八年級上冊13.4

課題學習最短路徑問題利用軸對稱的知識回答了這個問題．這個問題后來被稱為“牧童飲馬問題”．你能將這個問題抽象為數學問題嗎？探索新知BAl追問1

這是一個實際問題，你打算首先做什么？將A，B兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線．探索新知B··Al（1）從A地出發，到河邊l飲馬，然后到B地；（2）在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與A，B連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A地到飲馬地點，再回到B地的路程之和；探索新知追問2

你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數學問題嗎？探索新知追問2

你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數學問題嗎？（3）現在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點．設C為直線上的一個動點，上面的問題就轉化為：當點C在l的什么位置時，

AC與CB的和最小（如圖）．BAlC追問1

對于問題2，如何將點B“移”到l的另一側B′處，滿足直線l上的任意一點C，都保持CB與CB′的長度相等？探索新知問題2

如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最小？B·lA·追問2

你能利用軸對稱的有關知識，找到上問中符合條件的點B′嗎？探索新知問題2

如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最小？B·lA·作法：（1）作點B關于直線l的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點C．則點C即為所求．探索新知問題2

如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最小？B·lA·B′C探索新知問題3

你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′C證明：如圖，在直線l上任取一點C′（與點C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC

=AC+B′C=AB′，AC′+BC′

=AC′+B′C′．探索新知問題3

你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′探索新知問題3

你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′證明：在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．若直線l上任意一點（與點C不重合）與A，B兩點的距離和都大于AC+BC，就說明AC+BC最小．探索新知B·lA·B′CC′追問1

證明AC+BC最短時，為什么要在直線l上任取一點C′（與點C不重合），證明AC+BC＜AC′+BC′？這里的“C′”的作用是什么？探索新知追問2

回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？B·lA·B′CC′運用新知練習如圖，已知：如圖A是銳角∠MON內部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小.造橋選址問題如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN.喬早在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）BA思維分析BA

1、如圖假定任選位置造橋ＭＮ，連接ＡＭ和ＢＮ，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？ＭＮ

2、利用線段公理解決問題我們遇到了什么障礙呢？

我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉化到一側呢？什么圖形變換能幫助我們呢？思維火花問題解決BAA1MN如圖，平移A到A1，使ＡA1等于河寬，連接A1Ｂ交河岸于Ｎ作橋ＭＮ，此時路徑ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.理由；另任作橋Ｍ１Ｎ１，連接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.Ｎ１Ｍ１由平移性質可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN轉化為ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１轉化為ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由線段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN問題延伸一如圖，A和B兩地之間有兩條河，現要在兩條河上各造一座橋MN和PQ.橋分別建在何處才能使從A到B的路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）思維分析如圖，問題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．橋MN和PQ在中間，且方向不能改變，仍無法直接利用“兩點之間，線段最短”解決問題，只有利用平移變換轉移到兩側或同一側先走橋長.平移的方法有三種：兩個橋長都平移到A點處、都平移到B點處、MN平移到A點處，PQ平移到B點處三、鞏固訓練（一）基礎訓練：最短路徑問題(1)求直線異側的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點，與直線的交點即為所求．如圖所示，點A，B分別是直線l異側的兩個點，在l上找一個點C，使CA＋CB最短，這時點C是直線l與AB的交點．(2)求直線同側的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個點關于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點，則與該直線的交點即為所求．如圖所示，點A，B分別是直線l同側的兩個點，在l上找一個點C，使CA＋CB最短，這時先作點B關于直線l的對稱點B′，則點C是直線l與AB′的交點．（二）變式訓練：如圖，小河邊有兩個村莊A，B，要在河邊建一自來水廠向A村與B村供水．(1)若要使廠部到A，B村的距離相等，則應選擇在哪建廠？(2)若要使廠部到A，B兩村的水管最短，應建在什么地方？（三）綜合訓練：茅坪民族中學八(2)班舉行文藝晚會，桌子擺成如圖a所示兩直排(圖中的AO，BO)，AO