考研數學一（高等數學）模擬試卷1（共9套）（共287題）考研數學一（高等數學）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、矩形閘門寬a米，高h米，垂直放在水中，上邊與水面相齊，閘門壓力為()．A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：2、在曲線y=(x-1)2上的點(2，1)處作曲線的法線，由該法線、x軸及該曲線所圍成的區域為D(y>0)，則區域D繞x軸旋轉一周所成的幾何體的體積為()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：過曲線y=(x-1)2上點(2，1)的法線方程為，該法線與x軸的交點為(4，0)，則由該法線、x軸及該曲線所圍成的區域D繞x軸旋轉一周所得的幾何體的體積為，選(D)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)3、標準答案：知識點解析：4、標準答案：知識點解析：5、標準答案：3知識點解析：6、標準答案：知識點解析：7、標準答案：1知識點解析：8、標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共28題，每題1.0分，共28分。)9、標準答案：知識點解析：暫無解析10、標準答案：知識點解析：暫無解析11、標準答案：知識點解析：暫無解析12、設f(x)連續且關于x=T對稱，a標準答案：知識點解析：暫無解析13、標準答案：知識點解析：暫無解析14、設f(x)在區間[0，1]上可導，證明：存在ξ[(0，1)，使得2f(ξ)+ξf’(ξ)=0．標準答案：令φ(x)=x2f(x)，由積分中值定理得，其中c∈，即φ(c)=φ(1)，顯然φ(x)在區間[0，1]上可導，由羅爾中值定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ’(ξ)=0．而φ’(x)=2xf(x)+x2f’(x)，所以2ξf(ξ)+ξ2f’(ξ)=0，注意到ξ≠0，故2f(ξ)+ξf’(ξ)=0．知識點解析：暫無解析15、設f(x)，g(x)在[a，b]上連續，證明：存在ξ∈(a，b)，使得標準答案：知識點解析：暫無解析16、設f(t)在[0，π]上連續，在(0，π)內可導，且證明：存在ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)=0．標準答案：知識點解析：暫無解析17、設f(x)在[0，2]上連續，在(0，2)內可導，f(0)=f(2)=0，且｜f’(x)｜≤2．證明：標準答案：知識點解析：暫無解析18、設f(x)在區間[a，b]上二階連續可導，證明：存在ξ∈(a，b)，使得標準答案：知識點解析：暫無解析19、設y=f(x)為區間[0，1]上的非負連續函數．(1)證明存在c∈(0，1)，使得在區間[0，c]上以f(c)為高的矩形面積等于區間[c,1]上以y=f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積；(2)設f(x)在(0，1)內可導，且，證明(1)中的c是唯一的．標準答案：知識點解析：暫無解析20、求曲線與x軸圍成的區域繞x軸、y軸形成的幾何體體積．標準答案：知識點解析：暫無解析21、求雙紐線(x2+y2)2=a2(x2一y2)所圍成的面積．標準答案：知識點解析：暫無解析22、拋物線y2=2x把圓x2+y2=8分成兩個部分，求左右兩個部分的面積之比．標準答案：知識點解析：暫無解析23、設C1，C2是任意兩條過原點的曲線，曲線C介于C1，C2之間，如果過C上任意一點P引平行于x和y軸的直線，得兩塊陰影所示區域A，B有相等的面積，設C的方程是y=x2，C1的方程是，求曲線C2的方程．標準答案：知識點解析：暫無解析24、設曲線y=a+x—x3，其中a<0．當x>0時，該曲線在x軸下方與y軸、x軸所圍成圖形的面積和在x軸上方與x軸所圍成圖形的面積相等，求a．標準答案：設曲線y=a+x—x3與x軸正半軸的交點橫坐標為α，β(α<β)，由條件得知識點解析：暫無解析25、求曲線y=x2一2x、y=0、x=1、x=3所圍成區域的面積S，并求該區域繞y軸旋轉一周所得旋轉體的體積V．標準答案：知識點解析：暫無解析26、設平面圖形D由x2+y2≤2x與y≥x圍成，求圖形D繞直線x=2旋轉一周所成的旋轉體的體積．標準答案：知識點解析：暫無解析27、設L：y=e-x(x≥0)．(1)求由y=e-x、x軸、y軸及x=a(a＞0)所圍成平面區域繞x軸一周而得的旋轉體的體積V(a)．(2)設，求c．標準答案：知識點解析：暫無解析28、求由曲線y=4一x2與x軸圍成的部分繞直線x=3旋轉一周所成的幾何體的體積．標準答案：知識點解析：暫無解析29、曲線y=x2(x≥0)上某點處作切線，使該曲線、切線與z軸所圍成的面積為，求切點坐標、切線方程，并求此圖形繞x軸旋轉一周所成立體的體積．標準答案：知識點解析：暫無解析30、求擺線的第一拱繞x軸旋轉一周所得旋轉體的體積．標準答案：知識點解析：暫無解析31、設曲線與x軸、y軸所圍成的圖形繞z軸旋轉所得立體體積為V1(a)，繞y軸旋轉所得立體體積為V2(a)，問a為何值時，V1(a)+V2(a)最大，并求最大值．標準答案：知識點解析：暫無解析32、設一拋物線y=ax2+bx+C過點(0，0)與(1，2)，且a<0，確定a，b，c，使得拋物線與x軸所圍圖形的面積最小．標準答案：因為曲線過原點，所以C=0，又曲線過點(1，2)，所以a+b=2，b=2一a．因為a<0，所以b>0，拋物線與x軸的兩個交點為，所以令S’(a)=0，得a=一4，從而b=6，所以當a=一4，b=6，c=0時，拋物線與x軸所圍成的面積最小．知識點解析：暫無解析33、設直線y=kx與曲線所圍平面圖形為D1，它們與直線x=1圍成平面圖形為D2．(1)求k，使得D1與D2分別繞x軸旋轉一周成旋轉體體積V1與V2之和最小，并求最小值；(2)求此時的D1+D2．標準答案：知識點解析：暫無解析34、求擺線的長度．標準答案：知識點解析：暫無解析35、設曲線，過原點作切線，求此曲線、切線及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周所成的旋轉體的表面積．標準答案：知識點解析：暫無解析36、一半徑為R的球沉入水中，球面頂部正好與水面相切，球的密度為1，求將球從水中取出所做的功．標準答案：以球頂部與水面相切的點為坐標原點，x軸鉛直向下，取，由于球的密度與水的密度相同，所以水面以下不做功，dω=(2R—x)×π[R2一(R—x)2]×1×gdx=πx(2R—x)2gdx，知識點解析：暫無解析考研數學一（高等數學）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設f"(x)連續，f’(0)=0，=1，則()．A、f(0)是f(x)的極大值B、f(0)是f(x)的極小值C、(0，f(0))是y=f(x)的拐點D、f(0)非極值，(0，f(0))也非y=f(x)的拐點標準答案：B知識點解析：由=1及f"(x)的連續性，得f"(0)=0，由極限的保號性，存在δ＞0，當0＜|x|＜δ時，＞0，從而f"(x)＞0，于是f’(x)在(一δ，δ)內單調增加，再由f’(0)=0，得當x∈(一δ，0)時，f’(x)＜0，當x∈(0，δ)時，f’(x)＞0，x=0為f(x)的極小值點，選(B)．2、設f(x)在[0，+∞)上連續，在(0，+∞)內可導，則()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：3、設f(x)連續，且f’(0)＞0，則存在δ＞0，使得()．A、f(x)在(0，δ)內單調增加B、f(x)在(一δ，0)內單凋減少C、對任意的x∈(一δ，0)，有f(x)＞f(0)D、對任意的x∈(0，δ)，有f(x)＞f(0)標準答案：D知識點解析：當x∈(一δ，0)時，f(x)f(0)，應選(D)．4、設函數f(x)=則在點x=0處f(x)()．A、不連續B、連續但不可導C、可導但導數不連續D、導數連續標準答案：D知識點解析：5、設f(x)=則在x=1處f(x)()．A、不連續B、連續但不可導C、可導但不是連續可導D、連續可導標準答案：D知識點解析：6、若f(—x)=—f(x)，且在(0，+∞)內f’(x)＞0，f"(x)＞0，則在(一∞，0)內()．A、f’(x)＜0，f"(x)＜0B、f’(x)＜0，f"(x)＞0C、f’(x)＞0，f"(x)＜0D、f’(x)＞0，f"(x)＞0標準答案：C知識點解析：因為f(x)為奇函數，所以f’(x)為偶函數，故在(一∞，0)內有f’(x)＞0．因為f"(x)為奇函數，所以在(一∞，0)內f"(x)＜0，選(C)．7、設f(x)，g(x)(a＜x＜b)為大于零的可導函數，且f’(x)g(x)一f(x)g’(x)＜0，則當a＜x＜b時，有()．A、f(x)g(b)＞f(b)g(x)B、f(x)g(a)＞f(a)g(x)C、f(x)g(x)＞f(b)g(b)D、f(x)g(x)＞f(a)g(a)標準答案：A知識點解析：二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)8、設函數y=y(x)由e2x+y一cos(xy)=e一1確定，則曲線y=y(z)在x=0對應點處的法線方程為___________．標準答案：知識點解析：當x=0時，y=1，9、設f(x)二階連續可導，且=___________．標準答案：知識點解析：10、設f(u)可導，y=f(x2)在x0=一1處取得增量△x=0．05時，函數增量△y的線性部分為0．15，則f’(1)=___________．標準答案：知識點解析：由dy=2xf’(x2)△x得dy|x=—1=一2f’(1)×0．05=一0．1f’(1)，因為△y的線性部分為dy，由一0．1f’(1)=0．15得f’(1)=一．三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)11、設f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導(a＞0)，且f(a)=0．證明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=f’(ξ)．標準答案：令φ(x)=(b一x)af(x)，顯然φ(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導，因為φ(a)=φ(b)=0，所以由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，由φ’(x)=(b一x)a—1[(b一x)f(x)一af(x)]得(b一ξ)a—1[(b一ξ)f’(ξ)一af(ξ)]且(b一ξ)a—1≠0，故f(ξ)=．知識點解析：暫無解析12、設函數f(x)和g(x)在區間[a，b]上連續，在區間(a，b)內可導，且f(a)=g(b)=0，g’(x)＜0，試證明存在ξ∈(a，b)，使=0．標準答案：令φ(x)=f(x)∫xag(t)dt+g(x)∫axf(t)dt，φ(x)在區間[a，b]上連續，在區間(a，b)內可導，且φ’(x)=[f’(x)∫xbg(t)dt一f(x)g(x)]+[g(x)f(x)+g’(x)∫axf(t)dt]=f’(x)∫xbg(t)dt+g’(x)∫axf(t)dt，因為φ(a)=φ(b)=0，所以由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)使φ(ξ)=0，即f’(ξ)∫ξbg(t)dt+g’(ξ)∫aξf(t)dt=0，由于g(b)=0及g’(x)＜0，所以區間(a，b)內必有g(x)＞0，從而就有∫xbg(t)dt＞0，于是有=0．知識點解析：暫無解析13、設f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導，且f(a)=f(b)=0，證明：(1)存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．(2)存在η∈(a，b)，使得ηf’(η)+f(η)=0．標準答案：(1)令φ(x)=f(x)，因為f(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=≠0，故f’(ξ)=2ξf(ξ)．(2)令φ(x)=xf(x)，因為f(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0，由羅爾定理，存在η∈(a，b)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=xf’(x)+f(x)，故ηf’(η)+f(η)=0．知識點解析：暫無解析14、設f(x)，g(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導，且g’(x)≠0．證明：存在ξ∈(a，b)，使得。標準答案：令F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)—f(x)g(x)，則F(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導，且F(a)=F(b)=f(a)g(b)，由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0，而F’(x)=f’(x)g(b)+f(a)g’(x)一f’(x)g(x)一f(x)g’(x)，所以知識點解析：暫無解析15、設f(x)在[0，1]上連續，證明：存在ξ∈(0，1)，使得∫0ξf(t)dt+(ξ一1)f(ξ)=0．標準答案：令φ(x)=x∫0xf(t)dt一∫0xf(t)dt．因為φ(0)=φ(1)=0，所以由羅爾定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0．而φ’(x)=∫0xf(t)dt+(x一1)f(x)，故∫0ξf(t)dt+(ξ一1)f(ξ)=0．知識點解析：暫無解析16、設f(x)在[1，2]上連續，在(1，2)內可導，證明：存在ξ∈(1，2)，使得ξf’(ξ)一f(ξ)=f(2)一2f(1)．標準答案：令φ(x)=，則φ(x)在[1，2]上連續，在(1，2)內可導，且φ(1)=φ(2)=f(2)一f(1)，由羅爾定理，存在ξ∈(1，2)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=，故ξf’(ξ)一f(ξ)=f(2)一2f(1)．知識點解析：暫無解析17、設f(x)在[0，1]上連續，在(0，1)內可導，且f(0)=f(1)，證明：存在ξ，η∈(0，1)，使得f’(ξ)+f’(η)=0．標準答案：因為f(0)=f(1)，所以f’(ξ)=一f’(η)，即f’(ξ)+f’(η)=0．知識點解析：暫無解析18、設f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導(a＞0)．證明：存在ξ，η∈(a，b)，使得。標準答案：令F(x)=x2，F’(x)=2x≠0(a＜x＜b)，由柯西中值定理，存在η∈(a，b)，使得，再由拉格朗日中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得。知識點解析：暫無解析19、設f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內二階可導，連接點A(a，f(a))，B(b，f(b))的直線與曲線y=f(x)交于點C(c，f(c))(其中a＜c＜b)．證明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=0．標準答案：由微分中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得因為點A，B，C共線，所以f’(ξ1)=f’(ξ2)，又因為f(x)二階可導，所以再由羅爾定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得f"(ξ)=0．知識點解析：暫無解析20、設f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內三階可導，f(a)=f(b)，且f(x)在[a，b]上不恒為常數．證明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f’(ξ)＞0，f’(η)＜0．標準答案：因為f(x)在[a，b]上不恒為常數且f(a)=f(b)，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)≠f(a)=f(b)，不妨設f(c)＞f(a)=f(b)，由微分中值定理，存在ξ∈(a，c)，η∈(c，b)，使得知識點解析：暫無解析21、設b＞a＞0，證明：．標準答案：知識點解析：暫無解析22、設f(x)在[a，b]上滿足｜f"(x)｜≤2，且f(x)在(a，b)內取到最小值．證明：｜f’(a)｜+｜f’(b)｜≤2(b一a)．標準答案：因為f(x)在(a，b)內取到最小值，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)為f(x)在[a，b]上的最小值，從而f’(c)=0．由微分中值定理得兩式相加得|f’(a)|+|f’(b)|≤2(b一a)．知識點解析：暫無解析23、設f(x)在[0，1]上二階連續可導且f(0)=f(1)，又｜f"(x)｜≤M，證明：｜f’(x)｜≤．標準答案：由泰勒公式得知識點解析：暫無解析24、證明：當x＞1時，．標準答案：令f(x)=(1+x)ln(1+x)一xlnx，f(1)=2ln2＞0，因為f’(x)=ln(1+x)+1—lnx一1=ln(1+)＞0(x＞1)，所以f(x)在[1，+∞)上單調增加。再由f(1)=2ln2＞0得當x＞1時，f(x)＞0，即．知識點解析：暫無解析25、證明：當x＞0時，x2＞(1+x)ln2(1+x)．標準答案：令f(x)=x2一(1+x)ln2(1+x)，f(0)=0；f’(x)=2x—ln2(1+x)一2ln(1+x)，f’(0)=0；知識點解析：暫無解析26、證明：當x＞0時，arctanx+．標準答案：知識點解析：暫無解析27、求y=∫0x(1一t)arctantdt的極值．標準答案：令y’=(1—x)arctanx=0，得x=0或x=1，y"=一arctanx+＜0，所以x=0為極小值點，極小值為y=0；x=1為極大值點，極大值為y(1)=∫01(1一t)arctantdt=∫01arctantdt—∫01tarctantdt知識點解析：暫無解析考研數學一（高等數學）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)1、設場A={x3+2y，y3+2z，z3+2x}，曲面S：x2+y2+z2=2z內側，則場A穿過曲面指定側的通量為()．A、32πB、一32πC、D、一標準答案：D知識點解析：二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)2、設L為從點A(0，一1，1)到點B(1，0，2)的直線段，則∫L(x+y+z)ds=___________．標準答案：知識點解析：3、設曲線L：，則∮L(x2+2y2+z)ds=___________．標準答案：2πa3知識點解析：4、∫L｜y｜ds=___________，其中L：(x2+y2)2=a2(x2一y2)(a＞0)．標準答案：2a2(2—)知識點解析：5、設向量場A=2x3yzi—x2y2zj一x2yz2k，則其散度divA在點M(1，1，2)沿方向l={2，2，一1}的方向導數(divA)｜M=___________．標準答案：知識點解析：6、設L是從點(0，0)到點(2，0)的有向弧段y=x(2一x)，則∫L(yex—e-y+y)dx+(x-y+ex)dy=___________．標準答案：知識點解析：P(x，y)=yex—e-y+y，Q(x，y)=xe-y+ex，7、設f(u)連續可導，且∫04f(u)du=2，L為半圓周y=，起點為原點，終點為B(2，0)，則∫Lf(x2+y2)(xdx+ydy)=___________．標準答案：1知識點解析：P(x，y)=xf(x2+y2)，Q(x，y)=yf(x2+y2)，三、解答題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)8、計算I=圍成．標準答案：知識點解析：暫無解析9、計算．標準答案：令知識點解析：暫無解析10、計算，其中D為單位圓x2+y2=1所圍成的第一象限的部分．標準答案：知識點解析：暫無解析11、計算二重積分(x2+4x+y2)dxdy，其中D是曲線(x2+y2)2=a2(x2一y2)圍成的區域．標準答案：知識點解析：暫無解析12、設半徑為R的球面S的球心在定球面x2+y2+z2=a2(a＞0)上，問R取何值時，球面S在定球面內的面積最大?標準答案：設球面S：x2+y2+(z一a)2=R2，知識點解析：暫無解析13、設f(x)在[a，b]上連續，證明：∫abf(x)dx∫abf(y)dy=[∫abf(x)dx]2．標準答案：令F(x)=∫axf(t)dt，則∫abf(x)dx∫xbf(y)dy=∫abf(x)[F(b)一F(x)]dx=F(b)∫abf(x)dx—∫abf(x)F(x)dx=F2(b)一∫abF(x)dF(x)=F2(b)一[∫abf(x)dx]2．知識點解析：暫無解析14、設f(x，y)，g(x，y)在平面有界閉區域D上連續，且g(x，y)≥0．證明：存在(ξ，η)∈D，使得．標準答案：因為f(x，y)在D上連續，所以f(x，y)在D上取到最大值M和最小值m，故m≤f(x，y)≤M，又由g(x，y)≥0得mg(x，y)≤f(x，y)g(x，y)≤Mg(x，y)積分得知識點解析：暫無解析15、設f(x)在[0，a](a＞0)上非負、二階可導，且f(0)=0，f"(x)＞0，為y=f(x)，y=0，x=a圍成區域的形心，證明：．標準答案：知識點解析：暫無解析16、設函數f(x)∈C[a，b]，且f(x)＞0，D為區域a≤x≤b，a≤y≤b．證明dxdy≥(b—a)2．標準答案：因為積分區域關于直線y=x對稱，知識點解析：暫無解析17、設f(x)連續，F(t)=[x2+f(x2+y2)]dv，其中V={(x，y，z)｜x2+y2≤t2，0≤z≤h}(t＞0)，求．標準答案：知識點解析：暫無解析18、設Ω：x2+y2+z2≤1，證明：標準答案：令f(x，y，z)=x+2y一2z+5，因為f’x=1≠0，f’y=2≠0，f’z=—2≠0，所以f(x，y，z)在區域Ω的邊界x2+y2+z2=1上取到最大值和最小值．令F(x，y，z，λ)=x+2y一2z+5+λ(x2+y2+z2一1)，知識點解析：暫無解析19、設f(x)為連續函數，計算+yf(x2+y2)]dxdy，其中D是由y=x2，y=1，x=一1圍成的區域．標準答案：設f(x)的一個原函數為F(x)，則知識點解析：暫無解析20、交換積分次序并計算(a＞0)．標準答案：知識點解析：暫無解析21、設f(x)在[0，1]上連續且單調減少，且f(x)＞0．證明：標準答案：等價于∫01f2(x)dx∫01xf(x)dx≥∫01f(x)dx∫01xf2(x)dx，等價于∫01f2(x)dx∫01yf(y)dy≥∫01f(x)dx∫01yf2(y)dy，或者∫01dx∫01yf(x)f(y)[f(x)一f(y)]dy≥0令I=∫01dx∫01yf(x)f(y)[f(x)一f(y)]dy，根據對稱性I=∫01dx∫01xf(x)y(y)[f(y)一f(x)]dy，2I=∫01dx∫01f(x)f(y)(y—x)[f(x)一f(y)]dy，因為f(x)＞0且單調減少，所以(y—x)[f(x)一f(y)]≥0，于是2I≥0，或I≥0，所以知識點解析：暫無解析22、證明：用二重積分證明標準答案：令D1={(x，y)｜x2+y2≤R2，x≥0，y≥0}，S=((x，y)｜0≤x≤R，0≤y≤R}，D2={(x，y)｜x2+y2≤2R2，x≥0，y≥0}知識點解析：暫無解析23、設f(x，y，z)連續，∑為曲面2z=x2+y2位于z=2與z=8之間部分的上側，計算[yf(x，y，z)+x]dydz+[xf(x，y，z)+y]dzdx+[2xyf(x，y，z)+z]dxdy．標準答案：曲面2z=x2+y2上任一點(x，y，z)指向上側的法向量為n={一x，一y，1}，法向量的方向余弦為知識點解析：暫無解析24、設f(x，y)dx+xcosydy=t2，f(x，y)有一階連續偏導數，求f(x，y)．標準答案：因為曲線積分與路徑無關，所以有cosy=f’y(x，y)，則f(x，y)=siny+C(x)，而tcosydy=t2，兩邊對t求導數得C(t)=2t—sint2一2t2cost2，于是f(x，y)=siny+2x—sinx2一2x2cosx2．知識點解析：暫無解析25、設L為曲線｜x｜+｜y｜=1的逆時針方向，計算．標準答案：P=，令C：x2+4y2=r2(r＞0)逆時針且C在曲線L內，則有知識點解析：暫無解析26、位于點(0，1)的質點A對質點M的引力大小為(其中常數k＞0，且r=｜AM｜)，質點M沿曲線L：y=自點B(2，0)到點(0，0)，求質點A對質點M所做的功．標準答案：知識點解析：暫無解析27、在變力F={yz，xz，xy}的作用下，質點由原點沿直線運動到橢球面=1上第一卦限的點M(ξ，η，ζ)，問ξ，η，ζ取何值時，F所做的功最大?求最大的功．標準答案：設原點O到點M(ξ，η，ζ)的直線為L，L的參數方程為知識點解析：暫無解析28、設f(x)二階連續可導，且曲線積分∫[3f’(x)一2f(x)+xe2x]ydx+f’(x)dy與路徑無關，求f(x)．標準答案：因為曲線積分與路徑無關，所以有f"(x)=3f’(x)一2f(x)+xe2x，即f"(x)一3f’(x)+2f(x)=xe2x，由特征方程λ一3λ+2=0得λ1=1，λ2=2，則方程f"(x)一3f’(x)+2f(x)=0的通解為f(x)=C1ex+C2e2x，令特解f0(x)=x(ax+b)e2x，代入原微分方程得a=，b=一1，故所求f(x)=C1ex+C2e2x+(一x)e2x．知識點解析：暫無解析29、計算，其中S為圓柱x2+y2=a2(a＞0)位于z=—a與z=a之間的部分．標準答案：知識點解析：暫無解析考研數學一（高等數學）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設x→0時ax2+bx+c-cosx是比x2高階的無窮小，其中a，b，c為常數，則()A、a=，b=0，c=1。B、a=，b=0，c=0。C、a=，b=0，c=1。D、a=，b=0，c=0。標準答案：C知識點解析：由題意得(ax2+bx+c-cosx)=0，則c=1。又因為所以b=0，a=。故選C。2、設函數f(x)在(-∞，+∞)上存在二階導數，且f(x)=f(-x)，當x＜0時有f’(x)＜0，f’’(x)＞0，則當x＞0時，有()A、f’(x)＜0，f’’(x)＞0。B、f’(x)＞0，f’’(x)＜0。C、f’(x)＞0，f’’(x)＞0。D、f’(x)＜0，f’’(x)＜0。標準答案：C知識點解析：由f(x)=f(-x)可知，f(x)為偶函數，因偶函數的導數是奇函數，奇函數的導數是偶函數，即f’(x)為奇函數，f’’(x)為偶函數，因此當x＜0時，有f’(x)＜0，f’’(x)＞0，則當x＞0時，有f’(x)＞0，f’’(x)＞0。故選C。3、函數y=f(x)在(-∞，+∞)上連續，其二階導函數的圖形如圖1-2-2所示，則y=f(x)的拐點個數是()A、1。B、2。C、3。D、4。標準答案：C知識點解析：只需考查f’’(x)=0的點與f’’(x)不存在的點。f’’(x1)=f’’(x4)=0，且在x=x1，x4兩側f’’(x)變號，故凹凸性相反，則(x1，f(x1))，(x4，f(x4))是y=f(x)的拐點。x=9處f’’(0)不存在，但f(x)在x=0連續，且在x=0兩側f’’(x)變號，由此(0，f(0))也是y=f(x)的拐點。雖然f’’(x3)=0，但在x=x3兩側f’’(x)＞0，y=f(x)是凹的。(x3，f(x3))不是y=f(x)的拐點。因此總共有三個拐點。故選C。4、由曲線y=1-(x-1)2與直線y=0圍成的圖形(如圖1-3-1所示)繞y軸旋轉一周而成的立體的體積1V是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：根據選項需把曲線表成x=x(y)，于是要分成兩部分所求立體體積為兩個旋轉體的體積之差，其中5、設有直線L：及平面∏：4x-2y+z-2=0，則直線L()A、平行于∏。B、在∏上。C、垂直于∏。D、與刀斜交。標準答案：C知識點解析：直線L的方向向量為=-28i+14j-7k=-7{4，-2，1}，平面∏的法向量n={4，-2，1}，顯然s與n平行，因此直線L與平面∏垂直，故選C。6、設可微函數f(x，y)在點(x0，y0)處取得極小值，則下列結論正確的是()A、f(x0，y)在y=y0處的導數大于零。B、f(x0，y)在y=y0處的導數等于零。C、f(x0，y)在y=y0處的導數小于零。D、f(x0，y)在y=y0處的導數不存在。標準答案：B知識點解析：因可微函數f(x，y)在點(x0，y0)取得極小值，故有fx(x0，y0)=0，f(x0，y0)=0。又由fx(x0，y0)=，可知B正確。7、設有曲線從x軸正向看去為逆時針方向，則ydx+zdy+xdz等于()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：取∑為平面x+y+z=0包含球面x2+y2+z2=a2內的部分，法線方向按右手法則，由斯托克斯公式得其中cosα，cosβ，cosγ為平面x+y+z=0法線向量的方向余弦，且cosα=cosβ=cosγ=則，故選C。8、下列命題成立的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：若中至少有一個不成立，則級數中至少有一個發散，故選C。9、設線性無關的函數y1，y2，y3都是二階非齊次線性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常數，則該非齊次方程的通解是()A、C1y1+C2y2+y3。B、C1y1+C2y2-(C1+C2)y3。C、C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3。D、C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3。標準答案：D知識點解析：因為y1，y2，y3是二階非齊次線性方程y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x)線性無關的解，所以y1-y3，y2-y3都是齊次線性方程y’’+p(x)y’+g(x)y=0的解，且y1-y3與y2-y3線性無關，因此該齊次線性方程的通解為y=C1(y1-y3)+C2(y2-y3)。比較四個備選項，且由線性微分方程解的結構性質可知，應選D。二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)10、=_________。標準答案：知識點解析：11、已知=________。標準答案：知識點解析：12、曲線xy=1在點D(1，1)處的曲率圓方程是_______。標準答案：(x-2)2+(y-2)2=2知識點解析：由題干可知，那么D點處的曲率設D點曲率中心的坐標為(α，β)，那么因此所求方程為(x-2)2+(y-2)2=2。13、=________。標準答案：ln2知識點解析：14、經過平面∏1：x+y+1=0與平面∏2：x+2y+2z=0的交線，并且與平面∏3：2x-y-z=0垂直的平面方程是________。標準答案：3x+4y+2z+2=0知識點解析：平面∏1與∏2的交線方程為其方向向量點P0(0，-1，1)在交線L上。所求平面∏過點P0，交線L的方向向量s與平面∏3的法向量，n=(2，-1，-1)垂直，因此故∏的方程為3x+4y+2z+2=0。15、已知曲線L的方程為y：1-｜x｜，x∈[-1，1]，起點是(-1，0)，終點是(1，0)，則曲線積分xydx+x2dy=________。標準答案：0知識點解析：令16、無窮級數的收斂區間為________。標準答案：知識點解析：在原級數中令=t，原級數可化為的收斂半徑和收斂區間即可。對于級數，由于所以的收斂半徑為1，收斂區間為(-1，1)。由于的收斂區間為17、設y=ex(asinx+bcosx)(a，b為任意常數)為某二階常系數齊次線性微分方程的通解，則該方程為_______。標準答案：y’’-2y’+2y=0知識點解析：由通解的形式可知，特征方程的兩個根是r1,2=1±i，特征方程為(r-r1)(r-r2)=r2-(r1+r2)r+r1r2=r2-2r+2=0，故所求微分方程為y’’-2y’+2y=0。三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)18、設函數f(x)在x=1的某鄰域內連續，且有標準答案：由已知條件得[f[x+1)+1+3sin2x]=0，因此有[f(x+1)+3sin2x]=f(1)+0=0，故f(1)=0。又因為在x=0的某空心鄰域內f(x+1)+3sin2x≠0，現利用等價無窮小替換：當x→0時，ln[1+f(x+1)+3sin2x]～f(x+1)+3sin2x，知識點解析：暫無解析19、設奇函數f(x)在[-1，1]上具有二階導數，且f(1)=1，證明：(Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1；(Ⅱ)存在η∈(-1，1)，使得f’’(η)+f’(η)=1。標準答案：(Ⅰ)令F(x)=f(x)-x，則F(0)=f(0)=0，F(1)=f(1)-1=0，由羅爾定理知，存在ξ∈(0，1)使得F’(ξ)=0，即f’(ξ)=1。(Ⅱ)令G(x)=ex[f’(x)-1]，由(Ⅰ)知，存在ξ∈(0，1)，使C(ξ)=0，又因為f(x)為奇函數，故f’(x)為偶函數，知G(-ξ)=0，則存在η∈(-ξ，ξ)(-1，1)，使得G’(η)=eη(f’(η)-1)+eηf’’(η)=0，f’’(η)+f’(η)=1。知識點解析：暫無解析20、設函數f(x)在[0，π]上連續，且。試證明在(0，π)內至少存在兩個不同的點ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0。標準答案：令F(x)=，0≤x≤π，則有F(0)=0，F(π)=0。又因為所以存在ξ∈(0，π)，使F(ξ)sinξ=0，不然，則在(0，π)內F(x)sinx恒為正或恒為負，與矛盾，但當ξ∈(0，π)時sinξ≠0，故F(ξ)=0。再對F(x)在區間[0，ξ]，[ξ，π]上分別用羅爾定理知，至少存在ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π)，使得F’(ξ1)=F’(ξ2)=0，即f(ξ1)=f(ξ2)=0。知識點解析：暫無解析21、設其中f和g具有一階連續偏導數，且gz(x，y，z)≠0，求標準答案：本題確定兩個因變量，三個自變量。由第一個方程來看，u是因變量，x，y，t是自變量，由第二個方程來看，z是因變量。因此確定x，y，t為自變量，u，z為因變量。于是將方程組對x求偏導數得同理，將方程組對y求偏導數可得知識點解析：暫無解析22、設有一小山，取它的底面所在的平面為xOy坐標面，其底部所占的區域為D=｜(x，y)｜x2+y2-xy≤75}，小山的高度函數為h(x，y)=75-x2-y2+xy。(Ⅰ)設M(x0，y0)為區域D上的一點，問h(x，y)在該點沿平面上何方向的方向導數最大?若此方向的方向導數為g(x0，y0)，寫出g(x0，y0)的表達式；(Ⅱ)現欲利用此小山開展攀巖活動，為此需要在山腳下尋找一坡度最大的點作為攀登的起點。也就是說，要在D的邊界線x2+y2-xy=75上找出使(Ⅰ)中g(x，y)達到最大值的點。試確定攀登起點的位置。標準答案：(Ⅰ)函數h(x，y)在點M處沿該點的梯度方向(Ⅱ)求g(x，y)在條件x2+y2-xy-75=0下的最大值點與求g2(x，y)=(y-2x)2+(x-2y)2=5x2+5y2-8x)，在條件x2+y2-xy-75=0下的最大值點等價。這是求解條件最值問題，用拉格朗日乘數法。構造拉格朗日函數L(x，y，λ)=5x2+5y2-8xy+λ(x2+y2-xy-75)，則有聯立(1)，(2)解得y=-x，λ=-6或y=x，λ=-2。若y=-x，則由(3)式得3x2=75，即x=±5，y=±5。若y=x，則由(3)式得x2=75，即。于是得可能的條件極值點M1(5，-5)，M2(-5，5)，。現比較f(x，y)=g2(x，y)=5x2+5y2-8xy在這些點的函數值，有f(M1)=f(M2)=450，f(M3)=f(M4)=150。因為實際問題存在最大值，而最大值又只可能在M1，M2，M3，M4中取到。所以g2(x，y)在M1，M2取得邊界線D上的最大值，即M1，M2可作為攀登的起點。知識點解析：暫無解析23、設f(x)=標準答案：知識點解析：暫無解析24、已知積分與路徑無關，f(x)可微，且(Ⅰ)求f(x)；(Ⅱ)對(Ⅰ)中求得的f(x)，求函數u=u(x，y)使得du=(x+xysinx)dx+(Ⅲ)對(Ⅱ)中的du求積分，其中積分路徑為從A(π，1)到B(2π，0)的任意路徑。標準答案：(Ⅰ)由題意可得這是一階線性微分方程，通解為f(x)=x(sinx-xcosx+C)。由初始條件，得C=-1，于是f(x)=x(sinx-xcosx-1)。(Ⅱ)由(Ⅰ)中結論可得du=(x+xysinx)dx+=(x+xysinx)dx+(sinx-xcosx-1)dy，則=x+xysinx，兩邊對x積分得u=-xycosx+ysinx+φ(y)，于是=-ccosx+sinx+φ’(y)=sinx-xcosx-1，因此φ’(y)=-1，兩邊對y積分得φ(y)=-y+C，u=-xycosx+ysinx-y+C，其中C為任意常數。(Ⅲ)由于積分與路徑無關，所以知識點解析：暫無解析25、求冪級數的收斂區間與和函數f(x)。標準答案：設an=，則當x2＜1時，原級數絕對收斂，當x2＞1時，原級數發散，因此原級數的收斂半徑為1，收斂區間為(-1，1)。知識點解析：暫無解析考研數學一（高等數學）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、f(x)=2x+3x一2，當x→0時()．A、f(x)～xB、f(x)是x的同階但非等價的無窮小C、f(x)是x的高階無窮小D、f(x)是x的低階無窮小標準答案：B知識點解析：因為，所以f(x)是x的同階而非等價的無窮小，選(B)．2、設，則當x=0時，f(x)是g(x)的()．A、低階無窮小B、高階無窮小C、等價無窮小D、同階但非等價的無窮小標準答案：B知識點解析：當x→0時，g(x)～因為，所以f(x)是g(x)的高階無窮小，選(B)．3、極限()．A、等于1B、為∞C、不存在但不是∞D、等于0標準答案：C知識點解析：因為當時，，當時，，所以極限不存在但不是∞，選(C)．4、當x→1時，的極限為()．A、2B、0C、∞D、不存在但不是∞標準答案：D知識點解析：顯然，因為，而，所以不存在但不是∞，選(D)．5、設f(x)連續且，則為()．A、a2B、a2f(a)C、0D、不存在標準答案：B知識點解析：，選(B)．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、標準答案：知識點解析：7、標準答案：知識點解析：8、標準答案：知識點解析：9、標準答案：2知識點解析：10、標準答案：知識點解析：11、標準答案：知識點解析：12、標準答案：知識點解析：13、標準答案：知識點解析：14、設函數f(x)在[0，1]上連續，且f(x)＞0，則=___________。標準答案：知識點解析：15、若=5，則a=__________，b=__________。標準答案：a=1，b=-4知識點解析：三、解答題(本題共24題，每題1.0分，共24分。)16、標準答案：知識點解析：暫無解析17、標準答案：知識點解析：暫無解析18、標準答案：知識點解析：暫無解析19、標準答案：知識點解析：暫無解析20、標準答案：知識點解析：暫無解析21、標準答案：知識點解析：暫無解析22、標準答案：知識點解析：暫無解析23、標準答案：知識點解析：暫無解析24、標準答案：知識點解析：暫無解析25、標準答案：知識點解析：暫無解析26、標準答案：知識點解析：暫無解析27、標準答案：知識點解析：暫無解析28、標準答案：知識點解析：暫無解析29、標準答案：知識點解析：暫無解析30、標準答案：知識點解析：暫無解析31、設，當x→0時，比較這兩個無窮小的關系。標準答案：知識點解析：暫無解析32、設f(x)連續，且，且f’(0)存在。求f’(0)。標準答案：知識點解析：暫無解析33、設f(x)二階連續可導，f”(0)=4，，求。標準答案：知識點解析：暫無解析34、標準答案：知識點解析：暫無解析35、標準答案：知識點解析：暫無解析36、標準答案：知識點解析：暫無解析37、標準答案：知識點解析：暫無解析38、標準答案：知識點解析：暫無解析39、標準答案：知識點解析：暫無解析考研數學一（高等數學）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、把x→0+時的無窮小量α=排列起來，使排在后面的是前面一個的高階無窮小，則正確的排列次序是()A、α，β，γ。B、α，γ，β。C、β，α，γ。D、β，γ，α。標準答案：B知識點解析：因為所以當x→0+時，α是x的一階無窮小，β是x的三階無窮小，γ是x的二階無窮小，故選B。2、設函數f(x)對任意的x均滿足等式f(1+x)=af(x)，且有f’(0)=b，其中a，b為非零常數，則()A、f(x)在x=1處不可導。B、f(x)在x=1處可導，且f’(1)=a。C、f(x)在x=1處可導，且f’(1)=b。D、f(x)在x=1處可導，且f’(1)=ab。標準答案：D知識點解析：因且由f’(0)=b可知3、設函數f(x)滿足關系式f’’(x)+[f’(x)]2=x，且f’(0)=0，則()A、f(0)是f(x)的極大值。B、f(0)是f(x)的極小值。C、(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點。D、f(0)不是f(x)的極值，(x，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點。標準答案：C知識點解析：在題設等式兩端對x求導，得f’’’(x)+2f’(x)f’’(x)=1。令x=0可得f’’’(0)=1(因由上式可推得f’’’(x)連續)。又f’’(0)=0，由拐點的充分條件可知，(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點。故選C。4、由曲線(0≤x≤π)與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周而成的旋轉體體積為()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：由曲線y=f(x)繞x軸旋轉一周所得旋轉體的體積計算公式，得5、已知向量a，b的模分別為｜a｜=2，｜b｜=，且a.b=2，則｜a×b｜=()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：a.b=｜a｜｜b｜cos＜a，b＞=cos＜a，b＞=2，則cos＜a，b＞=故｜a×b｜=｜a｜｜b｜sin＜a，b＞=6、函數f(x，y)在點(0，0)可微的充分條件是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：由可知，f(x，y)的兩個一階偏導數fx(x，y)和fy(x，y)在點(0，0)處連續，則f(x，y)在點(0，0)處可微，故選D。7、設曲線積分-ex]sinydx-f(x)cosydy與路徑無關，其中f(x)具有一階連續導數，且f(0)=0，則f(x)等于()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：曲線積分∫L[f(x)-ex]sinydx-f(x)cosydy與路徑無關，則[f(x)-ex]cosy=-f’(x)cosy，即f’(x)+f(x)=ex。所以有8、設正項級數()A、絕對收斂。B、條件收斂。C、發散。D、斂散性與λ有關。標準答案：A知識點解析：因為而由正項級數收斂，再由比較審斂法極限形式知，原級數絕對收斂。9、已知y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的兩個不同的特解，則方程的通解為()A、y=Cy1(x)。B、y=Cy2(x)。C、y=C1y1(x)+C2y2(x)。D、y=C[y1(x)-y2(x)]。標準答案：D知識點解析：由于y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的兩個不同的特解，所以y1(x)-y2(x)為該方程的一個非零解，則y=C[y1(x)-y2(x)]為該方程的通解。二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)10、設a＞0，a≠1，且，則p=_________。標準答案：2知識點解析：故取p=2。11、已知=________。標準答案：知識點解析：12、設y=y(x)由參數方程=________，y=y(x)在任意點處的曲率K=________。標準答案：知識點解析：由題干可知因此，y=y(x)的曲率13、=________。標準答案：1知識點解析：原式=14、兩個平行平面∏1：2x-y-3z+2=0，∏2：2x-y-3z-5=0之間的距離是=_______。標準答案：知識點解析：在平面∏上任取一點P0(-1，0，0)，則平行平面∏1到∏2的距離轉化為點P0到平面∏2的距離，利用點到平面的距離公式，則有15、設L為正向圓周x2+y2=2在第一象限中的部分，則曲線積分的值為=______。標準答案：知識點解析：正向圓周x2+y2=2在第一象限中的部分，可表示為16、冪級數的收斂域為________。標準答案：[4，6)知識點解析：冪級數的系數為an=，則有因此冪級數的收斂半徑為R=1。當x=4時，原級數為，該級數收斂，當x=6時，原級數為，該級數發散，故冪級數的收斂域是[4，6)。17、若函數f(x)滿足方程f’’(x)+f’(x)-2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex，則f(x)=________。標準答案：ez知識點解析：齊次微分方程f’’(x)+f’(x)-2f(x)=0的特征方程為r2+r-2=0，特征根為r1=1，r2=-2，該齊次微分方程的通解為f(x)=C1ex+C2e-2x。再由f’’(x)+f(x)=2ex得2C1ex+5C2e-2x=2ex，比較系數可得C1=1，C2=0。故f(x)=ex。三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)18、證明：(Ⅰ)對任意正整數n，都有成立；(Ⅱ)設，證明{an}收斂。標準答案：(Ⅰ)令=x，則原不等式可化為先證明ln(1+x)＜x，x＞0。令f(x)=x-ln(1+x)。由于可知f(x)在0，+∞)上單調遞增。又由于f(0)=0，所以當x＞0時f(x)＞f(0)=0。也即ln(1+x)＜x，x＞0。再證明＜ln(1+x)，x＞0。令g(x)=ln(1+x)-。由于可知g(x)在[0，+∞)上單調遞增。又因g(0)=0，所以當x＞0時，g(x)＞g(0)=0。即再代入，即可得到所需證明的不等式。因此數列{an}是有界的。由單調有界收斂定理可知數列{an}收斂。知識點解析：暫無解析19、(Ⅰ)證明拉格朗日中值定理：若函數f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導，則存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)；(Ⅱ)證明：若函數f(x)在x=0處連續，在(0，δ)(δ＞0)內可導，且f’(x)=A，則f’+(0)存在，且f’+(0)=A。標準答案：(Ⅰ)作輔助函數φ(x)=f(x)-f(a)-(x-a)，易驗證φ(x)滿足：φ(a)=φ(b)；φ(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內可導，且根據羅爾定理，可得至少有一點ξ∈(a，b)，使φ’(ξ)=0，即所以f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)。(Ⅱ)任取x0∈(0，δ)，則函數f(x)在閉區間[0，x0]上連續，開區間(0，x0)內可導，因此由拉格朗日中值定理可知，存在(0，δ)，使得故f’+(0)存在，且f’+(0)=A。知識點解析：暫無解析20、設y=f(x)是區間[0，1]上的任一非負連續函數。(Ⅰ)試證存在x0∈(0，1)，使得在區間[0，x0]上以f(x0)為高的矩形面積等于在區間[x0，1]上以y=f(x)為曲邊的梯形面積；(Ⅱ)又設f(x)在區間(0，1)內可導，且f’(x)＞-，證明(Ⅰ)中的x0是唯一的。標準答案：(Ⅰ)本題可轉化為證明x0f(x0)=，則φ(x)在閉區間[0，1]上是連續的，在開區間(0，1)上是可導的，又因為φ(0)=φ(1)=0，根據羅爾定理可知，存在x0∈(0，1)，使得φ’(x0)=0，即(Ⅱ)令F(x)=xf(x)-有F’(x)=xf’(x)+f(x)+f(x)=2f(x)+xf’(x)＞0，即F(x)在(0，1)內是嚴格單調遞增的，因此(Ⅰ)中的點x0是唯一的。知識點解析：暫無解析21、設z=f(x，y)，x=g(y，z)+，其中f，g，φ在其定義域內均可微，求標準答案：由z=f(x，y)，有dz=f’1dx+f’2dy。由x=g(y，z)+有解得代入出表達式中，得知識點解析：暫無解析22、過橢圓3x2+2xy+3y2=1上任意一點作橢圓的切線，試求該切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積的最小值。標準答案：設(x，y)為所給橢圓上任一點，則可求得在(x，y)處的切線方程為(3x+y)(X-x)+(x+3y)(Y-y)=0，它與兩坐標軸的交點為。所以切線與坐標軸圍成的三角形面積為本題轉化為求(3x+y)(z+3y)在條件3x2+2xy+3y2=1下的極值。設F(x，y，λ)=(3x+y)(x+3y)+λ(3x2+2xy+3y2-1)，所以該切線與坐標軸所圍成的三角形面積的最小值知識點解析：暫無解析23、計算積分標準答案：如圖所示，二重積分的積分區域為D，D1是D的第一象限部分，由對稱性，得知識點解析：暫無解析24、設在上半平面D={(x，y)｜y＞0}內，函數f(x，y)具有連續偏導數，且對任意的t＞0都有f(tx，ty)=t-2f(，y)。證明對D內的任意分段光滑的有向簡單閉曲線L，都有yf(x，y)dx-xf(x，y)dy=0。標準答案：在等式f(tx，ty)=t-2f(x，y)兩邊對t求導得xf’1(tx，ty)+yf’2(tx，ty)=-2t-3f(x，y)，令t=1，則xf’1(x，y)+xf’2(x，y)=-2f(x，y)，(*)設P(x，y)=yf(x，y)，Q(x，y)=-xf(x，y)，則由曲線積分與路徑無關的定理可知，對D內的任意分段光滑的有向簡單閉曲線L，都有yf(x，y)dx-xf(x，y)dy=0。知識點解析：暫無解析25、求冪級數的收斂區間，并討論該區間端點處的收斂性。標準答案：因為所以收斂半徑為R=3，相應的收斂區間為(-3，3)。當x=3時，由于且發散，所以原級數在點x=3處發散。當x=-3時，由于且都收斂，所以原級數在點x=-3處收斂。知識點解析：暫無解析考研數學一（高等數學）模擬試卷第7套一、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、微分方程的通解為___________．標準答案：知識點解析：暫無解析2、微分方程(y2+x)dx一2xydy=0的通解為____________．標準答案：y2=x(1n｜x｜+C)知識點解析：暫無解析3、微分方程的通解為___________．標準答案：知識點解析：暫無解析4、方程y"一3y’+2y=2x的通解為___________．標準答案：y=C1ex+C1e2x一2xex知識點解析：暫無解析二、解答題(本題共30題，每題1.0分，共30分。)5、求微分方程的通解．標準答案：知識點解析：暫無解析求下列方程的通解或滿足給定初始條件的特解：6、y’+1=xex+y．標準答案：知識點解析：暫無解析7、標準答案：x(csc(x+y)-cot(x+y))=C知識點解析：暫無解析8、(y+2xy2)dx+(x一2x2y)dy=0標準答案：知識點解析：暫無解析9、(1+x)y"+y’=0標準答案：y=C1ln｜1+x｜+C2知識點解析：暫無解析10、yy"一(y’)2=y4，y(0)=1，y’(0)=0標準答案：知識點解析：暫無解析11、y"+4y’+1=0標準答案：知識點解析：暫無解析12、y"+9y=cos(2x+5)標準答案：知識點解析：暫無解析13、y’’’一3y"+9y’+13y=e2xsin3x標準答案：知識點解析：暫無解析14、設y=ex是微分方程xy’+p(x)y=x的一個解，求此微分方程滿足條件y｜x=ln2=0的特解．標準答案：知識點解析：暫無解析15、設有微分方程y’一2y=φ(x)，其中，試求在(一∞，+∞)內的連續函數y=y(x)，使之在(一∞，1)，(1，+∞)內都滿足所給方程，且滿足條件y(0)=0．標準答案：知識點解析：暫無解析16、已知y1=3，y2=3+x2，y3=3+ex是二階線性非齊次方程的解，求方程通解及方程．標準答案：所求方程(2x-x2)y"+(x2一2)y’+2(1一x)y=6(1一x)；通解為：y=C1x2+C2ex+3；知識點解析：暫無解析17、已知函數y=e2x+(x+1)ex是二階常系數線性非齊次方程y"+ay’+by=cex的一個特解，試確定常數a，b，c及該方程的通解．標準答案：a=一3，b=2，c=一1，y=C1e2x+C2ex+xex知識點解析：暫無解析18、已知y"+(x+e2y)y’3=0，若把x看成因變量，y看成自變量，則方程化為什么形式?并求此方程的通解．標準答案：原方程化為xy"—x=e2y，通解為知識點解析：暫無解析求分別滿足下列關系式的f(x)．19、，其中f(x)為連續函數；標準答案：f(x)≡0知識點解析：暫無解析20、f’(x)+xf’(一x)=x．標準答案：知識點解析：暫無解析21、設f(x)連續且，求f(x)．標準答案：f(x)=Cx+2知識點解析：暫無解析22、設f(x)在x＞0上有定義，且對任意的正實數x，y，f(xy)=xf(y)+yf(x)，f’(1)=2，試求f(x)．標準答案：f(x)=2xlnx知識點解析：暫無解析23、設φ(x)連續，且，試求φ(x)．標準答案：φ(x)=ex+2xex+知識點解析：暫無解析24、已知與路徑無關，且f(0)=0，試求f(x)及I的值．標準答案：f(x)=xex，I=e知識點解析：暫無解析25、設φ(x)有連續二階導數，且φ(0)=φ’(0)=0，du=yφ(x)dx+[sinx一φ’(x)]dy，試求u(x，y)．標準答案：u(x，y)=知識點解析：暫無解析26、設f(x)在(0，+∞)上可導，f(1)=3求f(x)．標準答案：f(x)=31nx+3知識點解析：暫無解析27、設(r，θ)為極坐標，r＞0，0≤θ≤2π，設u=u(r，θ)具有二階連續偏導數，并滿足=0，求u(r，θ)．標準答案：u=C1+C2lnr知識點解析：暫無解析28、設函數f(t)在[0，+∞)上連續，且滿足方程求f(t)．標準答案：f(t)=知識點解析：暫無解析29、求方程y(4)一y"=0的一個特解，使其在x→0時與x3為等價無窮小．標準答案：y=一6x+3ex一3e-x知識點解析：暫無解析30、假設：(1)函數y=f(x)(0≤x＜+∞)滿足條件f(0)=0和0≤f(x)≤ex一1；(2)平行于y軸的動直線MN與曲線y=f(x)和y=ex一1分別相交于點P1和P2；(3)曲線y=f(x)、直線MN與x軸所圍封閉圖形的面積S恒等于線段P1P2的長度．求函數y=f(x)的表達式．標準答案：知識點解析：暫無解析31、設函數f(x)在[1，+∞)上連續，若由曲線y=f(x)，直線x=1，x=t(t＞1)與x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周所成的旋轉體的體積為試求y=f(x)所滿足的微分方程，并求該微分方程滿足條件的解．標準答案：3f2(t)=2tf(t)+t2f’(t)，知識點解析：暫無解析32、設曲線L的極坐標方程為r=r(θ)，M(r，θ)為L上任一點，M0(2，0)為L上一定點，若極徑OM0，OM與曲線L所圍成的曲邊扇形面積值等于L上M0，M兩點間弧長值的一半，求曲線L的方程．標準答案：知識點解析：暫無解析33、以yOz坐標面上的平面曲線段y=f(z)(0≤z≤h)繞z軸旋轉所構成的旋轉曲面和xOy坐標面圍成一個無蓋容器，已知它的底面積為16πcm2，如果以3cm3／s的速率把水注入容器，水表面的面積以πcm2／s增大，試求曲線y=f(z)的方程．標準答案：知識點解析：暫無解析34、要設計一形狀為旋轉體的水泥橋墩，橋墩高為h，上底面半徑為a，要求橋墩在任一水平面上所受上部橋墩的平均壓強為一常數P，設水泥比重為ρ，試求橋墩形狀．標準答案：橋墩應為曲線段繞x軸旋轉所成曲面與平面x=0和x=h所圍成的旋轉體．知識點解析：暫無解析考研數學一（高等數學）模擬試卷第8套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設f(x)一階連續可導，且f(0)=0，f’(0)=1，則=()．A、e-1B、eC、e2D、e3標準答案：B知識點解析：，選(B)．2、設，則x=0是f(x)的()．A、連續點B、第一類間斷點C、第二類間斷點D、不能判斷連續性的點標準答案：B知識點解析：當x＞0時，f(x)=；當x=0時，；當x＜0時，f(x)=x，因為f(0+0)=1，f(0)=，f(0—0)=0，所以x=0為f(x)的第一類間斷點，選(B)．3、設f(x)是不恒為零的奇函數，且f’(0)存在，則g(x)=()．A、在x=0處無極限B、x=0為其可去間斷點C、x=0為其跳躍間斷點D、x=0為其第二類間斷點標準答案：B知識點解析：因為f’(0)存在，所以f(x)在x=0處連續，又因為f(x)為奇函數，所以f(0)=0，顯然x=0為g(x)的間斷點，因為，所以x=0為g(x)的可去間斷點，選(B)．4、設f(x)=，則f(x)()．A、無間斷點B、有間斷點x=1C、有間斷點x=一1D、有間斷點x=0標準答案：B知識點解析：當｜x｜＜1時，f(x)=1+x；當｜x｜>1時，f(x)=0；當x=一1時，f(x)=0；當x=1時，f(x)=1．于是顯然x=1為函數f(x)的間斷點，選(B)．5、設，其中a，b為常數，則()．A、a=1，b=1B、a=1，b=一1C、a=一1，b=1D、a=一1，b=一1標準答案：B知識點解析：因為，所以，