第四章數列

4.2.2等差數列的通項公式

一、單選題（共5小題，滿分25分，每小題5分）

1.若等差數列｛斯｝滿足"2=20,45=8,則田=（）

A.24B.23

C.17D.16

【答案】A

【解析】根據題意，"=發二黑=無型=-4,則4=。2-〃=20-（-4）=24,故選:A.

5—25—2

2.在等差數列｛4｝中，4+/+為=9,a4+a5+a6=21,則%的值是（）

A.9B.11C.13D.15

【答案】B

【解析】：｛%｝是等差數列，...4+%+4=34=9，%=3，4+。5+。6=3。=21,

4=7,

/.%=2a5—%=2x7—3=11.故選：B.

3.《九章算術》是中國古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數學專著，全書總結了戰國、秦、漢

時期的數學成就，其中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得

幾何?”其意思為：“今有5人分5錢，各人所得錢數依次為等差數列，其中前2人所得之和

與后3人所得之和相等，問各得多少錢?”則第2人比第4人多得錢數為（）

A.9錢B.V錢C.1?錢D.2錢

6333

【答案】D

【解析】設從前到后的5個人所得錢數構成首項為4,公差為d的等差數列伍“｝,

則有4+。2=。3+。4+%，4+。2+。3+。4+。5=5,

4+8d=0,

解得則%-4=-21=g,故選：D.

4+2d=L

4.若數列｛4｝為等差數列，且％=工，%=工，貝ijcos%)=()

62

A1B6

22

C.--D.--

22

【答案】C

,.a,-a.7i7i10萬

【解析】"=—=—.%0=4+1ir>i'=—，

2663

10乃41(萬、1u小

cos%。=cos—=cos-^-=cos乃+§)=-/,故選：C.

r\1

5.已知數列｛4｝的首項6=3,且滿足則｛%｝中最小

2n—3

的一項是（）

A.a2B.%

D.a5

【答案】B

G14M

【解析】因為a“+1=-E%+2〃-l(〃eN*),所以f+1,

2n-3''2n.—12〃-3

4

又q=3,所以_%_=一3,所以數列是首項為-3,公差為1的等差數列,

2-32/7-3

所以2"3=_3+（〃_1）=〃_4，即4,=（2〃-3）（〃一4）,

所以q=3,a2=-2,4=-3,當〃24時，之。，

所以｛4｝中最小的一項是巴?故選：B.

二、多選題（共3小題，滿分15分，每小題5分，少選得3分，多選不得分）

6.下列命題正確的是（）

A.給出數列的有限項就可以唯一確定這個數列的通項公式

B.若等差數列｛%｝的公差d>0,則｛q｝是遞增數列

C.若a,從c成等差數列，則可能成等差數列

abc

D.若數列｛4｝是等差數列，則數列｛4+24+）也是等差數列

【答案】BCD

【解析】A選項：給出數列的有限項不一定可以確定通項公式；

B選項：由等差數列性質知d>（）,｛%｝必是遞增數列；

C選項：a=h=c=l時，L=L=1=1是等差數列，而a=l,8=2,c=3時不成立；

abc

。選項：數列｛q｝是等差數列公差為4,所以

an+2a“+]=q+（〃-l）d+2。]+2nd=3q+（3〃-l）d也是等差數列；故選:BCD

7.已知等差數列｛4｝的前〃項和為S“，4=18,。5=12,則下列選項正確的是（）

A.d=-2B.a1=22

C.%+%=30D.A=0

【答案】ACD

【解析】設等差數列｛%｝的公差為4，

則%=%+3d=18+3d=12,解得d=—2.

所以q=20,4+。4=。2+%=30,4］=a】+10d=20-10x2=0,

故選：ACDo

8.在數列｛4,｝中，若片一=P（〃22,〃GN*.p為常數），則稱｛4｝為“等方差數列”

下列對“等方差數列”的判斷正確的是（）

A.若｛4｝是等差數列，則｛4｝是等方差數列

B.｛（-1）"｝是等方差數列

C.若｛%｝是等方差數列，貝I｛%,,｝（%eN*）次為常數）也是等方差數列

D.若｛。“｝既是等方差數列，又是等差數列，則該數列為常數列

【答案】BCD

［解析］對于A,若｛%｝是等差數列，如an=n,

則片一。3=〃2-（〃一1）2=2〃-1不是常數，故｛%｝不是等方差數列,故A錯誤；

對于B,數列［（一1）"｝中，端一“3=［（-1）"］2-［（-1）”了=0是常數，

：.｛（—1）"｝是等方差數列，故B正確；

對于C,數列｛4｝中的項列舉出來是，卬,%，…，4，…，aik>"?

數列｛他,｝中的項列舉出來是，ak,a2k,4*，,

(吭-a；)=(心-<i)=儂+3-4+2)=…=(娘一)=P,將這，個式子累加得

aa+a_6f+-<3+，，+a*<3=a

(k+t~k)(k+2*+l)(^+3L2)'(2*2i-l)^>-'-2k=kp,

，4,用)一嫌=切"為常數)是等方差數列，故C正確；對于D,???｛4｝

是等差數列，4T=。，則設a“=辦+，〃，???｛%｝是等方差數列，

:.cTn-a^_|=(a“+41])4=(1〃+/77+~〃+1+/加)4=26/2〃+(2/77+1)4是常數，故

2/=0,故d=0,所以(2加+")"=0,。：-43=()是常數，故D正確.故選：BCD.

三、填空題(共3小題，滿分15分，每小題5分，一題兩空，第一空2分)

9.將數列｛2”1｝與｛3"-2｝的公共項從小到大排列得到數列｛a“｝,則”“=.

【答案】6n-5

【解析】因為數列｛2〃一1｝是以1為首項，以2為公差的等差數列，

數列｛3〃一2｝是以1首項，以3為公差的等差數列，

所以這兩個數列的公共項所構成的新數列｛4｝是以I為首項，以6為公差的等差數列，

所以a,尸6n-5

故答案為：小=6n-5

10.已知數列｛a,,｝中，6=2，%=1，若，為等差數列，則《9=.

【答案】0

111

【解析】因為,2,—紊7=5/

2

所以113)..1,2「故69=0.故答案為：0

-------=--------+-------^xl6=-4--=1

Q1g+1生+1433

11.若數列｛q｝滿足：。“+。”+[=5〃，％=1,則%020=.

【答案】5049.

【解析】an+an+1=5〃=>an_x+=5〃-5.兩式相減,得an+l-an_x=5.

%+4=5=。2=4.故%020是首項為4,公差為5的等差數列的第101（）項，

故4020=4+（1010-1）x5=5049.故答案為：5049.

四、解答題：（本題共3小題，共45分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）

12.已知數列｛%｝滿足q=1,且+=2/+2〃，nwN".

（1）求。2，。3的值；

（2）證明數列是等差數列，并求｛4｝的通項公式.

【答案】（1）4=6;%=15；（2）證明見解析，4=2/一〃.

【解析】（1）由已知，a,=1,且〃a“+i+=2"+2〃，

得4-24=4,則。2=2卬+4,又％=1,所以々=6,

由2a3-3a2=12,得2a3=12+3g,所以4=15.

（2）由已知“%一（〃++得一J'=2,即上—-i=2,

n[n+l）n+1n

所以數列｛2｝是首項;=1,公差d=2的等差數列，

則組=1+2（〃—1）=2〃—1,所以=2〃2一”.

13.在①對任意〃>1滿足S.M+S,T=2(S.+1)；②S,”1-2=S“+%；③

s“=〃%+i-〃(〃+D-這三個條件中任選一個，補充在下面問題中?問題：己知數列｛4｝的

前〃項和為3，。2=4,,若數列｛4｝是等差數列，求出數列｛%｝的通項公式；若

數列｛4｝不是等差數列，說明理由.

【答案】答案見解析

【解析】若選擇條件①：因為對任意〃>1,〃eN*，滿足5川+S?,1=2(S?+1),

所以5?+,-SH=Sn-S?_,+2,即an+l-a?=2,

因為無法確定外的值，所以4-4不一定等于2，

所以數列｛4｝不一定是等差數列.

若選擇條件②:由S向一2=S“+a“，則S向一S“—a“=2,即%-%=2,

因為生=4,所以6=2,所以數列｛為｝是等差數列，公差為2，

因此數列｛4｝的通項公式為%=2〃.

若選擇條件③：因為S“=〃4+]+,所以S,_|(“N2,〃eN*),

兩式相減得，an=nan+i-(n-l)a?-2n,(n>2),即。7一。“=2(〃N2),

又S]=電—2,即。2-4=2,所以—〃〃=2,〃￡N"，

又。2=4,a2-a1=2,所以q二2,

所以數列｛q｝是以2為首項，2為公差的等差數列.

所以=2+2（〃-1）=2〃.

14.已知數列｛4｝滿足4=-5,且a“+2a,i=(-2)"-3(n>2K?eM).

(1)求見，。3的值；

(2)設2