人教版九年級上冊第二十四章圓

24.1.2垂直于弦的直徑低階目標1．能認識圓是軸對稱圖形．2．能利用圓的軸對稱性，通過探索、歸納、驗證得出垂直于弦的直徑的性質和推論，并能應用它解決一些簡單的計算、證明和作圖問題.高階目標3.通過探究知識、自主學習和合作交流，激發學習數學的興趣，體會學數學的快樂，培養用數學的意識.學習目標1.1學生能進一步認識圓是軸對稱圖形．2.1學生能利用圓的軸對稱性，通過探索、歸納、驗證得出垂直于弦的直徑的性質和推論，并能應用它解決一些簡單的計算、證明和作圖問題.2.2認識垂徑定理及推論在實際中的應用，會用添加輔助線的方法解決問題．3.通過探究知識、自主學習和合作交流，激發學習數學的興趣，體會學數學的快樂，培養用數學的意識.達成評價連接圓上任意兩點的線段叫做弦.(2)圓心為O、半徑為r的圓可以看成是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．1.圓的定義(1)在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．2.弦的定義3.弧的定義圓上任意兩點間的部分叫做弧.先行組織趙州橋是我國隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國古代人民勤勞與智慧的結晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為37m，拱高(弧的中點到弦的距離)為7.23m.求趙州橋主橋拱的半徑(結果保留小數點后一位).

你知道趙州橋主橋拱的半徑是多少嗎？

先行組織剪一張圓形紙片，沿著它的任意一條直徑對折，重復幾次，你發現了什么？由此你能得到什么結論？你能證明你的結論嗎？圓的對稱性：圓是軸對稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸.任務一：圓的對稱性活動1：折一折O注意：不能說圓的直徑是圓的對稱軸，因為對稱軸是直線，而直徑是線段.任務一：圓的對稱性圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸.

思路引導：要證明圓是軸對稱圖形，只需證明圓上任意一點關于直徑所在直線（對稱軸）的對稱點也在圓上.求證活動2：證一證證明：如圖，CD是⊙O的任意一條直徑，AA′是弦，使AA′⊥CD，垂足為M,M·OAA'CD連接OA，OA′,則OA=OA′.∵AA′⊥CD，∴CD是AA′的垂直平分線.∴對于圓上任意一點A，在圓上都有關于直線CD的對稱點A′，即⊙O關于直線CD對稱.圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸.

活動2：證一證嵌入評價（自評）優秀：通過動手折紙，能觀察-猜想-驗證，得出圓是軸對稱圖形，+2分合格：能猜想得出結論，但不能完整證明，+1分不合格：無法準確猜想得出圓的軸對稱性問題：如圖,AB是⊙O的一條弦,直徑CD⊥AB,垂足為E.你能發現圖中有那些相等的線段和劣弧?為什么?線段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒理由如下：把圓沿著直徑CD折疊時，CD兩側的兩個半圓重合，點A與點B重合，AE與BE重合，AC和BC,AD與BD重合．⌒⌒⌒⌒·OABDEC任務二：垂徑定理垂徑定理·OABCDE垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.∵

CD是直徑，CD⊥AB，∴

AE=BE,⌒⌒AC

=BC,⌒⌒AD=BD.推導格式：歸納總結想一想：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請說明為什么？是不是，因為沒有垂直是不是，因為CD沒有過圓心ABOCDEOABCABOEABDCOE垂徑定理的幾個基本圖形：ABOCDEABOEDABO

DCABOC歸納總結

在圓上任意作一條弦AB，你能否找到平分弦AB的直徑嗎?思考：此時AB與CD的位置關系？·OABCDEFMN任務三：垂徑定理的推論活動1：猜一猜

如果弦AB是過圓心的弦呢?平分弦AB的直徑CD一定會垂直弦AB嗎？想一想：·OABCD·OABCD已知結論

CD過圓心AB不是直徑推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.·OABCDCD⊥AB((AD=BD((AC=BCAE=BEE特別說明：圓的兩條直徑是互相平分的.歸納總結嵌入評價（組長評）優秀：能觀察-猜想-驗證得出垂徑定理及推論，并且能夠準確理解及應用垂徑定理，+2分合格：能觀察-猜想-驗證得出垂徑定理及推論，+1分不合格：無法準確猜想得出垂徑定理及推論根據垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說，如果具備：過圓心1垂直于弦2平分弦（非直徑）3平分弦所對的優弧4平分弦所對的劣弧5上述五個條件中的任意

個條件，都可以推出其他

個結論.(知二推三).兩三歸納總結問題解決：趙州橋是我國隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國古代人民勤勞與智慧的結晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為37m，拱高(弧的中點到弦的距離)為7.23m.求趙州橋主橋拱的半徑(結果保留小數點后一位).遷移應用所以R2=18.52+（R-7.23）2.由題意，可知AB=37m，CD=7.23m，解：如圖，設趙州橋主橋拱的半徑為Rm.則AD=18.5m，解得R≈27.3.因此，趙州橋的主橋拱半徑約為27.3m.ACBDO3718.5RR-7.237.23遷移應用

如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm,OE=6cm,則AB=

cm.·OABE解析：連接OA，∵OE⊥AB，∴AB=2AE=16cm.16垂徑定理及其推論的計算∴cm.例題1學以致用

如圖所示，⊙O的直徑CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AM＝

BM，OM∶OC＝3∶5，求AB的長.解：∵圓O的直徑CD=10cm，∴圓O的半徑為5cm，即OC=5cm，∵OM：OC=3：5，∴OM=OC=3cm，連接OA，∵AB⊥CD，∴M為AB的中點，即AM=BM=AB，在Rt△AOM中，OA=5cm，OM=3cm，根據勾股定理得：AM=則AB=2AM=8cm．例題2

已知：⊙O中弦AB∥CD,求證：AC＝BD.⌒⌒.MCDABON證明：作直徑MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.則AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直徑平分弦所對的弧）

AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒例題3

解決有關弦的問題，經常是過圓心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直徑，連結半徑等輔助線，為應用垂徑定理創造條件.歸納總結練一練：如圖a、b,一弓形弦長為24cm，弓形所在的圓的半徑為13cm，則弓形的高為＿＿＿____＿.C

DCBOADOAB圖a圖b8cm或18cm

在圓中有關弦長a,半徑r,弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h的計算題時，常常通過連半徑或作弦心距構造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.涉及垂徑定理時輔助線的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半徑r之間有以下關系：弓形中重要數量關系ABCDOhrd

d+h=r

OABC·a成果集成垂徑定理內容推論輔助線一條直線滿足:①過圓心;②垂直于弦;③平分弦（不是直徑）;④平分弦所對的優弧;⑤平分弦所對的劣弧.滿足其中兩個條件就可以推出其它三個結論（“知二推三”）垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧兩條輔助線：連半徑，作弦心距構造Rt△利用勾股定理計算或建立方程.基本圖形及變式圖形成果集成1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圓心到AB的距離為3cm，則此圓的半徑為

.5cm2.⊙O的直徑AB=20cm,∠BAC=30°則弦AC=

.

103cm3.（分類討論題）已知⊙O的半徑為10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,則弦MN和EF之間的距離為

.14cm或2cm當堂練習當堂練習4如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝42°，點D是弦AC的中點，則∠DOC的度數是________度．485.如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求證四邊形ADOE是正方形．D·OABCE證明：∴四邊形ADOE為矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四邊形ADOE為正方形.當堂練習6.如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧(即圖中弧CD,點O是弧CD的圓心),其中CD=600m,E為弧CD上的一點,且OE⊥CD，垂足為F,EF=90m.求