幾何輔助線進階訓練——構造中位線

一'階段一

1.如圖，已知D、E分別是△ABC的邊BC、AC的中點，AG是AABE的中線，連接BE、AD.GD,

若△ABC的面積為40,則陰影部分△4CG的面積為（）

A.10B.5C.8D.4

2.如圖，在AABC中，AC=2V2,乙4cB=120。，。是邊ZB的中點，E是邊BC上一點，若DE平分

△ABC的周長，則OE的長為（）

3.如圖，在△ABC中，延長BC至點D,使得CD=1BC,過AC的中點E作EF〃CD（點F位

于點E右側），且EF=BC,連接DF,若AB=4,則DF的長為（）

C.2V2D.V3

4.如圖，在四邊形A8CD中，AB±BC,AD±AC,AD=AC,/BA￡>=105。，點E和點尸分別是

AC和CD的中點，連接BE,EF,BF,若CD=8,則ABEF的面積是

D

\\\3>jC

\

AB

5.如圖，在R3ABC中NACB=90。，ZA=30°,點D,E分別是邊AB,AC的中點，延長BC到點

F,使CF=；BC,若EF=4,則DE的長為（）

F

A.4B.V3+1C.2D.V3

6.如圖，DABCD的頂點C在等邊4BEF的邊BF上，點E在AB的延長線上，G為DE的中點,

連接CG.若AD=5,AB=CF=3,則CG的長為________

/BE

7.如圖，已知矩形ABCD,AD=12,CD=9,點R、P分別是DC,BC上的定點，點

E、F分別是AP、RP的中點，若CR=4,貝ljEF=()

A.12B.6.5C.9D.不能確定

8.如圖，將折疊書架畫出側面示意圖，AB面板架，CD為支撐架，EF為鎖定桿，F可在CD上移

動或固定，已知BC=CE=8cm,如圖1,將面板AB豎直固定時(ABLBD),點F恰為CD的中

點，如圖2,當CF=17cm,EF±AB,則底部BD=cm,支撐架CD的長度為

4

9.已知△ABC是邊長為10的等邊三角形，。為AC的中點，AEDF=120°,DE交線段AB于E,DF交

BC的延長線于尸.若4E=4BE,則CF的長為（）

10.如圖，△ABC的中線BE,CD相交于點O,F、G分別是BO、CO的中點，連結DF,EG,試

猜想DF與EG有怎樣的數量關系和位置關系？并證明你的猜想.

二'階段二

11.如圖，在平行四邊形4BCD中，對角線4C,8。相交于點O,在DC的延長線上取點E,使CE=

1

/CD,連接。E交BC于點F,若BC=12,貝UCF=.

12.如圖，在△ABC中，CE是中線，CD是角平分線，4F1交CD延長線于點F,AC=9,BC=

4,貝IJEF的長為

A

13.如圖在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點，F是AE的中點，CF交BE于點G,若BE=8,

則GE=

14.如圖，在四邊形ABCD中，NA=90。，AB=12,AD=5.點M、N分別為線段BC、AB上的

動點（含端點，但點M不與點B重合），點E、F分別為DM、MN的中點，則EF長度的最大值

是________

15.如圖，四邊形ABCD中.AC±BC,AD!IBC,BD為/ABC的平分線，BC=6,AC=8.E、F

16.如圖，已知NAED=NACB=90。，AC=BC=3,AE=DE=1,點D在AB上，連接CE,點M,

點N分別為BD,CE的中點，則MN的長為

17.如圖，AB||CD,AC.BD相交于P,E、F分別為ZC、BD的中點，若AB=10,CD=6,則EF

C.3D.4

18.如圖，△ABC是銳角三角形，分別以AB,AC為邊向外側作等腰△ABM和等腰△CAN,

AM=ABAC=AN,ZMAB=ZCAN.D,E,F分別是MB,BC,CN的中點，連結DE,EF.求證:

DE=EFo

19.如圖，在R3ABC中，ZB=90°,AB=2V5,BC=3,D,E分別是AB,AC的中點，延長BC至

點F,使CF=^BC,連結DF,EF,則EF的長為。

20.如圖，在△ABC中，BD,CE分別是邊ZC,48上的中線，BD1CE于點。，點F是OB的中點,

若08=8,OC=6,貝IJEF的長是()

A

A.7B.5C.4D.3

三、階段三

21.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=5,BC=12,D是AB的中點.E,F分別是直線

AC,BC上的動點，ZEDF=90°,則線段EF的最小值為.

22.如圖，在△ABC中，=90。，AC>AB>4,點D、E分別在邊AB、AC上，BD=4,CE=

3,取DE、BC的中點M、N,線段MN的長為（）

A.2.5B.3C.4D.5

23.如圖，在口ABCD中，點E、F分別為AD、DC的中點，BFXCD,已知BF=8,EF=5,則口

ABCD的周長為

ED

F

24.如圖，四邊形ABCD中，/ABC=120。，點F為CD中點，以AB,BD為邊，AD為對角線作平

行四邊形ABDE,連接BE交AD于點0,且OF=BC=2,則AB的長為（）

A.V13+1B.V13-1CV13+1D.聞一］

25.如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD,ZC=90°°,AB=8,=CD=5,點M、N

分別為BC、AB上的動點（含端點），E、F分別為DM、MN的中點，則EF長度的最小值

為.

26.在AABC中，AB=AC,ABAC=120°,D為AABC形內一點，以AD為腰作等腰

ADAE,使Z.DAE=Z.BAC,連接BE、CD,若M、N分別是DE、BC的中點，MN=

1,貝I」CD的長為.

B上---------------------）--------------------

N

27.如圖，在△力BC中，AM是ZCAB的平分線，CN是外角NGCB的平分線，BE1AM于點E,BD1

CN于點D,連接OE.若48=4,BC=5,AC=6,則DE的長是（）

G

A

5

A3B.D.4

A，22C-2

28.如圖，在矩形ABCD中,AD=4,AB=8,對角線AC,BD相交于點O,點E,F分別為

CD,DA延長線上的點，且DE=4,AF=2,連接EF,G為EF的中點，連接OE,交AD于點

H,連接GH.

(1)求證：H是OE的中點;

(2)求GH的長.

29.如圖，矩形ABCD中，AB=2,AD=4,E為BC的中點，F為DE上一動點，P為AF中點,

連接PC,則PC的最小值是.

30.如圖1,點C是線段40上一點(4C<CC),分別以AC、CD為直角邊，在同側作等腰直角三角

形AACB和ADCE,點M、N分別是斜邊AB、QE的中點，點P是線段40的中點，連接PM、PN.

(1)觀察猜想，圖1中，線段PM與PN的數量關系是,位置關系是；

(2)探究證明：將圖1中的繞著點C順時針旋轉戊(0。<戊<90。)，如圖2,點M、N、P依

然分別是AB、DE、AD的中點，請判斷(1)中結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明

理由.

(3)若將圖1中AACB和△DCE都換成等邊三角形，將圖1中的ADCE繞著點C順時針旋轉

cr(90°<a<180°),如圖3,點M、N、P依然分別是4B、DE、4。的中點，請判斷(1)中結論是

否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

答案解析部分

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】2^/3

5.【答案】C

6.【答案】|

7.【答案】B

8.【答案】18；2V97

9.【答案】C

10.【答案】解：DF〃EG,DF=EG,證明如下:

連接AO,

?；BE是AC的中線，

.?.E是AC的中點，

又...G是OC的中點，

.?.GE是△ACO的中位線，

.,.GE=*4。，GE〃AO,

同理可證明DF是△ABO的中位線,

1

-'■DF=^AO,DF/7AO,

；.DF〃EG,DF=EG.

11.【答案】3

12.【答案】2.5

13.【答案】2

14.【答案】6.5

15.【答案】A

16.【答案】孚

17.【答案】B

18.【答案】證明：如圖，連結BN,CM.

■.■AM=AB,AC=AN,ZMAB=ZCAN,

.-.ZMAB+ZCAB=ZCAN+ZCAB,

即NMAC=NBAN.

MAC^ABAN(SAS).

.-.MC=BN.

又「D,E,F分別為MB,BC,CN的中點，

.-.DE=|MC,EF=|BN,

.-.DE=EF.

19.【答案】V14

20.【答案】B

21.【答案】6.5

22.【答案】A

23.【答案】8+4V17

24.【答案】B

25.【答案】2

26.【答案】2

27.【答案】C

28.【答案】(1)證明：取AD中點M,連接OM.

EB

??,矩形ABCD中，對角線AC,BD相交于點O,

???O是BD的中點.

???M是AD的中點，

???OM是△4)。的中位線，

1

；?0M||DC,OM=^DC.

??,四邊形ABCD是矩形，

：.AB//CDfAB=DC.

9JAB=8,

：.OM=4.

9：DE=4,

：.DE=OM.

VOM||DC,

"OMH=乙EDH,乙MOH=乙DEH.

在40MH和△ED”中，

20MH=乙EDH

OM=ED,

/MOH=乙DEH

：?X0MH2EDH,

：.0H=EH,

???H是OE的中點.

(2)解：連接OF.

??,四邊形ABCD是矩形，

：.Z.ADC=90°.

9COM||DC,

C.Z.FMO=/.ADC,

."FMO=90°.

VAD=4,M是AD中點,

1

：.AM=AD=2.

Vi4F=2,

：.FM=4.

???在△尸OM中，乙FMO=90。,OM=4,FM=4.

由勾股定理得：OF=70M2+FM2=4魚.

???G是EF中點，H是OE中點，

???GH是△FE。的中位線，

AGH=^OF=2V2.

29.【答案】2V2

30.【答案】（1）PM=PN；PM±PN

（2）解：（1