北京市二十二中2025屆高一上數學期末學業水平測試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知，則（）A. B.C. D.的取值范圍是2．已知在海中一孤島的周圍有兩個觀察站，且觀察站在島的正北5海里處，觀察站在島的正西方.現在海面上有一船，在點測得其在南偏西60°方向相距4海里處，在點測得其在北偏西30°方向，則兩個觀察站與的距離為A. B.C. D.3．命題“”的否定是A. B.C. D.4．函數的零點所在的區間是A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(3，4)5．若定義運算，則函數的值域是（）A.(-∞，+∞) B.[1，+∞)C.(0.+∞) D.(0，1]6．不等式成立x的取值集合為（）A. B.C. D.7．若是第三象限角，且，則是A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角8．函數是奇函數，則的值為A.0 B.1C.-1 D.不存在9．的值為A. B.C. D.10．若，則（）A. B.C. D.2二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知一組數據，，…，的平均數，方差，則另外一組數據，，…，的平均數為______，方差為______12．已知扇形的弧長為，且半徑為，則扇形的面積是__________.13．函數函數的定義域為________________14．已知函數是偶函數，它在上是減函數，若滿足，則的取值范圍是___________.15．已知函數=，若對任意的都有成立，則實數的取值范圍是______16．函數的單調遞減區間為___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖,在圓錐中,已知,圓的直徑,是弧的中點,為的中點.（1）求異面直線和所成的角的正切值；（2）求直線和平面所成角的正弦值.18．已知函數為奇函數（1）求實數k值；（2）設，證明：函數在上是減函數；（3）若函數，且在上只有一個零點，求實數m的取值范圍19．（1）已知，求的最小值；（2）求函數的定義域20．某市3000名市民參加“美麗城市我建設”相關知識初賽，成績統計如圖所示（1）求a的值；（2）估計該市參加考試的3000名市民中，成績在上的人數；（3）若本次初賽成績前1500名參加復賽，則進入復賽市民的分數線應當如何制定（結果保留兩位小數）21．如圖，直四棱柱中，上下底面為等腰梯形，．，，為線段的中點（1）證明：平面平面；

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】取判斷A；由不等式的性質判斷BC；由基本不等式判斷D.【詳解】當時，不成立，A錯誤．因為，所以，，B正確，C錯誤．當，時，，當且僅當時，等號成立，而，D錯誤故選：B2、D【解析】畫出如下示意圖由題意可得，，又，所以A,B,C,D四點共圓，且AC為直徑、在中，,由余弦定理得，∴∴（其中為圓的半徑）.選D3、C【解析】全稱命題的否定是存在性命題，所以，命題“”的否定是，選C.考點：全稱命題與存在性命題.4、B【解析】因為函數為上的增函數，故利用零點存在定理可判斷零點所在的區間.【詳解】因為為上的增函數，為上的增函數，故為上的增函數.又，，由零點存在定理可知在存在零點，故選B.【點睛】函數的零點問題有兩種類型，（1）計算函數的零點，比如二次函數的零點等，有時我們可以根據解析式猜出函數的零點，再結合單調性得到函數的零點，比如；（2）估算函數的零點，如等，我們無法計算此類函數的零點，只能借助零點存在定理和函數的單調性估計零點所在的范圍.5、D【解析】作出函數的圖像，結合圖像即可得出結論.【詳解】由題意分析得：取函數與中的較小的值，則，如圖所示（實線部分）：由圖可知：函數的值域為：.故選：D.【點睛】本題主要考查了指數函數的性質和應用.考查了數形結合思想.屬于較易題.6、B【解析】先求出時，不等式的解集，然后根據周期性即可得答案.【詳解】解：不等式，當時，由可得，又最小正周期為，所以不等式成立的x的取值集合為.故選：B.7、D【解析】根據是第三象限角，寫出角的集合，進一步得到的集合，再根據得到答案【詳解】是第三象限角，，則，即是第二象限或者第四象限角，，是第四象限角故選：D8、C【解析】由題意得，函數是奇函數，則，即，解得，故選C.考點：函數的奇偶性的應用.9、B【解析】.故選B.10、B【解析】應用倍角正余弦公式及商數關系將目標式化為，結合已知即可求值.【詳解】由題意知，，故選：B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①.11②.54【解析】由平均數與方差的性質即可求解.【詳解】解：由題意，數據，，…，的平均數為，方差為故答案：11，54.12、##【解析】由扇形面積公式可直接求得結果.【詳解】扇形面積.故答案為：.13、（1,3）【解析】函數函數的定義域,滿足故答案為（1,3）.14、【解析】由偶函數的性質可得，再由函數在上是減函數，可得，從而可求出的取值范圍【詳解】因為函數是偶函數，所以可化為，因為函數在上是減函數，所以，所以或，解得或，所以的取值范圍是，故答案為：15、【解析】轉化為對任意的都有，再分類討論求出最值，代入解不等式即可得解.【詳解】因為=，所以等價于，等價于，所以對任意的都有成立，等價于，（1）當，即時，在上為減函數，，在上為減函數，，所以，解得，結合可得.（2）當，即時，在上為減函數，，在上為減函數，在上為增函數，或，所以且，解得.（3）當，即時，，在上為減函數，，在上為增函數，，所以，解得，結合可知，不合題意.（4）當，即時，在上為減函數，在上為增函數，，在上為增函數，，此時不成立.（5）當時，在上為增函數，，在上為增函數，，所以，解得，結合可知，不合題意.綜上所述：.故答案為：16、【解析】利用對數型復合函數性質求解即可.【詳解】由題知：，解得或.令，則為減函數.所以，為減函數，為增函數，，為增函數，為減函數.所以函數的單調遞減區間為.故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）2；（2）【解析】（1）由三角形中位線定理可得∥，則可得是異面直線和所成的角，然后在中求解即可，（2）直線與平面所成的角，應先作出直線在平面內的射影，則斜線與射影所成的角即為所求．過點O向平面PAC作垂線，則可證得即為直線與平面所成的角，進而求出其正弦值【詳解】（1）因為分別是和的中點所以∥，所以異面直線和所成的角為，在中，,是弧的中點,為的中點，所以，因為平面，平面，所以，因為所以，（2）因為，為的中點，所以，因為平面，平面，所以，因為，所以平面因為平面，所以平面平面，在平面中，過作于，則平面，連結，則是在平面上的射影，所以是直線和平面所成的角在中，在中，18、（1）－1；（2）見解析；（3）.【解析】(1)由于為奇函數，可得，即可得出；(2)利用對數函數的單調性和不等式的性質通過作差即可得出；(3)利用(2)函數的單調性、指數函數的單調性，以及零點存在性定理即可得出m取值范圍【小問1詳解】為奇函數，，即，，整理得，使無意義而舍去)【小問2詳解】由(1)，故，設，(a)(b)時，，，，(a)(b)，在上時減函數；【小問3詳解】由(2)知，h(x)在上單調遞減，根據復合函數的單調性可知在遞增，又∵y＝在R上單調遞增，在遞增，在區間上只有一個零點，(4)(5)≤0，解得.19、（1）3；（2）或【解析】（1）由，利用基本不等式即可求解.（2）由題意可得，解一元二次不等式即可求解.【詳解】解：（1），，，當且僅當，即時取等號，的最小值為3；（2）由題知，令，解得或∴函數定義域為或20、（1）；（2）1950；（3）進入復賽市民的分數應當大于或等于77.14.【解析】（1）根據頻率之和為，結合頻率分布直方圖即可求得；（2）根據（1）中所求，求得成績在的頻率，根據頻數計算公式即可求得結果；（3）根據頻率分布直方圖中位數的求解，結合已知數據，即可求得結果.【小問1詳解】依題意，，故.【小問2詳解】成績在[70,90)上的頻率為，所以，所求人數為3000×0.65=1950.【小問3詳解】依題意，本次初賽成績前1500名參加復賽，即求該組數據的中位數，因為≈77.14所以，進入復賽市民的分數應當大于或等于77.14.21、（1）證明見解析；（2）點為中點.【解析】(1)根據給定條件可得，利用勾股定理證明即可證得平面平面.(2)