中考總復習：函數綜合一學問講解（基礎）

【考綱要求】

1.平面直角坐標系的有關學問

平面直角坐標系中各象限和坐標軸上的點的坐標的特征，求點關于坐標軸、

坐標原點的對稱點的坐標，求線段的長度，幾何圖形的面積，求某些點的坐標

等；

2.函數的有關概念

求函數自變量的取值范圍，求函數值、函數的圖象、函數的表示方法；

3.函數的圖象和性質

常見的題目是確定圖象的位置，利用函數的圖象確定某些字母的取值，利

用函數的性質解決某些問題.利用數形結合思想來說明函數值的變更趨勢，又

能反過來判定函數圖象的位置；

4.函數的解析式

求函數的解析式，求拋物線的頂點坐標、對稱軸方程，利用函數的解析式來

求某些字母或代數式的值.

一次函數、反比例函數和二次函數常與一元一次方程、一元二次方程、三

角形的面積、邊角關系、圓的切線、圓的有關線段組成綜合題.

【學問網絡】

坐標軸上的點的

坐標特征

函

數-函數

及

其

圖描點法作函數圖象

象

一|一次函數3=kx+6(10)-

/=0

圖象與性質|

正比例函數y'=30)

三待定系數法

類一1二次函數y=ar2+/+c(a#0)

基求解析式

本

函綜合運用

數

反比例函數y=

X

【考點梳理】

考點一、平面直角坐標系

1.相關概念

(1)平面直角坐標系

(2)象限

(3)點的坐標

2.各象限內點的坐標的符號特征

3.特別位置點的坐標

(1)坐標軸上的點

(2)一三或二四象限角平分線上的點的坐標

(3)平行于坐標軸的直線上的點的坐標

(4)關于x軸、y軸、原點對稱的點的坐標

4.距離

(1)平面上一點到x軸、y軸、原點的距離

(2)坐標軸或平行于坐標軸的直線上兩點間的距離

(3)平面上隨意兩點間的距離

5.坐標方法的簡潔應用

(1)利用坐標表示地理位置

(2)利用坐標表示平移

要點詮釋；

點P(x,y)到坐標軸與原點的距離：

(1)點P(x,y)到x軸的距離等于山

(2)點P(x,y)到y軸的距離等于此

(3)點P(x,y)到原點的距離等于不小.

考點二、函數與其圖象

1.變量與常量

2.函數的概念

3.函數的自變量的取值范圍

4,函數值

5.函數的表示方法(解析法、列表法、圖象法)

6.函數圖象

要點詮釋：

由函數解析式畫其圖像的一般步驟：

(1)列表：列表給出自變量與函數的一些對應值；

(2)描點：以表中每對對應值為坐標，在坐標平面內描出相應的點；

(3)連線：依據自變量由小到大的依次，把所描各點用平滑的曲線連接起

來.

考點三、一次函數

1.正比例函數的意義

2.一次函數的意義

3.正比例函數與一次函數的性質

4.一次函數的圖象與二元一次方程組的關系

5.利用一次函數解決實際問題

要點詮釋：

確定一個正比例函數，就是要確定正比例函數定義式,=依(kwO)中的

常數k；確定一個一次函數，須要確定一次函數定義式y=h+b(kwO)中的

常數k和b.解這類問題的一般方法是待定系數法.

考點四、反比例函數

1.反比例函數的概念

2.反比例函數的圖象與性質

3.利用反比例函數解決實際問題

要點詮釋：

反比例函數中反比例系數的幾何意義，如下圖，過反比例函數丁=人(左W0)

X

圖像上任一點P(x,y)作x軸、y軸的垂線PM,PN,垂足為爪N,則所得的矩

形PMON的面積S=PM?PN=|y|?W=?].

y=—,xy=k,S=|左|.

x'

考點五、二次函數

1.二次函數的概念

2.二次函數的圖象與性質

3.二次函數與一元二次方程的關系

4.利用二次函數解決實際問題

要點詮釋：

1、兩點間距離公式（當遇到沒有思路的問題時，可用此方法拓展思路，以

尋求解題方法）

如圖：點A坐標為（xi,%）,點B坐標為（X2,y2）,則AB間的距離，即線

段AB的長度為七廠+度―乂）2.

fy

?A

^*

2、函數平移規律：左加右減、上加下減.

考點六、函數的應用

1.一次函數的實際應用

2.反比例函數的實際應用

3.二次函數的實際應用

要點詮釋：

分段函數是指自變量在不同的取值范圍內，其關系式（或圖象）也不同的

函數，分段函數的應用題多設計成兩種狀況以上，解答時需分段探討.在現實

生活中存在著許多需分段計費的實際問題，因此，分段計算的應用題成了近幾

年中考應用題的一種重要題型.

【典型例題】

類型一、用函數的概念與性質解題

“'1.已知一次函數y=(3a-2)x+(bb),求字母a,b的取值范圍，使得：

(1)y隨x的增大而增大；

(2)函數圖象與y軸的交點在x軸的下方；

(3)函數的圖象過第一、二、四象限.

【思路點撥】(1)y=kx+b(kWO)的圖象，當k>0時，y隨x的增大而增大;

(2)當b<0時，函數圖象與y軸的交點在x軸的下方；

(3)當kVO,b>0時時，函數的圖象過第一、二、四象限.

【答案與解析】

解：a、b的取值范圍應分別滿意:

(1)由一次函數y=kx+b(kWO)的性質可知:

當k>0時，函數值y隨x的增大而增大，即3a-2>0,

/.?>-,且b取任何實數.

3

(2)函數圖象與y軸的交點為(0,1-b),

,/交點在x軸的下方,

(3a-2^02

即aW二,b>l.

3

(3)函數圖象過第一、二、四象限，則必需滿意"一：.

1-O/09/,

【總結升華】下面是y=kx(kWO),y=kx+b(kWO)的圖象的特點和性質的示意

圖，如圖1,當k>0時，y隨X的增大而增大；當b>0時，圖象過一、二、

三象限，當b=0時，是正比例函數，當bVO時，圖象過一、三、四象限；當

y=x時，圖象過一、三象限，且是它的角平分線.由于常數k、b不同，可得到

不同的函數，k確定直線與x軸夾角的大小，b確定直線與y軸交點的位置，

由k定向，由b定點.同樣，如圖2,是k<0的各種狀況，請你指出它們的圖

象的特點和性質.

舉一反三:

X2

【變式】作出函數y=x,>=一y=的圖象，它們是不是同一個函數?

X

2

【答案】函數>=(?>的自變量x的取值范圍是x20；函數y=二在xWO時,

X

2

就是函數丫=乂；而x=0不在函數>=二的自變量x的取值范圍之內.

X

由此，作圖如下:

“y=(6>

可見它們不是同一個函數.

類型二、函數圖象與性質

C^2.已知：y=(那-2)”“4+用?4

(l)m為何值時，它是一次函數.

(2)當它是一次函數時，畫出草圖，指出它的圖象經過哪幾個象限？y是

隨x的增大而增大還是減小？

(3)當圖象不過原點時，求出該圖象與坐標軸交點間的距離，與圖象與兩

軸所圍成的三角形面積.

【思路點撥】一次函數應滿意：一次項(或自變量)的指數為1,系數不為0.

【答案與解析】

、.f/w-2^0

(1)依題思：，解得m=l或m=4.

刑-5屬?1

...當m=l或m=4時，它是一次函數.

(2)當m=4時，函數為y=2x,是正比例函數，圖象過一，三象限，

y隨x的增大而增大.

當m=l時，函數為y=-x-3,直線過二，三，四象限，y隨x的增大而減

小.

⑶直線y=-x-3不過原點，它與x軸交點為A(-3,0),

與y軸交點為B(0,-3),.=小，=35.

222

直線y=-x-3與兩軸交點間的距離為3力，與兩軸圍成的三角形面積

為；

【總結升華】

(1)某函數是一次函數應滿意的條件是：一次項(或自變量)的指數為1,

系數不為0.而某函數若是正比例函數，則還需添加一個條件：常數項為0.

(2)推斷函數的增減性，關鍵是確定直線y=kx+b(k#0)中k、b的符號.

(3)直線y=kx+b(kWO)與兩軸的交點坐標可運用x軸、y軸上的點的特

征來求，當直線y=kx+b(kWO)上的點在x軸上時，令y=0,則交點

為I當直線y=kx+b(kWO)上的點在y軸上時，令x=0,則y=b,即交

點為(0,b).

舉一反三：

【高清課程名稱：函數綜合1高清ID號：369111關聯的位置名稱(播放

點名稱)：經典例題2】

【變式】已知關于尤的方程尤2-(〃z-3)x+〃z-4=0.

(1)求證：方程總有兩個實數根；

(2)若方程有一個根大于4且小于8,求m的取值范圍；

(3)設拋物線y=Y-(相-3)x+“_4與y軸交于點M,若拋物線與X軸的一個交點

關于直線y=的對稱點恰好是點M,求機的值.

【答案】

證明：(1)\=b2—4ac=(m—3)2—4(m—4)=m2—IQm+25=(jn—5)2>0,

所以方程總有兩個實數根.

解：(2)由(1)A=(m-5)2,依據求根公式可知,

方程的兩根為：x=*3土！…[即占=i,%=根_4,

由題意，有4V租-4<8,即8<m<12.

(3)易知，拋物線y=r一(吩3)x+*4與y軸交點為M(0,…4)，由(2)

可知拋物線與X軸的交點為（1,0）和（〃-4,0）,它們關于直線廣-X

的對稱點分別為（0,T）和（0,4-〃2）,

由題意,可得—1=m—4或4—m=根—4,所以m=3或根=4.

03.拋物線y=x?+bx+c圖象向右平移2個單位再向下平移3個單位，所得圖

象的解析式為y=x2-2x-3,則b、c的值為（）

A.b-2,c=2B.b=2,c=0C.b=-2,c=-1D.b=-3,c=2

【思路點撥】

易得新拋物線的頂點，依據平移轉換可得原拋物線頂點，依據頂點式與平

移前后二次項的系數不變可得原拋物線的解析式，綻開即可得到b,c的值.

【答案】B.

【解析】

解：由題意得新拋物線的頂點為（1,-4）,

J原拋物線的頂點為（-1,-1）,

設原拋物線的解析式為丫=（x-h）,+卜代入得：y=（x+1）2-1=X2+2X,

.*.b=2,c=0.

故選B.

【總結升華】

拋物線的平移不變更二次項系數的值；探討兩個二次函數的圖象的平移問

題，只需看頂點坐標是如何平移得到的即可.

04.若一次函數y=kx+l的圖象與反比例函數丁=工的圖象沒有公共點，則實

X

數k的取值范圍是.

【思路點撥】

因為反比例函數y的圖象在第一、三象限，故一次函數y=kx+l中，k<0,

X

-y—_|_1

將解方程組1

y=一

IX

轉化成關于X的一元二次方程，當兩函數圖象沒有公共點時，只需avo即可.

【答案】

4

【解析】由反比例函數的性質可知，y=」的圖象在第一、三象限，

X

...當一次函數y=kx+l與反比例函數圖象無交點時，k<0,

y=kx+l

解方程組1，得kx2+xT=0,

Iy=一X

當兩函數圖象沒有公共點時，△<(),即l+4k<0,

解得

4

???兩函數圖象無公共點時，k<--.

4

故答案為：k<--.

4

【總結升華】

本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題.關鍵是轉化成關于x的一元二

次方程，再確定k的取值范圍.

類型三、函數綜合題

CH.已知點(-1,yl,(2,y2),(3,y3)在反比例函數y=一?一1的圖象

X

上.下列結論中正確的是()

A.yi>y2>y3B.yi>y3>y2C.y3>yi>y2D.y2>y3>yi

【思路點撥】

2

先推斷出函數反比例函數y=二的圖象所在的象限，再依據圖象在每一象

X

限的增減性與每一象限坐標的特征進行推斷.

【答案】B.

【解析】

解:Vk2^0,-k2<0,-k2-KO,

2

反比例函數的圖象在二、四象限，

X

???點(-byi)的橫坐標為-1<O,.??此點在其次象限，yi>0；

V(2,y2),(3,y3)的橫坐標3>2>0,.?.兩點均在第四象限丫2<0,y3<0,

?..在第四象限內y隨x的增大而增大，

/.0>y3>y2>

.*.yi>y3>y2.

故選B.

【總結升華】

本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征：當k>0時，圖象分別位于

第一、三象限，橫縱坐標同號；當k<0時，圖象分別位于其次、四象限，橫

縱坐標異號.

舉一反三：

【變式】二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數y=bx+b2-4ac與

反比例函數丫=出也在同一坐標系內的圖象大致為()

X

V

A.

B.

【答案】由拋物線的圖象可知，橫坐標為1的點，即（1,a+b+c）在第四象限,

因止匕a+b+c<0；

.?.雙曲線尸生業的圖象在其次、四象限；

x

由于拋物線開口向上，所以a>0；

對稱軸x=-上>0,所以b<0；

2a

拋物線與x軸有兩個交點，故b2-4ac>0；

...直線y=bx+b?-4ac經過第一、二、四象限.

故選D.

類型四、函數的應用

06.如圖，小明的父親在相距2米的兩棵樹間拴了一根繩子，給他做了一

個簡易的秋千，拴繩子的地方距地面高都是2.5米，繩子自然下垂呈拋物線狀,

身高1米的小明距較近的那棵樹0.5米時，頭部剛好接觸到繩子，求繩子的最

低點距地面的距離為多少米？

【思路點撥】依據題意，運用待定系數法，建立適當的函數解析式，代入求值

即可解答.

【答案】

解：以左邊樹與地面交點為原點，地面水平線為X軸，左邊樹為y軸建立平面

直角坐標系，

由題意可得A(0,2.5),B(2,2.5),C(0.5,1)

設函數解析式為y=ax2+bx+c,

把A、B、C三點分別代入得出c=2.5,

同時可得4a+2b+c=2.5,0.25a+0.5b+c=l

解之得a=2,b--4,c=2.5.

.*.y=2x2-4x+2.5=2(x-1)2+0.5.

V2>0,

當x=l時，y=0.5米.

J故答案為：0.5米.

【總結升華】

本題考查點的坐標的求法與二次函數的實際應用.此題為數學建模題，借

助二次函數解決實際問題.

舉一反三：

【高清課程名稱：函數綜合1高清ID號：369111關聯的位置名稱（播

放點名稱）：經典例題3】

【變式】拋物線y=ax2+bx+cja>0,cVO,2a+3b+6c=O.

（1）求證：Al

2a+3>0;

（2）拋物線經過點p（1,7〃），Q（l,n）.

①推斷相〃的符號；

②拋物線與X軸的兩個交點分別為點A（/0）,點B（z，O）（A在B左側），請說

X.<—，一

62

【答案】

（1）證明：***2a+3b+6c=0,

1

???b1—2=a+--3b=--6-c=—c.

2a36a6aa

*.?a>0,c<0,

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