6.4.2平面向量的應用考法一證線段垂直【例1】（2023·河南信陽）已知在中，點是邊上靠近點的四等分點，點在邊上，且，設與相交于點．記，．

(1)請用，表示向量；(2)若，設，的夾角為，若，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1），由題意得，所以．（2）由題意，．∵，，∴．∴，∴．【一隅三反】1．（2023·山東濟南）在平面直角坐標系中，的三個頂點坐標分別為，，(且)，D為AB的中點，E為的重心，F為的外心．(1)求重心E的坐標；(2)用向量法證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）如圖，∵，，，∴，則由重心坐標公式，得；（2）．易知的外心F在y軸上，可設為．由，得，∴，即．∴．∴，∴，即．2．（2023北京）如圖，正方形ABCD的邊長為a，E是AB的中點，F是BC的中點，求證：DE⊥AF.【答案】證明見解析【解析】∵·＝·＝2－2，而，∴·＝0，∴⊥，即DE⊥AF.3．（2024湖南）如圖所示，若D是△ABC內的一點，且AB2-AC2=DB2-DC2，求證：AD⊥BC.【答案】證明見解析【解析】設=，=，=，=，=，則=+，=+，所以2﹣2=(+)2-(+)2=2+2e·-2·-2，由條件知：2=2﹣2+2，所以·=·，即·(-)=0，即，所以AD⊥BC.4．（2024河北）如圖所示，以兩邊為邊向外作正方形和，為的中點.求證：.【答案】證明見解析【解析】因為是的中點，所以.又因為，所以，所以，即.考法二夾角問題【例2-1】（2023廣東深圳）若兩個非零向量滿足，則向量與的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意作圖如下，設，

故向量，因為，所以，則四邊形ABCD為矩形，則又因為，所以，則，故向量與的夾角為的夾角，故為.故選：C.【例2-2】（2024四川）在中，，，，，，CN與BM交于點P，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】建立如圖直角坐標系，則,得,所以，故選：D.【一隅三反】1．（2024·黑龍江）已知為△的外接圓的圓心，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得：，且，，，∴∠AOB=90°.

如圖所示，建立平面直角坐標系，設，，由可知：，則：，，，則.故選：A.2．（2023·廣東廣州）在中，已知，，，，邊上兩條中線，相交于點，則的余弦值為.【答案】【解析】由已知得即為向量與的夾角.因為M、N分別是，邊上的中點，所以，.又因為，所以,,,所以.故答案為：3．（2023·上海）已知是的外心，且，則．【答案】/【解析】，即，設，兩邊同平方得，解得，同理可得，，，，則，，，.故答案為：.考法三求線段長度【例3-1】（2023·海南）在中，角所對的邊分別為，.(1)求角的值；(2)若，邊上的中點為，求的長度.【答案】(1)(2)【解析】（1），，，，，，.（2）是邊上的中線，，，.【例3-2】．（2023·廣東廣州）如圖，在中，是邊的中點，與交于點.(1)求和的長度；(2)求.【答案】(1)(2)【解析】（1）是高，，在Rt中，，所以.是中線，，，（2），.另解：過D作交于，是的中點，是的中點，是的中位線，是的中位線，，.【一隅三反】1．（2023·河北滄州）如圖，在中，.(1)求的長；(2)求的長.【答案】(1)(2)【解析】（1）；，，故，.（2），.2．（2023·山東）如圖，在中，，，，點在線段上，且．(1)求的長；(2)求．【答案】(1)(2)【解析】（1）設，，則．．故．（2）因為．所以3．（2023·重慶）如圖，在中，已知，，點在上，且，點是的中點，連接，相交于點.(1)求線段，的長；(2)求的余弦值.【答案】(1)，(2)【解析】（1）解：由題意，，，又，所以，，即，

=，，即；（2）解：，==，

與的夾角即為，.考法四求幾何的最值【例4-1】（2023·江西南昌）圓的直徑，弦，點在弦上，則的最小值是．【答案】/【解析】由題意可得，，要使取得最小值，則要最小，根據圓的性質，只需，此時為中點，又，則，所以，則的最小值為.故答案為：.【例4-2】（2023·廣東湛江）在中，，，點為邊的中點，點在邊上運動，則的最大值為.【答案】【解析】以A為坐標原點，建立如圖平面直角坐標系，，設直線BC方程為，則，解得，所以BC方程為，設，所以，得.故答案為：.

【一隅三反】1．（2023·安徽）如圖，在矩形中，與的交點為為邊上任意一點（包含端點），則的最大值為.

【答案】【解析】令，則，，所以，所以時，的最大值為.故答案為：2．（2023·廣東深圳）青花瓷（blue

and

white

porcelain），又稱白地青花瓷，常簡稱青花，是中國瓷器的主流品種之一，屬釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已見端倪，成熟的青花瓷則出現在元代景德鎮的湖田窯．圖一是一個由波濤紋和葡萄紋構成的正六邊形青花瓷盤，已知圖二中正六邊形的邊長為2，圓的圓心為正六邊形的中心，半徑為1，若點在正六邊形的邊上運動，動點，在圓上運動且關于圓心對稱，則的取值范圍是．

【答案】【解析】連接，如圖所示：

．根據圖形可知，當點位于正六邊形各邊的中點時，有最小值為，此時，當點位于正六邊形的頂點時，有最大值為2，此時，故，即的取值范圍是．故答案為：.3．（2023·全國·模擬預測）如圖，在四邊形中，已知，點在邊上，則的最小值為.【答案】/【解析】解法一：由，，得，所以，，則，設，則，所以，當且僅當時，取得最小值.解法二：由，得，所以，，如圖，建立平面直角坐標系，

則，，所以.設，則，所以，所以，，則，當且僅當時，取得最小值.解法三：由，得，所以，，，如圖，分別以所在的直線為軸、軸建立平面直角坐標系，

則.因為點在邊上，所以設，所以，所以，當且僅當時，取得最小值.故答案為：.考法五物理上的應用【例5-1】（2023·云南）已知兩個力，的夾角為90°，它們的合力大小為10N，合力與的夾角為60°，那么的大小為（

）．A．N B．5N C．10N D．N【答案】B【解析】

如圖，，，，，.在中，有，所以，的大小為5N.故選：B.【例5-2】（2023·廣東佛山）如圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為，已知禮物的質量為，每根繩子的拉力大小相同．求降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小為（

）（重力加速度）A． B． C． D．【答案】C【解析】設降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小，則，故，故選：C【一隅三反】1．（2023·河南焦作）如圖，作用于同一點的三個力，，處于平衡狀態，已知，，與的夾角為，則的大小為.【答案】【解析】因為，，三個力處于平衡狀態，所以，則，所以.故答案為：.2．（2023·全國·高三專題練習）長江流域內某段南北兩岸平行，如圖，一艘游船從南岸碼頭A出發航行到北岸.已知游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為，設和所成的角為，若游船要從A航行到正北方向上位于北岸的碼頭B處，則.

【答案】/【解析】由題意知，則因為，，即，所以.故答案為：3．（2023·云南曲靖）馬戲表演中小猴子模仿人做引體向上運動的節目深受觀眾們的喜愛，當小猴子兩只胳膊拉著單杠處于平衡狀態時，每只胳膊的拉力大小為，此時兩只胳膊的夾角為，試估算小猴子的體重（單位）約為（

）（參考數據：取重力加速度大小為，）A．9.2 B．7.5 C．8.7 D．6.5【答案】C【解析】設兩只胳膊的拉力分別為，，，，，，解得．小猴子的體重約為．故選：C．4．（2023·北京）在日常生活中，我們會看到如圖所示的情境，兩個人共提一個行李包.假設行李包所受重力為，作用在行李包上的兩個拉力分別為，，且，與的夾角為.給出以下結論：①越大越費力，越小越省力；②的范圍為；③當時，；④當時，.其中正確結論的序號是（

）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【解析】對于②，當時，故無法抬動物體，故②錯誤；對于①，根據題意，得，所以，解得，因為時，單調遞減，所以越大越費力，越小越省力，故①正確；對于③，因為，所以當時，，所以，故③錯誤；對于④，因為，所以當時，，所以，故④正確.故選：B.單選題1．（2023·廣東佛山）已知的三個頂點分別是，，，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．斜三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】易知，可得，即，且，所以可得的形狀是直角三角形.故選：B2．（2023·河南洛陽）在中，，且，則等于（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】，故可得；又，又，故為鈍角，．故選：C.3．（2023·浙江溫州）物理學中，如果一個物體受到力的作用，并在力的方向上發生了一段位移，我們就說這個力對物體做了功，功的計算公式：（其中是功，是力，是位移）一物體在力和的作用下，由點移動到點，在這個過程中這兩個力的合力對物體所作的功等于（

）A．25 B．5 C． D．【答案】A【解析】因為，，所以，又，，所以，故.故選：A.4．（2023·黑龍江）一條河兩岸平行，河的寬度為，一艘船從河岸邊的地出發，向河對岸航行．已知船的速度的大小為，水流速度的大小為，若船的航程最短，則行駛完全程需要的時間為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】若使得船的航程最短，則船的實際速度與水流速度垂直，作，，以、為鄰邊作平行四邊形，如下圖所示：由題意可知，，且，，由勾股定理可得，因此，若船的航程最短，則行駛完全程需要的時間，則.故選：B.5．（2023·天津和平）在平面四邊形中，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知，則，故以所在直線為軸，建立平面直角坐標系，設，則，故，由于，故，即，即，則在中，，同理可得，故，故選：C6．（2023下·福建漳州·高一校聯考期中）已知為所在平面內一點，，，，則的面積等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，位于線段的垂直平分線上，設線段的中點為，由得：，，，如下圖所示，，.故選：D.7．（2023上·四川）如圖，在中，D為的中點，，，是圓心為C、半徑為1的圓的動直徑，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，又，且，所以．設與的夾角為，則．因為，所以．故選：C．8．（2024·云南）中，，∠A的平分線AD交邊BC于D，已知，且，則AD的長為（

）A． B．3 C． D．【答案】C【解析】如圖，過作交于，作交于，則，又，所以，，所以，即，又是的平分線，所以，而，所以，，，所以，故選：C．多選題9．（2023江西）如圖所示，小船被繩索拉向岸邊，船在水中運動時設水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過程中，下列說法中正確的是（

）A．繩子的拉力不斷增大 B．繩子的拉力不斷變小C．船的浮力不斷變小 D．船的浮力保持不變【答案】AC【解析】設水的阻力為，繩子的拉力為,與水平方向的夾角為，則有，所以，因為增大，減小，所以增大，加上浮力等于船的重力，所以船的浮力減小.故選：AC.10．（2023湖南）在日常生活中，我們會看到如圖所示的情境，兩個人共提一個行李包.假設行李包所受重力為，作用在行李包上的兩個拉力分別為，，且，與的夾角為.下列結論中正確的是（

）A．越大越費力，越小越省力 B．的取值范圍為C．當時， D．當時，【答案】AD【解析】對于A，根據題意，得，所以，解得，因為時，單調遞減，所以越大越費力，越小越省力，故A正確；對于B，由題意知的取值范圍是，故B錯誤；對于C，因為，所以當時，，所以，故C錯誤；對于D，因為，所以當時，，所以，故D正確.故選：AD.11．（2023·浙江衢州）窗花是貼在窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術之一，圖1是一個正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出幾何圖形的示意圖.已知正八邊形的邊長為2，是正八邊形邊上任意一點，則下列說法正確的是（

）

A．若函數，則函數的最小值為B．的最大值為C．在方向上的投影向量為D．【答案】AB【解析】如圖所示：以為軸，為軸建立直角坐標系，

設，在中，根據余弦定理可得，，整理得到，，，，設，對選項A：，，所以，所以，所以當時，函數有最小值為，A正確；對選項B：取的中點，則，，則，，兩式相減得：，由正八邊形的對稱性知，當點與點或重合時，最大，又，所以，所以，所以的最大值為，B正確；對選項C：，，所以，即投影向量為，C錯誤；對選項D：因為，，所以，又，所以，D錯誤.故選：AB12（2023·安徽）已知正的邊長為，中心為O，P是的內切圓上一點，則（

）A． B．滿足的點只有1個C． D．滿足的點有2個【答案】ABD【解析】對于A，法一：設M為AB的中點，

連接OM，則C，O，M三點共線.設的內切圓半徑為r，外接圓半徑為R，則.因為O為的中心，故，而，故.又，A正確；法二：記CO的中點為N，設的內切圓半徑為r，外接圓半徑為R，則.

由正三角形的性質知N在內切圓上且MN為內切圓圓O的直徑，如圖2，連接PM，PN，從而有，A正確；對于B，，因為的邊長為，所以內切圓半徑為1，當且僅當P為OC中點N時，，B正確；對于C，當與重合時，，此時，滿足；當與不重合時，，由圖象易知與的夾角，所以，所以，故C錯誤；對于D，，要使，則，分析可知此時P恰為線段OB與內切圓的公共點，又當P與M重合時，也滿足題意，故這樣的點有2個，D正確.故選：ABD.填空題13．（2024·廣東佛山）已知中，，邊上的高與邊上的中線相等，則.【答案】【解析】如下圖所示，設邊上的高為，邊上的中線為，

在中，，所以，由，平方得，代入得，，化簡得，，解得，又因為，所以，所以.故答案為：14．（2023·河北石家莊）已知的夾角為，則三角形的邊上中線的長為.【答案】【解析】設D為的中點，則，所以，所以，所以.故答案為：15．（2024·安徽）設點是的中線上一個動點，的最小值是，則中線的長是.【答案】3【解析】設，則因為為邊中點，所以，即.于是.當，即點是中線的中點時，取得最小值即因此故答案為：16．（2023·天津西青）在體育課上，同學們經常要在單杠上做引體向上運動（如圖），假設某同學所受重力為，兩臂拉力分別為，若，與的夾角為，則以下四個結論中：①的最小值為；②當時，；③當時，；④在單杠上做引體向上運動時，兩臂夾角越大越省力．在以上四個結論中，正確的序號為．

【答案】①②③【解析】對于①：由受力分析得，所以，所以，所以，又因為，所以，所以，又，所以，故當時，取得最小值為，故①正確；對于②:，當時，，，故②正確；對于③：，，故③正確；.對于④:，，，，所以越大，越小，越省力.又在單調遞減，所以兩臂夾角越小越省力，故④錯誤.故答案為：①②③.解答題17．（2024·重慶）在梯形中，為鈍角，，．(1)求；(2)設點為的中點，求的長．【答案】(1)；(2)【解析】（1）在梯形中，由為鈍角，得是銳角，在中，，則，由余弦定理得，即為等腰三角形，所以.（2）由，得，由點為的中點，得，所以.18．（2024·吉林長春）在中，角的對邊分別為，已知.(1)求；(2)若，且，求.【答案】(1)(2)【解析】（1）.由正弦定理，可得又,.（2），設，則，在中，.在與中，..19．（2024·廣東揭陽）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，的面積為S，已知．(1)求；(2)若，D為BC的中點，，求a的值．【答案】(1)(2)【解析】（1）由題意得，即，所以，即．由正弦定理得，即，所以，即，所以．（2