第07講一元二次方程

目錄

題型12應(yīng)用根的判別式證明方程根的

一、考情分析情況

題型13應(yīng)用根的判別式求代數(shù)式的取

二、知識(shí)建構(gòu)值范圍

考點(diǎn)一一元二次方程的相關(guān)概念題型14與根的判別式有關(guān)的新定義問(wèn)

題型01識(shí)別一元二次方程題

題型02由一元一次方程的概念求參數(shù)考點(diǎn)三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

的值題型01由根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)

題型03一元二次方程的一般式式的值

題型04由一元二次方程的解求參數(shù)的題型02由根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解

值通過(guò)代換求代數(shù)式的值

題型05由一元二次方程的解求代數(shù)式題型03由根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解

的值通過(guò)降次求代數(shù)式的值

題型04由方程兩根滿足關(guān)系求字母或

題型06已知一元二次方程的一個(gè)根，求

另一個(gè)根代數(shù)式的值

考點(diǎn)二解一元二次方程題型05不解方程由根與系數(shù)的關(guān)系判

題型01用直接開(kāi)平方法解一元二次方斷根的正負(fù)

程題型06由方程兩根的不等關(guān)系確定字

題型02利用配方法解一元二次方程母系數(shù)的取值范圍

題型03利用因式分解法解一元二次方題型07與根與系數(shù)有關(guān)的新定義問(wèn)題

程題型08構(gòu)造一元二次方程求代數(shù)式的

題型04利用公式法解一元二次方程值

題型05利用換元法解一元二次方程題型09根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式

題型06選用合適的方法解一元二次方的綜合應(yīng)用

程考點(diǎn)四一元二次方程的應(yīng)用

題型07錯(cuò)看或錯(cuò)解一元二次方程問(wèn)題題型01分裂（傳播）問(wèn)題

題型08配方法的應(yīng)用題型02碰面（循環(huán)）問(wèn)題

題型09判斷不含字母的一元二次方程題型03增長(zhǎng)率問(wèn)題

的根的情況題型04營(yíng)銷問(wèn)題

題型10判斷含字母的一元二次方程根題型05工程問(wèn)題

的情況題型06行程問(wèn)題

題型11由方程根的情況確定字母的值題型07與圖形有有關(guān)的問(wèn)題

或取值范圍

考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)

本考點(diǎn)內(nèi)容以考查一元二

一元二次方程的相

>理解一元二次方程的相關(guān)概念.

關(guān)概念次方程的相關(guān)概念、解一元二次方

程、根的判別式、韋達(dá)定理（根與

>理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解

系數(shù)的關(guān)系）、一元二次方程的應(yīng)

一元二次方程的解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；

用題為主，既有單獨(dú)考查，也有和

法>會(huì)用一元二次方程根的判別式判別方程是否

有實(shí)根及兩個(gè)實(shí)根是否相等；二次函數(shù)結(jié)合考察最值問(wèn)題，年年

考查，分值為15分左右.

一元二次方程的根

>了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.預(yù)計(jì)2024年各地中考還將

與系數(shù)的關(guān)系

繼續(xù)考查上述的幾個(gè)題型，復(fù)習(xí)過(guò)

程中要多注意各基礎(chǔ)考點(diǎn)的鞏固，

一元二次方程的應(yīng)>能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程解的合特別是解法中公式法的公式，不要

用理性.和后續(xù)二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐

標(biāo)公式記混了.

「噲只含有一個(gè)未知數(shù)，并且材數(shù)的最高次數(shù)是2的跑方程，叫做次方。題型01識(shí)別一元二次方程

題型02由一元二次方程的概念求參數(shù)的值

Y一元二次方程的相關(guān)概念）--1一般形式J一（af+bx+cRSO））題型。3m次方程的一般式

題型。4由一元二次方程的解求參數(shù)的值

［一元二次方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，就是這個(gè)一^次方程的睥）題型05由一元二次方程的解求代數(shù)式的值

題型06已知一元二次方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根

基本思路：通過(guò)"降次"，將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，分別解兩個(gè)一元一次方程，得

到的兩個(gè)解就是原方程的解.

直接開(kāi)平方法1~心=6（啟0）x：=-/

苴b<0時(shí)，方程無(wú)解

配方法(mx+a)2=b以---

L(當(dāng)b2時(shí))一(

解法題型01用直接開(kāi)平方法解一元二次方程

題型02利用配方法解一元二次方程

題型03利用因式分解法解一元二次方程

因式分解法(ax+b)(cx+d)=0?=4，.V=-7

2題型04利用公式法解一元二次方程

題型05利用換元法解一元二次方程

T「公式法一I題型06選用合適的方法解一元二次方程

一元二次方程的解法適用所有/二(Z>2-4^C>0)

（題型07錯(cuò)看或錯(cuò)解一元二次方程問(wèn)題

I題型08配方法的應(yīng)用

1）當(dāng)a=1,b為偶數(shù)，CHO時(shí)，首選配方法'

題型09判斷不含字母的一元二次方程的根的情況

2）當(dāng)b=0時(shí)，首選直接開(kāi)平方法題型10判斷含字母的一元二次方程根的情況

題型11由方程根的情況確定字母的值或取值范圍

★一元二次方程解法選擇當(dāng)時(shí)，可選因式分解法或配方法

3）c=0題型12應(yīng)用根的判別式證明方程根的情況

題型13應(yīng)用根的判別式求代數(shù)式的取值范圍

<4）當(dāng)a=1,bwO,CHO時(shí)，可選配方法或因式分解法

題型14與根的判別式有關(guān)的新定義問(wèn)題

（一元二次方程）5）當(dāng)aw匚b/0,c"時(shí)，可選公式法或因式分解法

卜=b"4ac前提：a*0jlZ?2-4ac>0

根的判別式-A>0有兩個(gè)不相等的實(shí)根

★根的情況與判別式的關(guān)系HA=o有兩個(gè)相等的實(shí)根

A<0無(wú)實(shí)根

用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：審、R歹人解、臉、答

題型。1分裂（傳播）問(wèn)題

變化率問(wèn)題

一元二次方程的應(yīng)用題型02碰面（循環(huán)）問(wèn)題

?利扁和利潤(rùn)率問(wèn)題題型03增長(zhǎng)率問(wèn)題

題型04營(yíng)銷問(wèn)題

與一元二次方程有關(guān)應(yīng)用題的常見(jiàn)類型面積問(wèn)題題型05工程問(wèn)題

《分裂（傳播）問(wèn)題）題型06行程問(wèn)題

題型07與圖形有有關(guān)的問(wèn)題

碰面問(wèn)題（循環(huán)T標(biāo)版

考點(diǎn)一一元二次方程的相關(guān)概念

夯基?必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理

概念：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程.

一元二次方程一般形式：ax2+bx+c=0（aW0）,

的相關(guān)概念其中：a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).

一元二次方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，就是這個(gè)一元二次方程的解.

易混易錯(cuò)

1.如果明確了ax?+bx+c=0是一元二次方程，就隱含了aWO這個(gè)條件（當(dāng)a=0時(shí)，不含有二次項(xiàng)，

即不是一元二次方程）.

2.一元二次方程必須具備三個(gè)條件：

①必須是整式方程；②必須只含有一個(gè)未知數(shù)；③所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

3.在判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程時(shí),要先化成一般形式，再判斷.

4.二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都是在一般形式下定義的.所以在確定一元二次方程各項(xiàng)的系數(shù)

時(shí),應(yīng)先將方程化為一般形式.

5.一元二次方程的解，要么無(wú)解，有解必有兩個(gè)，所以最后方程的解一定要寫(xiě)明xl,x2.

提升-必考題型歸納

題型01識(shí)別一元二次方程

【例1】（2023?江西撫州?金溪一中校考模擬預(yù)測(cè)）下列方程是一元二次方程的是（）

A.x2—1=0B.2x+y=1C.x+-=3D.4x+5=6%

【答案】A

【提示】根據(jù)一元二次方程的定義：含有一個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫

一元二次方程，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、是一元二次方程，故該選項(xiàng)符合題意；

B、含有兩個(gè)未知數(shù)，故不是一元二次方程，該選項(xiàng)不符合題意；

C、不是整式方程，故不是一元二次方程，該選項(xiàng)不符合題意；

D、未知數(shù)的最高次數(shù)是1,故是一元一次方程，該選項(xiàng)不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，解題時(shí)要注意：①是整式方程，②只含有一個(gè)未知數(shù)，③所含

未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2.

【變式1T】（2023?四川成都?一模）下列方程是一元二次方程的是（）

A.x2+x—y=0B.ax2+2%-3=0

C.x2+2x+5=x（x-1）D.x2—1=0

【答案】D

【提示】根據(jù)一元二次方程定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元

二次方程，逐項(xiàng)提示判斷即可.

【詳解】解：A、x2+x-y=0,二個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，故該選項(xiàng)不符合題意；

B、ax2+2x-3=0,當(dāng)a=0時(shí)，是一元一次方程，故該選項(xiàng)不符合題意；

C、/+2%+5=x（x-1）整理后得3%+5=0,不含二次項(xiàng)，不是一元二次方程，故該選項(xiàng)不符合題意；

D、x2-1=0,是一元二次方程，故該選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，牢記“只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方

程叫一元二次方程”是解題的關(guān)鍵.

題型02由一元二次方程的概念求參數(shù)的值

【例2】（2023南陽(yáng)市一模）關(guān)于x的方程（zu+1）萬(wàn)阿+1一根刀+6=0是一元二次方程，則機(jī)的值是（）

A.-1B.3C.1D.1或一1

【答案】C

【提示】根據(jù)一元二次方程的定義，即可求解.

【詳解】解：.??關(guān)于x的方程（6+1/問(wèn)+1一a％+6=0是一元二次方程，

\m\+1=2且m+1A0,

解得：m=1.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，熟練掌握含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整

式方程是一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1］（2022上?遼寧沈陽(yáng).九年級(jí)期中）方程⑺-2）刀/-2+?+㈤尤+3=0是關(guān)于x的一元二次方

程，則m.

【答案】-2

【提示】根據(jù)一元二次方程的定義知，m2-2=2,且小一240,據(jù)此可以求得m的值.

【詳解】解：：方程（?n-2）xm2-2+（5+m）x+3=0是關(guān)于久的一元二次方程，

m2—2=2,且m-2^0,

解得巾=-2；

故答案是：-2.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義.一元二次方程必須滿足四個(gè)條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個(gè)未知數(shù)，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.

題型03一元二次方程的一般式

［例3］（2022上?河南鄭州?九年級(jí)鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)校考期中）將一元二次方程3/=5%-1寫(xiě)成一般形式,

下列等式正確的是（）

A.3%2—5%—1=0B.3x2+5x—1=0

C.3x2—5%+1=0D.3久2+5%+i=o

【答案】C

【提示】把等號(hào)右邊的式子移到等號(hào)左邊即可解題.

【詳解】解：3%2=5%-1

移項(xiàng)得：3產(chǎn)一5x+1=0

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的一般形式，解題的關(guān)鍵是掌握移項(xiàng)變號(hào)的基本步驟.

【變式3-1]（2023?廣東東莞?東莞市東華初級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）將方程4久2+8%=25化成a/+版+?=0

的形式，則a,b,c的值分別為（）

A.4,8,25B.4,2,-25C.4,8,-25D.1,2,25

【答案】C

【提示】將4/+8x=25移項(xiàng)化為一元二次方程的一般式即可求解.

【詳解】解：將原方程化為一般形式得：4/+8x-25=0,

/.a=4,b—8,c=—25,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的定義，熟記一元二次方程一般式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【變式3-2].（2021上?山西晉中?九年級(jí)階段練習(xí)）若一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1,常數(shù)項(xiàng)為0,它的

一個(gè)根為2,則該方程為.

【答案】X2—2x=0/-2X+X2=0

【提示】直接利用已知要求得出符合題意的方程.

【詳解】解：由題意可得，該方程的一般形式為：/-2尸0.

故答案為：X2-2X=0.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的一般形式，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

【變式3-3X2023集賢縣?九年級(jí)期中）已知關(guān)于x的一元二次方程（a-l）x2+x+a2-1=。的常數(shù)項(xiàng)是0,

則a的值為（）

A.1B.-1C.1或-1D.|

【答案】B

【提示】根據(jù)一元二次方程的定義和題意列出a滿足的條件求解即可.

【詳解】解：由題意，卜2一?=?,

解得：CL——If

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的定義和解法，掌握一元二次方程的定義與基本解法是解題關(guān)鍵.

題型04由一元二次方程的解求參數(shù)的值

【例4】（2022?廣東?中考真題）若％=1是方程——2x+a=0的根，貝Ua=.

【答案】1

【提示】本題根據(jù)一元二次方程的根的定義，把戶1代入方程得到a的值.

【詳解】把x=l代入方程/—2x+a=0,得l-2+a=0,

解得a=l,

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，

就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.

【變式4-1]（2021?湖南長(zhǎng)沙?中考真題）若關(guān)于x的方程/一日一12=0的一個(gè)根為3,貝味的值為

【答案】-1

【提示】將％=3代入方程可得一個(gè)關(guān)于k的一元一次方程，解方程即可得.

【詳解】解：由題意，將x=3代入方程/一日―12=0得：32-3k-12=0,

解得k=—1,

故答案為：-L

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟練掌握一元二次方程根的定義是解題關(guān)鍵.

方法技巧

利用方程根的概念將方程的根代入原方程再解方程就可以求出參數(shù)的值，同時(shí)還要注意限制參數(shù)取

值的其他隱含條件.

題型05由一元二次方程的解求代數(shù)式的值

【例5】（2023?甘肅隴南?一模）關(guān)于久的一元二次方程2尢。-2+7n=4的解為久=1,貝!]a+ni的值為（）

A.9B.8C.6D.4

【答案】C

【提示】根據(jù)一元二次方程的概念可求出a的值，根據(jù)解為％=1可求出山的值，由此即可求解.

【詳解】解：關(guān)于久的一元二次方程2久即2+6=4,

：.a-2=2,解得，a=4,

一元二次方程2/+m=4,

:解為％=1,

2xI2+m=4,解得，m=2,

a+m=4+2—6,

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程，理解一元二次方程的概念，一元二次方程的解的概念，代數(shù)式求值

的方法是解題的關(guān)鍵.

【變式5-1]（2023?北京海淀?校考模擬預(yù)測(cè)）如果％=-1是方程/++n=0的一個(gè)根，那么m、n的大

小關(guān)系是（）

A.m>nB.m=nC.m<nD.不確定的

【答案】A

【分析】把方程的解代入方程，得到的”的關(guān)系式，判斷加，”的大小.

【詳解】解：把刀=一1代入方程有：l-m+n=0

/.m—n=1>0

'.m>n.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到處"的關(guān)系式，是解題的關(guān)鍵.

【變式5-2X2023渭南市月考）若關(guān)于x的方程a久2+-1=0的一個(gè)解為x=1,則2023-a-b=

【答案】2022

【分析】先把方程的解代入方程，得到a+6=1,再求代數(shù)式的值.

【詳解】解：把x=1代入方程ax?+bx—1=0得a+b—1=0,

即a+b=1,

所以2023-a-b=2023-（a+b）=2023-1=2022.

故答案為：2022.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解和求代數(shù)式的值，“知解必代”是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3]（2023?廣東佛山?校考一模）已知a是方程2/—5x-7=0的一個(gè)根，則代數(shù)式4a2-10a的值

是.

【答案】14

【分析】根據(jù)方程的根的定義，把久=a代入方程求出2a2-5a-7-0即可解答；

【詳解】解：是方程2--5x-7=。的一個(gè)根，

2a2-5a-7=0,

整理得，2a2-5a=7,

：.4a2-10a=2（2a2-5a）=14,

故答案是：14.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解的概念，已知式子的值求代數(shù)式的值，理解一元二次方程的解的概

念是解題的關(guān)鍵.

題型06已知一元二次方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根

[例6]（2022?廣西貴港?中考真題）若x=-2是一元二次方程/+2x+爪=0的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)

根及機(jī)的值分別是（）

A.0,-2B.0,0C.-2,-2D.-2,0

【答案】B

【提示】直接把x=-2代入方程，可求出機(jī)的值，再解方程，即可求出另一個(gè)根.

【詳解】解：根據(jù)題意，

".'x=—2是一元二次方程/+2x+m=0的一個(gè)根，

把久=-2代入產(chǎn)+2x+m=0,則

（-2產(chǎn)+2x（-2）+m=0,

解得：m=0；

'.x2+2x=0,

x（x+2）=0,

=—2,x=0,

二方程的另一個(gè)根是x=0；

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握解一元二次方程的步驟進(jìn)行計(jì)算.

【變式6-1]（2023寧德市一模）關(guān)于龍的一元二次方程一一2依-5=0的一個(gè)根是1,則這個(gè)方程的另一

個(gè)根是.

【答案】-5

【提示】根據(jù)方程的一個(gè)根1代入方程求出％,得到一元二次方程，解方程即可求解.

【詳解】解：.?.關(guān)于x的一元二次方程/—2日—5=0的一個(gè)根是1,

/.I--5=0,

：.k=-2,

.".%2+4%—5=0,

解得XI=1?%2=-5,

方程的另一個(gè)根是-5.

故答案為：-5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解法，理解一元二次方程的解法是解答關(guān)鍵.

【變式6-2]（2023遵義市第十一中三模）若關(guān)于x的一元二次方程/—履—2=0的一個(gè)根為％=1,則這

個(gè)一元二次方程的另一個(gè)根為.

【答案】-2

【提示】由題目已知41是方程的根，代入方程后求出人的值，再利用一元二次方程的求根方法即可答題.

【詳解】解：將％=1代入一元二次方程,一丘一2=0有：1一卜一2=0,k=-l,

方程/+%-2=0

(%+2)(x-1)=0

即方程的另一個(gè)根為x=-2

故本題的答案為-2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程用已知根求方程未知系數(shù)以及利用因式分解法解一元二次方程，其

中利用己知根代入方程求出未知系數(shù)是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)二解一元二次方程

夯基-必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理

基本思路通過(guò)“降次”，將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，分別解兩個(gè)一元一次方程，

得到的兩個(gè)解就是原方程的解.

特征步驟

2

直接形如ax=b(a=1)方程兩邊同時(shí)除以a,得x?=2

a

開(kāi)平0)的一元二次方2)兩邊分別開(kāi)方得xl=區(qū)x2=-他

程

方法

1)移項(xiàng)：使方程左邊為二次項(xiàng)與一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；

2)二次項(xiàng)系數(shù)化為1：方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)；

可配成3)配方：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一般的平方，把方程化為

解29

一配方(mx+a)=b(mx+a)=b(b>0)的形式;

元形式的

法

二一元二次方程4)求解：判斷右邊等式符號(hào)，開(kāi)平方并求解.

次【注意】：①當(dāng)b〈0時(shí)，方程無(wú)解

方解

程法②當(dāng)b20時(shí)，方程的根是*=四生

的m

方

可化成1)將方程右邊的各項(xiàng)移到方程左邊，使方程右邊為0；

法

因式(ax+b)(cx+d)=02)將方程左邊分解為兩個(gè)一次因式相乘的形式；

分解形式的3)令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；

法一元二次方程4)求解.

口訣：右化零，左分解，兩因式，各求解.

1)把方程化為一般形式，確定a、b、c的值(若系數(shù)是分?jǐn)?shù)通常將其

化為整數(shù)，方便計(jì)算)；

2）求出b?-4ac的值，根據(jù)其值的情況確定一元二次方程是否有解；

公式適用所有

3）如果b4ac20,將a、b、c的值代入求根公式：x—；

法一元二次方程2a

4）最后求出Xp$2

一元二次方程ax^+bx+cR（aWO）的解法選擇：

1）當(dāng)a=l,b為偶數(shù)，c=0時(shí)，首選配方法；

2）當(dāng)b=0時(shí)，首選直接開(kāi)平方法；

3）當(dāng)c=0時(shí)，可選因式分解法或配方法；

4）當(dāng)a=l,bWO,cWO時(shí)，可選配方法或因式分解法；

5）當(dāng)aWl,bWO,cWO時(shí)，可選公式法或因式分解法.

根的判別式一般地，式子b?-4ac叫做一元二次方程ax?+bx+c=0（aH0）根的判別式，

通常用希臘字母△表示，即A=b2-4ac.

△

>0方程ax?+bx+c-0（aW0）有兩個(gè)不相等的實(shí)根:x-2a

根的情況

△二0方程ax?+bx+c=0（a。0）有兩個(gè)相等的實(shí)根：x=x=-^

與判別式t2

的關(guān)系

△<0方程ax?+bx+c=0(aW0)無(wú)實(shí)根

易混易錯(cuò)

1.用直接開(kāi)平方法求一元二次方程的根，一定要正確運(yùn)用平方根的性質(zhì)，即正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且

它們互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.

2.利用因式分解法解方程時(shí)，含有未知數(shù)的式子可能為零，所以在解方程時(shí)，不能在兩邊同時(shí)除以含

有未知數(shù)的式子，以免丟根，需通過(guò)移項(xiàng)，將方程右邊化為0.

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3.求根公式的使用條件：aWO且b"-4ac00.

4.使用一元二次方程根的判別式，應(yīng)先將方程整理成一般形式，再確定a,b,c的值.

5.利用判別式可以判斷方程的根的情況，反之，當(dāng)方程：1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，A〉。；

2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，△=（）;

3）沒(méi)有實(shí)數(shù)根時(shí)，M0.

6.一元二次方程有解分兩種情況：1）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；2）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

提升-必考題型歸納

題型01用直接開(kāi)平方法解一元二次方程

[例1](2023?天津西青?二模)方程(久+6)2-9=0的兩個(gè)根是()

A?%1=3,%2=9B.%]——3,%2=9

C.勺=3,x2=—9D./=-3,%2=—9

【答案】D

【提示】根據(jù)直接開(kāi)平方法求解即可.

【詳解】解：(x+6)2-9=0,

(x+6尸=9,

x+6—±3,

X]—■31%2=-9，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練運(yùn)用直接開(kāi)平方法是解題的關(guān)鍵.

【變式1T】(2023?浙江杭州?一模)已知一元二次方程(久-2)2=3的兩根為a、b,且a>b,則2a+b的值

為.

【答案】6+V3/V3+6

【提示】先利用直接開(kāi)平方法解方程得到a=2+百，b=2-V3,然后把它們代入2a+b中計(jì)算即可.

【詳解】解：(久一2)2=3,

x—2=+V3,

解得久1=2+V3.x2—2—V3,

■方程(x—2)2=3的兩根為a、b,且a>b,

a—2+V3,b—2—V3,

2a+b=2(2+V3)+2-V3=6+V3.

故答案為：6+V3.

【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2](2023?齊齊哈爾市模擬)解關(guān)于x的方程：4(2%-5)2=9(3久-I)2.

【答案】%i=x2=1

【提示】變形后利用直接開(kāi)方法解方程即可.

【詳解】整理得：[2(2%-5)]2=[3(3久-I)]2,

.\2(2x-5)=±3(3%-1),

.*.2(2%-5)=3(3%—1)或2(2x-5)=-3(3x-1),

?7.

??X、—~?%2—1?

【點(diǎn)睛】本題考查了直接開(kāi)方法解一元二次方程，解題關(guān)鍵是熟記直接開(kāi)平方法的解方程的步驟，準(zhǔn)確進(jìn)

行計(jì)算即可.

題型02利用配方法解一元二次方程

【例2】（2022?甘肅武威?中考真題）用配方法解