§2.2函數的單調性與最值

【考試要求】I.借助函數圖象，會用數學符號語言表達函數的單調性、最值，理解實際意義2

掌握函數單調性的簡單應用.

?落實主干知識

【知識梳理】

1.函數的單調性

（1）單調函數的定義

增函數減函數

一般地，設函數/（X）的定義域為區間如果Vxi，X2e/

定義當無1＜X2時，都有色但運b那么當X1＜X2時，都有面）＞呢）,那么就

就稱函數大尤）在區間/上單調遞增稱函數/（X）在區間/上單調遞減

圖象

描述0^1x2~x

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

（2）單調區間的定義

如果函數y="）在區間/上單調遞增或單調遞減,那么就說函數y=/（x）在這一區間具有（嚴格

的）單調性，區間/叫做y=/（x）的單調區間.

2.函數的最值

前提設函數y=/U）的定義域為。，如果存在實數M滿足

(l)Vxez),都有（l）VxG。，都有於點世；

條件

(2)3x0eD,使得"o)=M（.2）Bx0^D,使得"o）=M

結論M為八x）的最大值M為7（x）的最小值

【常用結論】

1.V%1，X2G/且X1WX2,

調遞增（減）.

2.在公共定義域內，增函數+增函數=增函數，減函數+減函數=減函數.

函數＞=/"）（/（尤）＞0或加）＜0）在公共定義域內與＞=一於），尸白的單調性相反.

3.

4.復合函數的單調性：同增異減.

【思考辨析】

判斷下列結論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)因為八-3)<A2),則八x)在［—3,2］上是增函數.(X)

(2)函數/(x)在(-2,3)上單調遞增，則函數的單調遞增區間為(-2,3).(X)

⑶若函數式龍)在區間(1,2］和(2,3)上均為增函數，則函數1x)在區間(1,3)上為增函數.(X

(4)函數的單調遞減區間是(一8,0)U(0,+°°).(X)

【教材改編題】

1.下列函數中，在區間(0,+8)上單調遞減的是()

A.y—x2-1B.y—x3

C.y=2"D.>=一%+2

答案D

2.二在［3,4］上的最大值為()

A.2B.1C.1D.4

答案A

,.'y=~^+l在［3,4］上單調遞減，

.?.當x=3時，y取得最大值，最大值為占+1=2.

3.函數於)是定義在［0,+8)上的減函數，則滿足式2尤-l)"g)的尤的取值范圍是

答案I},I)

解析：兀0的定義域是［0,+8),

；.2x—120,即

又「/(X)是定義在［0,+8)上的減函數，

則x的取值范圍為管I).

-探究核心題型

題型一確定函數的單調性

命題點1函數單調性的判斷

例1（多選）下列函數在（0,+8）上單調遞增的是（）

A.y=eK—e~xB.y=\xz—2x\

C.y=2x+2cosxD.y=y[^+x—2

答案AC

解析??萬=^與y=—e=為R上的增函數，

???、=——?一，為R上的增函數，故A正確；

由y=4—2x|的圖象（圖略）知,B不正確;

對于選項C,y'=2—2sin%20,

.?.y=2x+2cosx在（0,+8）上單調遞增，故C正確；

、=、密+九一2的定義域為（一8,—2]U[1,+°°）,故D不正確.

命題點2利用定義證明函數的單調性

例2試討論函數兀i）=為（〃W0）在（一1,1）上的單調性.

解方法一設一1<X1<X2<1,

/尸/W"i+±），

危尸危）2=4+占）一M+9）

由于一

所以X2—Xl>0,X\一1<0,尤2—1<0,

故當。>0時，於1）一於2）>0,即加1）次M）,函數式X）在（一1,1）上單調遞減;

當。<0時，危1）一加2）<0,即加1）勺3）,函數式尤）在（-1,1）上單調遞增.

、、上,（ax）'（x—l）~ax（x-1）'a（x-l）—axa

萬法二f'

當a>0時，/（尤）<0,函數/（x）在（一1,1）上單調遞減；

當a<0時，/（尤）>0,函數式x）在（一1,1）上單調遞增.

思維升華確定函數單調性的四種方法

（1）定義法；（2）導數法；（3）圖象法；（4）性質法.

跟蹤訓練1（1）函數g（x）=?|x—1|+1的單調遞減區間為（）

C.[1,+8）D.（-8,1U[l,+8）

答案B

/一

21「1畫出函數圖象，如圖所示,

{—JT+X+I,x<l,

根據圖象知，函數的單調遞減區間為性，I.

（2）函數八尤）=2一工的單調遞增區間是（）

A.[-1,+0°）B.（—8,-I）

C.（—8,0）D.（0,+8）

答案B

解析人x）=2一分解為y=2&和〃=-x2—2x兩個函數，y=2"在R上單調遞增，

u=—%2—2x=—（x+1）2+1在（一8,一1）上單調遞增，在[-1,+8）上單調遞減，

根據復合函數單調性得到函數八x）=2—2X在（—8,—1）上單調遞增.

題型二函數單調性的應用

命題點1比較函數值的大小

例3（2023?成都模擬）已知函數/U）為R上的偶函數，對任意XI，x2e（-oo,0）,均有（為一

1』

%2）[/（即）—/（%2）]<0成立，若〃=/（ln也），/?=f（V），c=f（e^）,貝!]a,b,c的大小關系是（）

A.c<b<aB.a<c<b

C.a<b<cD.c<a<b

答案B

解析???對任意xi,必￡（一8,0）,

均有（X1—X2）\fiXl）—fiX2）]<0成立，

,此時函數在區間（一8,0）上單調遞減，

???危）是偶函數，

???當?￡（0,+8）時，。%）單調遞增.

又兀0=戶在xe（o,+8）上單調遞增，

j.1

：.i<^<y,

又0<lny［2<l,

11

：.\n42<^<y9

ii_

即a<c<b.

命題點2求函數的最值

%2—2

例4函數兀v)=-^—ln(4—x)在［1,3］上的最大值為.

7

答案3

X2—2?

解析y=x在［1,3］上單調遞增,

y=ln(4—x)在［1,3］上單調遞減，

???治)在［1,3］上單調遞增，

9—27

***Ax)max=犬3)=—一—0=)

命題點3解函數不等式

例5已知函數於)=自*一log2(x+2),若加-2)>3,則。的取值范圍是.

答案(0,1)

解析由本)=曰'—log2(x+2)知，

/(x)在定義域(一2,十8)上是減函數，

且人T)=3,

由於—2)>3,得憑/—2)次—1),

［a-2<—1,

［a—2>—2,

解得0<a<l.

命題點4求參數的取值范圍

''是R上的增函數，則實數a的取值范圍是()

ax-1,x<\

A(0,§B.(0,|C.(0,1)D.(0,1］

答案B

^^2—X］

,'1'是定義在R上的增函數，

{ax~1,x<l

2

所以Ja>0,解得

—一1,

所以實數a的取值范圍為(0,|.

思維升華(1)比較函數值的大小時，先轉化到同一個單調區間內，然后利用函數的單調性解

決.

(2)求解函數不等式時，由條件脫去“尸，轉化為自變量間的大小關系，應注意函數的定義域.

(3)利用單調性求參數的取值(范圍).根據其單調性直接構建參數滿足的方程(組)(不等式(組))

或先得到其圖象的升降，再結合圖象求解.對于分段函數，要注意銜接點的取值.

跟蹤訓練2(1)(2023?蘭州模擬)設函數兀0='則滿足不等式;(2x—

〔log2X,x>2,

1)<2的解集是()

C.(|,2]D.(-8,I)

答案D

解析函數兀0的圖象如圖所示，

由圖可知，函數/(x)在R上單調遞增,

因為14)=2,

所以以2%—1)<2等價于月2x—1)勺(4),

故2x—1<4,即x<^.

尤―|―a—3

(2)若函數加)=L1在(a,+8)上單調遞增，則實數。的取值范圍為

答案［1,2)

x~\~a—3x―1~\~a—2?a一2

解析fix)—=1+=

X—1X—1

,.?/(X)在(〃，+8)上單調遞增,

a—2<0,

課時精練

立基礎保分練

1.下列函數在R上為增函數的是（）

A.y=fB.y=x

c.y=—亞D.

答案B

解析y=/在（一8,0]上單調遞減，在（0,+8）上單調遞增，故選項A錯誤;

y=x在R上為增函數，故選項B正確；

y=—/在[0,+8）上單調遞減，故選項C錯誤；

y=:在（一8,0）上單調遞減，在（0,+8）上單調遞減，故選項D錯誤.

2.函數式x）=—|x—2|的單調遞減區間為（）

A.（—8,2]B.[2,+8）

C.[0,2]D.[0,+8）

答案B

%—2,x22,

解析:尸卜一2尸

、一x+2,x<2,

???函數y=|x—21的單調遞減區間是（一8,2],單調遞增區間為[2,+8）,

???加）=一伙一2|的單調遞減區間是[2,+8）.

2/+3

3.若函數應0=彳￥，則火龍）的值域為（）

A.(—8,3]B.(2,3)

C.(2,3]D.[3,+0°)

答案C

2/+3,1

斛析犬助=竹區=2+4，

?\/(x)e(2,3].

fe*-e無，x>0,

4.（2023?南通模擬）已知函數式元）=,''若（?=5°叫&=log32,c=log20.9,則有

（）

A.加）/匕）次c）

B.膽）次①次c）

C.加）次。）43

D.4c）次a）/b）

答案A

解析因為y=F是增函數，y=er是減函數，

所以犬尤）=己一er在（0,+8）上單調遞增，且於）>0.

又兀0=—/在（-8,0]上單調遞增，且兀t）WO,

所以黃幻在R上單調遞增.

又c=log20.9<0,0<&=log32<1,tz=5001>l,

即a>b>c,所以為a）>Ab）>fic）.

Inx+2x,尤>0,

5.（多選）已知函數,/（x）=<2則下列結論正確的是（）

A.八元）在R上為增函數

B.1e）42）

C.若汽勸在（a,a+1）上單調遞增，則aW-l或a20

D.當尤可一1,1]時,式尤）的值域為[1,2]

答案BC

解析易知危）在（一8,0],（0,+8）上單調遞增，A錯誤，B正確;

若/（X）在（a,a+1）上單調遞增，

則aNO或a+lWO,

即a〈一l或a20,故C正確；

當xe[—l,0]時，危）W[1,2],

當xe（0,l]時，式尤）e（—8,2],

故當天e[—1,1]時，y（x）e（—8,2],故D錯誤.

6.（多選）已知函數兀v）=x—，（aW0）,下列說法正確的是（）

A.當a>0時，式x）在定義域上單調遞增

B.當a=—4時，加0的單調遞增區間為（一8,—2）,（2,+8）

C.當a=—4時，犬尤）的值域為（一8,-4]U[4,+8）

D.當。>0時，/）的值域為R

答案BCD

解析當a>0時，fix）=x-^,

定義域為（一8,0）U（0,+°°）.

../X）在（一8,0）,（0,+8）上單調遞增，故A錯誤；

又當尤一一8時，/（X）——8,

當X—0一時，犬尤）一+8,

?VAX）的值域為R,故D正確；

4

當。=-4時，yu）=x+：

由其圖象（圖略）可知，B,C正確.

7.函數火刈二%2—6|尤|+8的單調遞減區間是.

答案（-8,-3],[0,3]

I%2—6尤+8,龍20,

解析由題意得函數yu）=L,,,八

L^r+ox+8,x<0,

當時，函數人工）：%2—6x+8的單調遞減區間為[0,3],

當xvO時，函數1%）=/+61+8的單調遞減區間為（一8,—3],

年一6x+8,x>0,

綜上，函數人x）=2-IQ八的單調遞減區間為（一8,-3],[0,3].

[x十6x十8,x<0

8.已知命題p：“若人尤）勺（4）對任意的xd（0,4）都成立，則兀0在（0,4）上單調遞增”.能說明

命題p為假命題的一個函數是.

\~x,0<x<4,

答案y（x）=（x—1）2,xG（0,4）（答案不唯一，如心）=1只要滿足題意即可）

[Lx=4,

解析由題意知，

J（x）=（x-1）2,尤e（0,4）,

則函數大X）的圖象在（0,4）上先單調遞減再單調遞增，

當x=i時，函數值最小，且勺（4）,滿足題意，

所以函數/）=0—1）2,尤G（0,4）可以說明命題。為假命題.

9.已知函數於）=x|x—4].

（1）把/（X）寫成分段函數，并在直角坐標系內畫出函數/（X）的大致圖象；

（2）寫出函數式x）的單調遞減區間.

解（1次r）=小一4|

Jf—4x,尤24,

[4x—x2,x<4,

函數圖象如圖所示.

(2)由(1)中函數的圖象可知，函數4r)的單調遞減區間為(2,4).

2

10.已知函數大尤)=。一四萬.

(1)求/0)的值;

(2)探究負尤)的單調性，并證明你的結論.

2

解(1求0)=a—1.

(2)?r)在R上單調遞增.證明如下：

??V(x)的定義域為R,

...任取Xl,X2GR且無1<%2,

則五方)一加2)=a-----2----a+---2---=―2'?-(-2-X-'----,

2』+12*+1(1+2w)(1+2力

,.4=2工在R上單調遞增且xi<X2,

0<2&<2*,

...2.一2也<o,2$+1>0,2徇+1>0.

即兀⑴勺但).

.?JU)在R上單調遞增.

立綜合提升練

11.若函數式x)=ln(公-2)在(1,+8)上單調遞增，則實數。的取值范圍為()

A.(0,+8)B.(2,+8)

C.(0⑵D.[2,+8)

答案D

解析在函數加)=ln(czx-2)中，令"="一2,函數y=lna在(0,+8)上單調遞增，

而函數7(x)=ln3x—2)在(1,+8)上單調遞增，則函數〃="一2在(1,+8)上單調遞增，且

fa>0,

Vx>l,ax—2>Q,因此《解得a'2,

[a-2^0,

所以實數。的取值范圍為[2,+8).

12.設函數穴均=記°22—V+5,則兀C)的單調遞增區間為,不等式兀C—1)<5的解集

為.

答案(0,+8)(0,1)U(1,2)

解析由題意得八x)的定義域為(一8,0)U(0,+8).因為尢0=八一X),所以/(x)是偶函數.當

尤>0時，?0=/。22