13.4課題學習最短路徑問題八年級情景引入①

②③

情景1：如圖所示，某部隊從A地到B地有三條路可供選擇，如果你是部隊首長，你會選走哪條路最近？你的理由是什么？解：兩點之間，線段最短情景引入情景2：如圖，某部隊需由A地步行到B地，但是A、B之間有條河L(必須要過河），如果你是部隊首長，你該如何選擇線路？作法：連接A、B交直線L于點C，則點C即為所求。情景引入·AL·B·CB··AL

情景3：如圖，部隊需由A地步行到B地，但是必須先到河邊（直線L)補充水源，如果你是部隊首長，你該如何選擇最短的線路？情景引入（1）在河邊補給水源的地點有無窮多處，把這些地點與A，B連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A地到補水地點，再回到B地的路程之和；

探索新知

情景3的問題分析探索新知

情景3的問題分析（2）現在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線L上的點．設C為直線L上的一個動點，上面的問題就轉化為：當點C在L的什么位置時，AC與CB的和最小。（如右圖）BALC追問1：對于上述問題，如何將點B“移”到l的另一側B′處，滿足直線l上的任意一點C，都保持CB與CB′的長度相等？探索新知如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最小？B·lA·C·追問2你能利用軸對稱的有關知識，找到上問中符合條件的點C嗎？探索新知問題2

如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最小？B·lA·探索新知如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最小？作法：（1）作點B關于直線l的對稱點B′；B·lA·B′（2）連接AB′，與直線l相交于點C．則點C即為所求．C··證明：如圖，在直線l上任取一點C′（與點C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC

=AC+B′C=AB′，AC′+BC′

=AC′+B′C′．探索新知問題3

你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′探索新知問題3

你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′證明：在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．若直線l上任意一點（與點C不重合）與A，B兩點的距離和都大于AC+BC，就說明AC+BC最小．探索新知B·lA·B′CC′想想：證明AC+BC最短時，為什么要在直線l上任取一點C′（與點C不重合），證明AC+BC＜AC′+BC′？這里的“C′”的作用是什么？探索新知追問2回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？B·lA·B′CC′知識鞏固如圖，在等邊△ABC中，邊BC的高AD=5，點P是高AD上的一個動點，E是邊AB的中點，在點P運動的過程中，PE+PB的最小值是多少？知識鞏固問題分析（1）題目所求可轉化為將軍飲馬問題（2）只需找到點E關于AD的對稱點F，連接BF交AD的點，即使最小值得點P.線段BF的長度即為所求。解：過點E做關于AD的對稱點F.,連結BF,如圖所示∵E為AB的中點∴F為AC的中點∴BF為BC邊的高又∵△ABC為等邊三角形∴BF=AD=5知識鞏固實戰演練練習如圖，一個旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請畫出旅游船的最短路徑．ABCPQ山河岸大橋實戰演練基本思路：由于兩點之間線段最短，所以首先可連接PQ，線段PQ為旅游船最短路徑中的必經線路．將河岸抽象為一條直線BC，這樣問題就轉化為“點P，Q在直線BC的同側，如何在BC