高級中學名校試卷PAGEPAGE2云南省昆明市嵩明縣2023-2024學年高二下學期期中考試數學試題一、單選題（每小題5分，共40分）1.已知圓關于直線對稱，則實數（）A. B.1 C. D.3〖答案〗D〖解析〗由得，則圓心坐標為，又因為圓關于直線對稱，故由圓的對稱性可知：圓心在直線上，則.故選：D.2.已知，且，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，所以，當且僅當時取等號，最小值為.故選：B.3.若為第三象限角，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意知，為第三象限角所以，所以，故選：C4.同時拋擲一紅一綠兩枚質地均勻的骰子，用表示紅色骰子的點數，表示綠色骰子的點數，設事件“”，事件“為奇數”，事件“”，則下列結論正確的是（）A.A與對立 B.C.A與相互獨立 D.與相互獨立〖答案〗C〖解析〗由題意可知：，對于選項A：事件“”，事件“為奇數”，例如，則，不為奇數，即A事件和事件可以同時不發生，所以A事件與事件不對立，故A錯誤；對于選項B：樣本空間共個樣本點，且，共個樣本點，所以，，共個樣本點，，，共個樣本點，，則，所以，故B錯誤；對于選項C：因為，所以與不相互獨立，故D錯誤；對于選項D：因為，則，且，可得，所以與相互獨立，故C正確．故選：C．5.尿酸是鳥類和爬行類的主要代謝產物，正常情況下人體內的尿酸處于平衡的狀態，但如果體內產生過多來不及排泄或者尿酸排泄機制退化，則體內尿酸滯留過多，當血液尿酸濃度大于7mg/dL時，人體體液變酸，時間長會引發痛風，而隨低食物（低嘌呤食物）對提高痛風病人緩解率、降低血液尿酸濃度具有較好的療效．科研人員在對某類隨低食物的研究過程中發現，在每天定時，定量等特定條件下，可以用對數模型描述血液尿酸濃度（單位：mg/dL）隨攝入隨低食物天數t的變化規律，其中為初始血液尿酸濃度，K為參數．已知，在按要求攝入隨低食物50天后，測得血液尿酸濃度為15，若使血液尿酸濃度達到正常值，則需將攝入隨低食物的天數至少提高到（）（）A.69 B.71 C.73 D.75〖答案〗D〖解析〗由函數模型，當時,,可得,即①.設血液尿酸濃度達到正常值7mg/dL時，攝入天數為,則，即②,②①得，即，則.故選：D.6.已知雙曲線的左右焦點分別為為上一點，，則的離心率為（）A. · B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，取線段的中點，連接，因為，所以為等腰三角形，所以，且，所以，設，則，所以的離心率.故選：D.7.云南民族村自建成以來，以生動鮮活的形態，展示了云南各民族的建筑藝術?歌舞服飾?文化風情?宗教信仰和生活習慣.在即將到來的五一假期，預計需要安排6名工作人員去三個不同的民族景點輔助宣傳民俗文化，每個景點至少安排1人，則不同的安排方法種數是（）A.360 B.450 C.540 D.1020〖答案〗C〖解析〗由題意可知：三個景點安排的人數之比為或或，則有：若三個景點安排的人數之比為，則有種安排方法；若三個景點安排的人數之比為，則有種安排方法；若三個景點安排人數之比為，則有種安排方法；故不同的安排方法種數是.故選：C.8.下列命題正確的有（）個①若數列為等比數列，為其前項和，則成等比數列；②若數列為等差數列，則為等比數列；③數列滿足：，則④已知為數列的前項積，若，則數列的前項和A.1個 B.2個 C.3個 D.4個〖答案〗B〖解析〗對于①：設等比數列的公比為，若，則，可得，則，故不是等比數列，①錯誤；對于②，設等差數列公差為，則，則是個常數，所以為等比數列，故②正確；對于③，依題意，，它不滿足，③錯誤；對于④，，當時，，即，解得，當時，，于是，即，數列是首項為3，公差為2的等差數列，所以數列的前項和，④正確.故選：B二、多選題（每小題6分，共18分；全部選對6分，部分選對3分，錯選0分）9.下列說法正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A，空集是任何集合的子集，所以，故A錯誤；對于B，0屬于集合，故B正確；對于C，屬于集合，故C正確.對于D，空集是任何集合的子集，故D正確.故選：BCD.10.已知函數的部分圖像如圖所示，則下列說法正確的是（）A.的圖象關于中心對稱B.在區間上單調遞增C.在上有4個零點，則實數的取值范圍是D.將圖象向右平移個單位長度，可以得到函數的圖象〖答案〗AD〖解析〗不妨設，則，解得．又，所以，解得，，取符合條件的的一個值，不妨令，則．對于A選項，因為．所以的圖像關于中心對稱，故A選項正確；對于B選項，令，解得，所以的單調遞增區間為:，取，得的一個單調遞增區間為．因為，所以在上不具有單調性，故B選項錯誤；對于C選項，因為，所以，所以，解得，故C選項錯誤；對于D選項，將的圖象向右平移個單位長度得到:的圖象，故D選項正確，故選:AD．11.棱長為2的正方體中，點在底面內運動，點是棱的中點，則下列說法正確的是（）A.過點在平面內一定可以作無數條直線與垂直B.直線與所成角的余弦值為C.點到平面的距離為D.若點到直線的距離為，則點的軌跡為一個橢圓的一部分〖答案〗CD〖解析〗對于A，當點在處時，過點只能作一條直線，故A錯誤；對于B，以為原點建立空間直角坐標系，則，所以，設異面直線與所成角為，則，故B錯誤；對于C，，設面的法向量，點到平面的距離為，則，令，解得，，故，由點到平面的距離公式得，故C正確；對于D，因為點到直線的距離為，所以點的軌跡是以為對稱軸的圓柱，而點又在底面上，底面與對稱軸不垂直，因此點在底面與圓柱的截面上，此截面必為橢圓的一部分，故D正確.故選：CD.【『點石成金』】關鍵點『點石成金』：本題考查空間向量的線線夾角、點線距及截面，解題關鍵是要掌握線線向量夾角公式及線面距的公式.三、填空題（每小題5分，共15分）12.若復數，則_______.〖答案〗〖解析〗由，得，所以，所以.故〖答案〗為：13.在中，，則的外接圓面積為__________.〖答案〗〖解析〗根據題意，，由余弦定理得，因為，則，由正弦定理得，即，所以的外接圓面積為.故〖答案〗為：.14.已知定義在上的可導函數的導函數為，滿足且，若，則不等式的解集為__________.〖答案〗〖解析〗，則，故在上單調遞減，因為，故有，即有，則，即，則，故為周期為8的周期函數，由，故，由，故，即，故，即有，則，對，有，即有，由在上單調遞減，故，即不等式的解集為.故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共個小題，共77分）15.已知數列是公差不為0的等差數列，成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）若，設數列的前項和為，求.解：（1）因為成等比數列，所以，解得，所以.（2）因為，所以，所以，所以.16.如圖，在三棱臺中，H在AC邊上，平面平面，，，，，.（1）證明：；（2）若且的面積為.求與平面所成角的正弦值.解：（1）因為，在中，由余弦定理可得，解得，所以，即，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，又，平面，所以平面，由平面，所以，又因為，所以，（2）在中，，，，所以，又，所以，由（1）知平面，則以為原點，的方向為軸，建立如圖所示的坐標系，點的縱坐標為，橫坐標為，則，所以，設平面的法向量為，則，令，則平面的一個法向量為，設與平面所成的角為，則，所以與平面所成角的正弦值為.17.已知函數.（1）當時，求函數在處的切線方程（2）若時，恒成立，求實數的取值范圍.解：（1）時，，所以，故切點為，所以，即切線的斜率為1；所以切線的方程為；（2），時，，①當時，在區間上單調遞增，所以滿足條件；②當時，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以，故恒成立；令，則，當時，，所以在上單調遞減，所以，故不能恒成立，故不合題意；綜上所述，實數的取值范圍為.18.平面上一動點滿足．（1）求P點軌跡的方程；（2）已知，，延長PA交于點Q，求實數m使得恒成立，并證明：為定值解：（1）由題意可得，動點P到定點的距離比到定點的距離大2，由雙曲線的定義，P點軌跡是以，為焦點的雙曲線的左支，設，則，，，所以的方程為．（2）如圖，不妨設點P在第二象限，①當的斜率不存在時，，令，解得，則，此時，在中，，，即，②當的斜率存在時，令的傾斜角為，的傾斜角為，則，，假設成立，即，則有，即．又，，又點P的坐標滿足，即，，假設成立，綜上，當時，有成立．此時，由對稱性知，，而，為定值．19.設是非空實數集，且.若對于任意的，都有，則稱集合具有性質；若對于任意的，都有，則稱集合具有性質.（1）寫出一個恰含有兩個元素且具有性質的集合，并證明；（2）若非空實數集具有性質，求證：集合具有性質；（3）設全集，是否存在具有性質的非空實數集，使得集合具有性質？若存在，寫出這樣的一個集合；若不存在，說明理由.解：（1）恰含有兩個元素且具有性質的集合；；（2）若集合具有性質，不妨設，由非空數集具有性質，有.①，易知此時集合具有性質.②數集只含有兩個元素，不妨設，由，且，解得：，此時集合具有性質.③實數集含有兩個以上的元素，不妨設不為1的元素，則有，由于集合具有性質，所以有，這說明集合具有性質；（3）不存在具有性質非空實數集，使得集合具有性質，由于非空實數集具有性質，令集合，依題意不妨設，因為集合具有性質，所以，若，則，因為非空實數集具有性質，故，這與矛盾，故集合不是單元素集，令，且，①，可得，即，這與矛盾；②，由于，所以，因此，這與矛盾綜上可得：不存在具有性質的非空實數集，使得集合具有性質.云南省昆明市嵩明縣2023-2024學年高二下學期期中考試數學試題一、單選題（每小題5分，共40分）1.已知圓關于直線對稱，則實數（）A. B.1 C. D.3〖答案〗D〖解析〗由得，則圓心坐標為，又因為圓關于直線對稱，故由圓的對稱性可知：圓心在直線上，則.故選：D.2.已知，且，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，所以，當且僅當時取等號，最小值為.故選：B.3.若為第三象限角，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意知，為第三象限角所以，所以，故選：C4.同時拋擲一紅一綠兩枚質地均勻的骰子，用表示紅色骰子的點數，表示綠色骰子的點數，設事件“”，事件“為奇數”，事件“”，則下列結論正確的是（）A.A與對立 B.C.A與相互獨立 D.與相互獨立〖答案〗C〖解析〗由題意可知：，對于選項A：事件“”，事件“為奇數”，例如，則，不為奇數，即A事件和事件可以同時不發生，所以A事件與事件不對立，故A錯誤；對于選項B：樣本空間共個樣本點，且，共個樣本點，所以，，共個樣本點，，，共個樣本點，，則，所以，故B錯誤；對于選項C：因為，所以與不相互獨立，故D錯誤；對于選項D：因為，則，且，可得，所以與相互獨立，故C正確．故選：C．5.尿酸是鳥類和爬行類的主要代謝產物，正常情況下人體內的尿酸處于平衡的狀態，但如果體內產生過多來不及排泄或者尿酸排泄機制退化，則體內尿酸滯留過多，當血液尿酸濃度大于7mg/dL時，人體體液變酸，時間長會引發痛風，而隨低食物（低嘌呤食物）對提高痛風病人緩解率、降低血液尿酸濃度具有較好的療效．科研人員在對某類隨低食物的研究過程中發現，在每天定時，定量等特定條件下，可以用對數模型描述血液尿酸濃度（單位：mg/dL）隨攝入隨低食物天數t的變化規律，其中為初始血液尿酸濃度，K為參數．已知，在按要求攝入隨低食物50天后，測得血液尿酸濃度為15，若使血液尿酸濃度達到正常值，則需將攝入隨低食物的天數至少提高到（）（）A.69 B.71 C.73 D.75〖答案〗D〖解析〗由函數模型，當時,,可得,即①.設血液尿酸濃度達到正常值7mg/dL時，攝入天數為,則，即②,②①得，即，則.故選：D.6.已知雙曲線的左右焦點分別為為上一點，，則的離心率為（）A. · B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，取線段的中點，連接，因為，所以為等腰三角形，所以，且，所以，設，則，所以的離心率.故選：D.7.云南民族村自建成以來，以生動鮮活的形態，展示了云南各民族的建筑藝術?歌舞服飾?文化風情?宗教信仰和生活習慣.在即將到來的五一假期，預計需要安排6名工作人員去三個不同的民族景點輔助宣傳民俗文化，每個景點至少安排1人，則不同的安排方法種數是（）A.360 B.450 C.540 D.1020〖答案〗C〖解析〗由題意可知：三個景點安排的人數之比為或或，則有：若三個景點安排的人數之比為，則有種安排方法；若三個景點安排的人數之比為，則有種安排方法；若三個景點安排人數之比為，則有種安排方法；故不同的安排方法種數是.故選：C.8.下列命題正確的有（）個①若數列為等比數列，為其前項和，則成等比數列；②若數列為等差數列，則為等比數列；③數列滿足：，則④已知為數列的前項積，若，則數列的前項和A.1個 B.2個 C.3個 D.4個〖答案〗B〖解析〗對于①：設等比數列的公比為，若，則，可得，則，故不是等比數列，①錯誤；對于②，設等差數列公差為，則，則是個常數，所以為等比數列，故②正確；對于③，依題意，，它不滿足，③錯誤；對于④，，當時，，即，解得，當時，，于是，即，數列是首項為3，公差為2的等差數列，所以數列的前項和，④正確.故選：B二、多選題（每小題6分，共18分；全部選對6分，部分選對3分，錯選0分）9.下列說法正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A，空集是任何集合的子集，所以，故A錯誤；對于B，0屬于集合，故B正確；對于C，屬于集合，故C正確.對于D，空集是任何集合的子集，故D正確.故選：BCD.10.已知函數的部分圖像如圖所示，則下列說法正確的是（）A.的圖象關于中心對稱B.在區間上單調遞增C.在上有4個零點，則實數的取值范圍是D.將圖象向右平移個單位長度，可以得到函數的圖象〖答案〗AD〖解析〗不妨設，則，解得．又，所以，解得，，取符合條件的的一個值，不妨令，則．對于A選項，因為．所以的圖像關于中心對稱，故A選項正確；對于B選項，令，解得，所以的單調遞增區間為:，取，得的一個單調遞增區間為．因為，所以在上不具有單調性，故B選項錯誤；對于C選項，因為，所以，所以，解得，故C選項錯誤；對于D選項，將的圖象向右平移個單位長度得到:的圖象，故D選項正確，故選:AD．11.棱長為2的正方體中，點在底面內運動，點是棱的中點，則下列說法正確的是（）A.過點在平面內一定可以作無數條直線與垂直B.直線與所成角的余弦值為C.點到平面的距離為D.若點到直線的距離為，則點的軌跡為一個橢圓的一部分〖答案〗CD〖解析〗對于A，當點在處時，過點只能作一條直線，故A錯誤；對于B，以為原點建立空間直角坐標系，則，所以，設異面直線與所成角為，則，故B錯誤；對于C，，設面的法向量，點到平面的距離為，則，令，解得，，故，由點到平面的距離公式得，故C正確；對于D，因為點到直線的距離為，所以點的軌跡是以為對稱軸的圓柱，而點又在底面上，底面與對稱軸不垂直，因此點在底面與圓柱的截面上，此截面必為橢圓的一部分，故D正確.故選：CD.【『點石成金』】關鍵點『點石成金』：本題考查空間向量的線線夾角、點線距及截面，解題關鍵是要掌握線線向量夾角公式及線面距的公式.三、填空題（每小題5分，共15分）12.若復數，則_______.〖答案〗〖解析〗由，得，所以，所以.故〖答案〗為：13.在中，，則的外接圓面積為__________.〖答案〗〖解析〗根據題意，，由余弦定理得，因為，則，由正弦定理得，即，所以的外接圓面積為.故〖答案〗為：.14.已知定義在上的可導函數的導函數為，滿足且，若，則不等式的解集為__________.〖答案〗〖解析〗，則，故在上單調遞減，因為，故有，即有，則，即，則，故為周期為8的周期函數，由，故，由，故，即，故，即有，則，對，有，即有，由在上單調遞減，故，即不等式的解集為.故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共個小題，共77分）15.已知數列是公差不為0的等差數列，成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）若，設數列的前項和為，求.解：（1）因為成等比數列，所以，解得，所以.（2）因為，所以，所以，所以.16.如圖，在三棱臺中，H在AC邊上，平面平面，，，，，.（1）證明：；（2）若且的面積為.求與平面所成角的正弦值.解：（1）因為，在中，由余弦定理可得，解得，所以，即，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，又，平面，所以平面，由平面，所以，又因為，所以，（2）在中，，，，所以，又，所以，由（1）知平面，則以為原點，的方向為軸，建立如圖所示的坐標系，點的縱坐標為，橫坐標為，則，所以，設平面的法向量為，則，令，則平面的一個法向量為，設與平面所成的角為，則，所以與平面所成角的正弦值為.17.已知函數.（1）當時，求函數在處的切線方程（2）若時，恒成立，求實數的取值范圍.解：（1）時，，所以，故切點為，所以，即切線的斜率為1；所以切線的方程為；（2）