高級中學名校試卷PAGEPAGE1山西省太原市2024屆高三下學期模擬考試（二）數(shù)學試卷第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題自要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，則.故選：B.2.在復平面內(nèi)，對應的點的坐標是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗,故對應點為，故選：D.3.已知，，，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，，所以，則，即，解得，設與的夾角為，則，又，所以，即與的夾角為.故選：C.4.某校高二年級學生中有60%的學生喜歡打籃球，40%的學生喜歡打排球，80%的學生喜歡打籃球或排球．在該校高二年級的學生中隨機調(diào)查一名學生，若該學生喜歡打籃球，則他也喜歡打排球的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設在該校高二年級的學生中隨機調(diào)查一名學生，若該學生喜歡打籃球為事件A,在該校高二年級的學生中隨機調(diào)查一名學生，則他也喜歡打排球為事件B,,.故選：A.5.已知，分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列，其前項和分別是和，且，，，則（）A.9 B.9或18 C.13 D.13或37〖答案〗B〖解析〗設等比數(shù)列的公比為，由且，當時，則，符合題意，則，又，所以，所以；當時，則，即，解得（舍去）或，所以，則，又，所以，所以；綜上可得或.故選：B.6.已知圓錐的頂點為P，底面圓的直徑，，則該圓錐內(nèi)切球的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由圓錐的性質(zhì)易知為以P為頂點的等腰三角形，又，所以，則為正三角形，邊長為，如圖所示，作出圓錐及其內(nèi)切球的軸截面，設中點分別為，內(nèi)切球球心為O，由正三角形內(nèi)心的性質(zhì)易知，即內(nèi)切球球半徑為1，所以體積.故選：C.7.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，，，則（）A.5 B.4或5 C.6 D.4或6〖答案〗A〖解析〗△ABC中，，，，由正弦定理，有，為△ABC的內(nèi)角，則有，所以，，，，由正弦定理，有.故選：A.8.已知函數(shù)，若方程恰有三個不同實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示，作出函數(shù)的圖象，方程恰有三個不同實數(shù)根，等價于上述兩個函數(shù)圖象有三個交點，易知，顯然與必有一個交點，所以要滿足題意需與有兩個交點，①先求與相切時的值，設切點為，則，令，即單調(diào)遞增，又，所以，當過點時，，此時滿足條件的②再求與相切時的值，聯(lián)立，，易知切點橫坐標為，顯然時，，符合要求，當過點時，，此時滿足條件的，綜上：.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題自要求的．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.的周期C.圖象關(guān)于點對稱 D.在區(qū)間上遞減〖答案〗BC〖解析〗對于A，由圖象可得，，，所以，因為，所以，或，因為點附近的圖象呈下降趨勢，所以，故A錯誤；對于B，可得，又，所以，所以，得，由圖知，，所以，所以，可得，所以，，故B正確；對于C，因為，故C正確；對于D，當時，，因為在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D錯誤.故選：BC.10.已知數(shù)列滿足，，則下列結(jié)論正確是（）A.是遞增數(shù)列 B.是等比數(shù)列C.當n是偶數(shù)時， D.，，使得〖答案〗BC〖解析〗對于A：由，，，所以A錯誤；對于B：當時，由，，當時，，綜上所述：所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，B正確；對于C：由B可知，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，偶數(shù)，所以當n是偶數(shù)時，，故C正確；對于D：由C可知，，由，所以，因為，所以當時，，當時，，而，所以恒成立，故D錯誤；故選：BC.11.已知兩定點，，動點M滿足條件，其軌跡是曲線C，過B作直線l交曲線C于P，Q兩點，則下列結(jié)論正確的是（）A.取值范圍是B.當點A，B，P，Q不共線時，面積的最大值為6C.當直線l斜率時，AB平分D.最大值為〖答案〗ACD〖解析〗設Mx,y因為，即，整理可得，可知曲線C是以為圓心，半徑的圓.對于選項A：因為，可知點B在曲線C內(nèi)，且直線l與曲線C必相交，且，則PQ的最大值為，最小值為，所以PQ取值范圍是，故A正確；設，聯(lián)立方程，消去x可得，則.對于選項B：可得，令，則，可得，因為在內(nèi)單調(diào)遞增，則的最小值為，即，則，可得的面積，所以面積的最大值為，故B錯誤；對于選項C：因為，又因為，則，即，可知，所以AB平分，故C正確；對于選項D：因為AB平分，則，可知當與曲線C相切時，取到最大值，此時，且為銳角，則，即的最大值為，則的最大值為，所以最大值為，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)fx=xe〖答案〗〖解析〗因為的定義域為R，則，且ex>0，令f'x>0所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.13.為獲得某校高一年級全體學生的身高信息，現(xiàn)采用樣本量按比例分配的分層隨機抽樣方法抽取了一個樣本，其中有30名男生和20名女生，計算得男生樣本的均值為170，方差為15．女生樣本的均值為160，方差為30，則由上述數(shù)據(jù)計算該校高一年級學生身高的均值是_____________，方差是_____________．〖答案〗16645〖解析〗設樣本中男生的身高為，女生的身高為，則，該校高一年級學生身高的均值是，方差為.14.已知雙曲線C：（，）的右焦點是，動點（）在C上．若過點P作C的切線與直線相交時，記其交點為Q，恒成立，則的取值范圍為_____________．〖答案〗〖解析〗設切線方程為，聯(lián)立，則，可得，有，則，有，令，則，有，，則，又，解得，，則C的方程為，故，，設，則，當時，，設，則，則，設，則故在上單調(diào)遞減，故，因此；當時，，設，則，故在0,1上單調(diào)遞增，則，因此，綜上所述，.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.一款便攜式行李箱的密碼是由數(shù)字1，2，3組成的一個五位數(shù)，這三個數(shù)字的每個數(shù)字在密碼中至少出現(xiàn)一次，且它們出現(xiàn)的概率相等．（1）求該款行李箱密碼的不同種數(shù)；（2）記X表示該款行李箱密碼中數(shù)字1出現(xiàn)的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望．解：（1）當密碼中只有一個數(shù)字出現(xiàn)三次且其余兩個數(shù)字各出現(xiàn)一次時，其不同種數(shù)為C3當密碼中有兩個數(shù)字各出現(xiàn)兩次且另一個數(shù)字出現(xiàn)一次時，其不同種數(shù)為C3∴該款行李箱密碼的不同種數(shù)為60+90=150．（2）由題意得X所有可能的取值為1，2，3，PX=1PX=2PX=3∴X的分布列為X123P∴X的數(shù)學期望EX16.已知拋物線C：（）的焦點為F，過點且斜率為1的直線經(jīng)過點F．（1）求拋物線C的方程；（2）若A，B是拋物線C上兩個動點，在x軸上是否存在定點M（異于坐標原點O），使得當直線AB經(jīng)過點M時，滿足？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）由題意過點且斜率為1的直線方程為，即，令，則，∴點F的坐標為1,0，∴，∴．拋物線C的方程為．（2）由（1）得拋物線C：，假設存在定點，設直線AB的方程為（），Ax1,y1由，得，∴，，，∵，∴，∴，∴或（舍去），當時，點M的坐標為，滿足，，∴存在定點．17.如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，是邊長為8的正三角形，，且，點G，H分別是BC，BF的中點．（1）設AE與平面DGH相交于點M，求的值；（2）求平面BDM與平面CDM夾角的余弦值．解：（1）延長FE交HM的延長線于點N，連接DN，取AE的中點K，連接KH，∵，H是BF的中點，∴，且，∵G，H分別是BC，BF的中點，∴，平面，平面，∴平面，平面，又平面平面，∴，∴，∵ABCD是正方形，∴，∴CDNF是平行四邊形，∵，∴，∴；（2）取AD的中點O，連接OE，∵是正三角形，∴，∵平面平面ABCD，∴平面ABCD，以O為原點，OA，OG，OE所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，設是平面BDM的一個法向量，則，∴，取，則，，∴，設是平面CDM的一個法向量，則，∴，取，則，，∴，∴，∴平面BDM與平面CDM夾角的余弦值為．18.已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)在點處的切線方程；（2）若函數(shù)在上有零點，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1）當時，,，∴，，在點1,f1處的切線方程為，即；（2）在0,+∞上有零點等價于在0,+∞上有零點，則，x∈0,+∞①當時，∵，∴hx在0,+∞∴，∴hx在0,+∞上無零點，∴不合題意；②當時，（ⅰ）當時，即時，∵，∴hx在0,+∴，∴hx在0,+∞上無零點，∴不合題意；（ⅱ）當時，即時，令，則，令h'x<0，則；令h'∴hx在上遞減，在上遞增，∴，取時，∵，∴，∴，∴，使得，∴符合題意；綜上，a的取值范圍為．19.已知兩個非零向量，，將向量繞著它的起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)（）弧度后，其方向與向量的方向相同，則叫做向量到的角．已知非零向量到的角為，數(shù)量叫做向量與的運算，記作，即．根據(jù)此定義，不難證明以下性質(zhì)：①；②；③．（1）利用以上性質(zhì)證明：；（2）設到的角為，定義．當時，則表示△OAB面積；當