實驗中學2025屆高三學業質量統測（一）數學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設復數滿足，則的共軛復數為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先利用復數的四則運算得到，再求的共軛復數即可.【詳解】，的共軛復數為.故選：A2.已知函數y=fx的對應關系如下表，函數y=g123230A.3 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根據的圖像可知，，根據表格即可求得.【詳解】根據的圖像可知，，根據表格可知，.故選：B3.設集合，且，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先解不等式得到，，再求集合C即可.【詳解】對于，則，解得，即，對于，可得，即，所以且.故選：C.4.命題．若的一個充分不必要條件是，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據充分條件和必要條件的定義進行求解即可．【詳解】因為的一個充分不必要條件是，則是的真子集，，故選：D．5.設是定義域為的奇函數，，當時，，則（）A.1 B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根據奇函數的性質得到，從而得到，再計算即可.【詳解】是定義域為奇函數，，當時，，所以，所以當時，，.故選：A6.我們知道當或時，.若，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由結合基本不等式和對數運算可知，由題意結合對數的運算性質可判斷，即可得出答案.【詳解】因為，，所以，因為，所以，所以，所以.故選：B.7.函數，對任意，且，都有，則的范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先設任意，且，構造函數得到y=gx在1,2為增函數，從而得到，恒成立，即可得到答案。【詳解】設任意，不妨令，都有，等價于任意，且，都有，等價于任意，且，都有，設，，則函數y=gx在1,2則，恒成立。等價于，恒成立。因為在1,2為減函數，所以，即.故選：D8.若，則的最小值為（）A.2 B.C.1 D.【答案】B【解析】【分析】利用換元法可得，即可利用不等式求解.【詳解】令，則，故，因此，故，故，最小值為，當且僅當時等號成立，即時取到等號，故選：B【點睛】關鍵點點睛：得，由基本不等式求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數，則（）A.在單調遞增B.有兩個零點C.的最小值為D.在點處切線為【答案】ACD【解析】【分析】首先求函數的導數，并判斷函數的單調性，即可判斷ABC，再根據導數的幾何意義求切線方程，判斷D.【詳解】，，對于A，當時，，所以在1,+∞單調遞增，故A正確；，得，當，f'x<0，當，f'x>0，所以當時，取得最小值，C正確，當時，，當時，，所以函數只有1個零點，故B錯誤，對于D，f1=0，，所以曲線y=fx在點1,f故選：ACD.10.設偶函數的定義域為，若為奇函數，則（）A.BC.函數的一個周期是6D.【答案】ABD【解析】【分析】函數是上的奇函數，令，求得，可判斷A的正誤,由題意得，令，可得，通過代換可求得，從而得到函數的周期，可判斷BC的正誤；根據函數的周期性和即可求解D.【詳解】函數是上的奇函數，當時，，即，又為偶函數，故，故A正確；又，即，令，則，，①，令替換，上式化為：，②，由①②得：，即，函數的周期，故C錯誤；在①中，令替換得：，即，③由①③得：，即，函數的圖象關于直線對稱；故B正確，由于,故D正確，故選：ABD．11.已知，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】對選項A，利用作差法即可判斷A錯誤.對選項B，構造函數再利用的單調性即可判斷B正確，對選項C，構造函數再利用的單調性即可判斷C正確，對選項D，構造函數再利用hx的單調性即可判斷D錯誤.【詳解】對選項A，因為所以，故A錯誤.對選項B，設，，所以在1,+∞為減函數，所以.因為，所以.又因為，所以，故B正確.對選項C，設，因為，所以在1,+∞為增函數，因為，所以，即，即，故C正確.對選項D，設，因為，設，x∈1,+，所以在1,+∞為增函數，因為，所以即，所以hx在1,+因為，所以，即，故D錯誤.故選：BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數則______．【答案】【解析】【分析】根據分段函數解析式代入即可求解.【詳解】.故答案為：13.設冪函數，則不等式的解集為______．【答案】【解析】【分析】由是冪函數可得，再由冪函數的單調性和定義域解不等式即可得出答案.【詳解】因為是冪函數，所以，則，因為函數的定義域為0,+∞，且，所以函數在0,+∞上單調遞減，所以由可得：，解得：.故答案為：.14.已知曲線與有公共切線，則實數的最大值為______．【答案】【解析】【分析】先設出切點，求導得到切線方程，斜率截距對應相等，得到,構造函數，轉化為存在性問題，最終求最值即可.【詳解】設曲線與的切點分別為，，因為，，則兩切線斜率，，所以，，所以，所以，即，令，則，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以，即，即，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在每年的1月份到7月份，某品牌空調銷售商發現：“每月銷售量（單位：臺）”與“當年的月份”線性相關．根據統計得下表：月份123456銷量122133415263（1）根據往年的統計得，當年的月份與銷量滿足回歸方程．請預測當年7月份該品牌的空調可以銷售多少臺？（2）該銷售商從當年的前6個月中隨機選取3個月，記為銷量不低于前6個月的月平均銷量的月份數，求的分布列和數學期望．【答案】（1）72臺（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）計算出與后，借助回歸直線過樣本中心點即可得回歸直線方程，再借助回歸直線方程代入計算即可得解；（2）得出的所有可能取值后，計算每種取值對應概率即可得其分布列，借助分布列計算即可得其期望.【小問1詳解】，，又回歸直線過樣本中心點，所以，得，所以，當時，，所以預測當年7月份該品牌的空調可以銷售72臺.小問2詳解】因為，所以銷量不低于前6個月的月平均銷量的月份數為4，5，6，所以，，，，，所以的分布列為：0123.16.設公比為正的等比數列an前項和為，且成等差數列．（1）求an（2）若數列bn滿足，求數列bn的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據等比數列求和計算求出公比，再根據等差中項列式基本量運算得出首項，最后應用等比數列通項公式計算即可；（2）根據（1）中計算得出,化簡得出累加得出，最后應用裂項相消求和即得.【小問1詳解】因為等比數列公比,，所以，即，是等差數列，所以，所以.【小問2詳解】因為，所以所以，故，累加法得出，，.17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，平面，是中點，是中點．（1）證明：直線平面；（2）設，求平面與平面的夾角．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點，連接，根據三角形中位線的性質得到，從而得到四邊形為平行四邊形，即.再利用線面平行的判定即可證明.（2）以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，再利用空間向量法求解即可.【小問1詳解】取的中點，連接，如圖所示：因為分別為的中點，所以且.又因為為的中點，所以且，所以且，即四邊形平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面.【小問2詳解】以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：，，，，，，，，設平面的法向量為n1=則，令得.，，，.設平面的法向量為，則，令，得.因為，所以平面與平面的夾角為.18.在平面直角坐標系中，已知橢圓的左、右焦點分別為、，點A在橢圓E上且在第一象限內，，點A關于y軸的對稱點為點B．（1）求A點坐標；（2）在x軸上任取一點P，直線與直線相交于點Q，求的最大值；（3）設點M在橢圓E上，記與的面積分別為，，若，求點M的坐標．【答案】（1）（2）3（3）或【解析】【分析】（1）設，根據，得到，聯立方程組，即可求解；（2）設P點坐標為，由，結合二次函數的性質，即可求解；（3）根據題意，得到點O到線段的距離，結合，求得點M到線段的距離應為，代入橢圓的方程，即可求解.【小問1詳解】解：由橢圓的左，右焦點分別為，，設，因為，可得，整理得，又因為，聯立方程組，解得，，所以點點坐標為.【小問2詳解】解：設P點坐標為，則可得Q點坐標為，由，當時，取最大值，最大值為.【小問3詳解】解：點的坐標為，點的坐標為，則點O到線段的距離，若，則點M到線段的距離應為，故M點的縱坐標為或，代入橢圓方程，解得M點的橫坐標為或，故M點的坐標為或.19.已知函數．（1）當時，求曲線y=fx在點（2）當時，證明：曲線是軸對稱圖形；（3）若函數在上單調遞減，求實數的取值范圍．【答案】（1）（2）證明詳見解析.（3）【解析】【分析】（1）根據切點和斜率求得切線方程.（2）令，由求得的對稱軸，也即曲線的對稱軸.（3）由在區間上恒成立列不等式，通過構造函數，結合圖象來求得實數的取值范圍.【小問1詳解】當時，，，則切點為.，則斜率為.所以曲線在點處的切線方程為.【小問2詳解】當時，，則，由解得，令，，設，令，所以在區間上單調遞減，且.，所以的圖象關于直線對稱