專題5函數的圖像與性質問題目錄一、熱點題型歸納【題型一】一次函數與反比例函數的交點問題【題型二】反比例函數中k的幾何意義【題型三】二次函數圖像的變換【題型四】二次函數圖像與系數的關系【題型五】從函數觀點看一元二次方程的解【題型六】待定系數法求函數解析式二、最新模考題組練【題型一】一次函數與反比例函數的交點問題【典例分析】如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點，，當時，的取值范圍是（

）A．或 B．或 C．或 D．或【提分秘籍】基本規律（1）聯立一次函數和反比例函數，構建方程；（2）解方程，求出x的值即為一次函數與反比例函數圖像交點的橫坐標。（3）將x的值代入函數解析式，求出函數值或范圍。【變式演練】1．一次函數（）的圖象與反比例函數（）的圖象交于，，，兩點，則當時，的取值的范圍是（）A．或 B．或C．或 D．或2．已知正比例函數與反比例函數的圖象交于點，則這個函數圖象的另一個交點為（

）A． B． C． D．【題型二】反比例函數中k的幾何意義【典例分析】（2023·江蘇宿遷·統考一模）如圖，反比例函數與矩形一邊交于點E，且點E為線段中點，若的面積為3，則k的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【提分秘籍】基本規律1.過反比例函數圖像上任意一點向其中任意一坐標軸做垂線，函數圖像的該點、垂足與坐標原點三點構成的三角形面積。2.過反比例函數圖像上任意一點分別向兩坐標軸做垂線，函數圖像的該點、兩垂足與坐標原點四點構成的矩形面積。【變式演練】1．如圖，過反比例函數的圖象上任意兩點A、B分別作x軸的垂線，垂足分別為C、D，連接、，設和的面積分別是、，比較它們的大小，可得（）A． B． C． D．大小關系不能確定2．如圖，在中，軸，點B、D在反比例函數的圖象上，若的面積是20，則k的值是（

）A．10 B．15 C．20 D．25【題型三】二次函數圖像的變換【典例分析】（2023年江蘇省徐州市九年級聯盟中考一模數學試題）在平面直角坐標系中，將二次函數的圖像向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度所得拋物線對應的函數表達式為（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規律1.在原有函數的基礎上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”。概括成八個字“左加右減，上加下減”。2.沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成（或）。3.沿x軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或）。【變式演練】1．將拋物線向右平移（）個單位得到一條新拋物線，若點，在新拋物線上，且，則的值可以是（

）A． B． C． D．2．通過平移的圖象，可得到的圖象，下列平移方法正確的是（

）A．向左移動2個單位，向上移動3個單位 B．向右移動2個單位，向上移動3個單位C．向左移動2個單位，向下移動3個單位 D．向右移動2個單位，向下移動3個單位【題型四】二次函數圖像與系數的關系【典例分析】如圖，二次函數的對稱軸為直線，下列判斷正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【提分秘籍】基本規律1.開口方向：a＞0時，開口向上，否則開口向下。2.對稱軸：時，對稱軸在y軸的右側；當時，對稱軸在y軸的左側。3.與x軸交點：時，有兩個交點；時，有一個交點；時，沒有交點。4.當x＝1時，函數y＝a+b+c；5.當x＝-1時，函數y＝a-b+c；6.當a+b+c＞0時，x＝1與函數圖象的交點在x軸上方，否則在下方；7.當a-b+c＞0時，x＝-1與函數圖象的交點在x軸的上方，否則在下方。【變式演練】1．已知二次函數的圖象如圖所示，下列結論：①時，y隨x的增大而增大；②；③；④，其中正確的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．如圖，已知二次函數的圖象與x軸交于點，與y軸的交點B在和之間（不包括這兩點），對稱軸為直線．下列結論：①；②；③；④；⑤．其中含所有正確結論的選項是（）A．①③ B．①③④ C．②④⑥ D．①③④⑤【題型五】從函數觀點看一元二次方程的解【典例分析】如圖，二次函數的圖象與軸交于點，兩點，對稱軸是直線，下列說法正確的是（

）A． B．當時，的值隨的增大而增大C．點的坐標為 D．【提分秘籍】基本規律函數，當時，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函數的圖象與x軸交點的橫坐標，因此二次函數圖象與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況。

(1)當二次函數的圖象與x軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根；

(2)當二次函數的圖象與x軸有且只有一個交點，這時，則方程有兩個相等實根；

(3)當二次函數的圖象與x軸沒有交點，這時，則方程沒有實根。

【變式演練】1．已知二次函數（m為常數）的圖象與x軸有兩個交點，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．方程的近似根可以看作是下列哪兩個函數圖象交點的橫坐標（）A．和 B．和C．和 D．和【題型六】待定系數法求函數解析式【典例分析】已知，二次函數的圖像過點，頂點是，則此二次函數的表達式是（

）．A． B． C． D．【提分秘籍】基本規律1.先設出函數解析式：一次函數：；反比例函數：；二次函數頂點式：；二次函數一般式：。2.然后從函數圖像上找已知點代入所設解析式，一次函數找兩個點，構建二元一次方程組求解；反比例函數找一個點，代入即可；二次函數，頂點式找兩個點，一般式找三個點。【變式演練】1．已知拋物線過點，，且它與x軸只有一個交點，則d的值是（）A． B． C．4 D．162．若點關于軸的對稱點在一次函數的圖象上，則的值（）A． B．2 C． D．6一、單選題1．（2023·江蘇無錫·統考一模）如圖，矩形ABCD中，點A在雙曲線上，點B，C在x軸上，延長CD至點E，使，連接BE交y軸于點F，連接CF，則的面積為（

）A．2 B．3 C． D．42．（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學校考模擬預測）如圖，點B在y軸的正半軸上，點C在反比例函數的圖像上，菱形OABC的面積為4，則k的值為（

）A． B． C．3 D．43．（2023·江蘇常州·統考一模）如圖，直線與軸、軸分別相交于點A、，過點作，使．將繞點順時針旋轉，每次旋轉．則第2024次旋轉結束時，點的對應點落在反比例函數的圖象上，則的值為（

）A．6 B． C． D．44．（2023·江蘇蘇州·蘇州市立達中學校校考一模）如圖，在平面直角坐標系中，點，點在雙曲線上，且，分別過點A，點B作x軸的平行線，與雙曲線分別交于點C，點D，若的面積為，則的值為（

）A． B． C． D．5．（2023·江蘇蘇州·校考一模）將拋物線先向左平移2個單位、再向下平移1個單位后，得到（

）A． B． C． D．6．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學校考一模）已知關于的方程，若為正實數，則下列判斷正確的是（

）A．有三個不等實數根 B．有兩個不等實數根C．有一個實數根 D．無實數根7．如圖是二次函數的圖像一部分，其對稱軸是x=-1，且過點（-3，0），說法：①abc<0；②2a-b=0；③4a+2b+c<0；④若、是拋物線上兩點，則；其中正確的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．48．（2023·江蘇揚州·校考一模）已知二次函數中，函數y與自變量x的部分對應值如表所示，以下結論正確的是（

）x…0123…y…30m3…A．拋物線的開口向下 B．當時，y隨x增大而增大C．當時，x的取值范圍是 D．方程的根為0和2二、填空題9．（2023·江蘇無錫·統考一模）請寫出一個函數的表達式，使其圖象是以直線為對稱軸，開口向上的拋物線：______．10．（2023·江蘇宿遷·統考一模）在平面直角坐標系中，一次函數與反比例函數的圖像相交于，兩點，則的值為_______．11．（2023·江蘇蘇州·校聯考一模）定義：若一個函數圖象上存在橫、縱坐標相等的點，則稱該點為這個函數圖象的“等值點”．已知二次函數的圖象上有兩個“等值點”，則的取值范圍為___________．12．（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學校考模擬預測）將拋物線向下平移2個單位長度后，經過點，則的值是__________.13．（2023·江蘇淮安·統考一模）如圖，點A是反比例函數圖象上一點，過點A作軸，垂足為H，連接，已知的面積是6，則k的值是__________．14．（2023·江蘇無錫·一模）如圖，已知正比例函數與反比例函數交于、兩點，點是第三象限反比例函數上一點，且點在點的左側，線段交軸的正半軸于點，若的面積是，則點的坐標是______．三、解答題15．（2023·江蘇常州·統考一模）如圖，一次函數的圖像與反比例函數的圖像交于點，與y軸交于點，與x軸交于點．(1)求與的值；(2)點是x軸正半軸上一點，若，求的面積．16．（2023·江蘇常州·統考一模）已知直線過點．點為直線上一點，其橫坐標為．過點作軸的垂線，與函數的圖象交于點．(1)求的值；(2)①求點的坐標（用含的式子表示）；②若的面積等于3，求出點的橫坐標的值．17．（2023·江蘇蘇州·校聯考一模）如圖，一次函數的圖像與反比例函數的圖像交于點和點，與軸交于點．(1)求一次函數和反比例函數的表達式；(2)連接，，在直線上是否存在點，使的面積是面積的？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．18．（2023·江蘇南通·南通田家炳中學校考模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，直線經過點，與y軸交于點B，與反比例函數的圖象交于點，過B作軸，交反比例函數的圖象于點D，連接．(1)________，________，不等式的解集是________；(2)求的面積．19．（2023·江蘇蘇州·統考一模）如圖，正比例函數與反比例函數的圖像交于點，點是反比例函數圖像上的一動點．過點作軸，垂足為，交直線于點．(1)求與的值；(2)若的面積是2，求此時點的坐標．20．（2023·江蘇徐州·一模）如圖，已知反比例函數的圖象與一次函數的圖象交于和兩點，一次函數圖象分別交軸，軸于兩點．(1)求這兩個函數的解析式；(2)求的面積；(3)請直接寫出當時自變量的取值范圍．21．（2023·江蘇蘇州·模擬預測）如圖，直線與雙曲線交于點和點，過點A作軸，垂足為C．(1)求直線和雙曲線的解析式；(2)連接，求的面積．(3)在x軸上找一點P，使的值最大，請直接寫出滿足條件的點P的坐標．22．（2023·江蘇泰州·一模）如圖，，，點A，B分別在函數（）和（）的圖象上，且點A的坐標為．(1)求，的值：(2)若點C，D分在函數（）和（）的圖象上，且不與點A，B重合，是否存在點C，D，使得，若存在，請直接出點C，D的坐標：若不存在，請說明理由．23．（2023·江蘇蘇州·模擬預測）已知函數（b，c為常數）的圖象經過點（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．(1)求b，c的值．(2)當﹣4≤x≤0時，求y的最大值．(3)當m≤x≤0時，若y的最大值與最小值之和為2，求m的值．24．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學校考一模）已知拋物線過點，且與直線只有一個交點．(1)求拋物線的解析式；(2)若直線與拋物線相交于兩點A、B，則在拋物線的對稱軸上是否存在點，使是等腰三角形?若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由．專題5函數的圖像與性質問題目錄一、熱點題型歸納【題型一】一次函數與反比例函數的交點問題【題型二】反比例函數中k的幾何意義【題型三】二次函數圖像的變換【題型四】二次函數圖像與系數的關系【題型五】從函數觀點看一元二次方程的解【題型六】待定系數法求函數解析式二、最新模考題組練【題型一】一次函數與反比例函數的交點問題【典例分析】如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點，，當時，的取值范圍是（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】先把代入，求出n值，再根據圖象直接求解即可．【詳解】解：把代入，得，解得：，∴，∵圖象交于、兩點，∴當時，或．故選：D．【提分秘籍】基本規律（1）聯立一次函數和反比例函數，構建方程；（2）解方程，求出x的值即為一次函數與反比例函數圖像交點的橫坐標。（3）將x的值代入函數解析式，求出函數值或范圍。【變式演練】1．一次函數（）的圖象與反比例函數（）的圖象交于，，，兩點，則當時，的取值的范圍是（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【分析】根據點和點的坐標，可求出的值，畫出函數圖象．結合函數圖象特征，即可得知當或時，，由此得出結論．【詳解】解：根據題意可畫出函數圖象，如下所示：由圖象可知，當或時，．故選：A．【點睛】本題考查了待定系數法求函數的圖象，一次函數和反比例函數的交點問題的應用，數形結合是解題的關鍵．2．已知正比例函數與反比例函數的圖象交于點，則這個函數圖象的另一個交點為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正比例函數與反比例函數的圖象都關于原點對稱，即可求解．【詳解】解：∵正比例函數與反比例函數的圖象都關于原點對稱，兩函數圖象交于點，∴這個函數圖象的另一個交點為，故選：D．【點睛】本題考查了反比例函數與正比例函數圖象的性質，掌握反比例函數與正比例函數圖象的性質是解題的關鍵．【題型二】反比例函數中k的幾何意義【典例分析】（2023·江蘇宿遷·統考一模）如圖，反比例函數與矩形一邊交于點E，且點E為線段中點，若的面積為3，則k的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據所給的三角形面積等于長方形面積減去三個直角三角形的面積，然后即可求出D或E的橫縱坐標的積即是反比例函數的比例系數．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，設B點的坐標為，則D的坐標為，∵E為線段的中點，∴，∵D、E在反比例函數的圖象上，∴，∵，解得：，故選：D．【點睛】本題考查反比例函數系數k的幾何意義，解題的關鍵是利用過某個點，這個點的坐標應適合這個函數解析式；所給的面積應整理為和反比例函數上的點的坐標有關的形式，本題屬于中等題型．【提分秘籍】基本規律1.過反比例函數圖像上任意一點向其中任意一坐標軸做垂線，函數圖像的該點、垂足與坐標原點三點構成的三角形面積。2.過反比例函數圖像上任意一點分別向兩坐標軸做垂線，函數圖像的該點、兩垂足與坐標原點四點構成的矩形面積。【變式演練】1．如圖，過反比例函數的圖象上任意兩點A、B分別作x軸的垂線，垂足分別為C、D，連接、，設和的面積分別是、，比較它們的大小，可得（）A． B． C． D．大小關系不能確定【答案】B【分析】根據反比例函數的幾何意義，直接求出、的值即可進行比較．【詳解】解：由于A、B均在反比例函數的圖象上，且軸，軸，則；．故．故選：B．【點睛】此題考查了反比例函數k的幾何意義，找到相關三角形，求出的一半即為三角形的面積．2．如圖，在中，軸，點B、D在反比例函數的圖象上，若的面積是20，則k的值是（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】A【分析】先根據平行四邊形的性質得到，軸，設，則，即可得到，即可求出，再根據平行四邊形面積公式進行求解即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵軸，∴軸，設，∴，∴，∴，∴，∵的面積是20，∴，∴，∴，故選A．【點睛】本題主要考查了反比例函數比例系數的幾何意義，平行四邊形的性質，正確用含k的式子表示出是解題的關鍵．【題型三】二次函數圖像的變換【典例分析】（2023年江蘇省徐州市九年級聯盟中考一模數學試題）在平面直角坐標系中，將二次函數的圖像向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度所得拋物線對應的函數表達式為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用二次函數的平移規律，左加右減，上加下減，進而得出答案．【詳解】解：∵將二次函數的圖像向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，∴所得拋物線對應的函數表達式為．故選：C【點睛】本題主要考查二次函數的平移規律，找出平移后二次函數圖像的頂點坐標或掌握“左加右減，上加下減”，是解題的關鍵．【提分秘籍】基本規律1.在原有函數的基礎上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”。概括成八個字“左加右減，上加下減”。2.沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成（或）。3.沿x軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或）。【變式演練】1．將拋物線向右平移（）個單位得到一條新拋物線，若點，在新拋物線上，且，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據平移的規律得到新的拋物線的對稱軸，再利用二次函數的性質即可得到解答．【詳解】解：∵拋物線，∴拋物線向右平移（）個單位得到一條新拋物線的解析式為：，∴新拋物線的對稱軸為：，開口方向向上，∵點，在新拋物線上，且，∴，∴,故選：．【點睛】本題考查了二次函數的平移的坐標特征，以及二次函數的性質，掌握二次函數的性質是解題的關鍵．2．通過平移的圖象，可得到的圖象，下列平移方法正確的是（

）A．向左移動2個單位，向上移動3個單位 B．向右移動2個單位，向上移動3個單位C．向左移動2個單位，向下移動3個單位 D．向右移動2個單位，向下移動3個單位【答案】C【分析】根據拋物線的平移規律：上加下減，左加右減解答即可．【詳解】解：∵拋物線的頂點坐標為，而平移后拋物線的頂點坐標為∴平移方法為向左平移2個單位，再向下平移3個單位．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數圖象的平移，掌握平移規律是解題的關鍵．【題型四】二次函數圖像與系數的關系【典例分析】如圖，二次函數的對稱軸為直線，下列判斷正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】由題意知，當時，；將和分別代入，計算求解可得的關系，然后進行判斷即可．【詳解】解：由題意知，當時，；當時，，即，，∴，即，∴A錯誤，故不符合要求；B正確，故符合要求；當時，，即，，∴，即，，∴C、D錯誤，故不符合要求；故選B．【點睛】本題考查了根據二次函數的圖象判斷式子的符號．解題的關鍵在于數形結合確定的關系．【提分秘籍】基本規律1.開口方向：a＞0時，開口向上，否則開口向下。2.對稱軸：時，對稱軸在y軸的右側；當時，對稱軸在y軸的左側。3.與x軸交點：時，有兩個交點；時，有一個交點；時，沒有交點。4.當x＝1時，函數y＝a+b+c；5.當x＝-1時，函數y＝a-b+c；6.當a+b+c＞0時，x＝1與函數圖象的交點在x軸上方，否則在下方；7.當a-b+c＞0時，x＝-1與函數圖象的交點在x軸的上方，否則在下方。【變式演練】1．已知二次函數的圖象如圖所示，下列結論：①時，y隨x的增大而增大；②；③；④，其中正確的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．【詳解】解：∵拋物線的対稱軸，且，∴當時，y隨x的增大而增大，∴①錯誤；由圖像可知，，則，故②正確；∵拋物線與x軸有兩個交點，∴，∵対稱軸，∴，∴∴即∴∴∴③錯誤；當時，∴，當時，∴，∴∴④正確，所以正確的結論有2個，故選：B【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數之間的關系，二次函數系數符號由拋物線開口方向、對稱軸和拋物線與y軸的交點確定．2．如圖，已知二次函數的圖象與x軸交于點，與y軸的交點B在和之間（不包括這兩點），對稱軸為直線．下列結論：①；②；③；④；⑤．其中含所有正確結論的選項是（）A．①③ B．①③④ C．②④⑥ D．①③④⑤【答案】D【分析】根據圖象開口方向，對稱軸，與y軸的交點即可得到a、b、c的符號，判斷①對錯；根據函數圖象的對稱軸得到x軸的另一個交點為，進而得到時，，即可判斷②對錯；根據交點坐標得到，進而得到，再利用對稱軸得到，從而求得，即可判斷③對錯；根據圖象與y軸的交點，得到，進而得到，；根據交點坐標得到，進而得到，即可判斷⑤對錯．【詳解】解：二次函數的圖象開口向上，，對稱軸為直線，在y軸右側，、異號，圖象與y軸的交點在y軸負半軸，，，①正確；函數的圖象與x軸交于點，對稱軸為直線，函數的圖象與x軸的另一個交點為，由圖象可知，時，，，②錯誤；函數的圖象與x軸交于點，，，對稱軸為直線，，，，，，③正確；函數的圖象與y軸的交點B在和之間（不包括這兩點），，，，，④正確；函數的圖象與x軸交于點，，，，⑤正確，正確結論有①③④⑤，故選D．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數圖象與系數的關系、二次函數的性質，利用數形結合的思想，熟練掌握二次函數的性質解題關鍵．【題型五】從函數觀點看一元二次方程的解【典例分析】如圖，二次函數的圖象與軸交于點，兩點，對稱軸是直線，下列說法正確的是（

）A． B．當時，的值隨的增大而增大C．點的坐標為 D．【答案】D【分析】根據二次函數的性質對每一項判斷即可．【詳解】解：∵由圖可知：二次函數開口向下，∴，故項不符合題意；∵由圖象可知：當，隨增大而減小，故不符合題意；∵點，對稱軸是直線，∴點，故不符合題意；∵當時，，∴當時，，故符合題意．故選．【點睛】本題考查了二次函數的性質及圖象，掌握二次函數的性質是解題的關鍵．【提分秘籍】基本規律函數，當時，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函數的圖象與x軸交點的橫坐標，因此二次函數圖象與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況。

(1)當二次函數的圖象與x軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根；

(2)當二次函數的圖象與x軸有且只有一個交點，這時，則方程有兩個相等實根；

(3)當二次函數的圖象與x軸沒有交點，這時，則方程沒有實根。

【變式演練】1．已知二次函數（m為常數）的圖象與x軸有兩個交點，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】二次函數與x軸有兩個交點即二次函數對應的一元二次方程有兩個不相等的實數根，據此求解即可．【詳解】解：∵二次函數（m為常數）的圖象與x軸有兩個交點，∴方程有兩個不相等的實數根，∴，∴，故選C．【點睛】本題主要考查了二次函數與一元二次方程之間的關系，熟知二次函數與x軸有兩個交點即二次函數對應的一元二次方程有兩個不相等的實數根是解題的關鍵．2．方程的近似根可以看作是下列哪兩個函數圖象交點的橫坐標（）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【分析】逐項分析即可．【詳解】A、由得：，則方程可看作函數和的圖象的交點，故錯誤；B、由得：，則方程可看作函數和的圖象的交點，故正確；C、由得：，則方程可看作函數和的圖象的交點，故錯誤；D、由得：，則方程可看作函數和的圖象的交點，故錯誤；故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程與二次函數的關系，正確變形是關鍵．【題型六】待定系數法求函數解析式【典例分析】已知，二次函數的圖像過點，頂點是，則此二次函數的表達式是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】設二次函數的解析式為，頂點是，則，把代入，即，，那么．【詳解】根據題意設二次函數的解析式為，把代入，即，，那么，故選：A．【點睛】本題主要考查是二次函數的頂點式、一般式等知識內容，熟練掌握二次函數的頂點式，頂點是是解題的關鍵．【提分秘籍】基本規律1.先設出函數解析式：一次函數：；反比例函數：；二次函數頂點式：；二次函數一般式：。2.然后從函數圖像上找已知點代入所設解析式，一次函數找兩個點，構建二元一次方程組求解；反比例函數找一個點，代入即可；二次函數，頂點式找兩個點，一般式找三個點。【變式演練】1．已知拋物線過點，，且它與x軸只有一個交點，則d的值是（）A． B． C．4 D．16【答案】A【分析】根據點A、B的坐標易求該拋物線的對稱軸是直線．故設拋物線解析式為，直接將代入，通過解方程來求d的值．【詳解】解：∵拋物線過點，，∴對稱軸是直線，又∵拋物線與x軸只有一個交點，∴設拋物線解析式為，把代入，得．故選：A．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點．解答該題的技巧性在于找到拋物線的頂點坐標，根據頂點坐標設拋物線的解析式．2．若點關于軸的對稱點在一次函數的圖象上，則的值（）A． B．2 C． D．6【答案】B【分析】先求得點關于y軸的對稱點，再把對稱點代入一次函數即可得出b的值．【詳解】解：關于y軸的對稱點為，把代入一次函數，得，解得：，故選：B．【點睛】本題考查了點關于坐標軸變化規律，待定系數法求一次函數解析式；理解點關于坐標軸對稱的變化規律是本題的關鍵．一、單選題1．（2023·江蘇無錫·統考一模）如圖，矩形ABCD中，點A在雙曲線上，點B，C在x軸上，延長CD至點E，使，連接BE交y軸于點F，連接CF，則的面積為（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】B【分析】設交軸于點，交于點，設，，利用平行線分線段成比例推出和長度，從而求出長度，即可求出的面積.【詳解】解：設交軸于點，交于點，設，則.在雙曲線上，..四邊形為矩形，..，.，，，，..故答案選：B.2．（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學校考模擬預測）如圖，點B在y軸的正半軸上，點C在反比例函數的圖像上，菱形OABC的面積為4，則k的值為（

）A． B． C．3 D．4【答案】B【分析】過點C作于點D，根據菱形的性質，可得，，根據菱形的面積，可得的面積，根據反比例函數系數k的幾何意義，可得k的值．【詳解】解：過點C作于點D，如圖所示：在菱形中，，∴，∵菱形的面積為4，點B在y軸的正半軸上，∴的面積為2，∴的面積為1，∴，∴，∵，∴，故選：B．3．（2023·江蘇常州·統考一模）如圖，直線與軸、軸分別相交于點A、，過點作，使．將繞點順時針旋轉，每次旋轉．則第2024次旋轉結束時，點的對應點落在反比例函數的圖象上，則的值為（

）A．6 B． C． D．4【答案】B【分析】過點C作軸，垂足為D，則是等腰直角三角形，根據，確定點C的坐標，第一次旋轉的坐標，根據第二次旋轉坐標與點C關于原點對稱，第三次旋轉坐標與第一次坐標關于原點對稱，確定循環節為4，計算的余數，確定最后的坐標，利用橫坐標縱坐標計算即可．【詳解】如圖，過點C作軸，垂足為D，如圖所示：把，代入得：，解得：，∴，把，代入得：，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴點，第一次旋轉的坐標為，第二次旋轉坐標與點C關于原點對稱為，第三次旋轉坐標與第一次坐標關于原點對稱為，第四次回到起點，∴每4次一個循環，∴，∴第2024次變化后點的坐標為，∴，故B正確．故選：B．4．（2023·江蘇蘇州·蘇州市立達中學校校考一模）如圖，在平面直角坐標系中，點，點在雙曲線上，且，分別過點A，點B作x軸的平行線，與雙曲線分別交于點C，點D，若的面積為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通過設點法，設出、、、，表示出的面積，再借助整體換元思想，令，求出t值即可．【詳解】解：如圖所示，分別過點A、B作y軸垂線，交點分別為G、F，過點B作x軸垂線，交點為E，設、，則、，，，則令，則，代入，則，解得，（舍）則的值為．故選：C．5．（2023·江蘇蘇州·校考一模）將拋物線先向左平移2個單位、再向下平移1個單位后，得到（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以先求原拋物線的頂點坐標，再根據平移的性質即可求出平移后的拋物線的頂點坐標，即可求出解析式．【詳解】解：∵拋物線的頂點坐標為：，∴拋物線向左平移2個單位，再向下平移1個單位，所得新拋物線的頂點坐標為：，∴所得新拋物線的解析式為：．故選：D．6．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學校考一模）已知關于的方程，若為正實數，則下列判斷正確的是（

）A．有三個不等實數根 B．有兩個不等實數根C．有一個實數根 D．無實數根【答案】C【分析】先整理方程，把方程的解轉化為函數的圖象與的圖象交點問題，然后在同一平面直角坐標系內畫出大致圖象即可得解．【詳解】解：方程整理得：，∴原方程的解的個數等于等于函數的圖象與的圖象的交點的個數，∵，∴函數的圖象的最低點為，∴函數的圖象位于第一、二象限，∵為正實數，∴，∴函數的圖象位于第二、四象限，如圖，∴兩函數圖象一定有一個交點．故選：C7．如圖是二次函數的圖像一部分，其對稱軸是x=-1，且過點（-3，0），說法：①abc<0；②2a-b=0；③4a+2b+c<0；④若、是拋物線上兩點，則；其中正確的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由開口方向確定a的符號；由拋物線與y軸的交點確定c的符號；由對稱軸確定b的符號，判斷①③；利用圖像得出與x軸的另一交點，進而得出a+b+c=0，即可判斷②，x=2時，y＞0，判斷④；根據函數增減性，判斷⑤．【詳解】∵二次函數的圖像開口向上，∴a＞0，∵二次函數的圖像交y軸的負半軸于一點，∴c＜0，∵對稱軸是直線x=-1，∴-=-1，∴b=2a＞0，∴abc＜0，2a-b=0，故①②正確；∵拋物線的對稱軸為x=-1，且過點（-3，0），∴拋物線與x軸另一交點為（1，0）．∵當x＞-1時，y隨x的增大而增大，∴當x=2時y＞0，即4a+2b+c＞0，故③錯誤；∵關于直線x=-1的對稱點的坐標是，又∵當x＞-1時，y隨x的增大而增大，3＞，∴，故④正確．綜合上述可得：①②④正確，共計3個．故選：C．8．（2023·江蘇揚州·校考一模）已知二次函數中，函數y與自變量x的部分對應值如表所示，以下結論正確的是（

）x…0123…y…30m3…A．拋物線的開口向下 B．當時，y隨x增大而增大C．當時，x的取值范圍是 D．方程的根為0和2【答案】D【分析】根據表格確定對稱軸的位置，進而求出的值，畫出二次函數的圖象，利用數形結合的思想，進行判斷即可．【詳解】解：由表格可知：和的函數值相同，均為，∴拋物線的對稱軸為直線，∴和的函數值相等，即：，根據五點作圖法，得到二次函數的圖象如下：由圖可知：拋物線開口向上，時，隨值的增大而減小，時，隨值的增大而增大，當時，x的取值范圍是或，拋物線與軸交于，∴方程的根為0和2；綜上：選項錯誤，不符合題意，選項正確，符合題意；故選D．二、填空題9．（2023·江蘇無錫·統考一模）請寫出一個函數的表達式，使其圖象是以直線為對稱軸，開口向上的拋物線：______．【答案】【分析】已知對稱軸，根據頂點坐標，開口方向，可寫出滿足條件的二次函數解析式．【詳解】解：根據題意，得二次函數的頂點坐標為，根據頂點式，得，設，，則函數的表達式為（本題答案不唯一）．故答案為：（答案不唯一）．10．（2023·江蘇宿遷·統考一模）在平面直角坐標系中，一次函數與反比例函數的圖像相交于，兩點，則的值為_______．【答案】【分析】一次函數經過第一、三象限，反比例函數經過第一、三象限，交點分別在第一、三象限，如圖所示，化為相反數，互為相反數，由此即可求解．【詳解】解：∵一次函數與反比例函數的圖像有交點，如圖所示，∴交點，的關系是，互為相反數，互為相反數，∴，故答案為：．11．（2023·江蘇蘇州·校聯考一模）定義：若一個函數圖象上存在橫、縱坐標相等的點，則稱該點為這個函數圖象的“等值點”．已知二次函數的圖象上有兩個“等值點”，則的取值范圍為___________．【答案】【分析】由題意可得，橫、縱坐標相等的點在函數的圖象上，則二次函數與有兩個交點，即有兩個不相等的根，利用判根公式求解即可．【詳解】解：由題意可得，橫、縱坐標相等的點在函數的圖象上，∴二次函數與有兩個交點，即有兩個不相等的根，∴，∴，解得，，故答案為：．12．（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學校考模擬預測）將拋物線向下平移2個單位長度后，經過點，則的值是__________.【答案】3【分析】根據二次函數的平移得出平移后的表達式，再將點代入，得到，最后將變形求值即可．【詳解】解：將拋物線向下平移2個單位長度后，表達式為：，平移后的拋物線經過點，將點代入，得：，即，，故答案為：3．13．（2023·江蘇淮安·統考一模）如圖，點A是反比例函數圖象上一點，過點A作軸，垂足為H，連接，已知的面積是6，則k的值是__________．【答案】【分析】根據反比例函數比例系數的幾何意義進行求解即可．【詳解】解：∵點A是反比例函數圖象上一點，，的面積是6，∴，∴，由∵反比例函數圖象經過第二象限，∴，故答案為：．14．（2023·江蘇無錫·一模）如圖，已知正比例函數與反比例函數交于、兩點，點是第三象限反比例函數上一點，且點在點的左側，線段交軸的正半軸于點，若的面積是，則點的坐標是______．【答案】【分析】過作軸的平行線交于點，聯立正比例函數與反比例函數求得，，得到的解析式為，利用的面積即可求得點的坐標【詳解】聯立，解得：，，設，：，則，解得：，，：過作軸的平行線交于點，則，，即：，解得，，．三、解答題15．（2023·江蘇常州·統考一模）如圖，一次函數的圖像與反比例函數的圖像交于點，與y軸交于點，與x軸交于點．(1)求與的值；(2)點是x軸正半軸上一點，若，求的面積．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據一次函數與反比例函數圖像與性質，將相應點代入表達式解方程即可得到答案；（2）過點作軸，垂足為，如圖所示，得到，，從而，利用代值求解即可得到答案．【詳解】（1）解：一次函數的圖像與反比例函數的圖像交于點，與y軸交于點，與x軸交于點把，代入，得，解得，把，代入，得；把，代入，得，解得；（2）解：過點作軸，垂足為，如圖所示：，，∵一次函數的圖像與y軸交于點，即當時，，，∴，∵，，∴，∴．16．（2023·江蘇常州·統考一模）已知直線過點．點為直線上一點，其橫坐標為．過點作軸的垂線，與函數的圖象交于點．(1)求的值；(2)①求點的坐標（用含的式子表示）；②若的面積等于3，求出點的橫坐標的值．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）由直線過點，代入直線解析式即可求解；（2）①根據題意可求點P的縱坐標為，由軸，可得點的縱坐標為，由點Q在函數的圖象上，可求點Q的橫坐標即可；②根據點P，Q的坐標可求的長，利用三角形面積公式，即可．【詳解】（1）解：∵直線過點，∴，即．（2）解：①∵在直線上且橫坐標為，∴點的縱坐標為，∵軸，∴點的縱坐標為．∵點在函數的圖象上，∴點的橫坐標為．∴點的坐標為．②∵，，∴，∵中邊上的高，∴，∵的面積等于3，∴，∴（舍），，∴點的橫坐標為．17．（2023·江蘇蘇州·校聯考一模）如圖，一次函數的圖像與反比例函數的圖像交于點和點，與軸交于點．(1)求一次函數和反比例函數的表達式；(2)連接，，在直線上是否存在點，使的面積是面積的？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）將、兩點代入反比例函數解析式，，，可得，解得的值，即可求出、兩點的坐標，用待定系數法即可求出一次函數和反比例函數的表達式；（2）令，求出點坐標，根據、、三點坐標求出的面積，再得到的面積，設，利用三角形面積求出的值即可．【詳解】（1）由題意，得，解得，，，把代入，得，反比例函數表達式為，把，代入，得，，一次函數表達式為；（2）令，則得，，點的坐標為，，，設，則，得，，解得：或，故或．18．（2023·江蘇南通·南通田家炳中學校考模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，直線經過點，與y軸交于點B，與反比例函數的圖象交于點，過B作軸，交反比例函數的圖象于點D，連接．(1)________，________，不等式的解集是________；(2)求的面積．【答案】(1)4，6，；(2)【分析】（1）先把點A坐標代入直線解析式求出b的值，即求出直線解析式，進而求出點C的坐標，再把點C的坐標代入反比例函數解析式求出k的值；再根據圖象法求出不等式的解集即可；（2）先求出點B的坐標，進而求出點D的坐標，再根據進行求解即可．【詳解】（1）解：把代入到直線中得：，∴，∴直線解析式為，把點代入到直線中得：，∴，∴，把代入到反比例函數中得：，∴；由函數圖象可知，當時，一次函數圖象在反比例函數圖象下方，∴不等式的解集是，故答案為：4，6，；（2）解：由（1）得反比例函數解析式為在中，令，則，∴，在中，令，則，∴，∴，∴．19．（2023·江蘇蘇州·統考一模）如圖，正比例函數與反比例函數的圖像交于點，點是反比例函數圖像上的一動點．過點作軸，垂足為，交直線于點．(1)求與的值；(2)若的面積是2，求此時點的坐標．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）先把點A坐標代入正比例函數解析式求出點A的坐標，再把點A的坐標代入反比例函數解析式求出k的值即可得到答案；（2）設，則，則，再分如圖1所示，當點P在點G上方時，如圖2所示，當點P在點G下方時，求出對應的，并據此建立方程求解即可．【詳解】（1）解：把點代入到中得：，∴，把代入到中得：，∴；（2）解：由（1）得反比例函數解析式為，設，則，∴，∵是反比例函數圖像上的一動點．，∴，如圖1所示，當點P在點G上方時，∵的面積是2，∴，∴，解得（負值舍），∴；如圖2所示，當點P在點G下方時，則，∴，∴，；綜上所述，點P的坐標為或．20．（2023·江蘇徐州·一模）如圖，已知反比例函數的圖象與一次函數的圖象交于和兩點，一次函數圖象分別交軸，軸于兩點．(1)求這兩個函數的解析式；(2)求的面積；(3)請直接寫出當時自變量的取值范圍．【答案】(1)，；(2)；(3)或．【分析】（1）把的坐標代入反比例函數的解析式即可求出反比例函數的解析式，把的坐標代入求出的坐標，把、的坐標代入一次函數即可求出一次函數的解析式；（2）求出的坐標，求出和的面積，即可求出答案；（3）根據函數的圖象和、的坐標即可得出答案．【詳解】（1）解：把代入得：，反比例函數的解析式是，代入反比例函數得：，的坐標是，把、的坐標代入一次函數得：，解得：，一次函數的解析式是；（2）解：把代入一次函數的解析式是得：，解得，，；（3）解：從圖象可知：當時自變量的取值范圍是或．21．（2023·江蘇蘇州·模擬預測）如圖，直線與雙曲線交于點和點，過點A作軸，垂足為C．(1)求直線和雙曲線的解析式；(2)連接，求的面積．(3)在x軸上找一點P，使的值最大，請直接寫出滿足條件的點P的坐標．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）把點代入反比例函數，求出反比例函數解析式，把代入反比例函數解析式求出n，再將A、B代入一次函數解析式，解方程求出解析式即可；（2）根據題意求出C點坐標，利用三角形面積公式求解即可；（3）作點關于的對稱點，連接，,根據對稱性和三角形三邊的關系可知當A、、P三點共線時，有最大值，利用A、坐標求出直線解析式，求出x軸交