

.,.CF=CG

...△CFG是等邊三角形

ZCFG=60°

，ZCFG=ZBCA=60°

...FG〃BE(內錯角相等，兩直線平行)

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質、等邊三角形的性質以及平行線的判定，其中

全等三角形的判定是解題的關鍵.

14.(2019?上海浦東新區?七年級期末)已知一個等腰三角形兩內角的度數之比為1:4,

則這個等腰三角形頂角的度數為多少？

【答案】120°或20°

【分析】等腰三角形兩內角的度數之比為1:4,不能確定誰是頂角，需要分類討論進行解答.

【詳解】解：①頂角為底角的4倍，則設三角形的三個內角為4《，H，k"，

則4Z+Z+Z=180,解得。=30,42=120,則頂角為120。.

②底角為頂角的4倍，則設三角形的三個內角為4/，4k，k。，則軟+4%+4=180,解得

4=20,則頂角為20。.

【點睛】本題考查了等腰三角形的概念，解題的關鍵是理解等腰三角形的概念進行分類討論.

15.(2019?上海浦東新區?七年級月考)已知，MBC、&回均為等邊三角形，點E是

△ABC內的點

(1)如圖①，說明3￡>=CE的理由；

圖①

(2)如圖②，當點E在線段CD上時，求NCDB的度數;

c

圖②

（3）當AD5E為等腰直角三角形時，ZABD=度（直接寫出客案）.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）45?；?0。或15°.

【分析】（1）先理由等邊三角形的性質得出=AC,AD=AE，ZBAC=ZDAE,即可

得出結論；

（2）同（1）得AC4E三ABAD,再判斷出=進而求出NAEC=120°,即

可得出結論；

（3）當ADBE為等腰直角三角形時，有三種情況：/.當/&W=90°,D4D睨,”.當N

BED=90°,B&D州,當N應注90°,腔物寸，分別作出圖形，然后根據等腰三角形性質即

可求出.

【詳解】解：（1）；AABC和A4￡E>都是等邊二角形（已知）

AAC=AB,AE=AD，ZCAB=ZEAD=60°（等邊三角形的性質）。

AZCAB-ZEAB^ZEAD-ZEAB（等式性質），即NCAE=N班。，

在△（"七和AR4O中，

AC=AB

<NCAE=NBAD,

AE=AD

：.ACAE=^BAD（SAS）

:.BD=CE（全等三角形對應邊相等）

（2）是等邊三角形（已知）。

AZAED=ZA￡>￡：=60°（等邊三角形的性質）。

AZA￡C+ZA￡D=180°（鄰補角的意義）

AzL4EC=120°（等式性質）

二同理（1）得△C4￡MAB4）（S4S）

/.ZADB=ZAEC=12Q°（全等三角形對應角相等）

二ZCDB=ZADB-ZADE=60°（等式性質）

（3）當455￡為等腰直角三角形時，有三種情況：

/.當/應比90。，妗歷時，如圖③-1：

圖③-1

?.?/力夢60°,

ZADB-ZADB-Z￡95=60°+90°=150°,

又,：AFDE,

:.AD=BD,

二ZDAB=NAB2-(180°-150°)；

2

〃.當/必萬90。，陷加時，如圖③-2：

在和中：

"AE=AD

<AB=AB,

EB=DB

:./\AB監XADB(SSS)

二NAB斤NABD,

：.ZABD=-ZDBE=45°；

2

III.當ZED斤9Q°，龐=耐,如圖③一3：

同可得：，

■:NEBA450,

：.4ABD=3U.

綜上所述：//吠45°或30。或15°.

故答案為：45°或30?；?5°.

【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判斷和性質，

等腰直角三角形性質，（2）中求出NAEC=120。是解本題的關鍵.（3）中關鍵是根據題意

畫出等腰直角三角形.

16.（2019?上海嘉定區?）在等腰AABC中，AB=AC,點M是直線上一點（不與民C

重合），以AM為一邊在AM的右側作等腰使=AV=AN,連結CN.

備用圖

（1）如圖1,當點“在線段8C上時，如果N84C=90。，則N8CN=______

（2）設ZBAC=a,4BCN=0.

①如圖2,當點M在線段8C上移動時，尸之間有怎樣的數量關系？請說明理由.

②當點M在直線上移動時，以尸之間有怎樣的數量關系？請你直接寫出你的結論.

【答案】（1）N3CN=90。；（2）①/尸之間的數量關系是a+￡=180。，理由見解析；

②結論：a+4=180。，a=（3.

【分析】（1）先用等式的性質得出NCAN=/BAM,進而得出△ABM絲AACN,有/B=NACE,最

后用等式的性質即可得出結論

（2）①由（1）的結論即可得出a+。=180°；②同（1）的方法即可得出結論.

【詳解】（1）-：AMAN=ABAC,ZBAC=ZBAM+ZMAC=ZNAC+ZMAC

：./CAN=NBAM

在aABM和AACN中

AB^AC

<NBAM=NCAE

AM=AE

;.AABM=AACN（S4S）

ZB=ZACN

乙BCN=/BCA+NACN=NBCA+N5=180°-ZBAC=90"

，ZBCN=90°

（2）①解：a,夕之間的數量關系是a+￡=180。

理由：

-,-ZMAN=ZBAC（已知）

AMAN-NM4c=^BAC-ZMAC（等式性質）

即ZCAN=ZBAM

在AABM和AAOV中

AB=AC

<ZBAM=/CAN

AM=AN

/\ABM/AACN（5.AS）

:"B=ZACN（全等三角形對應角相等）

-,-^BAC+ZB+ZACB=ISO°（三角形的內角和為180°）

ABAC+ZAC7V+ZACfi=180°（等量代換）

ABAC=Na,ZBCN=NBCN=AACN+ZACB

"+力=180。（等量代換）

②結論：

D當點〃（不與B,C.重合）在射線BC上時,

A

同（1）的方法可得△ABM絲△ACN（S.A.S）

ZABM=ZACN,

0=/BCN=NACB+ZACN=ZACB+ZABM=180°-ABAC=180°-a

：.a+P=\80

a,B之間的數量關系是a+尸=180。

2）當點M（不與匹C重合）在射線8C的反向延長線上時，

同（1）的方法可得絲△ACN（S.A.S）

ZABM=ZACN,

p=ZBCN=ZACN-ZACB=ZABM-ZACB=ZABM-ZACB=ABAC=a

a，4之間的數量關系是a=￡.

【點睛】本題考查了全等三角形的綜合問題，掌握全等三角形的性質以及判定定理是解題的

關鍵.

17.（2019?上海奉賢區?）如圖1,已知NABC=90。，△ABE是等邊三角形，點尸為射

線8c上任意一點（點尸與點3不重合），連結AP，將線段AP繞點A逆時針旋轉60。得到

線段A。，連結QE并延長交射線于點

（1）如圖1,當8P=84時，NEBF=°,猜想/。回。=°；

（2）如圖2,當點尸為射線3C上任意一點時，猜想NQFC的度數，并說明理由；

【答案】（1）30，60；（2）NQFC=6。。,理由見解析

【分析】（1）NEBF與NABE互余，而NABE=60°,即可求得/EBF的度數；先證明NBAP=N

EAQ,進而得到AABP絲△AEQ,證得/AEQ=/ABP=90°,則NBEF=180°-ZAEQ-ZAEB=180"

-90°-60°=30°,NQFC=NEBF+NBEF,即可得到答案；

（2）先證明NBAP=NEAQ,進而得到△ABPgAAEQ,證得NAEQ=/ABP=90°,則NBEF=180°

-ZAEQ-ZAEB=180°-90°-60°=30°,NQFC=NEBF+NBEF,即可得到答案.

【詳解】證明：（1）??,ZABC=90°,Z\ABE是等邊三角形，

/.ZABE=60°,

；.NEBF=30°；

猜想：ZgFC=60°:

理由如下：如圖，

宜

BFPC

圖1

ZBAP=ZBAE-ZEAP=（G°-ZEAP,NE4Q=/QAP-NE4P=60°-/E4P,

NBAP=NEAQ,

VAB=A￡.AP=AQ,

：.AABP^AA￡C（SAS）,

ZAEQ=ZABP=90°,

：.NBEF=180°-Z.AEQ-NAEB=180°-90°-60°=30°,

ZQFC=ZEBF+ZBEF=30°+30°=60°；

故答案為：30；60；

（2）結論：NQFC=60。,

如圖：

圖2

?；ZBAP=NBAE+NEAP=60°+NE4P,Z￡AQ=NQAP+NEAP=60°+ZE4P

NBAP=NEAQ

在AA8P和△4EQ中，AB=AE，ZBAP=ZEAQ,AP=AQ

△ABP四△A￡Q（SAS）

ZAEQ=ZABP=90°.

：.NBEF=180°-ZAEQ-NAEB=180°-90°-60°=30°

，NQFC=NEBF+NBEF=300+30°=60°；

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的內角和定理，

以及二角形的外角性質，解題的關鍵是熟練掌握等邊三角形的性質和全等三角形的判定和性

質進行證明猜想成立.

18.（2019?上海金山區?七年級期中）如圖NEOP,O用平分NEO尸，點A、B、C分

別是射線OE、OM、OF上的點（點A、B、C不與點。重合），聯結AC,交射線與

點、D.

（1）如果AB〃OC,AC平分NQ4B,試判斷AC與射線的位置關系，試說明理由；

（2）如果NEC尸=40°,AB1OE,垂足為點A，中有兩個相等的角，請直接寫出

ND4O的大小.

【答案】（1）AC與射線OB垂直，理由見解析；（2）NZMO的大小為20°或35?；?0°.

【分析】（1）先根據平行線的性質、角平分線的定義得出加￡>=48,再根據角平分線

的定義得出最后根據三角形的外角性質、領補角的定義即可得出結論；

（2）先根據角平分線的定義、直角三角形的性質求出ZAOD和NABD的度數，再根據

“△AZ出中有兩個相等的角”分三種情況，然后分別根據三角形的外角性質、角的和差求解

即可得.

【詳解】（1）AC與射線08垂直，理由如下：

如圖1,-.-AB//OC

：.ZABD=ZCOD

（2。0平分2￡0尸，AC平分NOAB

：.ZAOD=ZCOD,ZBAD=ZOAD

:.ZABD=ZAOD

ZADO=ZABD+ZBAD

由三角形的外角性質得:

ZADB=ZAOD+NOAD

:.ZADO=ZADB

又NADO+NADB=180°

.?.ZA￡X9=ZAD8=90°

AC±OB

即AC與射線08垂直；

(2)QOM平分NEOF,NEOF=40°

ZAOD=ZCOD=-aEOF=20°

2

-,-AB1OE

：.ZBAO^90°

ZABD=90°-ZAOD=70°

如圖2,由題意，分以下三種情況：

①當ZADB=ZABD=70°時

NDAO=ZADB-ZAOD=70°—20。=50。(三角形的外角性質)

②當44。=NA8￡>=70。時

ZDAO=NBAO-ABAD=90°-70°=20°

③當。時，

ZADB=ZDAO+ZAOD=ZDAO+20°

NBAD=ZBAO-ZDAO=90°-ZDAO

則ZDAO+20°=90°-ZDAO

解得4X0=35。

綜上，ND4O的大小為20°或35°或50°.

【點睛】本題考查了平行線的性質、垂直的定義、二角形的外角性質等知識點，較難的是題

（2）,依據題意，正確分三種情況討論是解題關鍵.

19.（2019?上海閔行區?七年級期中）（1）在銳角ZVLBC中，AC邊上的高所在直線和A3

邊上的高所在直線的交點為P,"PC=110。，求NA的度數.

(2)如圖，AE和CE分別平分㈤。和NBC。，當點。在直線AC上時，ZAPC=100°,

則/B=.

(3)在(2)的基礎上，當點O在直線AC外時，如下圖：NADC=130°,ZAPC=100°,

求D3的度數.

【答案】(1)70°；(2)20°；(3)70°.

【分析】(1)根據對頂角相等以及四邊形的內角和進行判斷即可；(2)根據NAPC=100。

以及AF和CE分別平分ZBAD和ZBCD,算出ABAD和NBCD,從而算出DB

【詳解】

如圖AC邊上的高所在直線和A3邊上的高所在直線的交點為尸

二ZBDA=ZCEA=9Q°

又：=110°

/.NEPD=NBPC=110。

?.?在四邊形中，內角和為360°

/.ZA=360°-l100-900-900=70°

?；AF和CE分別平分ZBAD和NBCD

：.ZBAP=ZFAC,NBCE=ZACE

又：NAPC=100。

AFAC+ZACE=180°-100°=80°

二ZBAC+ZBG4=160°

二駢=180-160鞍20

(3)如圖：連接AC

■:ZADC=130°,ZAPC=100°

/.ADAC+ZDCA=180。-130°=50°,ZPAC+ZPCA=180°-100°=80°

/.Z2+Z3=30°

又；AF和CE分別平分ZBAD和ZBCD

：.Nl+N4=N2+N3=30°

ZBAC+ZBCA=1W°

：.W=180-11嫩70

【點睛】三角形的內角和定理以及角平分線的定義是解決本題的關鍵.

20.（2018?上海楊浦區?七年級期末）如圖，已知。是等邊三角形ABC內一點，。是線段

80延長線上一點，且00=04,4408=120。，求N8DC的度數.

【答案】60。

【分析】先證AAOD是等邊三角形，得出AABC是等邊三角形，再證AABOgAACD,得

NAQ?=NAZ）C=120°，從而得出NBOC的大小.

【詳解】VZA0B=120°,ZA0D=60°

,.,AO=OD,.?.△AOD是等邊三角形

ABAC=60°,AB^AC

「△ABC是等邊二角形，ZBAC=60°,AB=AC

ZBAC=ZOAD,二ZBAO+ZOAC=ZOAC+ZCAD

ZBAO=ZCAD

在ABAO和△CADU」

-AO=AD

<NBAO=ZCAD

AB=AC

：.AABO^MCD

：.ZAOB=ZADC=\2Q°

NBDC=ZADC-ZADO=60"

【點睛】本題考查全等的證明和等邊三角形的性質和證明，解題關鍵是證AABO之AACD.

21.（2019?上海市松江區九亭中學七年級期中）如圖（1）A8=8cm,AC±AB,B"AB，

AC=8O=6cm,點尸在線段A3上以2a〃/s的速度由點A向點3運動，同時，點Q在線段

5。上由點B向點。運動，它們的運動時間為/（5）.

（1）若點。的運動速度與點P的運動速度相等，當1=1時，A4cp與是否全等，請說

明理由，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關系；

（2）如圖（2）,將圖（1）中的“ACLM,BD±AB"改為"NC4B=NOB4=60”，

其他條件不變，設點Q的運動速度為xa〃/s,是否存在實數x,使得A4CP與全等？

若存在，求出相應的x、f值；若不存在，請說明理由.

圖(1)圖(2)

((f-2

t=1

【答案】(1)Z\ACP絲△BPQ,PCVPQ.(2)存在!\3，使得AACP與ABPQ全

x=2x=—

LI2

等.

【分析】(1)根據SAS證明aACP絲△BPQ,利用全等三角形的性質即可得到PC_LP。；

(2)分兩種情況：①若△ACPgABPQ,②若△ACPgZ\BQP,利用全等三角形的性質得到對應線

段相等，由此求出答案.

【詳解】

(1)當f=l時，AP^BQ=2,BP=AC=6.

又NA=NB=90°,

在AACP與^BPQ中

AP=BQ

<NA=NB,

AC=BP

.?.△ACP/△BPQ(SAS),

：.ZACP=ZBPQ,

ZAPC+NBPQ=ZAPC+ZACP=90,

:.ZCPQ=90\

即PCLPQ.

(2)①若AACP絲△BPQ,

則AC=BP,AP=BQ,

8-2z=6

2t=xt

t=l

解得《

x=2

②若AACP絲ZXBQP,

則AC=BQ,AP=BP，

6=xt

'2t=8-2t'

解得，=：

\x=3

t=17=2

綜上所述，存在《c,使得A4cp與ABPQ金等.

x=2x=3

【點睛】此題考查全等三角形的判定及性質定理，（2）中利用分類思想分別利用全等三角形

的性質求出未知數的值，熟練掌握三角形全等的判定及性質定理是解題的關鍵.

22.（2020?上海外國語大學閔行外國語中學七年級期末）如圖，已知，aABC和4ADE都是

等邊三角形，連接BD、CE.

（1）說明BD=C￡的理由；

（2）延長BD,交CE于點F,求/BFC的度數.

【答案】（1）見解析；（2）60°.

【分析】（1）證明aABD絲Z\ACE即可得到結論；

（2）由△ABD/Z\ACE得到NABD=NACE,根據NABC=NACB=60°推出NFBC+NACB+NACF=N

ABC+ZACB=120°,再根據三角形內角和定理求出NBFC的度數.

【詳解】（1）證明：:△ABC和4ADE都是等邊三角形，

.'.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60°,

ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

ZBAD=ZCAE,

.".△ABD^AACE,

/.BD=CE；

(2)VAABD^AACE,

ZAB