五十二圓的方程

(時間：45分鐘分值:90分)

【基礎落實練】

1.(5分X2024?南京模擬)方程/+儼+m+丹+b=0表示的曲線是以(-2,3)為圓心,4

為半徑的圓，則D,E,F的值分別為()

A.4,-6,3B.-4,6,3

C-4,6,-3D.4,-6,-3

【解析】選D.以(-2,3)為圓心,4為半徑的圓的標準方程為(x+2)2+63)2=16,

即x2+_y2+4x-6y-3=0,

所以D=4,E=-6,F=-3.

2.(5分)(2024?青島模擬)點P(a,10)與圓C(x-l)2+(y-l)2=2的位置關系是()

A.在圓外B.在圓上

C.在圓內D.與。的值有關

【解析】選A.圓C(x-l)2+(y-l)2=2的圓心半徑片"，

因為|PC|=J(a-+(10-球=J(a-+81＞痣所以點P(a,T0)在圓外.

3.(5分)圓心坐標為(-2,1),并經過點42廣2),則圓的標準方程為()

A.(x-2)2+(y-l)2=5

B.(x+2)2+(y-l)2=5

C.(x+2)2+(y+1)2=25

D.(x+2)2+&-1)2=25

【解析】選D.由題意可設圓的標準方程為：

(%+2)2+伊1)2=戶，因為點4(2,-2)在圓上,

所以戶=(2+2)2+(一2-1)2=25,所以圓的標準方程為(%+2)2+伊1)2=25.

4.(5分)若直線/:ax+如l=0(a>0,b>0)平分圓C:x2+y2-2x-4y^0的周長，則ab的取值

范圍是()

A.g+8)B.(0,j]

C.(0。'D.g+8)

【解析】選B.由題意得，直線ax+by-l^Q過圓心(1,2),所以a+2b=1,

所以仍=1*2/蕓(2732](當且僅當q=2b,即4=|乃=1時,取"=”)，

乙乙乙。乙1,

1

又4>0乃>0,所以abe(0,-].

【加練備選】

_____12—

若直線辦+2步2=05>0,6>0)始終平分圓爐+產以-2產8=0的周長，則方石的最

小值為________

【解析】由圓的性質可知，直線辦+2如-2=0是圓的直徑所在的直線方程.

因為圓x2+y2-4x-2y-S^0的標準方程為(%-2)2+(>1)2=13,

所以圓心(2,1)在直線。%+2勿-2=0上，

所以2tz+2Z?-2=0,BPa+b=\,

因為*=(*)伍+圻3年金3+2的,當且僅當a=m八,6=2時等號成立，

所以常的最小值為3+2也

答案:3+2避

5.(5分)侈選題)(2024?南昌模擬)已知ZU5C的三個頂點為4(-1,2)乃(2,1),。(3,4),

則下列關于A45C的外接圓圓M的說法正確的是()

A.圓M的圓心坐標為(1,3)

B.圓M的半徑為小

C.圓M關于直線x+y=0對稱

D?點(2,3)在圓M內

【解析】選ABD股&45C的外接圓圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F^

0(￡>2+￡2_4Q0),

l+4-D+2E+F=0(D=-2

則4+1+2D+E+F=0，解得E=-6,

9+16+30+4E+F=0[F=5

所以ZU5C的外接圓圓M的方程為N+產2%_6y+5=0,即01)2+8-3)2=5.

故圓M的圓心坐標為(1,3),圓M的半徑為《，故A,B正確；

因為直線x+y=O不經過圓M的圓心(1,3),所以圓M不關于直線x+y=O對稱，故C

錯誤；

因為(2-1)2+(3-3)2=1<5,故點(2,3)在圓M內，故D正確.

6.(5分)侈選題)設圓的方程是(x-a)2+e+b)2=q2+62,其中q>0,b>0,下列說法正確的

是()

A.該圓的圓心為(凡份

B.該圓過原點

C.該圓與x軸相交于兩個不同點

D.該圓的半徑為a2+b2

【解析】選BC.因為圓的方程是

(x-a)2+(y+b)2^a2+b2(^a>0,b>0),

所以圓心坐標為(風力),半徑R+『，故A,D錯誤；

把原點坐標(0,0)代入圓的方程得方程左邊=(0-。)2+(0+與2=42+/=方程右邊，所以

該圓過原點，故B正確；

令產0得(x-a)2+z?2=X2_2ax+q2+62=q2+62,即/_2辦=0,解得％]=0m=2d所以該圓與

X軸有兩個交點，故C正確.

7.(5分)(2024?唐山模擬)若圓CN+儼+m+2尸0的圓心在直線％-2丁+1=0上，則C

的半徑為.

【解析】由圓的一般方程得圓心。的坐標為(冬-1),

代入直線x-2y+l=0中得(-%2x(-l)+l=0,解得D=6,

則半徑后后+225.

答案:盧。

8.(5分)(2024揭陽模擬)在某數學活動課上，數學教師把一塊三邊長分別為6,8,10

的三角板ABC放在直角坐標系中，則ZU5C外接圓的方程可以為.(寫

出其中一個符合條件的即可)

【解析】邊長分別為6,8,10的A45C為直角三角形，且外接圓的半徑為5,若將斜

邊的中點與坐標原點重合時，則圓心為(0,0),所以其外接圓方程可以為爐+y=25;

若將直角頂點與坐標原點重合,邊長為6的直角邊落在％軸的正半軸時，則圓心

為(3,±4),所以其外接圓方程可以為03)2+收4戶25;

若將直角頂點與坐標原點重合,邊長為6的直角邊落在x軸的負半軸時，則圓心

為(-3,±4),所以其外接圓方程可以為(%+3)2+收4)2=25;

若將直角頂點與坐標原點重合,邊長為8的直角邊落在x軸的正半軸時，則圓心

為(4,±3),所以其外接圓方程可以為(>4)2+收3)2=25;

若將直角頂點與坐標原點重合,邊長為8的直角邊落在％軸的負半軸時，則圓心

為(-4,±3),所以其外接圓方程可以為(%+4)2+什±3)2=25.

答案:/+y=25(答案不唯一)

9.(10分)已知圓心為C的圓經過點4(1,1)和點5(2,-2),且圓心C在直線/:x-y+l=0

上線段PQ的端點P的坐標是(5,0),端點。在圓C上運動，求線段PQ的中點M

的軌跡方程.

Q1

【解析】設點D為線段AB的中點，直線m為線段AB的垂直平分線，則。(工介

又左45=-3,所以左加,,

所以直線m的方程為x-3y-3=0.

由仁言之腿圓心。(-3，-2)，

則半徑尸|G4|=J(_3_球+(_2_1,=5,

所以圓C的方程為(%+3)2+什+2)2=25.

設點MXJ),。。。,外),

因為點。的坐標為(5,0),

1%0+5

比=―,'%。=2%-5,

所以小。即

.y()=2y.

又點0aoM)在圓C:(x+3)2+(y+2)2=25上運動，所以(劭+3)2+仇+2)2=25,

即(2x-5+3)2+(2y+2)2=25.

整理得(+1)2+行1)2〉.

即所求線段PQ的中點M的軌跡方程為(%-1)2+8+1)2嚀.

【能力提升練】

10.(5分)(2024?海淀模擬)設三角形/5C是位于平面直角坐標系xOy的第一象限

中的一個不等邊三角形，該平面上的動點P滿足:即2+|尸CH

。4|2+0引2+0CF，已知動點P的軌跡是一個圓，則該圓的圓心位于三角形的

()

A.內心B.外心C.重心D.垂心

【解析】選C.設。(%/)4%1曲乃(%2y2),。(%3,為)，

由17Ml2+|尸引2+|尸。|2=04|2+|。叫2+℃|2得:

(x-XiF+O為)2+(%-%2)2+6歹2)2+(%_%3)2+Oy3)2=%j+yj+%j+y"+y：,

展開整理得3爐+3儼-2(11+%2+%3)%-2&1+乃+為)產o.

111

所以|>#：1+%2+%3)]2+|>§&1+乃+乃)]2^[(%1+x2+%3)2+81+刀2口3)2].

-11

所以圓的圓心坐標為(§(%1+%2+%3)百&1+72+為)),為三角形ABC的重心.

11.(5分)(多選題)已知圓M與直線％+7+2=0相切于點4(0,-2),圓M被X軸所截得

的弦長為2,則下列結論正確的是()

A.圓M的圓心在定直線％子2=0上

B.圓M的面積的最大值為50TI

C.圓M的半徑的最小值為1

D.滿足條件的所有圓M的半徑之積為8

【解析】選AB.因為圓M與直線x+y+2=0相切于4(0,-2),

所以直線AM與直線x+y+2=0垂直，所以直線AM的斜率為1,則點M在直線

y=x-2上，即x-y-2^0上，故A正確；

設M(%-2),所以圓M的半徑『0%=出+(a-2+2)2="|仇

因為圓M被x軸截得的弦長為2,

所以2J/_(a_2)2=」J「2+4a_4=2,

解得a=-5或a=l.

當a=-5時，圓M的面積最大，為口2=50瓦，故B正確；

當。=1時，圓〃的半徑最小，為他，故C錯誤；

滿足條件的所有圓M的半徑之積為5"x"=10,故D錯誤.

12.(5分)(2024?鄭州模擬)如果圓(%-加)2+&_2加產產關于直線x+y-3=0對稱，則圓的

圓心坐標為.

【解析】由題意知圓的圓心坐標為(加,2加),圓心在直線x+y-3=0上，將圓心坐標

(冽,2加)代入即得加+2加-3=0,解得加=1,

所以圓心坐標為(1,2).

答案：(1,2)

13.(5分)(2024?昆明模擬)已知點4(-3,0)乃(3,0),。(-1,0),點。滿足悶|=2仍8],則點

P到點C距離的最大值為.

【解析】設尸(%少),

因為|P4|=2|PB|,

所以(%+3)2+儼=4[(%-3/+y2],

化簡得(%-5)2+產=16.

則點P的軌跡是以。(5,0)為圓心，半徑等于4的圓，

因為|CD|=6,故|PC|的最大值為|CD|+4=10.

答案：10

14.(10分)(2024?哈爾濱模擬)已知圓E經過點4(0,0),5(1,1),且圓E與y軸相切.

⑴求圓E的一般方程；

【解析】(D設圓的方程為爐+產+m+政+4。，

因為圓E過點4(0,0)乃(1,1),又跟丁軸相切,

所以圓E必在v軸右側，且跟y軸的切點為4(0,0),所以圓心的縱坐標為0,

FO

-,

1+1+D+F+FO-

以

日

所-Z

E1-

-力-

-O

2、

所以圓E的方程為爐+產2x=0.

⑵設。是圓E上的動點，點C的坐標為(4,0),求線段CP的中點M的軌跡方程.

【解析】⑵設M(w),則尸(2%-4,2頊

將P(2x-4,2y)代入x2+y2-2x=0得

(2x-4)2+(2y)2-2(2x-4)=0,

,521

整理得(％-2)+y2q

521

即線段CP的中點M的軌跡方程為(久-1)+儼4

15.(10分)(2024?郴州模擬)已