專題7曲線的公切線問題2023-2024學年新教材高中數學選擇性必修第二冊同步教學設計(北師大版2019)主備人備課成員設計思路本節課旨在通過深入分析曲線的公切線問題，幫助學生掌握曲線切線方程的求法，并培養學生運用數學知識解決實際問題的能力。設計思路以學生為中心，結合北師大版2019年高中數學選擇性必修第二冊教材內容，按照以下步驟展開：

1.引導學生回顧曲線的導數定義及切線斜率的概念，為公切線問題的求解打下基礎。

2.通過例題講解，讓學生理解曲線公切線的求解方法和步驟。

3.安排課堂練習，鞏固學生求解公切線問題的技能。

4.引導學生運用所學知識解決實際問題，提升學生的應用能力。

5.總結課堂要點，布置課后作業，鞏固所學內容。核心素養目標1.通過探究曲線公切線問題，培養學生的邏輯思維能力和數學抽象能力。

2.在求解曲線公切線方程的過程中，提高學生的數學建模和數學運算能力。

3.通過解決實際問題，培養學生的數學應用意識，提高解決實際問題的能力。

4.在課堂討論與練習中，發展學生的團隊合作能力和溝通交流能力。教學難點與重點1.教學重點

-曲線公切線方程的求解方法：本節課的核心內容是讓學生掌握如何求解曲線的公切線方程。例如，給定曲線y=f(x)，要求求出曲線在點(x0,y0)處的公切線方程，學生需要理解并運用導數的概念，求出切線斜率，進而根據點斜式方程得出切線方程。

-公切線問題的實際應用：強調將公切線知識應用于解決實際問題，如求兩個曲線的公切線問題，或利用公切線分析物理現象中的運動軌跡等。

2.教學難點

-曲線導數的計算：對于一些復雜的曲線，求導過程可能會較為繁瑣，學生可能會在求導數的步驟中遇到困難。例如，對于曲線y=x^3+3x^2-2x+1，學生需要正確求出其導數y'=3x^2+6x-2，這是求解公切線方程的基礎。

-多曲線公切線問題的處理：當涉及兩個或多個曲線的公切線問題時，如何尋找公共切點，以及如何處理多個方程聯立求解，是學生常見的難點。例如，給定兩個曲線y1=x^2和y2=x^3，求它們的公切線方程，學生需要理解如何聯立方程，找到兩個曲線的公共切點，并求解相應的切線方程。

-公切線在實際問題中的應用：將公切線知識應用于實際問題中，如求兩個移動物體在同一時刻的相對位置問題，學生可能難以建立數學模型和進行有效計算。學具準備多媒體課型新授課教法學法講授法課時第一課時師生互動設計二次備課教學資源-軟硬件資源：電腦、投影儀、智能黑板

-課程平臺：校園教學管理系統

-信息化資源：北師大版高中數學選擇性必修第二冊電子教材、數學教學軟件

-教學手段：多媒體教學、在線互動平臺、數學建模軟件教學過程設計1.導入環節（5分鐘）

-教師通過展示兩個曲線圖像，提問學生：“大家能找到這兩個曲線的公切線嗎？”

-學生思考并嘗試回答，教師引導學生思考公切線的定義和性質。

-教師總結學生的回答，并引出本節課的主題：“今天我們將學習如何求解曲線的公切線問題。”

2.講授新課（15分鐘）

-教師講解曲線導數的概念，通過例題展示如何求曲線在某一點的導數。

-例題：求曲線y=x^2在x=2處的導數。

-教師接著講解如何根據導數求出曲線的切線方程。

-例題：求曲線y=x^2在點(2,4)處的切線方程。

-教師引導學生思考如何求解兩個曲線的公切線方程。

-例題：求曲線y=x^2和y=x^3的公切線方程。

-教師通過步驟講解和板書，確保學生理解和掌握新知識。

3.鞏固練習（10分鐘）

-教師給出幾個練習題，讓學生獨立完成，鞏固公切線方程的求解方法。

-練習題1：求曲線y=x^3在x=1處的切線方程。

-練習題2：求曲線y=x^2和y=x^4的公切線方程。

-教師選取幾名學生板演，其他學生跟隨練習。

-教師對學生的練習結果進行點評和指導。

4.師生互動環節（10分鐘）

-教師提出問題：“如何將公切線知識應用于實際問題中？”

-學生分組討論，每組提出一個實際問題，并嘗試運用公切線知識解決。

-每組學生分享討論成果，教師進行點評和補充。

-教師引導學生思考如何將公切線知識與其他數學知識相結合，提高解決問題的能力。

5.課堂小結（5分鐘）

-教師總結本節課的重點內容，強調公切線方程的求解方法和實際應用。

-教師提醒學生課后復習鞏固所學知識，并布置作業。

6.作業布置（5分鐘）

-教師布置與本節課相關的作業，要求學生在課后獨立完成。

-作業1：求曲線y=x^4在x=0處的切線方程。

-作業2：求曲線y=x^3和y=x^5的公切線方程，并分析其幾何意義。

整個教學過程注重師生互動，通過講解、練習、討論等方式，幫助學生理解和掌握曲線公切線問題的求解方法，同時培養學生的數學應用能力和創新思維。教學資源拓展1.拓展資源

-曲線的切線與法線：進一步探討曲線在某一點的切線與法線的關系，以及它們在幾何和物理中的應用。

-多變量函數的偏導數：介紹多變量函數的偏導數概念，以及如何求解多變量函數的切平面和法線向量。

-微分方程：探討微分方程與曲線公切線問題的聯系，例如通過微分方程求解曲線的切線問題。

-實際應用案例：收集和分析一些涉及公切線問題的實際應用案例，如物理學中的運動軌跡分析、工程學中的最優化問題等。

-數學軟件應用：介紹如何使用數學軟件（如MATLAB、Mathematica等）來求解復雜的曲線公切線問題。

2.拓展建議

-閱讀拓展：建議學生閱讀與曲線公切線相關的數學論文或書籍章節，以深化對公切線問題的理解。

-實踐操作：鼓勵學生使用數學軟件進行實際操作，通過編程求解曲線的公切線方程，增強實踐能力。

-小組討論：組織學生進行小組討論，探討公切線問題在不同領域的應用，以及如何將數學知識與其他學科相結合。

-項目研究：指導學生進行項目研究，選擇一個與公切線問題相關的課題，進行深入研究，并撰寫研究報告。

-學術競賽：鼓勵學生參加數學競賽，如數學建模競賽，通過解決實際問題來提升數學應用能力。

-學術講座：邀請數學領域的專家或學者舉辦講座，分享公切線問題的最新研究成果和實際應用。

-交叉學科學習：引導學生學習與數學相關的其他學科知識，如物理學、工程學等，以拓寬知識視野。反思改進措施（一）教學特色創新

1.引入實際問題：在教學過程中，我嘗試引入與生活緊密相關的實際問題，讓學生理解公切線問題在實際生活中的應用，提高學生的學習興趣和積極性。

2.利用信息技術：我運用多媒體教學和數學軟件，為學生提供了直觀的圖形演示和動態模擬，幫助學生更好地理解曲線公切線的概念。

3.互動式教學：我鼓勵學生積極參與課堂討論，通過小組合作和課堂提問，激發學生的思維，促進知識的內化。

（二）存在主要問題

1.學生參與度不均衡：在課堂互動中，部分學生參與度較高，而另一部分學生則較為被動，導致課堂氛圍不夠活躍。

2.教學評價單一：目前的教學評價主要依賴于考試成績，未能充分反映學生的實際學習過程和能力發展。

3.教學資源分配不均：在教學資源的分配上，可能存在部分學生無法充分利用現有資源，影響了他們的學習效果。

（三）改進措施

1.提高學生參與度：我將調整課堂活動設計，確保每個學生都有機會參與到課堂討論和練習中，例如通過小組合作、角色扮演等方式，讓每個學生都能積極參與。

2.多元化教學評價：我會采用多元化的評價方式，結合學生的課堂表現、作業完成情況、小組討論參與度等多方面因素，全面評價學生的學習成果。

3.優化教學資源配置：我將根據學生的實際需求，合理分配教學資源，確保每個學生都能充分利用教學資源，提高學習效率。例如，為需要額外輔導的學生提供一對一輔導，或者為自學能力較強的學生提供更深入的拓展資源。課后作業1.求曲線y=x^3在點(2,8)處的切線方程。

答案：y=12x-16

2.已知曲線y=ln(x)，求在點(x0,ln(x0))處的切線方程，并討論切線與x軸的交點。

答案：切線方程為y=(1/x0)x+ln(x0)-(1/x0)x0，切線與x軸的交點為(0,ln(x0)-(1/x0)x0)。

3.求曲線y=x^2和y=x^3的公切線方程。

答案：y=x+2

4.已知曲線y=cos(x)，求在點(x0,cos(x0))處的切線方程，并求該切線與y=sin(x)的交點。

答案：切線方程為y=-(sin(x0))x+(cos(x0)+sin(x0)x0)，交點為(x0+π/2,0)。

5.一個物體做直線運動，其位移s與時間t的關系為s=t^3-3t^2+2t，求物體在t=2時的瞬時速度。

答案：瞬時速度為6t-6t=6。

作業補充和說明：

-對于第一個作業題，學生需要運用導數求出切線斜率，然后根據點斜式方程求出切線方程。

-第二個作業題要求學生理解對數函數的導數，并能夠求出切線方程，同時分析