專題2.14直線與圓的位置關系（專項練習）（培優練）

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.（23-24九年級上?山東聊城?期中）在“LBC中，ZC=90°,AC=15,BC=20,若以C點為圓心、以

13為半徑畫OC,則直線與OC的位置關系是（）

A.相離B.相切C.相交D.不確定

2.（23-24九年級上?河北衡水?階段練習）如圖，A3是的直徑，C是。。上一點，。是。。外一點，

過點A作垂足為E,連接OC.若使。切。。于點C,添加的下列條件中，不正確的是（）

A.OC//AEB.ZOAC=ZCAEC.ZOCA=ZCAED.OA=AC

3.（2024?重慶?模擬預測）如圖，以AB為直徑的。。與CE相切于點C,且A、B、E三點在同一直線上,

過點C作弦CF1AB交圓于點/，若AE=2,ZE=30°,則C尸的長度為（）

CBD.2A/3

2

4.（2024?四川南充?三模）如圖，過。。外一點尸作。。的兩條切線巴4,PB,切點分別為A,B,尸。與A8

交于點D,與A3交于點E,AC為。。的直徑.若％=BC=6,則上的長為（)

A.2B.3C.由

D-T

5.（2024?湖北武漢?模擬預測）如圖，在RtAABC中，ZBAC=90°,AD為中線，若AB=5,AC=12,

設△AB。與AACD的內切圓半徑分別為4，則區的值為（）

6.（22-23九年級下?內蒙古赤峰?階段練習）如圖，AABC內接于0。，AC是。。的直徑，ZACB=40。，點

。是劣弧2C上一點，連結CD、BD,則/。的度數是（）

A.40°B.50°C.130°D.140°

7.（2024?云南楚雄?模擬預測）如圖，A3是。。的直徑，點。在。。上，過點。作。。的切線DC交A3的

延長線于點C.若NA=22.5。，5C=4,則。。的半徑為（）

A

A.4B.3+40C.4+4忘D.472

8.（2024?河北?一模）如圖，三角板、量角器和直尺如圖擺放，三角板的斜邊BC與半圓。相切于點C,點

B、D、E分別與直尺的刻度1、9、19重合，則三角板直角邊AC的長為（）

A.5^/3B.6百C.5D.6

9.（2023?重慶沙坪壩?二模）如圖，OE與。。相切于點D,交直徑AB的延長線于點E,C為圓上一點,

ZACD=60°.若的長度為3,則的的長度為（）.

3

A.72B.6C.一D.2

2

3

10.（23-24九年級上?四川綿陽?期末）如圖，。"的圓心〃在一次函數y=yx+3位于第一象限中的圖象

若OM與x軸相切，且0）=2而，則。M半徑是（）

27+

C.丁或6D.5

8

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

11.（23-24九年級上?北京海淀?階段練習）44BC中，AB=AC=4,NA=120。，。是A3的中點，以點。為

圓心作若。。與邊3c有且僅有一個交點，則0〃的半徑r應滿足.

12.（2024?河南周口?三模）已知一個等腰直角三角形ABC,ZC=90°,AC=3C=VL分別以48為

圓心，以。的長為半徑作圓，兩圓的交點為點。，若CD的長度為2,則的長為.

13.（2023?浙江衢州?中考真題）如圖是一個圓形餐盤的正面及其固定支架的截面圖，凹槽ABCD是矩形.當

餐盤正立且緊靠支架于點4。時，恰好與3c邊相切，則此餐盤的半徑等于cm.

14.（2023?山東煙臺?一模）如圖，GC,GB是。。的切線，A3是。。的直徑，延長GC,與54的延長線

交于點E,過點C作弦CD〃AB,連接DO并延長與圓交于點/，連接CF,若AE=2,CE=4,則CD

的長度為.

15.（2023?浙江溫州?三模）如圖，在菱形A3CD中，E,尸是上的點，AE=CF,EF±BC,連接。尸,

與過瓦耳尸三點的。。相切于廠點，已知乙4=120。，則NCDF=

16.（22-23九年級上?江蘇南京?期末）如圖，AABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,CD是邊A3上的

高，QE,0尸分別是AACD,△3CD的內切圓，則。E與。產的面積比為.

C

17.（23-24九年級上?浙江紹興?期末）如圖，C為平面直角坐標的原點，直線與兩坐標軸交于A8兩點，

AC=8,AB=10,若。。的圓心在直線y=；x上,且。。與AB,AC所在直線相切，則圓心。的坐標是

18.（22-23九年級上?四川南充?期末）如圖，在。。中，將劣弧A8沿弦折疊得弧A〃山，尸是弧A〃龍上

一動點，過點尸作弧出血的切線與。。交于C,D兩點，若回。的半徑為13,AB=24,則8的長度最大

值為.

三、解答題（本大題共6小題，共58分）

19.（8分）（2024?甘肅隴南?模擬預測）如圖，四邊形A3cD是平行四邊形，以A3為直徑的。。經過點D,

與DC交于點￡.連接AE,Z￡AB=Z￡AE>.作￡尸_1_4￡>,與AD的延長線交于點?

（1）求證：E尸是0。的切線；

（2）求NC的度數.

20.（8分）（24-25九年級上?全國?假期作業）如圖，叢為。。的切線，/為切點.直線尸。與。。交于3、

C兩點，ZP=30°,連接40、AB.AC.

（1）求證：^ACB^APO；

（2）若AP=布,求。。的半徑.

21.（10分）（2024?廣東梅州?模擬預測）如圖，P為。。外一點，PA、9為0。的切線，切點分別為4

B,直線尸。交。。于點。、E,交A3于點C.

(1)求證E1NADE=/E4E.

(2)若NADE=30。，連接89,求證：四邊形ADBP是菱形.

22.(10分)(2024?山東青島?三模)如圖，以點。為圓心，A8長為直徑作圓，在。。上取一點C,延長A8

至點。，連接OC,ZDCB=ZDAC,過點A作AE_LAE＞交OC的延長線于點E.

(1)求證：CO是。。的切線；

(2)若CD=4,八0=2,求AE的長.

23.(10分)(23-24九年級上?福建廈門?期末)四邊形A3CD是菱形，點。為對角線交點，邊的垂直平

分線交線段0D于點尸(尸不與。重合)，連接PC,以點P為圓心，PC長為半徑的圓交直線3c于點E,

直線AE與直線CD交于點尸，如圖所示.

(1)當NABC=60。時，求證：直線A3與。尸相切；

(2)當49=2,AF?+跖2=16時，求/ABC的度數；

(3)在菱形ABCD的邊長與內角發生變化的過程中，若點C與E不重合，請探究/AFC與NC4尸的數量

24.(12分)(2024?廣東河源?模擬預測)綜合探究

如1圖、2圖，已知AB=10,以AB為直徑作半圓O,半徑Q4繞點。順時針旋轉得到OC,點/的對應

點為C,當點C與點3重合時停止.連接3c并延長至點。，使得CD=BC,過點。作于點E,

連接AD,AC.

(1)如1圖，當點E與點。重合時，求證：△ABD是等邊三角形；

(2)如2圖，若點尸是線段上一點，連接PC,當尸C與半圓。相切時，求證：PCLAD.

(3)當OE=1時，求BC的長.

1圖2圖備用圖

參考答案:

1.c

【分析】考查了直線和圓的位置關系與數量之間的聯系和勾股定理，先根據題意可求出斜邊A3的長，再

過點C作于點8,設=則9=25-*,根據勾股定理列出關于C￡>長的等式，求得x的

長，再根據勾股定理求得8的長，與。C半徑相比較，即可得到直線A5與。C的位置關系.

【詳解】解：?.?NC=90。,AC=15,BC=20,

:.AB^yjAC2+BC2=25>

如圖，過點C作于點5,設AO=x,則2O=25—x,

解得：x=9,此時CD=dAC2_AD?=12,

?.?GC半徑為13,13>12,

直線AB與OC的位置關系是相交，

故選：C.

2.D

【分析】本題考查切線的證明，涉及圓的切線的判定、平行線的判定與性質、圓的性質等知識，根據選項，

逐項判定即可得到答案，熟記圓的切線的判定是解決問題的關鍵.

【詳解】解：A、AELCD,

:.ZAED=90°,

當OC〃AE時，則NOCD=90。，即OCLOE,根據切線的判定，8切。。于點C,該選項正確，不符合

題意；

B、???AELCD,

ZAED=90°,則ZCAE+ZACE=90°,

■;OA=OC,

:.ZOAC=ZOCA,

當NQ4C=NG4E時，則NM+4B=90。，即。CLOE,根據切線的判定，8切。。于點C,該選項

正確，不符合題意；

C、當NOG4=NG4E時，OC//AE,

■：AELCD,

:.ZAED=9Q°,

ZOCD=90°,即OCLOE,根據切線的判定，8切。。于點C,該選項正確，不符合題意；

D、當Q4=AC時，由OA=OC得到OA=OC=AC,則AQ4C是等腰三角形，無法確定NOCD=90。，不能

得到CD切。。于點C,該選項不正確，符合題意；

故選：D.

3.D

【分析】本題考查了切線的性質，直角三角形的性質，勾股定理，垂徑定理，連接0C,設CF與的交

點、為M,由切線的性質得NOCE=90。，進而由NE=30。得OE=2OC,NEOC=60°,根據OE=Q4+A￡,

0A=OC可得OC=AE=2,再由垂徑定理得/CW=90。，CF=2CM,由/OCW=30°得到

OM=^OC=1,最后可由勾股定理求出CM即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵.

【詳解】解：連接OC,設C尸與AB的交點為

團CE是。。的切線，

SOC±CE,

團NOCE=90。,

團/石=30。，

團。E=2OC,ZEOC=60°f

SOE-OA+AE,OA=OC,

團OC=AE=2,

^CF±AB,

團NCW=90。，CF=2CM,

團ZOCM=90°-60°=30°,

0(9M=-OC=1,

2

?CMNOC-OM。=d于—f=6

0CF=2xV3=273,

故選：D.

【分析】此題重點考查切線的性質定理、切線長定理、等腰三角形的"三線合一"、直徑所對的圓周角是直

角、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定與性質等知識，正確地作出輔助線是解題的關鍵.

連接AE,由切線長定理得以=PB,NOPA=NOPB,則尸OLAB,AD=BD,由AC為。。的直徑，得

PAA.AC,AO=CO,則4P=9。°,DO=^BC=3,再證明AR4E是等邊三角形，得NAP3=60。，求

得NOR4=30。，則/AOE=60。，可證明△AOE是等邊三角形，則DE=DO=3,于是得到問題的答案.

POA.AB,AD=BD,

?.,AC為。。的直徑，BC=6,

:.PA±AC,AO=CO,

.-.ZOAP=90°,DO=-BC=3,

2

???PA=PB=AB,

「.△PAB是等邊三角形，

.\ZAPB=60°,

ZOPA=-ZAPB=30°,

2

?：OA=OE,NAOE=90°-NORA=60。，

zAOE是等邊三角形，

:.DE=DO=3,

故選：B.

5.C

【分析】此題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形的內切圓和面積，設

△ABD的內切圓為。/與他、AD.BD分別相切于點E、F、G,由/BAC=90。，AB=5,AC=12

、、、、

得BC=13,&as。-30,連接IEIFIGIA>IBID,由5AAB/+S△皿+S^BDI=S.。=15可得

1x6^+1x5^+1x5^=12,即得外=g,同理得4=：,進而即可求解，正確地作出輔助線是解題的關鍵.

【詳解】解：設△ABD的內切圓為。/,。/與AB、AD.BD分別相切于點E、F、G,

0BC=VAB2+AC2=A/52+122=13，

S^/AIDRCr2ABIAC212=30,

團AD為斜邊5C上的中線，

113

⑦AD=BD=CD=—BC=—,

22

國SyABD=^NACD~ABC~,

連接小，IF,IG,M,IB,ID,則加=/「=/Gi，

團S..+S“川+￡皿="筋0=15,且AB，/石，AD±IF,BD±IGf

1廠113113y

團一x54+—x——r+—x—彳=15,

21221221

解得『I

1113113

同理可得，一xl2r,+—x—r,+—x—G=15,

22222

解得弓=與，

5

/--25

回「下

5

故選：C.

6.C

【分析】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，先根據圓周角定理，由NABC=90。，則利用互

余可計算出NA=50。，然后根據圓內接四邊形的性質得到的度數，熟練掌握三角形的外心的定義與性

質是解題的關鍵.

【詳解】解：團AC是。0的直徑，

^ZABC=90°f

13ZA=90°-ZACB=90°-40°=50°,

IEZD+ZA=180°,

0ZZ)=18OO-5OO=13OO.

故選：c.

7.C

【分析】連接。。，根據圓的切線垂直于經過切點的半徑可得/。。。=90。，根據等邊對等角可得

ZODA=22.5%根據三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和可得2005=45。，根據三角形內角和

是180。求得NDO5=NC=45。，根據等角對等邊可得QD=CD,設。。=。5=%，根據直角三角形中兩直

角邊的平方和等于斜邊的平方列出一元二次方程，解方程求出工的值，即可求解.

【詳解】解：連接OQ,

團。。是。。的切線，

@OD_LDC,

國/ODC=90。,

團NA=22.5。，OA=OD,

BZA=ZODA=22.5°,

團NOOB=NA+NOZM=45。,

團NZX陽=NC=45。，

?OD=CD,

設OD=OB=x,貝!JOC=OB+BC=%+4,

在RtAODC中，OD2+DC2=OC2,

BPx2+x2=(x+4)2,

整理得：(x-4)2=32,

解得：%=4+4>反，Xy—4—4^2(舍去)，

即。。的半徑為4+40.

故選：C.

【點撥】本題考查了切線的性質，三角形的外角性質，三角形內角和定理，等腰三角形的判定和性質，勾

股定理，解一元二次方程等.掌握圓的切線垂直于經過切點的半徑是解題的關鍵.

8.D

【分析】本題考查了切線的性質，勾股定理，含30。的直角三角形等知識.熟練掌握切線的性質，勾股定

理，含30。的直角三角形是解題的關鍵.

由題意知，BD=8,DE=10,ZB=30°,NA=90。，如圖，連接OC,則OC=Lz)E=5,ZOCB=90°,03=13,

2

由勾股定理得，3C=12,根據AC=；BC,計算求解即可.

【詳解】解：由題意知，BD=8,DE=10,ZB=30°,ZA=90°,

如圖，連接OC,

A

oii>?5?1??i?iiiii*ni????:i

回三角板的斜邊5c與半圓。相切于點C,

B1OC=-DE=5,ZOCB=90°,OB=13,

2

由勾股定理得，BC=y/OB2-OC2=12>

0ZB=3O°,ZA=90°,

SAC=-BC=6,

2

故選：D.

9.B

【分析】連接OD,根據ZACD=60°,可得NAOD=120。，進而有NEOD=60。，結合DE與。。相切于點。，

可得/E=30。，即可得OD=O3=BE,OE=2BE,在Rt^ODE中，利用0序=+。石2,可得

QBE?=BE2+32,解方程即可求解.

【詳解】連接。。，如圖,

D

Ao7~IBE

c

0ZACD=6O°,

^ZAOD=120°f

團/石00=60。，

團OE與O。相切于點。，

團DE八OD,

團NODE=90。，

團/石=30。，

團在RtZ^ODE中，OD=gOE,

2

團OE=OB+BE,OD=OB,

團OD=OB=BE,

團OE=2BE,

團在Rt/XOOE中，OE2=OD2+DE2,DE的長度為3,

0（2BE）2=BE2+32,

0B￡=V3（負值舍去），

故選：B.

【點撥】本題考查了圓周角定理，切線的性質，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理等知識，掌握

圓周角定理，切線的性質，是解答本題的關鍵.

10.C

3

【分析】如圖，設。M與x軸相切于石，連接血石，過點M作〃F_LCD于尸，連接設M（加,9篦+3）,

根據切線的性質及垂徑定理可得。尸=JTLMD=ME=^m+3,利用勾股定理列方程求出機的值即可得

答案.

【詳解】如圖，設。M與X軸相切于E,連接Affi,過點反作MF,CD于尸，連接MD,

3

回0M的圓心M在一次函數y=g%+3位于第一象限中的圖象上,

、3

團設m+3),

團。M與x軸相切于E,MF±CD,

3

團ME_Lx軸，MD=ME=-m+3,MF=m,

0MF1CD,CD=2拒,

0DF=-CD=VTT,

2

在Rt/JV/FD中，MD2=MF2+DF--BP(-^+3)2=m2+(s/il)2,

解得：町=5,m2=-,

o

3333527

團一根+3=—x5+3=6或一根+3=—x—+3=—,

555588

27

^QM半徑是■^或6,

故選：c.

【點撥】本題考查一次函數圖形上點的坐標特征、切線的性質、垂徑定理及勾股定理，熟練掌握垂徑定理,

正確作出輔助線構造直角三角形是解題關鍵.

11.r=l或2＜廠42近

【分析】本題考查含30。角的直角三角形的性質，直線和圓的位置關系，掌握直線與圓的位置關系是解題

的關鍵.

過點。作8C的垂線，垂足為E,過點A作AFL3C于點F,連接CD,根據30。角所對的直角邊等于斜邊

的一半可以得到A尸=2,2尸=2石，DE=l,BE=y/3,利用勾股定理求出CD長，分為相切和當8在圓內

部，點C在。。上或在。。外分類討論即可解題.

【詳解】過點。作BC的垂線，垂足為E,過點A作AFL3C于點/，連接CD,

???AB=AC=4,ZA=120。，

/.ZB=ZC=30°,

團。是A5的中點，

BD=2,

:.DE=1,BE=6,AF=2,BF=2拒,

團AB-AC=4,

0BC=2BF=46,

0EC=BC-BE=46-6=36,

CD=^12+（3A/3）2=2幣,

當DE=r,即r=l時，。。與邊2C有且僅有一個交點，

當8在圓內部，點C在。。上或在。。外時，即2<"2⑺■時，與邊3C也有且僅有一個交點，

回當r=l或2<「42夕，。。與邊BC有且僅有一個交點，

故答案為：廠=1或2<"2幣.

12.◎或如

【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質，勾股定理和圓的有關知識，學會分類討論是解題的關鍵；

根據勾股定理求出A3,設A3與其垂直平分線的交點為E,分DE=CD-CE和DE=CD+CE兩種情況討

論，根據直角三角形的勾股定理分別求解即可.

【詳解】以48為圓心，以。的長為半徑作圓，兩圓的交點D在4B的垂直平分線上.

0ZC=90°,AC=BC=①,

:.AB^yjAC2+BC2=2-

如圖,

3

設A3與其垂直平分線的交點為￡,

貝UCE=AE=-AB^1,

2

當CD的長為2時，如圖，

即CD】=CD2=2,

①在RtVAEQ中，

D}E=CDl-CE=2-1=1

22

ADt=qAE?+DE=Vl+1=短,

②在RtAAEQ中，DJE=CD2+CE=2+1=3,

2222

：.AD2=,]AE+D2E=Vl+3=Jio.

綜上，AD的長為友或廂.

故答案為：及或M

13.10

【分析】連接OA,過點。作0E_L3C,交BC于點、E,交AZ)于點則點E為餐盤與BC邊的切點，由

矩形的性質得公。=3。=16,AD//BC,/BCD=ZADC=90。,則四邊形CDEE是矩形，OELAZ),得

CD=EF=4,ZAFO=90°,AF=DF=8,設餐盤的半徑為xcm,貝l|Q4=OE=x,OF=x-4,然后由

勾股定理列出方程，解方程即可.

【詳解】由題意得：BC=16,CD=4,

如圖，連接。4,過點。作0EL3C,交BC于點E,交AD于點產,

，點E為切點，

?.?四邊形ABCD是矩形，

.-.AD=BC=16,AD//BC,ZBCD=ZADC=90°,

，四邊形CDFE是矩形，OE±AD,

：.CD=EF=4,ZAFO=9Q°,AF=DF=-AD=-xl6=8,

22

設餐盤的半徑為x,

貝l](M=OE=x,

:.OF=OE-EF=x-4,

在RtVAPO中，由勾股定理得：A小+0產=。42,

即82+(x-4)2=x2,

解得：尤=10,

餐盤的半徑為10,

故答案為：10.

【點撥】本題考查了切線的性質、矩形的判定與性質、勾股定理等知識，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.

18

14.——

5

【分析】設CF交48于點H,連接0C,由切線的性質得NOCE=90。，設。。的半徑為『，則OC=r,

OE=r+2,由勾股定理求得r=3,再根據圓周角定理得“CF=90。，由平行線的性質推出CF1AB,利

用垂徑定理可得C"=FH,由三角形的面積求得S,再求出CE,利用勾股定理求得8即可.

【詳解】解：如圖，設C/交AB于點H,連接。C,

G

???GC是。。的切線，

:.OC±GEf

ZOCE=90°f

設。。的半徑為乙則OE=r+2,

在Rt^OCE中，

由勾股定理得，OC2+CE2=OE2即/+42=(r+2)2,

解得：尸=3,

?.?。戶為直徑，

:.NDCF=9。。,

.CD//AB,

:./CHE=/DCF=90。,

:.CF±AB,

:.CH=FH,

?：-CHOE=-OCCE,

22

，加叱上，

55

24

:.CF=2CH=——，

5

在RSDC廠中，

由勾股定理得，CD=《DF2-CF2=

1Q

故答案為：—.

【點撥】本題考查了切線的性質，圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，熟練掌握知識點并靈活運用是解題

的關鍵.

15.15

【分析】如圖，連接BE,OF,證明助為直徑，即8,O,E三點共線，四邊形3EZ加為平行四邊形,

ZADC=180°-ZA=60°；NOFE=NDFE,結合。尸為0。的切線，可得NDFE=45。,從而可得答案.

【詳解】解：如圖，連接BE,OF,

?EF_LBC,

團BE為直徑，即8,O,E三點共線，

回菱形A3CD,AE=CF,

^DA//BC,AD=BC,DE=BF,AB//CD,

回四邊形BEDP為平行四邊形，ZADC=180°-ZA=60°:

?BE〃DF,

團NOEF=NDFE,

0OF=OE,

⑦/OEF=/OFE,

^ZOFE=ZDFE,

團。方為。0的切線，

團ZOFD=90°=ZOFE+ZDFE,

團NDFE=45。，

國AD〃BC,EFJ.BC,

?EF_LAD,

SZz4DF=45°,

團NCD產=60。—45。=15。.

故答案為：15

【點撥】本題考查的是菱形的性質，平行四邊形的判定與性質，圓的基本性質，切線的性質，熟練的掌握

圖形的基本性質是解本題的關鍵.

9

16.—/9:16

16

【分析】本題考查了勾股定理，三角形的內切圓性質，圓的面積，先用勾股定理求得人民8得長，再利

用內切圓性質求得圓的半徑，繼而求得面積計算即可.

【詳解】回NACB=90。，AC=3,BC=4,8是邊A8上的高,

I----------…AC.BC12

0AB=VAC2+BC2=5-CD=———,

AB5

0AD=\IAC2-CD~=|,BD=AB-AD=^,

設。E與。歹的半徑分別為x,y,則

El|(AC+AD+CD>尤=^AD.CD,；(BC+BD+CD)?x=3BD￡D,

34

解得％="=寸

<9

回。E與。尸的面積比為=”，

唔「

9

故答案為：—.

Io

17.(4,()或(9,3)

【分析】本題考查切線的性質、勾股定理、三角形和梯形的面積及一次函數圖像上點的坐標特征，根據。。

的圓心在直線y=gx上設a(3x,無)，分點。在直線AB下方和點。2在直線AB上方兩種情況，利用切線的

性質及三角形面積公式和梯形面積公式列方程求出工的值即可得答案.

【詳解】解：

如圖，當點a在直線AB下方時，作連接。3、QA,

^BC=>JAB2-AC2=6>

回。。的圓心在直線y=上,

團設。1(3%,兀),

團。0與A尻AC所在直線相切于。、E,

回。￡_LA5,QD1AC,

團C\D=O{E—x,0[F=3x,

0SVABC=|ACBC=|ACO1￡>+1ABO1￡+1BCO1F,

團8x+10x+6x3x=6x8,

4

解得：x=§，3x=4,

4

團a%).

當點Q在直線AB上方時，連接。2〃、QG、o2B,

同理可得：O2G=O2M=X,CG=3X,

團S梯形5。股=S7ABo?+Sv4Go2+S7ABe，

團S梯形BCGa=；(O2G+3C>CG=；AGQ2G+!AaO2M+gBCAC,

回3%(x+6)=%(3x-8)+10%+6x8,

解得：x=3,3x=9,

團。2(9,3),

綜上所述：圓心。的坐標是(4,§或(9,3),

故答案為：(4,$或(9,3)

18.8A/T0

【分析】過點。作。AB于點跖交AB于點N,交AmB于點P，此時過點尸的切線8最長，連接。3,

0D,根據垂徑定理得出3M=3AB=；x24=12,根據勾股定理求出OM={OB。—BM。={1寸—1聯=5，

求出OP=3,根據勾股定理求出如=4可，即可得出答案.

【詳解】解：過點。作。于點M,交AB于點N,交AMB于點尸，此時過點尸的切線。最長，連

接08,0D,

^OMLAB,

0BM=-AB=-x24=12,

22

在RtzXBOW中，根據勾股定理可得：

OM=^OB2-BM2=V132-122=5，

根據折疊可知，MP=MN=ON-OM=13-5=8,

SOP=MP-OM=8-5=3,

團CO是弧A〃山的切線，

aopiCD,

SCP=PD,ZOPD=90°,

在RSORD中，根據勾股定理可得：

PD=4OEr-OP2=A/132-32=4710>

EIC。=2P￡>=2x4所=.

故答案為：8M.

【點撥】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，切線的性質，解題的關鍵是找出使8最大時，點P的位

置.

19.⑴見解析

(2)60°

【分析】本題考查了平行四邊形的性質、切線的判定和性質以及圓周角定理，熟練掌握以上知識點并靈活

運用是解此題的關鍵.

(1)連接0E.先得出/OAE=/QE4,進而得出/E4D=—OE4,則OE〃AF,即可得出EFJ_OE,

即可得出結論；

(2)連接O。，先推出NBAE=NDEA,得出4BOE=ZAOD,再根據NBAE=^EAD,得出NBOE=乙DOE,

則ZBOE=ZAOD=ZDOE=60°,即可得出結論.

【詳解】（1）證明：連接OE.

0OA—OE,

*OAE=NOEA,

MEAB=/EAD,

^ZEAD=ZOEA,

團O￡〃AF,

回￡F_LAD,

BEFLOE,

團OE是。。的半徑，

團EF是。。的切線；

（2）解：連接0。，

在平行四邊形A5CD中

^AB//DC,

國NBAE=NDEA,

BZBOE=ZAOD,

國/BOE=/DOE,

團ZBOE=ZAOD=ZDOE=60°,

團。E〃A尸，

回N5QE=NB4D=60。，

團四邊形ABC。是平行四邊形，

0ZC=ZBAZ）=6O°.

F

（2）1

【分析】本題考查了勾股定理、切線的性質，全等三角形的判定與性質，正確掌握相關性質內容是解題的

關鍵.

(1)由NP=30。可得出NAOP=60。，則NC=3(r=NP,那么AC=AP；根據已知條件我們不難得出

NC4B=mO=90。，這樣就湊齊了角邊角，那么兩三角形就全等了.

(2)根據切線的性質得在RtzXAOP中，ZP=30°,AP=0結合勾股定理列式計算，即可作答.

【詳解】(1)證明：?.?R4為。。的切線，

;.APAO=9G°.

又?.?"=30°,

.-.ZAOP=60°,

?：OA=OC,

:.ZC=ZOAC,

ZAOP=ZC+ZOAC,

ZC=-ZAOP=30°,

2

ZC=ZP,

:.AC=AP.

又BC為。。直徑，

:.ZCAB=APAO=90°,

.〔AACB均A尸O(ASA).

(2)解：團為。。的切線，N為切點.

回在RtaAO尸中，NP=30°,AP=-j3,

團設AO=x,OP=2x,

貝ljAP2=OP--AO2

解得AO=1

即回。的半徑為L

2L⑴見解析

(2)見解析

【分析】(])連接Q4,由/上40=1￡=90。,證明"4。=々4￡,ZDAO=ZADE,進而得證；

(2)連接班)，連接證明NAPO=90。—NAOE=30。，得至ljAD=AP,由PA、尸3為。。的切線得到

PA=PB=AD,ZPAO=ZPBO=90°,證明RMAPO^Rt/R9,得到NAPO=NHPO=30。，則

ZADE=NBPO,得到AD〃成，又由24=必=4）,即可證明四邊形A03尸是菱形.

【詳解】（1）證明：如圖，連接Q4,

團是直徑，

^\ZDAE=90°

即ZDAO+ZOAE=90°

團Q4為。。的切線，

團"40=90。，

即NB4E+NQ4E=90。.

^ZDAO=ZPAE,

^AO=DO

^ZDAO=ZADE,

國ZADE=NPAE.

(2)連接BD,連接QB,如圖,

團NAZ汨=30。，

團NAOE=60。，

國R4為。。的切線,

團"40=90。，

團ZAPO=90°-ZAOE=30°,

BAD=AP

團PA、網為。0的切線,

^PA=PB=ADfZPAO=ZPBO=90°,

SPO=PO

0RtAAPO^RtABPO(HL),

^ZAPO=ZBPO=30°

SZADE=ZBPO

^AD//BP,

SPA=PB=AD,

回四邊形ADB尸是菱形.

【點撥】此題考查了切線的性質、切線長定理、圓周角定理、全等三角形的判定和性質、菱形的判定等知

識，添加適當的輔助線是證明的關鍵.

22.⑴詳見解析

(2)AE=6.

【分析】本題考查了切線的判定與性質：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線；也考查了圓周角

定理的推論，正確的作出輔助線是解題的關鍵.

(1)連接OC,如圖，根據圓周角定理得到NACB=90。，即/3CO+NACO=90。，求得NOCA=/DCB,

得到NDCO=90。,根據切線的判定定理得到8是。。的切線；

(2)根據勾股定理得到03=3,求得A3=6,根據切線的性質得到AE=CE,根據勾股定理即可得到結

論.

【詳解】(1)證明：連接OC,0E,如圖，

AB為直徑,

ZACB=90°,即ZBCO+ZACO=90°,

又?；NDCB=NCAD,

■.■OC^OA,

SZCAD=ZOCA,

:.ZOCA=ZDCB,

ZDCB+ZBCO^90°,

即ZDCO=90°,

???OC是。。的半徑，

CD是。。的切線；

(2)解：-,-ZDCO=90°,OC=OB,

OC2+CD2=OD2,

,-.OB2+42=(OB+2)2,

OB=3,

/.AB—6,

-.AE±AD,A8是。。的直徑，

.：/場是。。的切線，

?.?CD是。。的切線；

AE=CE,

Q^AD2+AE-=DE1,

.-.(6+2)2+AE2=(4+AE')2,

解得AE=6.

23.⑴見解析

(2)45°

33

⑶ZCAF+-ZAFC=90°或ZCAF+-ZAFCM50

44

【分析】(1)連接4尸，根據菱形的性質得B4=3C=AD，AO=CO,BD1AC,有ZABD=NCBD=ZADB,

根據垂直平分線的性質得%=PD,利用三角形內角和定理得/皿=90。.根據菱形的性質得點/在

上即可.

(2)由同弧所對圓周角相等得NADC=NAEC.結合菱形的性質得/ADC=NOCE,可證得五￡=尸。.由

勾股定理逆定理得△ACF為直角三角形，且/AFC=90。，利用AB〃CD即可求得/ABC=/OCE.

(3)設NABC=a,分兩類討論：①當點E在BC延長線上時，可得：ZAECZDCE=ZABC,以及

13

ZAFC=2ZDCE,進一步求得/ACS=90。一和NC4/=90。—]]；②當點￡在8C邊上時，由四點共

圓和同角的補角相等得NFEC=NADC=NABC,結合菱形的性質有/FCE=ZADC.則有

113

cr=-(180°-ZAFC),進一步求得NBAC=/BCA=90。一5a和NG4b二萬0一?。。即可.

團四邊形ABC。是菱形，

?BA=BC=AD,AO=COfBD±AC.

[EZABD=ZCBD=-ZABC=30°.

2

BZABC=60°.

國NABD=NADB=30。.

2是AD垂直平分線上的點，

回PA=PD.

^ZPAD=ZPDA=30°.

團NAT*60。.

^ZPAB=18O0-ZAPB-ZABD=9O°.

^\PA±AB.

團5。垂直平分AC,尸在3D上,

0B4=PC,即點4在。尸上.

團直線A8與。P相切.

(2)由(1)得PA=PD,則點。在0P上.

團NADC與ZAEC同對AC，

a