4.3.1

對數的概念指數函數與對數函數一、對數的概念1.(1)某種細胞分裂時,由1個分裂成2個,2個分裂成4個,…依次類推,那么1個這樣的細胞分裂x次后,得到的細胞個數N是多少?提示:N=2x.(2)上述問題中,若已知分裂后得到的細胞的個數分別為8個,16個,則分裂的次數分別是多少?提示:3次,4次.(3)上述問題中,如果已知細胞分裂后的個數N,能求出分裂次數x嗎?提示:能,x=log2N.2.填空:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么數x叫做以a為底N的對數,記作x=logaN,其中a叫做對數的底數,N叫做真數.一二三一二三3.在對數式x=logaN中,底數a和真數N的取值范圍是什么,為什么?提示:由于對數式中的底數a就是指數式中的底數a,所以a的取值范圍為a>0,且a≠1;由于在指數式中ax=N,而ax>0,所以N>0.4.對數式與指數式的互化(1)在指數式和對數式中都含有a,x,N這三個量,那么這三個量在兩個式子中各有什么異同點?提示:一二三(2)53=125化為對數式是什么?log416=2化為指數式是什么?指數式與對數式具有怎樣的關系?提示:log5125=3,42=16.當a>0,a≠1時,ax=N?x=logaN.(3)(-3)2=9能否直接化為對數式log(-3)9=2?提示:不能,因為只有符合a>0,a≠1時,才有ax=N?x=logaN.一二三答案:(1)B

(2)D

(3)C一二三(4)判斷正誤①因為(-2)2=4,所以log-24=2.(

)②log34與log43表示的含義相同.(

)答案:(1)B

(2)D

(3)C

(4)①×

②×一二三二、常用對數與自然對數1.(1)10b=a用對數式如何表示?提示:b=log10a,簡記為b=lg

a.(2)在科學計算器上,有一個特殊符號“ln”,你知道它是什么嗎?提示:符號“ln”是一種對數符號,它是用來計算以“e”為底的對數的.(3)lnM=n用指數式如何表示?提示:en=M.2.填空3.做一做(1)lg105=

;(2)lne=

.

答案:(1)5

(2)1一二三三、對數的基本性質1.(1)“60=?”化成對數式呢?提示:1

log61=0.(2)“51=?”化成對數式呢?提示:5

log55=1.2.填空對數的基本性質(1)負數和零沒有對數.(2)loga1=0(a>0,a≠1).(3)logaa=1(a>0,a≠1).一二三3.做一做(2)若log3(log2x)=0,則x=

.

解析:(2)由已知得log2x=1,故x=2.答案:(1)D

(2)2探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練對數式與指數式的互化例1

將下列指數式與對數式互化:分析:利用當a>0,且a≠1時,logaN=b?ab=N進行互化.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟1.logaN=b與ab=N(a>0,且a≠1)是等價的,表示a,b,N三者之間的同一種關系.如下圖:2.根據這個關系式可以將指數式與對數式互化:將指數式化為對數式,只需將冪作為真數,指數作為對數,底數不變;而將對數式化為指數式,只需將對數式的真數作為冪,對數作為指數,底數不變.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練變式訓練1將下列指數式與對數式互化:(5)xz=y(x>0,且x≠1,y>0).探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練利用對數式與指數式的關系求值例2求下列各式中x的值:(1)4x=5·3x;

(2)log7(x+2)=2;分析:利用指數式與對數式之間的關系求解.(2)∵log7(x+2)=2,∴x+2=72=49,∴x=47.(3)∵ln

e2=x,∴ex=e2,∴x=2.(5)∵lg

0.01=x,∴10x=0.01=10-2,∴x=-2.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟指數式ax=N與對數式x=logaN(a>0,且a≠1)表示了三個量a,x,N之間的同一種關系,因而已知其中兩個時,可以通過對數式與指數式的相互轉化求出第三個.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練變式訓練2求下列各式中的x值:(2)∵log216=x,∴2x=16,∴2x=24,∴x=4.(3)∵logx27=3,∴x3=27,即x3=33,∴x=3.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練利用對數的基本性質與對數恒等式求值例3

求下列各式中x的值:(1)ln(log2x)=0;

(2)log2(lgx)=1;分析:利用logaa=1,loga1=0(a>0,且a≠1)及對數恒等式求值.解:(1)∵ln(log2x)=0,∴log2x=1,∴x=21=2.(2)∵log2(lg

x)=1,∴lg

x=2,∴x=102=100.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟1.在對數的運算中,常用對數的基本性質:(1)負數和零沒有對數;(2)loga1=0(a>0,a≠1);(3)logaa=1(a>0,a≠1)進行對數的化簡與求值.2.對指數中含有對數值的式子進行化簡、求值時,應充分考慮對數恒等式的應用.對數恒等式

=N(a>0,且a≠1,N>0)的結構形式:(1)指數中含有對數式;(2)它們是同底的;(3)其值為對數的真數.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練變式訓練3求下列各式中x的值:解:(1)∵ln(lg

x)=1,∴lg

x=e,∴x=10e.(2)∵log2(log5x)=0,∴log5x=1,∴x=5.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練因忽視底數的取值范圍而致錯典例

已知log(x+3)(x2+3x)=1,求實數x的值.錯解由對數的性質可得x2+3x=x+3,解得x=1或x=-3.以上解題過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?如何防范?提示:上述解法的錯誤在于忘記檢驗底數需大于0且不等于1.解得x=1.故實數x的值為1.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練防范措施1.在對數表達式x=logaN中,需滿足底數a>0,且a≠1,真數N>0.2.在利用對數式的性質求出a的值后,務必驗證底數和真數是否滿足對數式的意義.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練變式訓練對數式log(a-2)(5-a)中實數a的取值范圍是(

)A.(-∞,5)B.(2,5)C.(2,3)∪(3,5)D.(2,+∞)解析:要使對數式b=log(a-2)(5-a)有意義,故選C.答案:C探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練1.將log5b=2化為指數式是(

)A.5b=2 B.b5=2 C.52=b D.b2=5答案:C答案:C探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練3.16、17世紀之交,隨著天文、航海、工程、貿易以及軍事的發展,改進數字計算方法成了當務之急,數學家納皮爾在研究天文學的過程中,為簡化計算發明了對數.直到18世紀,才由瑞士數學家歐拉發現了指數與對數的互逆關系,即ab=N?b=logaN.現在已知a=log23,則2a=

.

解析:由a=log23,化對數式為指數式可得2a=3.答案:3探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練5.若loga2=m,loga3=n,則a2m+n=

.

解析:因為loga2=m,loga3=n,所以am=2,an=3.所以a2m+n=a2m·an=(am)2·an=22×3=12.答案:126.求下列各式中x的值:(3)由log3(lg

x)=1,得lg

x=3,故x=103=1

000.4.3.2

對數的運算指數函數與對數函數一二一、對數的運算性質1.(1)指數的運算法則有哪些?提示:①aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);③(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);④(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).(2)計算log24,log28及log232的值,你能分析一下三者存在怎樣的運算關系嗎?提示:∵log24=2,log28=3,log232=5,∴log24+log28=log2(4×8)=log232;一二(3)計算lg10,lg100,lg1000及lg104的值,你能發現什么規律?提示:lg

10=1,lg

100=lg

102=2,lg

1

000=lg

103=3,lg

104=4,可見lg

10n=nlg

10=n.2.填表對數的運算性質一二3.做一做(1)化簡2lg5+lg4-的結果為(

)A.0 B.2 C.4 D.6解析:原式=2lg

5+2lg

2-2=2(lg

5+lg

2)-2=0.答案:A(2)判斷正誤:log3[(-4)×(-5)]=log3(-4)+log3(-5).(

)答案:×一二二、換底公式一二2.做一做(2)化簡log47·log74=

.

(3)已知lg2=a,lg3=b,用a,b表示log125=

.

探究一探究二探究三探究四思想方法對數運算性質的應用例1

計算下列各式的值:分析:利用對數的運算性質進行計算.隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法(2)原式=2lg

5+2lg

2+lg

5×(1+lg

2)+(lg

2)2=2(lg

5+lg

2)+lg

5+lg

2(lg

5+lg

2)=2+lg

5+lg

2=2+1=3.反思感悟對于底數相同的對數式的化簡、求值,常用的方法(1)“收”,將同底的兩個對數的和(差)收成積(商)的對數;(2)“拆”,將積(商)的對數拆成對數的和(差).對數式的化簡、求值一般是正用或逆用公式,要養成正用、逆用、變形應用公式的習慣.lg

2+lg

5=1在計算對數值時會經常用到,同時注意各部分變形要化到最簡形式.隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法換底公式的應用例2

計算下列各式的值:分析:用換底公式將對數化為同底的對數后再化簡求值.隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟1.換底公式的本質是化異底為同底,主要用途是將一般對數化為常用對數或自然對數,解決一般對數的求值問題.2.利用換底公式計算、化簡、求值的一般思路:隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法變式訓練2化簡:(1)log23·log36·log68;(2)(log23+log43)(log32+log274).隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法

對數運算性質的綜合應用例3(1)已知log189=a,18b=5,求log3645.(用a,b表示)分析:(1)先利用指數式和對數式的互化公式,將18b=5化成log185=b,再利用換底公式,將log3645化成以18為底的對數,最后進行對數的運算.(2)用對數式表示出x,y,z后再代入所求(證)式子進行求解或證明.隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟

對數概念的實質是給出了指數式與對數式之間的關系,因此如果遇到條件中涉及指數冪的連等式時,常引入輔助變量,利用指數與對數間相互轉化的關系,簡化求解過程.隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法變式訓練3(1)已知log325=q,log43=p,則lg2=(

)答案:B隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練

換底公式在實際中的應用例4分貝是計量聲音強度相對大小的單位.物理學家引入了聲壓級來描述聲音的大小:把一很小的聲壓P0=2×10-5帕作為參考聲壓,把所要測量的聲壓P與參考聲壓P0的比值取常用對數后乘20得到的數值稱為聲壓級.聲壓級是聽力學中最重要的參數之一,單位是分貝(dB).分貝值在60以下為無害區,說明聲音環境優良,60~110為過渡區,110以上為有害區.(1)試列出分貝y與聲壓P的函數關系式.(2)某地聲壓P=0.002帕,則該地為以上所說的什么區?聲音環境是否優良?(3)假若某精彩的文藝節目引起了觀眾多次響亮的掌聲,某記者用儀器測得其中一次掌聲的音量達到了90分貝,試求此時會場內的聲壓是多少.探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練反思感悟

解決對數應用題的一般步驟

探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練變式訓練4一臺機器原價20萬元,由于磨損,該機器每年比上一年的價值降低8.75%,問經過多少年這臺機器的價值為8萬元?(lg2≈0.3010,lg9.125≈0.9602)解:設經過x年,這臺機器的價值為8萬元,則8=20(1-0.087

5)x,即0.912

5x=0.4,兩邊取以10為底的對數,

所以約經過10年這臺機器的價值為8萬元.探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練對數方程的求解方法典例

解下列方程:(2)lgx+2log(10x)x=2;(3)(2x2-3x+1)=1.解得x=15或x=-5(舍去),經檢驗x=15是原方程的解.探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練歸納總結(1)在對數符號后面含有未知數的方程叫做對數方程.(2)解對數方程可將其轉化為同底數對數后求解,或通過換元轉化為代數方程求解,注意在將對數方程化為代數方程的過程中,未知數的范圍擴大或縮小容易導致增、失根.