抽象函數

1、函數單調性的定義與逆用；

2、函數奇偶性的定義與性質；

教學目標

3、抽象函數性質的提取，抽象函數不等式的轉換；

4、會解決轉化后的不等式恒成立問題；

重點抽象函數性質的判定和應用

難點抽象函數性質的綜合應用

-知識梳理

一、定義：抽象函數問題，一般指沒有給出具體函數解析式，只給出了其他一些條件(如函數定義域、解

析遞推式、取值情況、性質、圖像特征等)，研究解決這個函數的解析式、性質或與函數相關的參數范圍、

求值、不等式(或方程)解、圖象、比較大小等問題.這類問題具有概念抽象、綜合性強、方法靈活等特點.

抽象函數問題既是學習的難點，也是高考的熱點，認真學習它是提高學生數學能力和創新能力的有效途徑.

二、常見的抽象函數模型：

①正比例函數模型：f(x)=kx,k^O------f(x+y)=f(x)±f(y).

②幕函數模型：/(x)=x*——/(xy)=/(x)-/(y)；/f-V4H.

⑴Ay)

③指數函數模型：/(%)=優------/(x+j)=/(x)./(y)；=黑.

(、

④對數函數模型：/(%)=iogax—/(孫)=/(九)+，(y)；f-=?/(，).

/(x)+/(y)

⑤三角函數模型：f(x)=tanx------f(x+y)=

三、歸納方法:

1、觀察不等式兩端的特點，化為同類函數；

2、借助函數的單調性，脫掉“/”；

3、注意定義域及單調區間，特別是對數函數中真數大于0.

(一)抽象函數的定義域、遞推關系、值域

【例1】⑴已知函數/(%)的定義域為[0,4],求函數y=/(x+3)+/(/)的定義域為

(2)已知函數/(必―2x+2)的定義域為[0,3],求函數/(x)的定義域.

33

【例2】(1)已知定義在R上的函數/(x)的值域為［-—則函數/(x+1)的值域為.

28

(2)設g(x)是定義在R上，以1為周期的函數，若函數f(x)=x+g(x)在區間［3,4］上的值域為［-2,5］,

則/(x)在區間［-10,10］上的值域為.

7

【例3】已知函數/(尤)是定義在(0,+oo)上的單調函數，則對任意(0,+oo)都有〃/(x)+—)=-1成立，則/(1)

x

=()

A.-1B.-4C.-3D.0

【例4】已知定義在R上的奇函數/(x)且滿足/(l+x)=-/(3-x),且/(1)/0,若函數g(x)=x6+f(1)

cos4x—3有且只有唯一的零點，則/'(2018)+“2019)=()

A.1B.-1C.-3D.3

［例5］已知函數/(x)滿足：f(x+y)=/(x).f(y)并且f(1)=1,那么：

喘+3f+喘+…+鵬的值為()A-201910104038D-3030

」鞏固訓需

1、已知函數y=/(2x+l)的定義域為［0』，求函數y=/(2x—3)的定義域;

2、設g(x)是定義在R上，以1為周期的函數，若函數/(x)=x+g(x)在區間［3,4］上的值域為［-2,5］,

則/(%)在區間［-10,10］上的值域為.

3、設定義在尺上的函數/(X)的值域為A,若集合A為有限集，且對任意玉、x2eR,存在weR使得

/(菁)/(/)=/(￡)，則滿足條件的集合A的個數為()

D.無窮個

(二)抽象函數的性質

(例題精講

【例6］(1)〃龍)是定義在(—1,1)上的奇函數且單調遞減，若y(2—。)+/(4-4)<0,則。的取值

范圍是()

⑵己知偶函數在區間［0,+8)上單調遞增，則滿足/(2x-l)<f的取值范圍是(

12121212

353353253253

【例7】設函數/(%)是定義在R上的偶函數，且對任意的xeR恒有〃x+l)=/(x—1),已知當xe［0,l］

時，=則

①2是函數/(%)的一個周期；

②函數/(%)在(1,2)上是減函數，在(2,3)上是增函數；

③函數八司的最大值是1,最小值是0；

④％=1是函數/(%)的一個對稱軸；

其中所有正確命題的序號是.

【例8】用min{a,Z?)表示a/兩數中的最小值，若函數/(%)=min{|x|,|x+?|}的圖像關于直線x=g對稱,

則才的值為()

A.-1B.1C.-2D.2

【例9】已知函數/'(X)滿足4f(x)f(y)=/(x+y)+/(x-y),(x,ywR),則/(2015)=()

1/------------

【例10】定義在R上的偶函數〃可滿足y(x+8)=z+J，(x)—/⑴，則“2020)=

風固訓林

1、設定義在。上的兩個函數/(x)、g(x),其值域依次是［a,勿和［c,d］,有下列4個命題：

①“a〉d”是“/(西)〉g(%)對任意和x2e。恒成立”的充要條件；

②“a>d”是“/(xj〉g(z)對任意和X［e。恒成立”的充分不必要條件；

③“a〉d”是“/(x)>g(x)對任意XGD恒成立”的充要條件；

④“a>d”是“/(x)>g(x)對任意xeD恒成立”的充分不必要條件.

其中正確的命題是(請寫出所有正確命題的序號).

2、己知定義在R上函數〃尤)的圖象關于原點對稱，且/(l+x)+/(2—x)=0,若/⑴=1,則

/(1)+/(2)+/(3)++/(2020)=()

A.0B.1C.673D.674

3、已知函數/(九)是R上的偶函數，對于任意xcR都有/(%+6)=/(x)+/(3)成立，當王,元2￡［°，3］，

且再W%時，都有J—八'>0.給出以下三個命題：

玉一X2

①直線x=-6是函數/(%)圖像的一條對稱軸；

②函數/(X)在區間［-9,-6］上為增函數；

③函數/⑴在區間［-9,9］上有五個零點.

問：以上命題中正確的個數有().

A.0個B.1個C.2個D.3個

4、已知函數/(尤)是R上的減函數，且y=/(九-2)的圖象關于點(2,0)成中心對稱.若",v滿足不等式組

愕上口。bi+V2的最小值為.

5、已知函數了(無)對任意實數x、y都有〃x+y)=/(x)+/(y),且當x<0時，/(x)<0,f(1)=5.

(1)判斷函數/(尤)的奇偶性；

(2)求/(x)在區間［-2,3］上的值域.

(三)抽象函數綜合

，例題精講

【例11］設函數y=/(x)的定義域是H,對于以下四個命題：

⑴若y=/(X)是奇函數，則y=/(/(x))也是奇函數；

⑵若y="X)是周期函數，則y=/(/(x))也是周期函數；

⑶若丁=/(力是單調遞減函數，則y=/(/(x))也是單調遞減函數；

(4)若函數y=/(x)存在反函數y=尸(%),且函數y=/(x)-尸⑴有零點，則函數y=/(x)—x也

有零點.

其中正確的命題共有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【例12】對于定義在R上的函數〃光)，如果存在實數%使得/(a+x>/(a—力=1對任意實數xeR恒

成立，則稱/(%)為關于a的“二函數”.已知定義在R上的函數/(%)是關于。和1的“7函數”，且當行［0』］

時，外力的取值范圍為［1,2］,則當％?—2,2］時，〃力的取值范圍為.

【例13】定義在尺上的函數/(x)為增函數，對任意a,beR者B有/3+與=/(a)+/3)+左(左為常數)

(1)判斷左為何值時，/(x)為奇函數，并證明；

(2)設左=—1,/(尤)是R上的增函數，且f(1)=2,若不等式/(znP-2m:+3)>3對任意xe(0,+oo)恒

成立，求實數機的取值范圍.

(3)若——-—，neN*,S,為C”的前〃項和，求正整數左，使得對任意"eN*均有/(SJ./(S“).

2""("+1)

【例14］已知/(x)是定義在R上，滿足/(x+y)=/(x)"(y)，當尤>0時，0</(x)<l

(1)求/(0)；

(2)x<0時，比較/(x)與1的大小；

(3)討論/(x)在R上的單調性；

(4)/(3)=-,求”2014)

O

(5)%=/(0)且/(4+1=7(^'求4

【例15】定義在尺上的函數/(x)為增函數，對任意a,beR都有/(”+與=/(幻+/3)+左(左為常數)

(1)判斷女為何值時，，(x)為奇函數，并證明；

(2)設左=一1,/(%)是尺上的增函數，且/(1)=2,若不等式/(爾2_2如+3)>3對任意了￡(0,+00)恒

成立，求實數加的取值范圍.

(3)若C“=」--------,neN+，Sn為Cn的前〃項和,求正整數k，使得對任意neN*均有/⑸)⑸).

2n(n+1)

鞏固訓林

/[a,a<b/、/、

1、定義/(。/)x=,已知函數/(尤)，g(x)的定義域都是H，現有下述命題:

①若"％),g(x)都是奇函數，則網/(%),g(x))為奇函數；

②若/(%),g(x)都是偶函數，則/(/(x),g(x))為偶函數；

③若/(%),g(x)都是增函數，則尸(/(x),g(x))為增函數；

④若/(%),g(x)都是減函數，則/(/(x),g(x))為減函數；

則這些命題中，真命題的個數為個.

2、已知偶函數/(%)對任意xeR都有〃x+6)—〃x)=2〃3),貝q/(2019)=.

3、已知函數/(x)的定義域為A,且滿足/'。+切+/。一')=2"初/'(、)，且/'§)=#,/(0)^0,則

7(2021)=()

A.2021B.1C.0D.-1

4、設/'(x),g(x),〃(x)是定義域為R的三個函數，對于命題:①若/Xx)+g(x),/(%)+//(%),g(x)+〃(x)均為

增函數，則/(x),g(x)/(x)中至少有一個為增函數；②若/Xx)+g(x),f{x}+h{x},g(x)+/z(尤)均是以T為

周期的函數，則”x),g(x),〃(x)均是以T為周期的函數，下列判斷正確的是()

A.①和②均為真命題B.①和②均為假命題

C.①為真命題，②為假命題D.①為假命題，②為真命題

5、己知定義在R上的函數/(x),對任意實數項，/都有/(玉+々)=1+/(石)+/(%),且/(1)=L

(1)若對任意正整數〃，有氏+求卬、％的值，并證明{4}為等比數列；

(2)設對任意正整數〃，有》=」一.若不等式

/(〃)

b?+l+bn+2++d“>91og2(x+l)對任意不小于2的正整數〃都成立，求實數x的取值范圍.

實戰演練

一、填空題

1、奇函數/(x)的定義域為A,若/(尤+1)為偶函數，且=

貝I」/(2020)+/(2021)=.

2、已知函數/(無)是R上的奇函數，且對任意的x都有/(x+3)=-/(x)成立，/(-2)>1,/(17)=士士

22〃+5

則實數。的取值范圍為

3、己知是定義在R上的偶函數，且在區間(-8,0]上單調遞增，若實數。滿足了(log2|a-l|)>/(-2),

則a的取值范圍是

4、已知函數/(無)滿足：/(1)=|,對任意實數x,y都有/(x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y),則/(1)+f(2)

+f(3)+...+/(2021)=.

Ov*

5、若對任意x,yeR,有/(x+y)=/(x)+”y),貝U函數g(x)=丁匚+/(尤)+3在［一2019,2019］上的最

x~+1

大值M與最小值機的和M+〃z=.

6、函數/(x)的定義域為。，對￡)內的任意石、x2,當玉</時，恒有f(%),,/(X?),則稱f(x)為非減函數.B

知f(x)是定義域為[0,1]的非減函數,且滿足：①對任意xe[0,1],f(l-x)+f(x)=2.②對任意xe[0,

森則心+吟的值為——.

二、選擇題

7、函數/(%)是7?上的增函數，點A(0,-l),3(3,1)是其圖象上的兩點，則|/■(x+l)|<l的解集為()

A.(—oo,—1)'[4,+8)B.(—8,—1)[[2,+oo)

C.(-1,2)D.(1,4)

8、設函數/(尤)的定義域為R,若對于任意實數加、〃，總有f(m+ri)=f(m)?f(n),當x>0時,0<f(x)<1,

那么以下說法：

(1)7(0)=0；(2)/(0)=1；(3)/(%)是奇函數；(4)/(x)在尺上單調遞增;

其中正確的個數是()

A.1個B.2個C.3個D.4個

9、定義在(-1,1)上的函數/(無)滿足/'(尤)=g(x)-g(-x)+2,對任意的玉，x2e(-l,l),石片馬，恒有

"(士)-/(9)](芯-9)>。，則關于尤的不等式/■(3尤+1)+〃*)>4的解集為()

1