2024年中考數學臨考押題卷01

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號.寫在本試卷上無效.

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分.在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題

目要求的.）

I.當前，手機移動支付已成為當下流行的消費支付方式.如果在微信零錢記錄中，收入100元，記作+100

元，那么支出50元應記作為（）

A.+50元B.-50元C.+100元D.-100元

【答案】B

【分析】本題考查了正數與負數的意義，掌握與理解正數與負數的意義是解題的關鍵.

此題主要用正負數來表示具有意義相反的兩個量，根據正數與負數的意義即可得出.

【詳解】微信零錢收入與微信零錢支出是具有相反意義的量，

收入100元，記作+100元，那么支出50元應記作為-50元，

故選：B.

2.若二次根式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是（）

A.xw4B.x>4C.x<4D.“一

【答案】B

【分析】本題主要考查了二次根式的意義和性質，注意掌握概念：式子夜（a20）叫二次根式.性質：二次

根式中的被開方數必須是非負數，否則二次根式無意義.

根據二次根式的性質，被開方數大于等于0,列不等式求解.

【詳解】解：依題意有x-420,

解得xN4.

故選：B.

3.剪紙是中國的傳統藝術，下列剪紙圖案既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

【答案】D

【分析】本題考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義，尋找對稱中心、對稱軸是解題的關鍵；根據軸對

稱圖形和中心對稱的定義逐項判斷即可.

【詳解】A.可以找到對稱軸，使圖形兩側能夠完全重合，是軸對稱圖形，找不到一點旋轉180。后與原圖重

合，不是中心對稱圖形，故選項不符合題意；

B.找不到一點旋轉180。后與原圖重合，不是中心對稱圖形，找不到一條對稱軸，使圖形兩側能夠完全重合，

不是軸對稱圖形，故選項不符合題意；

可以找到一點旋轉180。后與原圖重合，是中心對稱圖形，找不到對稱軸，使圖形兩側能夠完全重合，不是

軸對稱圖形，故選不項符合題意；

C.可以找到對稱軸，使圖形兩側能夠完全重合，是軸對稱圖形，找不到一點旋轉180。后與原圖重合，不是

中心對稱圖形，故選項不符合題意；

D.可以找到對稱軸，使圖形兩側能夠完全重合，是軸對稱圖形，也可以到一點旋轉180。后與原圖重合，是

中心對稱圖形，故選項符合題意；

故選：D.

4.下列運算正確的是()

A.a2-a3-a6B.a2+3a=4a3

C.(-2a2/?)3=-Sa6b3D.(a+2)(?-2)=a2-2

【答案】C

【分析】根據同底數幕的乘法，合并同類項，積的乘方，平方差公式對各選項進行判斷作答即可.

【詳解】解：A中。2.〃3=/力46,故不符合要求；

B中“2+3。/4Y,故不符合要求；

C中=-Sa6b3,故符合要求；

D中(。+2)(。-2)=片—4工片—2,故不符合要求；

故選：C.

【點睛】本題考查了同底數嘉的乘法，合并同類項，積的乘方，平方差公式.熟練掌握同底數累的乘法,

合并同類項，積的乘方，平方差公式是解題的關鍵.

5.在一次中學生田徑運動會上，參加男子跳高的15名運動員的成績如下表所示.

成績/米1.501.601.651.701.75

人數23541

這些運動員成績的眾數和中位數分別為（）

A.1.65,1.60B.1.65,1.70C.1.70,1.65D.1.65,1.65

【答案】D

【分析】本題考查了求眾數與中位數，根據眾數與中位數的定義，即可求解.

【詳解】解：??T.65出現次數最多，則眾數為1.65,

中位數為第8個數據，即1.65

故選：D.

6.有理數。力,。在數軸上的對應點如圖所示，則下列式子中錯誤的是（）

I____________II___________I___________

ab0c

A.|—c|<|/?|B.b—a>0C.a<b<0D.a—c<0

【答案】A

【分析】本題考查利用數軸判斷有理數的大小，以及式子的符號，根據數軸上的數右邊的比左邊的大，判

斷出數的大小關系，進而判斷出式子的符號，即可.

【詳解】解：由圖可知：a<b<0<c,何<M，故選項C正確；

A\~c\^\c\>\b\,故選項A錯誤，

b-a>0,故選項B正確；

a-c<0,故選項D正確；

故選A.

7.一個不透明的口袋中有五個完全相同的小球，把它們分別標號為1,2,3,4,5.隨機摸取一個小球然

后放回，再隨機摸出一個小球.兩次取出的小球標號之和為偶數的概率是（）

2n13r12

A.-B.—C.—D.—

525525

【答案】B

【分析】先畫樹狀圖展示所有25種等可能的結果數，其中兩次取出的小球標號之和為偶數的占13種，然

后根據概率的概念計算即可.

【詳解】解：根據題意畫圖如下：

.-----------------

12345

1234512345123451234512345

共有25種等可能的情況數，其中兩次取出的小球標號之和為偶數的有13種，

則兩次取出的小球標號之和為偶數的概率是三13.

故選：B.

【點睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適

合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放

回試驗.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

8.如圖，某辦公區東、西兩棟辦公樓的高度均為30m.下午3時，東樓二層離地面3m的陽臺、西樓的樓

頂與太陽恰好在一條直線上，太陽光線與該陽臺所在水平線所成的角是35。，則這兩棟辦公樓之間的距離為

()

我、

小、[0

0'、、、0

0、、、、0

。|」口

西樓鬃樓

cos35°tan35°tan35°sin35°

【答案】C

AC

【分析】本題考查了解直角三角形的應用，根據蕓=tan/ABC=tan35。即可求解，掌握解直角三角形是解

BC

題的關鍵.

【詳解】解：如圖，由題意可知NABC=35。，AC=30-3=27m,

在RtZvlBC中,-----=tanZA8C=tan35°,

BC

：.BC=AC=27m,

tan35°tan35°

27

???這兩棟辦公樓之間的距離為m,

tan35°

故選c

o

O

D

O

9.如圖，點E為矩形ABC。邊C￡>的中點，點P為邊BC上一點，且NE4E=NE4T>,若8尸=8,FC=2,

則AF的長為().

A.10B.4.75C.12D.2741

【答案】C

【分析】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，作輔助線構造全等三角形是解題關鍵.根據

矩形的性質，先證明ADE咨AGE（AAS）,得到瓦>=EG,AD=AG=10,再證明RtECF^RtEGF（HL）,

得到尸G=C產=2,即可求出AF的長.

【詳解】解：如圖，過點E作￡<?人A尸于點G,連接斯，

四邊形ABCZ）是矩形，BF=8,FC=2,

：.ZD=ZC=90°,AD=BC=BF+CF=W,

在VADE和AGE中，

'NEAD=NFAE

<ZD=AAGE=90°,

AE=AE

;._ADE注AGE(AAS),

:.ED=EG,AD=AG=IO,

點E為CD的中點，

:.CE=DE=EG,

在RtECF和RtZXEGF中，

[CE=EG

[EF=EF，

.〔Rt_ECF絲RtEGF(HL),

.-.FG=CF=2,

AF=AG+FG=W+2=12,

__b—a

10.已知二次函數y=a/+云+。的圖象如圖所示，則一次函數y=云+。+。的圖象和反比例函數>=——的

x

圖象在同一坐標系中大致為（）

【答案】D

【分析】先根據二次函數的圖象開口向上S>o）和對稱軸可知匕<0,由拋物線交y的正半軸，可知c>o,

然后利用排除法即可得出正確答案.本題考查的是二次函數的圖象與系數的關系，反比例函數及一次函數

的性質，熟知以上知識是解答此題的關鍵.

【詳解】解：.?二次函數的圖象開口向上，

二.〃〉0,

2a

.,.b-a<0，

y=j的圖象必在二，四象限，

X

拋物線與y軸相交于正半軸，

c>0,

:.a+c>0,

y=Zzx+d+c的圖象經過一，二，四象限，

故A、B、C錯誤，D正確；

故選：D.

第n卷

二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.)

11.分解因式：a2-2a-.

【答案】a(a-2)

【分析】本題考查了因式分解，直接提公因式。即可求解.

【詳解】解：a2-2a=a(a-2),

故答案為：?(?-2).

12.廣州市作為國家公交都市建設示范城市，市內公共交通日均客運量已達15233000人次.將15233000

用科學記數法表示應為.

【答案】1.5233X107

【分析】此題考查了科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為以xlO”的形式，其中"為

整數，表示時關鍵要正確確定。的值以及〃的值.

科學記數法的表示形式為axlO”的形式，其中14|。|<10,〃為整數.確定力的值時，要看把原數變成”時,

小數點移動了多少位，〃的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值210時，”是正整數；當原數的

絕對值<1時，”是負整數.

【詳解】解：15233000=1.5233xlO7,

故答案為：1.5233x1()7.

13.反比例函數y=:的圖象上有一點P(a，b),且以。是方程/__2=0的兩根，貝仔=_.

【答案】-2

【分析】根據一元二次方程根與系數的關系得出訪=-2,然后根據點尸(。，6)在反比例函數y=f的圖象上

求出左=-2即可.

【詳解】解：。、6是方程產一/一2=0的兩根，

則有歷=_2,

又,：點P(a,6)在反比例函數y=B的圖象上，

??cib――k,

：.k=-2.

故答案為：—2.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，求反比例函數解析式，解題的關鍵是熟練掌握一

元二次方程以?+b無+C=0(OH0)的兩個根X],巧，滿足占+%=-2,%1-Xj=-1.

14.如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰ABC,其中AB=AC,AABC=Z1°,3c=40cm,則高AO為

cm.(參考數據：sin27°?0.45,cos27°?0.89,tan27°?0,51)

BDC

【答案】10.2

【分析】本題主要考查了解直角三角形、等腰三角形的性質等知識，熟練掌握三角形函數的應用是解題關

鍵.首先根據等腰三角形的性質可得3。=；3c=20cm,然后利用三角形函數計算AD的長度即可.

【詳解】解：：AB=AC,BC=40cm,AD為3C邊上的高，

BD=CD=-BC=20cm,

,：ZABC=2T,

AT）

：.在RtZkABZ）中，可有tanZABC=—,

BD

AD-BDxtanZABC=20xtan27°?20x0.51=10.2cm.

故答案為：10.2.

15.如圖是相同的邊長為1的菱形組成的網格，已知e=60。，點AB,C均在小菱形的格點（網格線的交

點）上，且點B在AC上，則AC的長為_____.

【分析】本題考查了菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理，弧長公式，先根據網格找到圓心0

的位置，求出。的半徑及AC所對圓心角的度數，再利用弧長公式計算即可求解，根據網格找到圓心。的

位置是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，取格點。、0、E,連接AD、OA,OB、OC,

由網格可得，OA=OB,AE=DE=2,DO=EO=\,

Vcr=60°,

ZADE=1(180°-60°)=60°,ZCOE=30°,

，VADE為等邊三角形，OC=2xJl-

：.AOA.DE,

：.OA=OB2-f=5ZAOE=90。，

...OA=OB=OC,ZAOC=ZAOE+ZCOE=90°+30°=120°,

，點。為AC所作圓的圓心，。半徑為

何的長為笞f2岳

3

故答案為：竽.

16.如圖，矩形A5CD中，BC=2AB,點P為邊AD上的一個動點，線段3尸繞點8順時針旋轉60。得到線

段3P,連接PP，CP',過點P作垂足為點E,若PE=AP=1,則AD=.

【答案】4+26

【分析】根據旋轉得到BP=BP,ZPBP=60。，即可得到一PBP是等邊三角形，結合矩形性質得到正方形AB郎,

設AB=x,利用勾股定理列式求解即可得到答案；

【詳解】解：:?線段3尸繞點2順時針旋轉60。得到線段8尸，

:.BP=BP,NP8P=60。，

/.PBP是等邊三角形，

BP=PP,

???四邊形ABC。是矩形，

AAD=BC,ZA=ZABE=90°,AD〃BC,

?:PrE±BC,

；?NPEB=90。,

?:AD〃BC,

：.ZAFE=180°-ZBEF=90°,

VP'E=AP,BP=BP/,

.??.ABPq/BPRHL),

***AB=BE,

又<ZA=ZABE=ZBEF=90°,

，四邊形ABEF是正方形，

，AB=EF,

設AB=x,根據勾股定理可得，

AB2+AP2=BP2，PF2+P'F2=P'P2，

又：BP=PP,

AB2+AP2=PF2+P'F2=PP，

：.x2+l2=(x-l)2+(x-l)2,

解得：玉=2+百，x2=2—^/3<1(不符合題意舍去)，

AB=2+6,

BC=2AB,

：.AD=2AB=4+2s/3,

故答案為：4+26；

【點睛】本題考查矩形的性質，正方形的性質與判定，三角形全等的性質與判定，勾股定理，等邊三角形

的判定與性質，解題的關鍵是作出輔助線得到線段關系根據勾股定理列等式.

三、解答題（本大題共9小題，第17、18題每題4分，第19、20題每題6分，第21題8分，第22、23

題每題10分，第24、25題每題12分，滿分72分，解答要求寫出文字說明、證明過程或計算步驟.）

%>、-x-+-2-

17.解不等式組：~3

5x-3<5+x

【答案】l<x<2.

【分析】本題考查解一元一次不等式組，分別解出每個不等式的解集，然后確定不等式組的解集即可，熟

練掌握不等式組的解法是解題的關鍵.

',x+2①

【詳解】解：,

5尤-3<5+A(2)

解不等式①得，x>l,

解不等式②得，元<2,

不等式組的解集為lWx<2.

18.如圖，點區P在線段2C上，AB//CD,ZA=ZD,BE=CF.

求證：AB=CD.

【答案】證明見解析.

【分析】本題考查了平行線的性質和全等三角形的判定與性質知識，根據平行線的性質可得々=NC,進

而根據AAS證明"BE四再由全等三角形的性質即可求證，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定

與性質.

【詳解】,：AB//CD,

：.NB=NC,

在一ABE和△DCE中

Z=ZD

<NB=NC

BE=CF

.ABE^.DCE(AAS),

：.AB=CD.

2_ii

19.己知：A=--a----------+(a+l)--.

a~—2a+1a

(1)化簡A；

(2)若關于x的一元二次方程無2+2ox+4+2=0有兩個相等的實數根，求A的值.

1

【答案】(1)而■不

⑵3

【分析】本題考查了分式的混合運算，一元二次方程根的判別式，掌握相關運算法則是解題關鍵

(1)先將除法化為乘法約分，再通分計算減法即可；

(2)根據一元二次方程根的判別式，求得a=2或。=-1,再結合分母不為0,得到。=2,代入計算求出A

的值即可.

【詳解】(1)解：4=-1+(a+l)」

a—2〃+1a

+1__1

(Q-a+1a

J__j_

a—1a

a—(a—1)

一1)

]

〃(〃一1)'

(2)解：.?關于1的一元二次方程/+2依+々+2=0有兩個相等的實數根，

△=(2a『—4(a+2)=0,

解得：〃=2或〃=-1,

a+lwO,

aw—1,

a=2,

,11

■A=-------------=—

"2x(2-l)2

20.2024年3月12日，某校組織九年級300名學生開展植樹活動，活動結束后，隨機抽查了若干名學生每

人的植樹數量，將統計結果分成四種類型：A.3棵，B.4棵，C.5棵，D.6棵，并繪制了如下兩幅不完

整的統計圖.

根據以上信息，回答下列問題：

(1)請補全條形統計圖；

(2)被抽查學生每人植樹數量的中位數是一棵;

(3)估計九年級300名學生共植樹多少棵.

【答案】(1)見解析

⑵4

(3)估計九年級300名學生共植樹1284棵

【分析】本題考查了條形統計圖與扇形統計圖信息關聯，補全條形統計圖，中位數，由樣本估計總體，熟

練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵.

(1)先求出抽取的學生的總人數，再求出C類型的人數，補全統計圖即可；

(2)根據中位數的定義求解即可；

(3)先求出被調查的學生每人植樹量的平均數，再乘以300即可得出答案.

【詳解】(1)解:抽取的學生的總人數為：9-36%=25(人)，

?.?C類型的人數為：25-6-9-3=7(人)，

(2)解：,抽取的學生的總人數為25,將植樹數量按從小到大排列，處在最中間的數是第13個數為4,

被抽查學生每人植樹數量的中位數是4棵，

故答案為：4；

(3)解：被調查的學生每人植樹量的平均數是：6x3+9x43x5+6x3=428,

二估計九年級300名學生共植樹4.28x300=1284(棵)，

答：估計九年級300名學生共植樹1284棵.

21.電滅蚊器的電阻隨溫度變化的大致圖像如圖所示，通電后溫度由室溫10℃上升到30℃時，電阻與溫

度成反比例函數關系，且在溫度達到3CTC時，電阻下降到最小值，隨后電阻隨溫度升高而增加，溫度每上

01030x/℃

(1)當10Wx(30時，求y與x之間的關系式；

⑵電滅蚊器在使用過程中，溫度工在什么范圍內時，電阻不超過5kQ?

【答案】⑴當10W30時，y與尤的關系式為：產史.

X

⑵溫度X取值范圍是12WXW45時，電阻不超過5kQ.

【分析】(1)設y與x之間的關系式為>=?，把點(10,4〃-2)和點(30,〃)代入求得m的值即可解答；

(2)當x>30時，設y與x的關系式為>=乙+6,然后求得解析，然后分別求出y=5時，兩函數的函數值

即可求解解答.

m

【詳解】⑴解：當100x430時，設y與x之間的關系式為y=—

x

根據題意得：該函數圖像過點(10,4?-2)和點(30,〃),

cm

4An-2=——

10

m

n=一

30

n=2

解得:

m=60'

???當時，與的關系式為：y=—

10WxK30yxX

(2)解：?.?產史

X

?,?當%=30時，y=,=2,

根據題意得：該函數圖像過點(30,2),

:溫度每上升1℃,電阻增加gkQ.

當x>30時，設y與x的關系式為>=區+》,

該函數圖像過點01,2g],

30左+6=2

k=-

“,一,解得：＜5,

31左+6=2—

5b=-4

.,.當x>30時，y與x的關系式為：y=(x-4；

對于打的，當y=5時，x=n；

X

對于y=gx-4,當y=5時，x=45.

答：溫度尤取值范圍是12WXW45時，電阻不超過5g.

【點睛】本題主要考查了一次函數和反比例函數的實際應用，求出兩函數解析式是解題的關鍵.

22.如圖，在YABCD中，ZDCB=30°.

（1）操作：用尺規作圖法過點。作邊上的高。E；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

⑵計算：在（1）的條件下，若AD=4,AB=6,求梯形EBCD的面積.

【答案】⑴作圖見解析；

（2）12-2A/3.

【分析】（1）根據作垂線的尺規作圖的方法即可；

（2）先由平行四邊形的性質得出CD=AB=6,再利用30。所對直角邊是斜邊的一半求出DE的長，再利用

求梯形面積的方法即可求解.

【詳解】（1）①以。為圓心，任意長度為半徑畫弧，交于點V、N,

②分別以M、N為圓心，的長度為半徑畫弧，兩弧交于點

③連接￡歸，交A3于點E,

如圖，

(2)...四邊形ABCD是平行四邊形，

CD=AB=6,

由(1)得：DEJ.AB,

'：ZDCB=30°,

：.DE=-AD=2,

2

由勾股定理得：AE=VAD2-DE2=V42-22=2^'

，BE=6-2A/3,

梯形EBCZ)的面積為5(2￡+。*￡)石=/(6-2石+6卜2=12-2相.

【點睛】本題考查了尺規作圖，平行四邊形的性質，30。所對直角邊是斜邊的一半，梯形面積公式和勾股定

理，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵.

23.如圖，。是ABC的外接圓，點。在3c邊上，/比1C的平分線交：。于點。，連接班)、CD,過點

。作。的切線與AC的延長線交于點P.

⑴求/CBD的度數；

(2)求證：DP//BC-,

(3)若A3=6cm,AC=8cm,求線段尸C的長.

【答案】(1)45。

(2)見解析

25

(3)PC=——cm

【分析】(1)根據直徑所對的圓周角為直角得出』BAC=90。，再由角平分線及圓周角定理即可求解；

(2)連接圓周角定理的推論確定BD=CD，根據垂徑定理的推論確定OD_L3C，再由切線的性質及

平行線的判定定理證明即可；

(2)根據圓內接四邊形的性質確定，0cp=根據圓周角定理的推論，角平分線的定義和勾股定理

求出44。=45。和3C=10cm的長度，根據圓的定義和勾股定理求出。2=50cm,DC=5插cm,根據相

似三角形的判定定理和性質即可求出PC的長度.

【詳解】(1)解：為，。的直徑，

：.ZBAC^9Q0,

；AD平分，5AC,

.../C4T)=441)=45°,

CD=CD，

NCBD=/C4D=45°；

(2)證明：如下圖所示，連接OD.

A

??A。平分/B4C,

ZBAD=ZCAD.

??BD=CD-

?.OD±BC.

9.^C0D=90°.

?,。尸是，。的切線，

\ZOOD=90°.

\ZCOD+ZODP=X^O°.

\DP//BC；

(3)解：???四邊形ABQC是O的內接四邊形,

??/ABD+/ACD=180。.

??/ACD+/￡)CP=180。，

??NDCP=NABD.

??點。在BC邊上，

??ZBAC=90°.

??ZBAD=-ZBAC=45°.

2

AB=6cm,AC=8cm,

??BC=VAB2+AC2=10cm-

??OB=OC=OD=-BC=5cm.

2

：OD1BC,

180°-ZCOD…

??DB=個OB?+01f=50cm，DC=《OC?+Olf=50cm，NODC=NOCD-----------二45°.

2

：NODP=90°,

,?ZCDP=NODP—NODC=45°.

??NCDP=NBAD.

??ACDP^ABAD.

.PCDC

*DB-AB,

.PC50

',5近一6

3

【點睛】本題考查角平分線的定義，圓周角定理的推論，垂徑定理的推論，平行線的性質，切線的判定定

理，圓內接四邊形的性質，勾股定理，等邊對等角，相似三角形的判定定理和性質，綜合應用這些知識點

是解題關鍵.

24.過點網4,應),4-1,匈的拋物線y=^f+bx+c與>軸交于點A.

(1)求6,。的值；

⑵直線BC交y軸于點。，點E是拋物線丫=￥/+灰+。上位于直線下方的一動點，過點E作直線A8

的垂線，垂足為

①求EF的最大值；

②當NA5C=；NE4石時，求點￡的坐標.

【答案】(1)0=_,c=-y[2;

2

(2)①防最大值為羊；②E(2,-20).

【分析】本題考查了二次函數，一次函數的性質及解直角三角形，解題的關鍵是熟練掌握知識點的應用.

(1)直接利用待定系數法，把2(4,0)、味1,⑹代入拋物線y^Y+bx+c即可求得；

(2)①直線AB的解析式為了=也％-a,先求出設與左軸交于點。，過E作團，x軸于點H,交AB

2

于點G,根據cos/FEG=cos/HBG,即空=些=3="，得EF=&EG,設點G(x,gx-應],

GEAB27633(2J

則點￡■x,-x2-—x-y[2,則GE=^x-&——%2--X-V2=-—(x-2)2+2A/2,求出GE最

2222

\7\7

大值2后即可；

②由3、C的坐標特點，得到BC〃x軸，又=和直線的解析式即可求得；

2

【詳解】(1)把5(4,虛)、。卜1,血)代入拋物線)=2/+云+。可得，v

A/2=^-x(-l)2-b+c

,3后

b=--------

解得2；

c=—A/2

（2）由（1）得，拋物線的解析式為尸亨尤2一手

AA（0,-V2）,

???B（4,0）,

設直線AB的解析式為y=kx+b,

把A（0,-⑹、網4,⑹代入解析式、=履+方得,

解得-苴

0+b=-y/2

4k+b=42

b=-立

直線A3的解析式為y=[x-0,

設BC與x軸交于點。，過E作軸于點交于點G,

ZFEG=ZHBG,

由>得0（0,3）,

又A（O,-0）,8（4閥,C（-1,V2）,

:.BD=4,AC=2屈,

,由勾股定理得：AB=4AD2+BD2=J（2A/2）2+42=25/6,

：.cosNFEG=cosNHBG,即空=些=4=逅，

GEAB2763

EF=—EG,

3

mil6230rr

設點Gx,--x-y/2,則點Ex,——x-x-v2,

<J\?

貝=-^(X-2)2+2A/2,

:-立<0,

2

故當尤=2時，GE有最大值2忘，

；.E尸的最大值為逅x28=逑；

33

②過點尸作EV〃。交拋物線于點N,則/ABC=/3/W,

而直線AB的表達式為y=號一枝，

則AE的表達式為：y=-顯x-叵,

2

聯立直線AE的表達式和拋物線的表達式得：一叵x一五=￡一在X-丘，

222

解得：x=0(舍去)或2,

則點E的坐標為(2,-2忘).

25.如圖，在正方形ABCD中，線段CO繞點C逆時針旋轉到CE處，旋轉角為a,點尸在直線。E上，且

AD=AF,連接8戶.

圖1圖2

(1)如圖1,當0。<&<9。。時,

①求乙BAF的大小(用含。的式子表示).

②求證：EF=y[2BF.

(2)如圖2,取線段所的中點G,連接AG,已知AB=2,請直接寫出在線段CE旋轉過程中(0。＜々＜360。)

△ADG面積的最大值.

【答案】⑴①/BAF=90。-】；②見解析；

(2)Z\A￡)G面積的最大值為1+后.

【分析】(1)①利用等腰三角形的性質，三角形內角和定理計算得到/FAD=180。-。，據此求解即可；②

連接BE,計算得到/3CE=90O-(z=/B4F,利用SAS證明△3CE也△A4F,推出△￡?尸是等腰直角三角

形，據此即可證明=；

(2)先證明點G在以8。為直徑的圓上，連接AC、BD交于點、0,過。作C歸，AD于點X,延長H0,

交：。于點G,連接AG,DG,根據AD一定，得出G”最大時△ADG的面積最大,

求出最大值即可.

【詳解】(1)解:①；四邊形ABCD是正方形，

AAB=BC=CD=DA,ZADC=ZBCD=/DAB=9伊,

由題意得CD=CE,ZDCE^a,

/.ZCDE=ZCED=1(180°-tz)=90°-1,

：.ZADF=90°-ACDE=90°-190。一;a1=ga,

■/AD=AF,

：.ZADF=ZAFD=-a,

2

，ZFAD=lS00-ZADF-ZAFD=180°-a,

：.ZBAF=ZFAD-ZBAD=180°-?-90°=90°-?；

②連接BE,

:NDCE=a,

：.NBCE=90°—e=NBAF,

,?CD=CE=AD=AF=BC,

BCE②BAF(SAS),

/.BF=BE,ZABF=NCBE,

'：ZABC=90°,

/.NEBF=90。,

???A￡BF是等腰直角三角形，

EF=亞BF;

(2)解：當0。<1490。時，根據解析(1)可知，△的為等腰直角三角形,

:點G為E尸的中點，

，BGLEF,

ZBGD=90。，

AD

BC

當90°<a4180°時,如圖所示:

:四邊形ABCD是正方形，

AB=BC=CD=DA,ZADC=ZBCD=/DAB=90。,

由題意得CD=CE,ZDCE=a,

：.