專題01第一章勾股定理【專題過關】類型一、用勾股定理解三角形【解惑】如圖，在中，，，以點為圓心，長為半徑畫弧，交線段于點；以點為圓心，長為半徑畫弧，交線段于點．若，則的長為（

）

A．5 B．6 C．7 D．8【融會貫通】1．（2023春·河北保定·八年級統考期中）直角三角形兩直角邊的長度分別為6和8，則斜邊上的高為（

）A．10 B．4.8 C．9.6 D．52．（2023春·新疆阿克蘇·八年級校聯考階段練習）若一個直角三角形的兩條直角邊長分別是和，則斜邊上的高為多少（

）A． B． C． D．3．（2023秋·陜西西安·八年級陜西師大附中校考開學考試）如圖，直線，正方形的三個頂點A、B、C分別在直線上，點A到直線的距離是3，點C到直線的距離是6，則正方形的面積為．

4．（2023春·黑龍江黑河·八年級校考期中）如圖，四邊形中，，，，，點E是上一點，且，求的長．

5．（2023春·江蘇蘇州·九年級校聯考階段練習）如圖，已知四邊形中，，，連接，，過C作，垂足為E．

(1)求證：；(2)若，，求的面積．類型二、勾股樹（數）問題【解惑】如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的邊長分別是3、5、5、7，則最大正方形E的面積是（

）

A．14 B．108 C．58 D．72【融會貫通】1．（2023春·重慶忠縣·八年級校考階段練習）如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，則正方形A、B、C、D的面積的和是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱風華中學校考開學考試）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為，則正方形的面積之和為．3．（2023春·甘肅隴南·八年級統考期末）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面積分別足、、、，則正方形的邊長是．4．（2023春·福建龍巖·八年級校考階段練習）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面積分別為5，4，4，9，則最大的正方形G的面積為．5．（2023春·山東菏澤·八年級校考階段練習）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程所畫出來的圖形，因為重復數次后的形狀好似一棵樹而得名．假設如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，如果第一個正方形面積為1，則第2023代勾股樹中所有正方形的面積為．

類型三、以直角三角形向外作正方形【解惑】如圖，在四邊形中，，分別以四邊形的四條邊為邊向外作四個正方形，面積依次為，，，，下列結論正確的是（

）

A． B．C． D．【融會貫通】1.（2023春·新疆阿克蘇·八年級校聯考階段練習）如圖，以的三邊向外作正方形，其面積分別為，且，則(

)A．21 B．3 C．9 D．2.（2022秋·山東泰安·七年級統考期中）有一個面積為1的正方形，經過一次“生長”后，在他的左右肩上生出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經過一次“生長”后，變成了下圖，如果繼續“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請你算出“生長”了2022次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（

）A． B． C． D．3．（2023春·河北保定·八年級統考期中）如圖，以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為、、，且，，則另一個的面積為的正方形的邊長為（

）

A．3 B．4 C．5 D．4．（2023春·河北石家莊·八年級統考開學考試）如圖，分別以的三邊長，，為邊長向外作正方形，正方形中標注的數字代表所在正方形的面積，則x所在的正方形的面積為．5．（2023春·新疆伊犁·八年級校考期中）如圖，陰影部分是兩個正方形，圖中還有兩個直角三角形和一個空白的正方形，陰影部分的總面積為，直角三角形①的斜邊為，則直角三角形①的面積為．類型四、勾股定理與折疊問題【解惑】如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊，，現將直角邊沿折疊，使它落在斜邊上，則等于（

）

A． B． C． D．【融會貫通】1．（2023春·遼寧撫順·八年級統考階段練習）如圖，在中，，，是邊上的動點，點關于直線的對稱點為，連接交于，當為直角三角形時，的長是．2．（2023秋·福建福州·七年級福州華倫中學校考開學考試）如圖，在中，，，，已知D是上一動點，將點A沿翻折，若A落到內（不包括邊），則的取值范圍為．3.（2023春·新疆巴音郭楞·八年級校考期中）如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊，現將折疊，使點與點重合，折痕為，則的長為．

4．（2022秋·甘肅白銀·八年級校考期中）如圖，四邊形是長方形，，，將沿折疊，使點恰好落在對角線上處，求的長．

5．（2023秋·河南南陽·八年級校考期末）把一長方形紙片按圖所示折疊，使頂點B與點D重合，折痕為，若，，重疊部分的面積為多少？

類型五、利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）【解惑】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，則AB2+BC2+AC2的值為（

）A．6 B．9 C．12 D．18【融會貫通】1．（2023春·山西大同·八年級統考期末）如圖，和都是等腰直角三角形，，，的頂點A在的斜邊上，則的值為．

2．（2023秋·全國·八年級專題練習）在中，斜邊，則．3．（2019秋·廣東梅州·八年級廣東梅縣東山中學校考期中）在中，斜邊長，的值為4．（2023春·八年級課時練習）如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足為D，M為AD上任一點，則MC2﹣MB2等于．6．（2023春·遼寧撫順·八年級統考階段練習）如圖，中，，為中點，點在邊上（點不與點，重合），連接，過點作交于點，連接．

(1)求證：(2)若，，，直接寫出線段的長．類型六、趙爽弦圖【解惑】如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”，它由個全等的直角三角形拼成，已知大正方形面積為，小正方形面積為，若用，表示直角三角形的兩直角邊（），表示斜邊，則下列說法中錯誤的是（

）

A． B． C． D．【融會貫通】1．（2023春·安徽·八年級統考期末）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若，大正方形的面積為625，則小正方形的邊長為（

）A．7 B．24 C．17 D．252．（2023春·北京·八年級統考期末）如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，如果圖中勾，弦，則小正方形的面積為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023春·山西呂梁·八年級校考階段練習）如圖是我國古代數學家趙爽創制的一副“勾股圓方圖”（又稱“趙爽弦圖”），它是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形無縫拼成的大正方形．若，，則的長是．

4．（2023春·江西贛州·八年級校聯考期末）我國古代數學家趙爽巧妙地用“弦圖”證明了勾股定理，標志著中國古代的數學成就如圖，小穎同學把圖中長和寬分別和的兩個全等矩形沿對角線分成四個全等的直角三角形，將這四個全等的直角三角形拼成如圖所示的“趙爽弦圖”，則圖中小正方形的面積為．5．（2023春·遼寧大連·八年級統考期中）我國古代數學家趙爽巧妙地用“弦圖”證明了勾股定理，成為中國古代數學成就的標志之一，如圖，若弦圖中四個全等的直角三角形的兩條直角邊長分別為和，則中間小正方形的對角線長為．

類型七、勾股定理構造圖形【解惑】為預防新冠疫情，民生大院入口的正上方A處裝有紅外線激光測溫儀（如圖所示），測溫儀離地面的距離米，測溫儀就會自動測溫并報告人體體溫．當身高為米的市民正對門緩慢走到離門0.8米的地方時（即米），測溫儀自動顯示體溫（

）A．米 B．米 C．米 D．米【融會貫通】1．（2023秋·廣東揭陽·八年級統考期末）如圖，某小區有一塊長方形花圃，為了方便居民不用再走拐角，打算用瓷磚鋪上一條新路，居民走新路比走拐角近（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·陜西西安·八年級校考開學考試）在我國古代數學著作《九章算術》“勾股”章有一題：“今有開門去間一尺，不合二寸，向門廣幾何．”大意是說：如圖，推開兩扇門（和），門邊緣兩點到門檻的距離為1尺（1尺10寸）兩扇門間的縫隙為2寸，那么門的寬度（兩扇門寬度）的和為寸．

3．（2023春·陜西商洛·八年級校考期中）《九章算術》是我國古代的一部數學著作，其中記載了一道有趣的題：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會．問甲乙行各幾何?”其大意如下：已知甲、乙兩人同時從一地出發，甲的速度為7步/秒（步為古代長度計量單位，與現在的米類似），乙的速度為3步/秒．乙一直向東行走，甲向南行走10步后，偏離原方向，朝北偏東的方向直行一段后與乙相遇，問甲、乙各行走了多少步?設乙經過秒后兩人相遇，則根據題意，可列方程為．4．（2023秋·全國·八年級專題練習）暑假中，小明到某海島探寶，如圖，他到達海島登陸點后先往東走8，又往北走2，遇到障礙后又往西走3，再折向北走6處往東一拐，僅1就找到寶藏，問登陸點到埋寶藏點的直線距離是多少？

5．（2022秋·七年級單元測試）如圖，小麗蕩秋千，秋千架高2.4米，秋千座位離地0.4米，小紅蕩起最高時，坐位離地0.8米．此時小紅蕩出的水平距離是多少？（蕩到秋千架兩邊的最高點之間的距離）

類型八、小鳥飛行問題【解惑】如圖，有一只喜鵲在一棵高的小樹上覓食，它的巢筑在與該樹水平距離（）為的一棵高的大樹上，喜鵲的巢位于樹頂下方的處，當它聽到巢中幼鳥的叫聲，立即飛過去，如果它飛行的速度為，那么它要飛回巢中所需的時間至少是(

)

A． B． C． D．【融會貫通】1．（2023春·重慶云陽·八年級校考階段練習）如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹稍飛到另一棵樹的樹稍，問小鳥至少要飛行（

）A．6米 B．8米 C．10米 D．14米2．（2023·浙江·八年級假期作業）如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米．一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行（

）A．8米 B．9米 C．10米 D．12米3．（2023春·甘肅隴南·八年級統考期末）如圖，在公園內有兩棵樹相距8米，一棵樹高15米．另一棵樹高9米，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛米．4．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹相距8米，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行米．5．（2023秋·全國·八年級專題練習）有兩棵樹，一棵高6米，另一棵高3米，兩樹相距4米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了多少米？類型九、勾股定理的證明方法【解惑】意大利著名畫家達·芬奇用如圖所示（四邊形，四邊形，四邊形都為正方形，設圖①中空白部分的面積為，圖③中空白部分的面積為）的方法驗證了勾股定理，步驟如下所示，則下列判斷不正確的是（

）第一步：由圖①可得；第二步：由圖③可得第三步：由，可驗證

A．★表示B．●表示C．◆表示= D．▲表示【融會貫通】1．（2023春·河南周口·八年級校考期中）數學興趣小組的同學用火柴盒研究證明勾股定理的新方法．如圖，火柴盒的一個側面倒下到的位置，連接，此時，，，．

(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)請利用直角梯形的面積證明勾股定理：．2．（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，對任意符合條件的直角三角形，繞其銳角頂點逆時針旋轉得，所以，且四邊形是一個正方形，它的面積和四邊形面積相等，而四邊形面積等于和的面積之和，根據圖形寫出一種證明勾股定理的方法．3．（2023春·北京密云·八年級校考期末）解答(1)請你根據圖甲中的直角三角形敘述勾股定理（用文字及符號語言敘述）．

(2)以圖甲中的直角三角形為基礎，可以構造出以，為底，以為高的直角梯形，如圖乙所示，請你利用圖乙驗證勾股定理．

4．（2023春·安徽蕪湖·八年級統考期中）觀察，思考與驗證

(1)如圖1是一個重要公式的幾何解釋，請你寫出這個公式____________；(2)如圖2所示，，且，，在同一直線上，試說明，；(3)伽菲爾德（1881年任美國第20屆總統）利用（1）中的公式和圖2證明了勾股定理（發表在1876年4月1日的《新英格蘭教育日志》上），請你寫出驗證過程．5．（2023·江蘇·八年級假期作業）如圖是證明勾股定理的一種方法：用4個全等的直角三角形，拼成一個圖形，請你利用面積證明勾股定理的真實性．類型十、臺階地毯長度問題【解惑】如圖在一個高為3米，長為5米的樓梯表面鋪地毯，則地毯至少需要（

）．

A．3米 B．4米 C．5米 D．7米【融會貫通】1．（2023春·遼寧撫順·八年級統考期中）如圖，在高為，坡面長為的樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需要（

）A． B． C． D．2．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖所示的一段樓梯，高BC是3米，斜邊AB長是5米，現打算在樓梯上鋪地毯，至少需要地毯的長度為（

）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米3．（2023春·云南昭通·八年級統考期中）如圖，在高為3米，斜坡長為5米的樓梯臺階上鋪地毯，則地毯的長度至少要（）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米4．（2023秋·全國·八年級專題練習）某會展中心在會展期間準備將高5m、長13m、寬2m的樓道鋪上地毯，已知地毯每平方米30元，請你幫助計算一下，鋪完這個樓道至少需要元．5.（2023秋·山東泰安·七年級統考期末）如圖，是臺階的模型圖，已知每個臺階的寬度都是，每個臺階的高度都是，連接，則等于．

專題01第一章勾股定理【專題過關】類型一、用勾股定理解三角形【解惑】如圖，在中，，，以點為圓心，長為半徑畫弧，交線段于點；以點為圓心，長為半徑畫弧，交線段于點．若，則的長為（

）

A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】設，根據，求出，在中，由勾股定理列出方程即可求解．【詳解】解：由題意知：，，∵，，∴，設，在中，由勾股定理得，即，解得，即．故選：A．【點睛】本題主要考查了勾股定理，解題的關鍵是根據題意得出，進而表示出的長．【融會貫通】1．（2023春·河北保定·八年級統考期中）直角三角形兩直角邊的長度分別為6和8，則斜邊上的高為（

）A．10 B．4.8 C．9.6 D．5【答案】B【分析】根據勾股定理先求出斜邊長，然后再根據等積法求出斜邊上的高即可．【詳解】解：∵直角三角形兩直角邊的長度分別為6和8，∴斜邊長度為：，∵直角三角形的面積為：，∴斜邊上的高為：．故選：B．【點睛】本題主要考查了勾股定理，三角形面積的計算，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理，在一個直角三角形中，兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么．2．（2023春·新疆阿克蘇·八年級校聯考階段練習）若一個直角三角形的兩條直角邊長分別是和，則斜邊上的高為多少（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】設斜邊上的高為，利用勾股定理可求出斜邊的長，利用面積法即可求出的值，可得答案．【詳解】∵直角三角形的兩條直角邊分別為，，斜邊長為，直角三角形的面積為，解得：，故選：D．【點睛】本題考查勾股定理，直角三角形兩直角邊邊長的平方和等于斜邊邊長的平方；靈活運用三角形的面積的兩種不同的表示方法得到等量關系是解題關鍵．3．（2023秋·陜西西安·八年級陜西師大附中校考開學考試）如圖，直線，正方形的三個頂點A、B、C分別在直線上，點A到直線的距離是3，點C到直線的距離是6，則正方形的面積為．

【答案】45【分析】如圖，作，垂足分別為E、F，通過證明，得出，再根據勾股定理求出即可．【詳解】解：如圖，作，垂足分別為E、F，則，，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴，∵點A到直線的距離是3，點C到直線的距離是6，∴，∴，∴正方形的面積為45；故答案為：45

【點睛】本題考查了點到直線的距離、勾股定理和全等三角形的判定和性質等知識，正確理解題意、證明是解題的關鍵．4．（2023春·黑龍江黑河·八年級校考期中）如圖，四邊形中，，，，，點E是上一點，且，求的長．

【答案】【分析】設，則，分別在和中，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：設，則，∵∴、都為直角三角形，在中，由勾股定理可得：在中，由勾股定理可得：∵∴解得即【點睛】此題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理，在直角三角形中，兩個直角邊的平方和等于斜邊的平方．5．（2023春·江蘇蘇州·九年級校聯考階段練習）如圖，已知四邊形中，，，連接，，過C作，垂足為E．

(1)求證：；(2)若，，求的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據，得出，根據，得出，即可根據求證；（2）根據，得出，．則，根據勾股定理求出，最后根據三角形面積公式求解即看．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∵，∴．∵在和中，∴；（2）解：由（1）知，，則，．∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，解題的關鍵是掌握兩直線平行，內錯角相等；全等三角形那個對應邊相等；直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方．類型二、勾股樹（數）問題【解惑】如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的邊長分別是3、5、5、7，則最大正方形E的面積是（

）

A．14 B．108 C．58 D．72【答案】B【分析】由勾股定理可得，直角三角形中，以斜邊為邊的正方形的面積等于分別以兩個直角邊為邊的正方形的面積的和，據此求解即可．【詳解】解：如圖所示，由勾股定理，得，故選：B．

【點睛】本題考查了勾股樹，掌握勾股樹的特征是解題的關鍵．【融會貫通】1．（2023春·重慶忠縣·八年級校考階段練習）如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，則正方形A、B、C、D的面積的和是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，設正方形A、B、C、D、E、F的邊長分別為a、b、c、d、e、f，根據勾股定理可得，，，即可得出正方形A、B、C、D的面積之和等于最大正方形G的面積，根據正方形面積公式即可得答案．【詳解】如圖，設正方形A、B、C、D、E、F的邊長分別為a、b、c、d、e、f，

∵所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，∴，，∴正方形E、F的面積和為正方形A、B、C、D面積的和，∵最大的正方形的邊長為7，∴，∴最大正方形G的面積等于正方形E、F的面積和，∴正方形A、B、C、D的面積之和等于最大正方形G的面積，∴正方形A、B、C、D的面積之和為，故選：A．【點睛】本題考查勾股定理的幾何意義，勾股定理包含幾何與數論兩個方面，幾何方面，一個直角三角形的斜邊的平方等于另外兩邊的平方和．這里邊的平方的幾何意義就是以該邊為邊的正方形的面積．2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱風華中學校考開學考試）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為，則正方形的面積之和為．【答案】25【分析】根據勾股定理的幾何意義可直接解答．【詳解】解：如圖，由勾股定理可得：正方形的面積之和等于正方形E的面積，正方形的面積之和等于正方形F的面積，正方形的面積之和等于正方形G的面積，因此正方形的面積之和，故答案為：25．【點睛】本題考查勾股定理，解題的關鍵是掌握：以直角三角形的兩條直角邊為邊長的兩個正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積．3．（2023春·甘肅隴南·八年級統考期末）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面積分別足、、、，則正方形的邊長是．【答案】【分析】標記正方形、，分別設正方形、、的邊長為、、，由勾股定理得出，，，代入計算出，即最大正方形的面積為．【詳解】解：如下圖，標記正方形、，分別設正方形、、的邊長為、、，則由勾股定理得：，，，即最大正方形的面積為：，則最大正方形E的邊長為故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解題的關鍵．4．（2023春·福建龍巖·八年級校考階段練習）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面積分別為5，4，4，9，則最大的正方形G的面積為．

【答案】【分析】根據正方形的面積公式，結合勾股定理，能夠導出正方形的面積和即為最大正方形G的面積．【詳解】設正方形A，B，C，D，E，F，G的邊長分別為，正方形A，B，C，D的面積分別為，根據正方形的面積公式得：，正方形A，B的邊長正好是直角三角形的兩條直角邊，由勾股定理可得：，正方形E的面積為：，同理可得正方形F的面積為：，同理可得正方形G的面積為：，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，能夠發現正方形的邊長正好是兩個直角三角形的四條直角邊，根據勾股定理最終能夠證明正方形的面積和即為最大正方形面積．5．（2023春·山東菏澤·八年級校考階段練習）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程所畫出來的圖形，因為重復數次后的形狀好似一棵樹而得名．假設如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，如果第一個正方形面積為1，則第2023代勾股樹中所有正方形的面積為．

【答案】2024【分析】根據勾股定理可得第一代勾股樹中所有正方形的面積為，再一次求出第二代、第三代勾股樹中所有三角形的面積，總結出一般規律，即可進行解答．【詳解】解：設第一代勾股樹中間三角形的兩直角邊長為a和b，斜邊長為c，根據勾股定理可得：，∵,∴第一代勾股樹中所有正方形的面積為；同理可得：第二代勾股樹中所有正方形的面積為；第三代勾股樹中所有正方形的面積為；第n代勾股樹中所有正方形的面積為；∴第2023代勾股樹中所有正方形的面積為2024．故答案為：2024．

【點睛】本題主要考查了勾股定理，解題的關鍵是仔細觀察圖形，根據勾股定理總結出變化的一般規律．類型三、以直角三角形向外作正方形【解惑】如圖，在四邊形中，，分別以四邊形的四條邊為邊向外作四個正方形，面積依次為，，，，下列結論正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理，分別得出同一直角三角形的兩直角邊上的兩個正方形面積和都是，即可得到答案．【詳解】解：如圖，連接，

根據勾股定理，得，∴，，故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，關鍵是發現兩個直角三角形的斜邊是公共邊．【融會貫通】1.（2023春·新疆阿克蘇·八年級校聯考階段練習）如圖，以的三邊向外作正方形，其面積分別為，且，則(

)

A．21 B．3 C．9 D．【答案】C【分析】根據勾股定理求出，則可得出答案．【詳解】解：由勾股定理得，，則，故選：C．【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是，，斜邊長為，那么．2.（2022秋·山東泰安·七年級統考期中）有一個面積為1的正方形，經過一次“生長”后，在他的左右肩上生出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經過一次“生長”后，變成了下圖，如果繼續“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請你算出“生長”了2022次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據勾股定理和正方形的面積公式，知“生長”1次后，以直角三角形兩條直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積，即所有正方形的面積和是；“生長”2次后，所有的正方形的面積和是，推而廣之即可求出“生長”2023次后形成圖形中所有正方形的面積之和．【詳解】解：設的是三條邊分別是a，b，c（斜邊）．根據勾股定理，得，即．∵“生長”1次后，以直角三角形兩條直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積，即所有正方形的面積和是；“生長”2次后，所有的正方形的面積和是，“生長”3次后，所有的正方形的面積和是，…“生長”了2022次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是．故選：C．

【點睛】本題主要考查了勾股定理在幾何圖形中的應用，能夠根據勾股定理發現每一次得到新正方形的面積和與原正方形的面積之間的關系是解本題的關鍵．3．（2023春·河北保定·八年級統考期中）如圖，以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為、、，且，，則另一個的面積為的正方形的邊長為（

）

A．3 B．4 C．5 D．【答案】B【分析】利用勾股定理易得，進行計算即可得到答案．【詳解】解：直角三角形的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為、、，，，，，面積為的正方形的邊長為：，故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理，解答的關鍵理解題意，并了解勾股定理的幾何意義．4．（2023春·河北石家莊·八年級統考開學考試）如圖，分別以的三邊長，，為邊長向外作正方形，正方形中標注的數字代表所在正方形的面積，則x所在的正方形的面積為．

【答案】14【分析】根據勾股定理即可求解．【詳解】解：根據勾股定理可得：，由圖可知：，∴x所在的正方形的面積為，故答案為：14．【點睛】本題主要考查了勾股定理，解題的關鍵是掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊平方．5．（2023春·新疆伊犁·八年級校考期中）如圖，陰影部分是兩個正方形，圖中還有兩個直角三角形和一個空白的正方形，陰影部分的總面積為，直角三角形①的斜邊為，則直角三角形①的面積為．

【答案】【分析】根據勾股定理得出空白正方形的面積，進而得出其邊長，再根據勾股定理求出①的長直角邊的長度，最后根據三角形面積公式即可求解．【詳解】解：∵②為直角三角形，陰影部分是兩個正方形，∴，∴，∵①為直角三角形，，∴，∴直角三角形①的面積故答案為：．

【點睛】本題主要考查了勾股定理，解題的關鍵是掌握直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方．類型四、勾股定理與折疊問題【解惑】如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊，，現將直角邊沿折疊，使它落在斜邊上，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據勾股定理求出，根據折疊的性質可得，，，最后利用勾股定理解即可．【詳解】解：中，，，，將直角邊沿折疊，使它落在斜邊上，，，設，則，由折疊的性質，可得，，在中，，，解得，等于．故選D．【點睛】本題考查勾股定理與折疊的性質，解題的關鍵是掌握折疊前后對應邊相等，對應角相等．【融會貫通】1．（2023春·遼寧撫順·八年級統考階段練習）如圖，在中，，，是邊上的動點，點關于直線的對稱點為，連接交于，當為直角三角形時，的長是．【答案】或/5或2【分析】當時，先求出及的長，再在中利用勾股定理求出；當時，作，證明出為等腰直角三角形即可求出即可．【詳解】解：當時，如圖，

，，，，，由折疊得，，，設，，在中，，，即；當時，如圖，作，

，，，，，．故答案為：5或2．【點睛】本題考查了軸對稱的性質，勾股定理的應用及等腰直角三角形的性質，掌握勾股定理是解題關鍵．2．（2023秋·福建福州·七年級福州華倫中學校考開學考試）如圖，在中，，，，已知D是上一動點，將點A沿翻折，若A落到內（不包括邊），則的取值范圍為．

【答案】【分析】先根據勾股定理求得，當點落在上時，此時最短，當點落在上時，此時最長，利用三角形等面積法及勾股定理即可求解．【詳解】解：當點落在上時，此時最短，如圖2，則，

，，，，，，，，，當點落在上時，此時最長，如圖3，則，

作于點G，于點H，則，，，，，，，，，的取值范圍為，故答案為：．【點睛】本題考查了翻折變換、勾股定理，借助輔助線，利用分類討論思想是解題的關鍵．3.（2023春·新疆巴音郭楞·八年級校考期中）如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊，現將折疊，使點與點重合，折痕為，則的長為．

【答案】【分析】根據折疊的性質，則，設，則，再根據勾股定理，即可．【詳解】由題意得，，設，∵，∴，∵，，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查勾股定理，折疊的知識，解題的關鍵是掌握勾股定理的運用，折疊的性質．4．（2022秋·甘肅白銀·八年級校考期中）如圖，四邊形是長方形，，，將沿折疊，使點恰好落在對角線上處，求的長．

【答案】【分析】由四邊形為長方形，得到為直角，由折疊得到，，，利用勾股定理求出的長，由求出的長，在中，設，表示出，利用勾股定理列出關于的方程，求出方程的解得到的值，即可確定出的長．【詳解】解：四邊形是長方形，，，，，，將沿折疊可得，，，，在中，，，，則由勾股定理得，即，設，則有，在中，，則由勾股定理得，即，解得，．【點睛】本題考查了翻折變換，勾股定理，解方程等知識，熟練掌握相關幾何定理及性質是解本題的關鍵．5．（2023秋·河南南陽·八年級校考期末）把一長方形紙片按圖所示折疊，使頂點B與點D重合，折痕為，若，，重疊部分的面積為多少？

【答案】【分析】根據折疊的性質可得，，，設，根據勾股定理解，求出，再利用三角形面積公式求解．【詳解】解：四邊形是長方形，，，，，由折疊可知，，，設，則，在中，由勾股定理得：，，解得，，，即重疊部分的面積為．【點睛】本題考查折疊問題，勾股定理，解題的關鍵是掌握折疊的性質，即折疊前后對應邊相等，對應角相等．類型五、利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）【解惑】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，則AB2+BC2+AC2的值為（

）A．6 B．9 C．12 D．18【答案】D【分析】根據，利用勾股定理可得，據此求解即可．【詳解】解：如圖示，∴在中，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查了勾股定理的性質，掌握直角三角形中，三角形的三邊長，，滿足是解題的關鍵．【融會貫通】1．（2023春·山西大同·八年級統考期末）如圖，和都是等腰直角三角形，，，的頂點A在的斜邊上，則的值為．

【答案】8【分析】根據常見的“手拉手全等模型”，結合勾股定理即可求解．【詳解】解：連接，如圖所示：

因為和都是等腰直角三角形，，即故故答案為：8【點睛】本題綜合考查全等三角形的判定與性質以及勾股定理的應用．掌握相關幾何知識是解題的關鍵．2．（2023秋·全國·八年級專題練習）在中，斜邊，則．【答案】2【分析】根據勾股定理，可知兩直角邊的平方和等于斜邊平方，進而得出答案．【詳解】∵在中，斜邊∴∴故答案為：2．【點睛】本題考查勾股定理，解題關鍵是根據勾股定理，發現題干中．3．（2019秋·廣東梅州·八年級廣東梅縣東山中學校考期中）在中，斜邊長，的值為【答案】【分析】結合題意，根據勾股定理的性質計算，即可得到答案．【詳解】∵中，斜邊長，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理的知識；解題的關鍵是熟練掌握勾股定理的應用，從而完成求解．4．（2023春·八年級課時練習）如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足為D，M為AD上任一點，則MC2﹣MB2等于．【答案】69【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分別表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分別將BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出結果．【詳解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2?AD2，CD2＝AC2?AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2?AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2?AD2＋MD2，∴MC2?MB2＝（AC2?AD2＋MD2）?（AB2?AD2＋MD2），＝132?102，＝69．故答案為：69．【點睛】此題考查了勾股定理的知識，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理，分別兩次運用勾股定理求出MC2和MB2．6．（2023春·遼寧撫順·八年級統考階段練習）如圖，中，，為中點，點在邊上（點不與點，重合），連接，過點作交于點，連接．

(1)求證：(2)若，，，直接寫出線段的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）延長至使，連接，證明，從而得，，由得為中垂線，故，在中根據勾股定理即可的結論；（2）結合（1）中的結論可得，，在中利用勾股定理即可解決．【詳解】（1）證明：作，交延長線于，連接

，，，，，在和中，，，，，，，，，，（2）解：設，，，，則，，，，即：，由（1）知：，，，，，，，即：，解得：，即：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和勾股定理，中垂線的性質，其中倍長中線是解決問題的關鍵．類型六、趙爽弦圖【解惑】如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”，它由個全等的直角三角形拼成，已知大正方形面積為，小正方形面積為，若用，表示直角三角形的兩直角邊（），表示斜邊，則下列說法中錯誤的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據正方形的面積得出，，根據勾股定理得出，進而根據完全平方公式變形求得的值，即可求解．【詳解】解：∵大正方形面積為，∴，故A選項正確，不合題意；∴∵小正方形面積為，∴，故B選項正確，不合題意；∴∴，故C選項錯誤，符合題意；∴∴（負值舍去），故D選項正確，不合題意；故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，完全平方公式的變形求值，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．【融會貫通】1．（2023春·安徽·八年級統考期末）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若，大正方形的面積為625，則小正方形的邊長為（

）

A．7 B．24 C．17 D．25【答案】C【分析】勾股定理得：，又，由此即可求出，因此小正方形的邊長為17．【詳解】解：由題意知小正方形的邊長是，由勾股定理得：，，，小正方形的邊長為17．故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理的證明，正方形的性質，全等三角形的性質，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．2．（2023春·北京·八年級統考期末）如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，如果圖中勾，弦，則小正方形的面積為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】首先根據勾股定理求出，然后利用正方形的面積公式求解即可．【詳解】∵勾，弦，∴∴小正方形的面積為．故選：A．【點睛】本題主要考查了勾股定理中趙爽弦圖模型，關鍵在于正確找出勾股關系．3．（2023春·山西呂梁·八年級校考階段練習）如圖是我國古代數學家趙爽創制的一副“勾股圓方圖”（又稱“趙爽弦圖”），它是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形無縫拼成的大正方形．若，，則的長是．

【答案】【分析】根據含角的直角三角形的三邊關系設未知數解方程即可．【詳解】在中，，∴，設，則，∵，∴，∴，∵，∴，解得：，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了含角直角三角形的性質、勾股定理、相似三角形的性質，熟練掌握直角三角形的相關性質是解題關鍵．4．（2023春·江西贛州·八年級校聯考期末）我國古代數學家趙爽巧妙地用“弦圖”證明了勾股定理，標志著中國古代的數學成就如圖，小穎同學把圖中長和寬分別和的兩個全等矩形沿對角線分成四個全等的直角三角形，將這四個全等的直角三角形拼成如圖所示的“趙爽弦圖”，則圖中小正方形的面積為．

【答案】【分析】由圖可知，圖中正方形的邊長為直角三角形長和寬的差，即可求解．【詳解】解：由圖可知，圖中正方形的邊長為，∴圖中小正方形的面積為，故答案為：．【點睛】本題考查勾股定理，正方形的面積．正確識圖是解題的關鍵．5．（2023春·遼寧大連·八年級統考期中）我國古代數學家趙爽巧妙地用“弦圖”證明了勾股定理，成為中國古代數學成就的標志之一，如圖，若弦圖中四個全等的直角三角形的兩條直角邊長分別為和，則中間小正方形的對角線長為．

【答案】【分析】根據邊長求出中間小正方形的邊長，再根據勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，，連接，

根據題意可得，，∵四邊形是正方形，∴，∴在中，，故答案為：．【點睛】本題主要考查勾股定理的運用，掌握勾股定理的計算方法是解題的關鍵．類型七、勾股定理構造圖形【解惑】為預防新冠疫情，民生大院入口的正上方A處裝有紅外線激光測溫儀（如圖所示），測溫儀離地面的距離米，測溫儀就會自動測溫并報告人體體溫．當身高為米的市民正對門緩慢走到離門0.8米的地方時（即米），測溫儀自動顯示體溫（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】過點D作于點E，構造，利用勾股定理求得的長度即可．【詳解】解：如圖，過點D作于點E，

∵米，米，∴（米），在中，由勾股定理得到：（米），故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是作出輔助線，構造直角三角形，利用勾股定理求得線段的長度．【融會貫通】1．（2023秋·廣東揭陽·八年級統考期末）如圖，某小區有一塊長方形花圃，為了方便居民不用再走拐角，打算用瓷磚鋪上一條新路，居民走新路比走拐角近（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據勾股定理求得，計算的值即可．【詳解】根據勾股定理求得，∴，故選D．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．2．（2023秋·陜西西安·八年級校考開學考試）在我國古代數學著作《九章算術》“勾股”章有一題：“今有開門去間一尺，不合二寸，向門廣幾何．”大意是說：如圖，推開兩扇門（和），門邊緣兩點到門檻的距離為1尺（1尺10寸）兩扇門間的縫隙為2寸，那么門的寬度（兩扇門寬度）的和為寸．

【答案】101【分析】過作于，構建直角三角形，根據勾股定理計算求解即可．【詳解】解：過作于，

設，則，，，在中，可有，即，解得，所以門的寬度的和為101寸．故答案為：101．【點睛】本題主要考查了勾股定理的實際應用問題，構建直角三角形是解答此題的關鍵．3．（2023春·陜西商洛·八年級校考期中）《九章算術》是我國古代的一部數學著作，其中記載了一道有趣的題：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會．問甲乙行各幾何?”其大意如下：已知甲、乙兩人同時從一地出發，甲的速度為7步/秒（步為古代長度計量單位，與現在的米類似），乙的速度為3步/秒．乙一直向東行走，甲向南行走10步后，偏離原方向，朝北偏東的方向直行一段后與乙相遇，問甲、乙各行走了多少步?設乙經過秒后兩人相遇，則根據題意，可列方程為．【答案】【分析】根據題意畫出三角形ABC，用含x的代數式表示三邊長，利用勾股定理可得方程．【詳解】解：如圖，兩人同時從A地出發，甲向南行走10步后到達C地后，偏離原方向．設x秒兩人在B處相遇，這時乙行駛，甲共行駛，

∵，∴，∵，由勾股定理得：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是從實際問題中抽象出直角三角形，利用勾股定理是解決問題的關鍵．4．（2023秋·全國·八年級專題練習）暑假中，小明到某海島探寶，如圖，他到達海島登陸點后先往東走8，又往北走2，遇到障礙后又往西走3，再折向北走6處往東一拐，僅1就找到寶藏，問登陸點到埋寶藏點的直線距離是多少？

【答案】登陸點到寶藏處的距離為10千米【分析】通過行走的方向和距離得出對應的線段的長度，構造直角三角形利用勾股定理求解．【詳解】解：過點作于點，根據題意可知，千米，千米，在中，由勾股定理得千米，答：登陸點到寶藏處的距離為10千米．

【點睛】本題考查了矩形的性質以及勾股定理的應用，解題的根據是結合圖形，讀懂題意，根據題意找到需要的數量關系，運用勾股定理求線段的長度．5．（2022秋·七年級單元測試）如圖，小麗蕩秋千，秋千架高2.4米，秋千座位離地0.4米，小紅蕩起最高時，坐位離地0.8米．此時小紅蕩出的水平距離是多少？（蕩到秋千架兩邊的最高點之間的距離）

【答案】2.4米【分析】畫出秋千的側面圖，根據勾股定理即可求出的值．【詳解】解：如圖為秋千側面圖，座位最低點為A，最高點為B，

則，過B點作的垂線，垂足為C，則，，由勾股定理得：，∴，故小紅蕩出的水平距離是.【點睛】本題考查了勾股定理的運用，屬于基礎題，關鍵是正確理解題意．類型八、小鳥飛行問題【解惑】如圖，有一只喜鵲在一棵高的小樹上覓食，它的巢筑在與該樹水平距離（）為的一棵高的大樹上，喜鵲的巢位于樹頂下方的處，當它聽到巢中幼鳥的叫聲，立即飛過去，如果它飛行的速度為，那么它要飛回巢中所需的時間至少是(

)

A． B． C． D．【答案】C【分析】過作于，如圖所示，由勾股定理求出最短路徑長即可得到答案．【詳解】解：過作于，如圖所示：

由題意可知，，根據兩點之間線段最短，則它要飛回巢中所飛的最短路徑為，由勾股定理可得，它要飛回巢中所需的時間至少是（），故選：C．【點睛】本題考查勾股定理解實際問題，讀懂題意，作出圖形，數形結合求出最短路徑長度是解決問題的關鍵．【融會貫通】1．（2023春·重慶云陽·八年級校考階段練習）如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹稍飛到另一棵樹的樹稍，問小鳥至少要飛行（

）A．6米 B．8米 C．10米 D．14米【答案】C【分析】根據“兩點之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進行直線飛行，所行的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出．【詳解】解：如圖，設大樹高為，小樹高為，過點作于，則是矩形，連接，，，，在中，，故小鳥至少飛行，故選C．【點睛】本題考查正確運用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學好數學的關鍵．2．（2023·浙江·八年級假期作業）如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米．一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行（

）A．8米 B．9米 C．10米 D．12米【答案】C【分析】根據勾股定理解答即可．【詳解】如圖：由題意可得AB=10-4=6米，BC=6米，AC==10米．故選：C．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖．領會數形結合的思想的應用．3．（2023春·甘肅隴南·八年級統考期末）如圖，在公園內有兩棵樹相距8米，一棵樹高15米．另一棵樹高9米，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛米．

【答案】10【分析】根據“兩點之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的頂端進行直線飛行，所行的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出．【詳解】如圖所示，為樹，且米，米，為兩樹距離8米，過作于E，則，在直角三角形中，．答：小鳥至少要飛10米．故答案為：10．

【點睛】本題主要考查了勾股定理的的實際運用和兩點之間，線段最短等知識點，熟練掌握其性質是解決此題的關鍵．4．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹相距8米，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行米．【答案】10【分析】根據“兩點之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進行直線飛行，所行的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出．【詳解】解：如圖，設大樹高為，小樹高為，過點作于，連接，，，，在中，，故小鳥至少飛行，故答案為：10．【點睛】本題考查正確運用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學好數學的關鍵．5．（2023秋·全國·八年級專題練習）有兩棵樹，一棵高6米，另一棵高3米，兩樹相距4米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了多少米？【答案】一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則它至少要飛行5米．【分析】根據題意畫出對應的幾何圖形，如圖，過點D作，則四邊形是矩形，故可得的長度，在中利用勾股定理即可求解．【詳解】解：根據題意畫出圖形如下：其中米，米，米，過點D作，則四邊形是矩形，∴米，米，∴米，在中，米，答：一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則它至少要飛行5米．【點睛】本題考查矩形的判定與性質、勾股定理等內容，根據題意畫出對應的幾何圖形是解題的關鍵．類型九、勾股定理的證明方法【解惑】意大利著名畫家達·芬奇用如圖所示（四邊形，四邊形，四邊形都為正方形，設圖①中空白部分的面積為，圖③中空白部分的面積為）的方法驗證了勾股定理，步驟如下所示，則下列判斷不正確的是（

）第一步：由圖①可得；第二步：由圖③可得第三步：由，可驗證

A．★表示 B．●表示C．◆表示= D．▲表示【答案】B【分析】根據圖形表示出，即可求解．【詳解】解：由圖①可得，∴★表示，故A正確；由圖③可得，故B錯誤；∴，，∴，故C、D正確；故選：B．【點睛】本題考查勾股定理，解本題的關鍵是明確題意，利用數形結合思想求解．【融會貫通】1．（2023春·河南周口·八年級校考期中）數學興趣小組的同學用火柴盒研究證明勾股定理的新方法．如圖，火柴盒的一個側面倒下到的位置，連接，此時，，，．

(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)請利用直角梯形的面積證明勾股定理：．【答案】(1)是等腰直角三角形，理由見解析(2)證明見解析【分析】（1）由題意判斷，再由全等三角形的性質得到，即可判斷的形狀；（2）利用直角梯形的面積的兩種表示，列式化簡即可得證．【詳解】（1）解：是等腰直角三角形，理由如下：由圖可知，，，，在長方形中，，，是等腰直角三角形；（2）證明：如圖所示：

，，，；，，即，．【點睛】本題考查直角三角形相關性質，涉及全等的性質、直角三角形的判定、勾股定理的證明等，數形結合是解決問題的關鍵．2．（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，對任意符合條件的直角三角形，繞其銳角頂點逆時針旋轉得，所以，且四邊形是一個正方形，它的面積和四邊形面積相等，而四邊形面積等于和的面積之和，根據圖形寫出一種證明勾股定理的方法．【答案】證明見解析．【分析】利用四邊形面積等于和的面積之和，化簡整理得到勾股定理．【詳解】解：由圖可得：，即：，∴，整理得：．【點睛】此題考查了勾股定理的證明，解題的關鍵是根據所給圖形，找到相應的等量關系．3．（2023春·北京密云·八年級校考期末）解答(1)請你根據圖甲中的直角三角形敘述勾股定理（用文字及符號語言敘述）．

(2)以圖甲中的直角三角形為基礎，可以構造出以，為底，以為高的直角梯形，如圖乙所示，請你利用圖乙驗證勾股定理．

【答案】(1)在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；(2)驗證見解析【分析】（1）根據題意分別用文字和符號描述出勾股定理即可；（2）根據題意可知，可得，進而求得，利用整理可得驗證出勾股定理．【詳解】（1）文字語