人教版高中數學必修3知識點和練習題

第一章算法初步

i.i.i算法的概念

1、算法概念：

在數學上，現代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來解決的某一類問題

是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內

完成.

2.算法的特點：

(1)有限性：一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能

是無限的.

⑵確定性：算法中的每一步應該是確定的并且能有效地執行且得到確定的結

果，而不應當是模棱兩可.

⑶順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步

驟只能有一個確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執行完前一步才

能進行下一步，并且每一步都準確無誤，才能完成問題.

⑷不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有

不同的算法.

⑸普遍性：很多具體的問題，都可以設計合理的算法去解決，如心算、計算

器計算都要經過有限、事先設計好的步驟加以解決.

1.1.2程序框圖

1、程序框圖基本概念：

(一)程序構圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規定的圖形、指向線

及文字說明來準確、直觀地表示算法的圖形。

一個程序框圖包括以下幾部分：表示相應操作的程序框；帶箭頭的流程線；程

序框外必要文字說明。

(-)構成程序框的圖形符號及其作用

程序框名稱功能

表示一個算法的起始和結束，是任何流程圖

起止框

\_____________?不可少的。

表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在算

輸入、輸出框

法中任何需要輸入、輸出的位置。

賦值、計算，算法中處理數據需要的算式、

處理框公式等分別寫在不同的用以處理數據的處

理框內。

_______________

判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標

判斷框明“是”或“Y”；不成立時標明“否”或

“N”。

學習這部分知識的時候，要掌握各個圖形的形狀、作用及使用規則，畫程序框

圖的規則如下：

1、使用標準的圖形符號。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。3、

除判斷框外，大多數流程圖符號只有一個進入點和一個退出點。判斷框具有超

過一個退出點的唯一符號。4、判斷框分兩大類，一類判斷框“是”與“否”

兩分支的判斷，而且有且僅有兩個結果；另一類是多分支判斷，有幾種不同的

結果。5、在圖形符號內描述的語言要非常簡練清楚。

(三)、算法的三種基本邏輯結構：順序結構、條件結構、循環結構。

1、順序結構：順序結構是最簡單的算法結構，語句與語句之間，框與框之間是按從上到

下的順序進行的，它是由若干個依次執行的處理步驟組成的，它是任何一個算法都離不

開的一種基本算法結構。

順序結構在程序框圖中的體現就是用流程線將程序框自上而

下地連接起來，按順序執行算法步驟。如在示意圖中，A框和B

框是依次執行的，只有在執行完A框指定的操作后，才能接著執

行B框所指定的操作。

2、條件結構：

條件結構是指在算法中通過對條件的判斷

根據條件是否成立而選擇不同流向的算法結構。

條件P是否成立而選擇執行A框或B框。無論P條件是否成立，只能執行A

框或B框之一，不可能同時執行A框和B框，也不可能A框、B框都不執行。

一個判斷結構可以有多個判斷框。

3、循環結構：在一些算法中，經常會出現從某處開始，按照一定條件，反復執行某一處

理步驟的情況，這就是循環結構，反復執行的處理步驟為循環體，顯然，循環

結構中一定包含條件結構。循環結構又稱重復結構，循環結構可細分為兩類：

(1)、一類是當型循環結構，如下左圖所示，它的功能是當給定的條件P成立

時，執行A框，A框執行完畢后，再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，再

執行A框，如此反復執行A框，直到某一次條件P不成立為止，此時不再執行

A框，離開循環結構。

(2)、另一類是直到型循環結構，如下右圖所示，它的功能是先執行，然后判

斷給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，則繼續執行A框，直到某一次

給定的條件P成立為止，此時不再執行A框，離開循環結構。

不成立D

V

當型循環結構直到型循環結構

注意：1循環結構要在某個條件下終止循環，這就需要條件結構來判斷。因此，循環

結構中一定包含條件結構，但不允許“死循環”。2在循環結構中都有一個計數變量和累

加變量。計數變量用于記錄循環次數，累加變量用于輸出結果。計數變量和累加變量一

般是同步執行的，累加一次，計數一次。

1.2.1輸入、輸出語句和賦值語句

1、輸入語句

（1）輸入語句的一般格式

圖形計算器

格式

INPUT"提示內容”；變量INPUT”提示內容”，變量

（2）輸入語句的作用是實現算法的輸入信息功能；（3）“提示內容”提示用戶輸入什么

樣的信息，變量是指程序在運行時其值是可以變化的量；（4）輸入語句要求輸入的值只

能是具體的常數，不能是函數、變量或表達式；（5）提示內容與變量之間用分號“；”隔

開，若輸入多個變量，變量與變量之間用逗號“，”隔開。

2、輸出語句

（1）輸出語句的一般格式

圖形計算器

格式

PRINT"提示內容”；表達式Disp”提示內容”，變量

（2）輸出語句的作用是實現算法的輸出結果功能；（3）“提示內容”提示用戶輸入什么

樣的信息，表達式是指程序要輸出的數據；（4）輸出語句可以輸出常量、變量或表達式

的值以及字符。

3、賦值語句

（1）賦值語句的一般格式圖形計算器

格式表達式f變量

變量=表達式

（2）賦值語句的作用是將表達式所代表的值賦給變量；（3）賦值語句中的“=”稱作賦

值號，與數學中的等號的意義是不同的。賦值號的左右兩邊不能對換，它將賦值號右邊

的表達式的值賦給賦值號左邊的變量；（4）賦值語句左邊只能是變量名字，而不是表達

式，右邊表達式可以是一個數據、常量或算式；（5）對于一個變量可以多次賦值。

注意：①賦值號左邊只能是變量名字，而不能是表達式。如：2=X是錯誤的。②賦值號

左右不能對換。如“A=B”“B=A”的含義運行結果是不同的。③不能利用貝武值語句進

行代數式的演算。（如化簡、因式分解、解方程等）④賦值號“=”與數學中的等號意義

不同。

1.2.2條件語句

1、條件語句的一般格式有兩種：（1）IF—THEN—ELSE語句；（2）IF—THEN語句。2、

IF—THEN—ELSE語句

IF—THEN—ELSE語句的一般格式為圖1,對應的程序框圖為圖2。

IF條件THEN

語句1

ELSE

語句2語句］語句2

ENDIF

圖1圖2

分析：在IF—THEN—ELSE語句中，“條件”表示判斷的條件，“語句1”表示滿足條件

時執行的操作內容；“語句2”表示不滿足條件時執行的操作內容；ENDIF表示條件語

句的結束。計算機在執行時，首先對IF后的條件進行判斷，如果條件符合，則執行THEN

后面的語句1；若條件不符合，則執行ELSE后面的語句2。

時首先對IF后的條件進行判斷，如果條件符合就執行THEN后邊的語句，若條件不符合

則直接結束該條件語句，轉而執行其它語句。

1.2.3循環語句

循環結構是由循環語句來實現的。對應于程序框圖中的兩種循環結構，一般程序設

計語言中也有當型(WHILE型)和直到型(UNTIL型)兩種語句結構。即WHILE語句和UNTIL

語句。

1、WHILE語句

(1)WHILE語句的一般格式是對應的程序框圖是

WHILE條件

循環體

WEND

(2)當計算機遇到WHILE語句時，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執行WHILE

與WEND之間的循環體；然后再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執行循環體，這

個過程反復進行，直到某一次條件不符合為止。這時，計算機將不執行循環體，直接跳

到WEND語句后，接著執行WEND之后的語句。因此，當型循環有時也稱為“前測試

型”循環。

2、UNTIL語句

(1)UNTIL語句的一般格式是對應的程序框圖是

DO

循環體

LOOPUNTIL條件

(2)直到型循環又稱為“后測試型”循環，從UNTIL

句時，先執行一次循環體，然后進行條件的判斷，如果條件不滿足，繼續返回執行循環

體，然后再進行條件的判斷，這個過程反復進行，直到某一次條件滿足時，不再執行循

環體，跳到LOOPUNTIL語句后執行其他語句，是先執行循環體后進行條件判斷的循環語

句。

分析：當型循環與直到型循環的區別：（先由學生討論再歸納）

（1）當型循環先判斷后執行，直到型循環先執行后判斷；

在WHILE語句中，是當條件滿足時執行循環體，在UNTIL語句中，是當條件不滿足時執

行循環

1.3.1輾轉相除法與更相減損術

1、輾轉相除法。也叫歐幾里德算法，用輾轉相除法求最大公約數的步驟如下：

（1）：用較大的數m除以較小的數n得到一個商席和一個余數“）；（2）：若4=0,則

n為m,n的最大公約數；若qW0,則用除數n除以余數&得到一個商鳥和一個余數4；

（3）：若4=0,則4為m,n的最大公約數；若打0,則用除數%除以余數4得到

一個商$2和一個余數耳；……依次計算直至凡=0,此時所得到的即為所

求的最大公約數。

2、更相減損術

我國早期也有求最大公約數問題的算法，就是更相減損術。在《九章算術》中有更相減

損術求最大公約數的步驟：可半者半之，不可半者，副置分母?子之數，以少減多，更相

減損，求其等也，以等數約之。

翻譯為：（1）：任意給出兩個正數；判斷它們是否都是偶數。若是，用2約簡；若不是，

執行第二步。（2）：以較大的數減去較小的數，接著把較小的數與所得的差比較，并以大

數減小數。繼續這個操作，直到所得的數相等為止，則這個數（等數）就是所求的最大

公約數。

例2用更相減損術求98與63的最大公約數.

分析：（略）

3、輾轉相除法與更相減損術的區別：

(1)都是求最大公約數的方法，計算上輾轉相除法以除法為主，更相減損術以減法為主,

計算次數上輾轉相除法計算次數相對較少，特別當兩個數字大小區別較大時計算次數的

區別較明顯。

(2)從結果體現形式來看，輾轉相除法體現結果是以相除余數為0則得到，而更相減損

術則以減數與差相等而得到

1.3.2秦九韶算法與排序

1、秦九韶算法概念：

f(x尸anXn+an.ix""+….+aix+ao求值問題

nnn_1n2

f(x)=anx+an.|X''+....+aix+a()=(anx+an.ix'+….+ai)x+a0

n2n3

=((anx_+an.?x'+...,+a2)x+ai)x+a0

=..=(...(anX+an-i)x+an-2)x+...+ai)x+ao

求多項式的值時，首先計算最內層括號內依次多項式的值，即V尸％x+an」

然后由內向外逐層計算一次多項式的值，即

v2=vlx+an_2v3=v2x+an-3……vn=vn.|X+a0.

這樣，把n次多項式的求值問題轉化成求n個一次多項式的值的問題。

2、兩種排序方法：直接插入排序和冒泡排序

1、直接插入排序

基本思想：插入排序的思想就是讀一個，排一個。將第1個數放入數組的第1個元素中，

以后讀入的數與已存入數組的數進行比較，確定它在從大到小的排列中應處的位置.將

該位置以及以后的元素向后推移一個位置，將讀入的新數填入空出的位置中.(由于算法

簡單，可以舉例說明)

2、冒泡排序

基本思想：依次比較相鄰的兩個數，把大的放前面,小的放后面.即首先比較第1個數和第

2個數,大數放前，小數放后.然后比較第2個數和第3個數.....直到比較最后兩個數.

第一趟結束,最小的一定沉到最后,重復上過程,仍從第1個數開始,到最后第2個數.....

由于在排序過程中總是大數往前，小數往后,相當氣泡上升,所以叫冒泡排序.

1.3.3進位制

1、概念：進位制是一種記數方式，用有限的數字在不同的位置表示不同的數值。可使用

數字符號的個數稱為基數，基數為n,即可稱n進位制，簡稱n進制。現在最常用的是十

進制，通常使用10個阿拉伯數字0-9進行記數。對于任何一個數，我們可以用不同的進

位制來表示。比如：十進數57,可以用二進制表示為111001,也可以用八進制表示為71、

用十六進制表示為39,它們所代表的數值都是一樣的。

一般地，若k是一個大于一的整數，那么以k為基數的k進制可以表示為：

（0<an<k,O<%，…,q,4<左），

而表示各種進位制數一般在數字右下腳加注來表示,如111001⑵表示二進制數,34⑸表示5

進制數

20XX屆高一同步練習題新課標必修3

算法部分練習（一）

（定義及古算法案例）

1.家中配電盒至電視機的線路斷了，檢測故障的算法中，為了使檢測的次數

盡可能少，第一步檢測的是

（A）靠近電視的一小段，開始檢查（B）電路中點處檢查

（C）靠近配電盒的一小段開始檢查（D）隨機挑一段檢查

2.早上從起床到出門需要洗臉刷牙（5min）、刷水壺（2min）、燒水（8min）、泡

面（3min）、吃飯（10min）、聽廣播（8min）幾個步驟，從下列選項中選最好

的一種算法

（A）S1洗臉刷牙、S2刷水壺、S3燒水、S4泡面、S5吃飯、S6聽廣播

（B）S1刷水壺、S2燒水同時洗臉刷牙、S3泡面、S4吃飯、S5聽廣播

（OS1刷水壺、S2燒水同時洗臉刷牙、S3泡面、S4吃飯同時聽廣播

（D）S1吃飯同時聽廣播、S2泡面、S3燒水同時洗臉刷牙、S4刷水壺

3.算法：

S1輸入“；

S2判斷〃是否是2,若〃=2,則〃滿足條件，若”〉2,則執行S3:

S3依次從2到〃-1檢驗能不能整除〃，若不能整除〃，則〃滿足條件；

滿足上述條件的〃是

（A）質數（B）奇數（C）偶數（D）約數

4.算法：S1,找=a:S2若則m=b;S3若c<〃z,則加=c;S4若貝Im=d;

S5輸出則輸出的?”表示

（A）a,"c,d中最大值（B）a,0,c,d中最小值

（0將a,b,c,d由小到大排序（D）將a,"c,d由大到小排序

5.給出以下四個問題：

①輸入一個數x,輸出它的相反數；

②求面積為6的正方形的周長；

③求三個數a,。,c,中的最大數；

_x-l（x>0）

④求函數/（x）=二二的函數值；

x+2（x<0）

⑤求兩個正整數a力相除的商及余數.

其中不需要用條件語句來描述其算法的有.

6.下面的問題中必須用條件分支結構才能實現的是.

①求面積為1的正三角形的周長；

②求方程ax+8=0（a為為常數）的根；

③求兩個實數a,b中的最大者；

④求1+2+3+…+100的值

7.840和1764的最大公約數是.

8.數4557,1953,5115的最大公約數為.

9.兩個正整數120與252的最小公倍數為

10.用等值法求294和84的最大公約數時，需要做減法的次數是

(A)2(B)3(04(D)5

11.用秦九韶算法計算多項式/(x)=12+35x—82+7索+81+玄5+短，在

*=-4時的值時，匕的值為

(A)-845(B)220(C)-57(D)34

nn

12.用秦九韶算法求〃次多項式f(x)=anx+an_}x~'4------\-axx+a0,當x=X。

時，求/(%)需要算乘方、乘法、加法的次數分別為

(A)"(B)n,2n,n(C)0,2n,n(D)0,n,n

2

20XX屆高一同步練習題新課標必修3

算法部分練習(二)

(程序框圖)

1.閱讀下面的程序框圖，該程序輸出的結果是.

3.(07-海南寧夏-5)如果執行下面的程序框圖，那么輸出的S=

(A)2450(B)2500

(C)2550(D)2652

4.在如圖所示的程序框圖中輸入3,結果會輸出

/輸,s/

結’束

5.（08-山東-13）執行下邊的程序框圖，若p=0.8,則輸出的“=

6.（07-山東-10）閱讀右邊的程序框圖，若輸入的〃是100,則輸出的變量S和T

的值依次是.

〃=3,則輸出a=

若輸入機=4,〃=6,則輸出a

8.按如圖所示的框圖運算：若輸入x=8,則輸出k;若輸出女=2,則輸入

的光的取值范圍是.

9.閱讀下面的程序框圖，回答下列問題：若°=10以2、6=2、c=d",則輸

32

出的數是

11.閱讀下邊的程序框圖，請你寫出y關于x的函數解析式.

開始

y=-1y=0

12.下圖給出的是計算

1+工+工+…+二一的值的一個程序框圖（其中〃的值由鍵盤輸入），其中①處

352〃一1

應填________,②處應填___________.

/輸個〃/

s=0,i=1

13.下面是一個算法的程序框圖，當輸入的x值為3時，輸出的y的結果恰好是

1/3,則？處的關系式是.

14.（08-寧夏-5）下面的程序框圖，如果輸入三個實數a、b、c,要求輸出這三個數

中最大的數，那么在空白的判斷框中，應該填入.

則在判斷框中可以填寫的表達式

n-]

為

.下圖是計算「一+」一+

16+——的值的算法框圖，其中在判斷框中應填入的

1x22x39x10

條件是.

新課標必修3

（基本算法語句）

13.下列給出的賦值語句中正確的是

(A)4=M(B)M=-M(C)8=A=3(D)x+y=0

14.下列給變量賦值的語句正確的是

(A)3=a(B)a+1=a(C)a=b=c=3(D)a=a+8

15.下列賦值語句中錯誤的是

(A)N=N+l?K=K*K(C)C=A(8+。)(D)C=A/B

16.已知變量已被賦值，要交換a力的值，應使用的算法語句是

17.下邊程序運行后的結果是

(A)1,2,3⑻2,3,1(02,3,2(D)3,2,1

18.閱讀下面的程序，當x=3時,該程序運行后，輸出的結果是

(A)3(B)9(C)N(D)x2

19.下面的程序是用來計算()的值

(A)3xlO(B)355(C)3'°(D)Ix2x3x---xl()

(第5題)(第6題)(第7題)

20.下面為一個求20個數的平均數的程序，在橫線上應填充的語句為

(A)i>20(B)z<20(C)z>=20(D)i<=20

21.下面的程序運行后的輸出結果為.

22.下面的程序運行后的輸出結果為

(A)17(B)19(021

S=0;i=l;(D)23

while________

i=l；

x=input(nx=")

whilei<8

S=S+x;s=0;

i=i+2;

i=i+1;

fori=1:2:7s=2*i+3;

end

s=2*i+s;i=i-l;

a=S/20;

endend

print(%io(2),s)s

(第8題)—(第9題)(第10M)

23.已知語句fori=1:2:99,該語句一共執行循環次數為次.

24.fori=-100：10：190,該語句共執行循環次.

25.下面的程序語句執行后的輸出是.

26.下面的程序語句執行后的輸出是i=,j=.

27.下面的程序語句執行后的輸出是j=

j=l；

a=l;b=2;c=3;i=5;j=-2whilej*j<100,j=j+l;end

(a*a+b*b+c*c)/(2*a*b*c)i=i+j,j=i+jdisp(j)

(第13題)(第14題)(第15題)

28.右面程序運行的結果為i=l;whilei<8i=i+2;S=2*i+3;end

(A)17(B)19(C)21(D)23print(%io⑵,S)

29.Scilab中用rand()函數產生(0,1)的均勻隨機數，要想得到(-2,6)之間的隨機

數需使用變換,

30.下面的程序輸出的結果是

31.為了在運行下面的程序之后得到輸出y=9,鍵盤輸入應該是.

32.下面的程序語句執行后輸入a=3,b=-l,n=5,輸出的是.

s=o；

fori=l:2:ll

S=2S+3;x=input("x=”);

ifS>20ifx<0

S=S-20;y=(x+l)*(x+l)

endelsey=(x-l)*(x-l)

endend

S

1______________I

33.右由褐1相瞥語句執行后輸解我警痂出的是—c?ro—

x二input("x=’')；

ifx>5O,y=x*x+2;

>'=?

elseifx<=10,y=0;

elseifx<=30,y=0.1*x;

34.請寫出一個程序，找出這樣的矩形，使它滿足elsey=0.25*x;

end

以下三個條件

end

①四條邊均為整數；end

②面積數與周長相等；y

③各邊長不超過400.

35.給出30個數：1,2,4,7,11,……，其規律是：

第1個數是1,第2個數比第1個數大1,第3個

數比第2個數大2,第4個數比第3個數大3,依此

類推，要計算這30個數的和，現已給出了該問題算

法的程序框圖.

(1)補充右邊的程序框圖，使之能完成該題算法功能.

⑵根據程序框圖寫出程序.(所用變量要與算法中

一致)

24.有一個正方形的網格，其中每一個最小正方形的邊長都等于6cm,現用直徑

為2cm的硬幣投擲到此網格上.

(1)求硬幣落下后與格線有公共點的概率;

⑵編寫一個Scilab程序模擬這個試驗.

20XX屆高一年級數學同步練習之必修320XX年3月

參考答案

算法部分練習(一)

01-05.B,C,A,B,①②⑤0670.②③，84,93,2520,C11-12.B,D

算法部分練習(三)

01-05.B,D,C,c=a;a=b,b=c,C06-10.C,B,D,32,C

7

11-16.50,30,3；1,10,C17.rand()*8-2或6-rand()*8

6

18-21.9,-4或4,3,10

22.

23.z<30,p=p+i,s=s+p,輸出n24.5/9

第二章統計

簡單隨機抽樣

1.簡單隨即抽樣的含義

一■般地，設一■個總體有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n

WN),如果每次抽取時總體內的各個個體被抽到的機會都相等，則這種抽樣方

法叫做簡單隨機抽樣.

⑴每個個體每次被抽到的概率是；

⑵每個個體被抽到的概率是；

?根據你的理解，簡單隨機抽樣有哪些主要特點？

⑴總體的個體數有限；

⑵樣本的抽取是逐個進行的，每次只抽取一個個體；

⑶抽取的樣本不放回，樣本中無重復個體；

(4)每個個體被抽到的機會都相等，抽樣具有公平性.

2.簡單隨機抽樣常用的方法：

⑴抽簽法；⑵隨機數表法；⑶計算機模擬法；⑷使用統計軟件直接抽取。

★抽簽法的操作步驟？

第一步，將總體中的所有個體編號，并把號碼寫在形狀、大小相同的號簽上.

第二步，將號簽放在一個容器中，并攪拌均勻

第三步，每次從中抽取一個號簽，連續抽取n次，就得到一個容量為n的樣本.

?抽簽法有哪些優點和缺點？

優點：簡單易行，當總體個數不多的時候攪拌均勻很容易，個體有均等的機

會被抽中，從而能保證樣本的代表性.

缺點：當總體個數較多時很難攪拌均勻，產生的樣本代表性差的可能性很大；

誤差相比其它抽樣也比較大。

★利用隨機數表法從含有N個個體的總體中抽取一個容量為n的樣本，其抽樣

步驟如何？

第一步，將總體中的所有個體編號.

第二步，在隨機數表中任選一個數作為起始數.

第三步，從選定的數開始依次向右（向左、向上、向下）讀，將編號范圍內

的數取出，編號范圍外的數去掉，直到取滿n個號碼為止，就得到一個容量為n

的樣本.

系統抽樣：

1.系統抽樣的定義：.

一般地，要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，可將總體分成均衡

的若干部分，然后按照預先制定的規則，從每一部分抽取一個個體，得到所需要

的樣本，這種抽樣的方法叫做系統抽樣.

?由系統抽樣的定義可知系統抽樣有以下特征：

⑴當總體容量N較大時，采用系統抽樣。

⑵將總體分成均衡的若干部分指的是將總體分段，分段的間隔栗求相等，因

N

此，系統抽樣又稱等距抽樣，間隔一般為k=L.

n

⑶預先制定的規則指的是：在第1段內采用簡單隨機抽樣確定一個起始編

號，在此編號的基礎上加上分段間隔的整倍數即為抽樣編號

★系統抽樣的一般步驟

⑴用系統抽樣從總體中抽取樣本時，首先要做的工作是什么？將總體中的所

有個體編號.

如果用系統抽樣從605件產品中抽取60件進行質量檢查，由于605件產品不能

均衡分成60部分，⑵應先從總體中隨機剔除5個個體，再均衡分成60部分.

一般地，用系統抽樣從含有N個個體的總體中抽取一個容量為n的樣本，其操作

步驟如何？

第一步，將總體的N個個體編號.

第二步，確定分段間隔k,對編號進行分段.

第三步，在第1段用簡單隨機抽樣確定起始個體編號I.

第四步，按照一定的規則抽取樣本.

分層抽樣

1.分層抽樣的定義:一

若總體由差異明顯的幾部分組成，抽樣時，先將總體分成互不交叉的層，然

后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數量的個體，再將各層取出的個體合

在一起作為樣本，這樣的抽樣叫做分層抽樣.所以分層抽樣又稱類型抽樣.

?應用分層抽樣應遵循以下要求及具體步驟：一

⑴分層：將相似的個體歸入一類，即為一層，分層栗求每層的各個個體互不

交叉，即遵循不重復、不遺漏的原則。

⑵分層抽樣為保證每個個體等可能入樣，需遵循在各層中進行簡單隨機抽樣，每

層樣本數量與每層個體數量的比與這層個體數量與總體容量的比相等。

★一般地，分層抽樣的操作步驟如何？

第一步，計算樣本容量與總體的個體數之比.

第二步，將總體分成互不交叉的層，按比例確定各層栗抽取的個體數.

第三步，用簡單隨機抽樣或系統抽樣在各層中抽取相應數量的個體.

第四步，將各層抽取的個體合在一起，就得到所取樣本

2.簡單隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣三種抽樣的類比學習

練習題：

—＞選擇題:

1.某單位有老年人28人，中年人54人，青年人81人.為了調查他們的身

體狀況，需從他們中抽取一個容量為36的樣本，最適合抽取樣本的方法是

().

A.簡單隨機抽樣B.系統抽樣

C.分層抽樣D.先從老年人中剔除一人，然后分

層抽樣

2.某學校為了了解高一年級學生對教師教學的意見，打算從高一年級

2007名學生中抽取50名進行抽查，若采用下面的方法選取：先用簡單隨機抽

樣從2007人中剔除7人，剩下2000人再按系統抽樣的方法進行，則每人入

選的機會（）

A.不全相等B.均不相等C.都相等D.無法確定

3.有20位同學，編號從1至20,現在從中抽取4人作問卷調查，用系統

抽樣方法確定所

抽的編號為（）

A.5,10,15,20B,2,6,10,14C.2,4,6,8D.5,8,

11,14

4.某公司在甲、乙、丙、丁四個地區分別有150個、120個、180個、150

個銷售點，公

司為了調查產品銷售的情況，需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本，

記這項調查為（1）;在丙地區中有20個特大型銷售點，要從中抽取7個調查其銷

售收入和售后服務情況，記這項調查為（2）。則完成（1）、（2）這兩項調查宜采用

的抽樣方法依次是（）

A.分層抽樣法，系統抽樣法B.分層抽樣法，簡單隨機抽樣

C.系統抽樣法，分層抽樣法D.簡單隨機抽樣法，分層抽樣法

5.某校1000名學生中，0型血有400人，A型血有250人，B型血有250

人，AB型血有100人，為了研究血型與色弱的關系，要從中抽取一個容量為40

的樣本，按照分層抽樣的方法抽取樣本，則0型血、A型血、B型血、AB型血的

人要分別抽的人數為（）

A.16、10、10、4B.14、10、10、6C.13、12、12、3

D.15、8、8、9

6.為了了解廣州地區初三學生升學考試數學成績的情況，從中抽取50本密

封試卷，每本30份試卷，這個問題中的樣本容量是（）

A.30B.50C.1500D.150

7.某單位有技工18人、技術員12人、工程師6人，需要從這些人中抽取

一個容量為"的樣本.如果采用系統抽樣和分層抽樣方法抽取，都不用剔除個體；

如果容量增加一個，則在采用系統抽樣時，需要在總體中剔除1個個體，則樣本

容量〃為（）

A.4B.5C.6D.無法確定

二、填空題

8.（2008?安慶模擬）某校高中生共有900人，其中高一年級300人，高二

年級200人，高

三年級400人，現分層抽取容量為45的樣本，那么高一、高二、高三年級抽取

的人數分別為.

9.某牛奶生產線上每隔30分鐘抽取一袋進行檢驗，則該抽樣方法為①；從

某中學的30名數

學愛好者中抽取3人了解學習負擔情況，則該抽樣方法為②.那么①，②分別

為.

10.下列抽樣實驗中，最適宜用系統抽樣的是（填序號）.

①某市的4個區共有2000名學生，且4個區的學生人數之比為3：2：8：

2,從中抽取200人入樣：

②某廠生產的2000個電子元件中隨機抽取5個人樣；

③從某廠生產的2000個電子元件中隨機抽取200個人樣；

④從某廠生產的20個電子元件中隨機抽取5個入樣；

11.（2008?重慶文）某校高三年級有男生500人，女生400人，為了解該

年級學生的健康情

況，從男生中任意抽取25人，從女生中任意抽取20人進行調查，這種抽樣方法

是.

12.某中學有高一學生400人，高二學生300人，高三學生200人，學校團

委欲用分層抽樣的

方法抽取18名學生進行問卷調查，則下列判斷不正確的是（填序

號）.

①高一學生被抽到的概率最大

②高三學生被抽到的概率最大

③高三學生被抽到的概率最小

④每名學生被抽到的概率相等

13.某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食品類及果蔬類分

別有40種、10種、

30種、20種，現從中抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測，若采用分層

抽樣的方法抽取樣本,則抽取的植物油類與果蔬類食品種數之和是.

14.（2008?天津文，11）一個單位共有職工200人，其中不超過45歲的有

120人，超過45

歲的有80人.為了調查職工的健康狀況，用分層抽樣的方法從全體職工中抽取一

個容量為25的樣本，應抽取超過45歲的職工人.

15.將參加數學競賽的1000名學生編號如下0001,0002,0003,1000,

打算從中抽取

一個容量為50的樣本，按系統抽樣的方法分成50個部分，如果第一部分編號為

0001,0002,0020,從第一部分隨機抽取一個號碼為0015,則第40個號碼

為.

16.管理人員從一池塘內撈出30條魚，做上標記后放回池塘。10天后，又

從池塘內撈出50條魚，其中有標記的有2條。根據以上數據可以估計該池塘內

共有條魚。

17.某校高中部有三個年級，其中高三有學生1000人，現采用分層抽樣法抽

取一個容量為185

的樣本，已知在高一年級抽取了75人，高二年級抽取了60人，則高中部共有_

_學生。

用樣本的頻率分布估計總體分布

一、我們把樣本抽取后，要對樣本進行分析來研究總體的分布情況，對樣本進

行分析常采取兩種

方式：⑴列頻率分布表；⑵做頻率分布直方圖.

?列頻率分布表的步驟:

⑴求極差（即樣本中的最大值與最小值的差）:

⑵決定組距與組數（組數=慧）;

組距

⑶將數據分組：

⑷列頻率分布表.

?根據頻率分布表做頻率分布直方圖應注意兩點:

頻率

⑴縱軸的意義:

⑵橫軸的意義：樣本內容（每個矩形下面是組距）.

二、典例精析

例1：下表給出了某校500名12歲男孩中用隨機抽樣得出的120人的身

高（單位cm）

區間界限[122,126)[126,130)[130,134)[134,138)[138,142)[142,146)

人數5810223320

區間界限[146,150)[150,154)[154,158)

人數11（）5

（1）列出樣本頻率分布表；

（2）一畫出頻率分布直方圖；

（3）估計身高小于134cm的人數占總人數的百分比

頻率/組距

例2：為了了解高一學生的體能情況，某校

抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數次測試,

將所得數據整理后，畫出頻率分布直方圖（如

函現:m?

圖），圖中從左到右各小長方形面積之比

為12.

（1）第二小組的頻率是多少？樣本容量是芻

（2）若次數在110以上（含110次）為達木

率是多少？

（3）在這次測試中，學生跳繩次數的中位數落在哪個小組內？請說明理由。

分析：在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積等于相應各組的頻率，小長方形

的高與頻數成正比，各組頻數之和等于樣本容量，頻率之和等于1。

1.根據某水文觀測點的歷史統計數據，得到某條河流水位的頻率分布直方圖如下.從圖中

可以看出，該水文觀測點平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（）

A.48米B.49米C.50米D.51米

2.常用的抽樣方法有：___________________________________

3.（20XX年新課程卷文第13題）據新華社

20XX年3月12日電，1985年?2000年我25.0

國農村人均居住面積如圖所示，其中，從20.0

.年到,年的五年間增長最快.15.0

4.已知200輛汽車通過某一段公路時的時速

的頻率分布直方圖如右圖所示，則時速在

[60,70]的汽車大約有..輛.

5.(12分)為了解某地初三年級男生的身高情況，從其中的一個學校選取容量為60的樣

本(60名男生的身

高)，分組情況如下:

分組147.5?155.5155.5?163.5163.5?171.5171.5-179.5

頻數621m

頻率a0.1

(1)求出表中a,m的值.(2)畫出頻率分布直方圖和頻率折線圖

答案：一、選擇題：l.D2.C3.A4.B5.A6.C7.C

二、填空題：8.15,10,209.系統抽樣，簡單隨機抽樣10.@11.分層抽

樣法

12.①②③13.614.1015.079516.75017.3700

解：(1)由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數據落在各小組內的頻率大小，

4

因此第二小組的頻率為：--------------------=0.08

2+4+17+15+9+3

第二小組頻數

又因為頻率=

樣本容量

第二小組頻數_12