因式分解（第1課時）教學目標1．理解因式分解的概念，知道因式分解與整式的乘法是方向相反的變形．2．理解公因式的概念，會確定公因式．3．掌握因式分解中的提公因式法，會用提公因式法進行多項式的因式分解．教學重點理解因式分解的概念，會用提公因式法進行多項式的因式分解．教學難點正確理解因式分解的概念，準確找出公因式．教學過程知識回顧【問題】計算：（1）x(x＋1)；（2）(x＋1)(x－1)；（3）(x＋1)(x＋1)．【答案】解：（1）x(x＋1)＝x2＋x；（2）(x＋1)(x－1)＝x2－1；（3）(x＋1)(x＋1)＝x2＋2x＋1．【師生活動】教師提問：觀察這些式子，你發現了什么？學生小組討論，選出代表回答：利用整式的乘法運算，有時可以將幾個整式的乘積化為一個多項式的形式．【設計意圖】帶領學生復習已經學過的整式的乘法的知識，鞏固基礎，為本節課學習因式分解做好準備．新知探究一、探究學習【問題】1．在式的變形中，可以將一個多項式寫成幾個整式的乘積的形式嗎？請把下列多項式寫成整式的乘積的形式：（1）x2＋x＝_____________；（2）x2－1＝_____________；（3）x2＋2x＋1＝_____________．【師生活動】教師引導學生根據整式的乘法，猜想出結果．【答案】x(x＋1)(x＋1)(x－1)(x＋1)2【新知】上面我們把一個多項式化成了幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式．【追問】觀察下面的動圖，你發現因式分解與整式的乘法有什么關系？【師生活動】教師出示動圖，學生觀察動圖并嘗試歸納．【答案】因式分解與整式的乘法的關系：因式分解與整式的乘法是方向相反的變形．【設計意圖】通過具體問題的解決，讓學生在觀察、思考和實踐的過程中，了解因式分解的概念，發現因式分解與整式的乘法的互逆關系，為探索因式分解的具體方法做鋪墊．【練習】1．下列變形中，屬于因式分解變形的是__________．（填序號）（1）a(b＋c)＝ab＋ac； （2）x3＋2x2－3＝x2(x＋2)－3；（3）a2－b2＝(a＋b)(a－b)； （4）a2－2a＋1＝(a－1)2．【答案】（3）（4）【解析】（1）由整式的乘積轉化為多項式的形式，屬于整式的乘法；（2）多項式變形后仍為多項式的形式，不屬于因式分解；（3）（4）都是由多項式轉化成整式的乘積的形式，屬于因式分解．【設計意圖】通過實例辨析，讓學生進一步理解因式分解的概念．【問題】2．你能試著將多項式ma＋mb－mc分解因式嗎？【師生活動】教師提問：觀察多項式ma＋mb－mc，它的各項有什么特點？學生獨立觀察思考，發現這個多項式的各項都有一個公共的因式．教師給出公因式的概念．【新知】多項式ma＋mb－mc，它的各項都有一個公共的因式m，我們把因式m叫做這個多項式各項的公因式．【師生活動】學生先獨立思考，再由學生代表展示求解過程，最后教師補充說明．【答案】由m(a＋b－c)＝ma＋mb－mc，可得ma＋mb－mc＝m(a＋b－c)．【追問】分解后的各因式與原多項式有何關系？【答案】ma＋mb－mc分解成兩個因式的乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式m，另一個因式a＋b－c是ma＋mb－mc除以m所得的商．【新知】一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．【設計意圖】讓學生加深對因式分解與整式的乘法的關系的理解，了解公因式的概念，初步理解提公因式法分解因式．【問題】3．如何尋找公因式？6a3b2－2ab3c－4ab2的公因式是什么？【師生活動】師生共同分析，并解答問題．教師引導學生理解找6a3b2，－2ab3c與－4ab2的公因式的基本步驟：先看系數的絕對值6，2與4的最大公因數；再找出三項6a3b2，－2ab3c與－4ab2字母部分都含的字母a和b，然后找出三項都含的字母a和b的最低次冪，進而選定6a3b2，－2ab3c與－4ab2的公因式．【答案】6a3b2－2ab3c－4ab2的公因式是2ab2．【歸納】確定公因式要做到“三定”（1）定系數：各項系數都是整數時，取各系數的絕對值的最大公因數；（2）定字母：公因式的字母是各項都含有的字母；（3）定指數：各項都含有的字母的指數，取最小的指數．【設計意圖】通過解決具體問題，讓學生在觀察、思考和實踐的過程中總結確定公因式的步驟，為探索提公因式法分解因式的基本步驟做鋪墊．【練習】2．找出下列各題中的公因式：（1）ax＋ay＋a；（2）3mx－6nx2；（3）4a2b＋10ab2；（4）12x2yz－9x3y2．【答案】解：（1）ax＋ay＋a的公因式為a；（2）3mx－6nx2的公因式為3x；（3）4a2b＋10ab2的公因式為2ab；（4）12x2yz－9x3y2的公因式為3x2y．【設計意圖】通過實例辨析，讓學生加深對公因式的概念的理解．二、典例精講【例1】把8a3b2＋12ab3c分解因式．【分析】先找出8a3b2與12ab3c的公因式4ab2，再提出公因式．提出公因式4ab2后，另一個因式2a2＋3bc就不再有公因式了．【師生活動】教師提出問題，學生獨立思考并回答．【答案】解：8a3b2＋12ab3c＝4ab2·2a2＋4ab2·3bc＝4ab2(2a2＋3bc)．【追問】如果提出公因式4ab，另一個因式是否還有公因式？【答案】解：8a3b2＋12ab3c＝4ab·2a2b＋4ab·3b2c＝4ab(2a2b＋3b2c)．如果提出公因式4ab，另一個因式還有公因式b．【歸納】提公因式時要注意找系數的最大公因數，相同字母的最低次冪．【設計意圖】通過例題，引導學生了解提公因式法分解因式的基本步驟，積累找公因式的經驗，知道用提公因式法分解因式后，應保證含有多項式的因式中再無公因式．【例2】把2a(b＋c)－3(b＋c)分解因式．【分析】b＋c是這兩個式子的公因式，可以直接提出．【師生活動】學生獨立完成，一名學生板書，師生共同交流．【答案】解：2a(b＋c)－3(b＋c)＝(b＋c)(2a－3)．【歸納】如何檢查因式分解是否正確？（1）因式分解的結果要寫成乘積的形式；（2）分解后的各個因式不再含有公因式；（3）相同因式要寫成冪的形式；（4）檢查是否漏項，即在分解因式完成后，按照整式的乘法把因式再乘回去，看結果是否與原式相等．如果相等，就說明沒有漏