2022年上半年教師資格統考《數學學科（高中）》試題

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1.下列選項中，運算結果一定是無理數的是（）。

A.有理數與無理數的和

B.有理數與有理數的差

C.無理數與無理數的和

D.無理數與無理數的差

2.在空間直角坐標系中，由參數方程聽確定的曲線的一般方程是（）。

A.

B.

C.

D.

3.已知空間直角坐標與球坐標的坐標變換公式為

A.柱面B.

圓面C.

半平面D.

半錐面

4.設A為n階方陣，B是A經過若干次初等行變換后得到的矩陣，則下列結論正確的是（）。

A.1A|=|B|

B.1A|^|B|

C.若|A|=0,則一定有⑻=0

D.若|A|〉0,則一定有|B|〉0

5.

A.-1

B.0

C.1

D.兀

6.有三個線性無關的特征向量，入=2是A的二重特征根，則（）。A.x=-2.尸2

B.x=l,y=-l

C.x=2,y=-2

D.x=-l,y=l

7.下列表述屬于數學直觀想象素養的是（）。

①利用圖形描述，分析數學問題；

②借助空間形式認識事物的位置關系、形態變化和運動規律；

③建立形與數的關系，構建數學問題直觀模型，探索解決問題的思路；

④在實際情境中從數學的視角發現問題，提出問題，分析問題，建立模型。

A.①②③

B.①②④

C.①③④

D.②③④

8.下列描述為演繹推理的是（）。

A.從一般到特殊的推理

B.從特殊到一般的推理

C.通過實驗驗證結論的推理

D.通過觀察猜想得到結論的推理

二、簡答題（本大題共5小題，每小題7分，共35分）

9.一次實踐活動中，某班甲、乙兩個小組各20名學生在綜合實踐基地脫玉米粒，一天內每人完

成脫粒數量（千克）的數據如下：

甲組：57,59,63,63,64,71,71,71,72,75,

75,78,79,82,83,83,85,86,86,89?

乙組：50,53,57,62,62,63,65,65,67,68,

69,73,76,77,78,85,85,88,94,96?

問題：

⑴分別計算甲、乙兩組學生脫粒數量（千克）的中位數；（2分）

（2）比照甲、乙兩組數據，請你給出2種信息，并說明實際意義。（5分）

10.在空問直角坐標系下，試判定直線

系，并求這兩條直線間的距離。

11.在平面直角坐標系下，

(1)三次多項式函數的圖像過四個點Pl(0,1),P2(l,3),P3(-1,3),P4(2,15),求該三

次多項式函數的表達式；(4分)

(2)設Pi(xi,yi)(i=l,2,???,n)是平面上滿足條件xl〈x2〈…〈xn的n個點，則由這n個點

所唯一確定的多項式函數的最高次數是多少喻要說明理由。(3分)

12.高中數學課程是培養公民素質的基礎性課程，簡述“基礎性”的含義，并舉例說明。

13.評價學生的數學學習應該采用多樣化的方式，請列舉四種不同類型的評價方式。

三、解答題(本大題1小題，10分)

14.設R2為二維歐氏平面，F是R2到R2的映射，如果存在一個實數P,0<P<L使得對于

任意的P,QCR2,有d(F(P),F(Q))Wpd(P,Q)(其中d(P,Q)表示P,Q兩點間的距離)，

則稱F是壓縮映射。

設映射T：R2->R2

(1)證明：映射T是壓縮映射；(4分)

⑵設P0=P0(x0,y0)為R2中任意一點，令Pn=T(Pn-l),n=l,2,3,-??,證明：當n-8時,

(6分)

四、論述題(本大題1小題，15分)

15.函數是中學數學課程的主線，請結合實例談談如何用函數的觀點來認識中學數學課程中的方

程、不等式、數列等內容。

五、案例分析題(本大題1小題，20分)

16.案例：

下面提供的案例是教師A和教師B在《方程的根與函數的零點》教學中的“課堂提問”。

問題：

⑴請對兩位教師的課堂提問進行評價，并簡述理由；（15分）

⑵請對兩位教師“概念引入”環節的課堂提問給出改進建議。（5分）

六、教學設計題（本大題1小題，30分）

17.“簡單隨機抽樣（第一課時）”的教學目標設計如下。

目標一：學會從現實生活或其他學科中提出具有一定價值的統計問題，理解隨機抽樣的必要

性：

目標二：結合具體的實際問題情境，體會簡單隨機抽樣的重要性；

目標三：以“問題鏈”的形式理解樣本是否具有代表性。

要求：

⑴請針對上述教學目標，完成下列任務：

①根據教學目標一，設計兩個問題，并說明設計意圖；（8分）

②根據教學目標二，給出一個實例，并說明設計意圖；（4分）

③根據教學目標三，設計“問題鏈”（至少包含兩個問題），并說明設計意圖。（6分）

（2）請針對“簡單隨機抽樣”的內容，回答下列問題：

①這節課的教學重點是什么？（4分）

②作為高中階段“統計”學習的起始課，其難點是什么？（4分）

③這節課對后續哪些內容的學習有直接影響？（4分）

2022年上半年教師資格統考《數學學科（高中）》試題

答案解析

一、單選題

LA【解析】

本題考查有理數與無理數的性質。（1）有理數與有理數：和、差、積、商均為有理數（求商時

除數不為零）。（2）有理數與無理數：①一個有理數和一個無理數的和、差為無理數；②一個

非零有理數與一個無理數的積、商為無理數。（3）無理數與無理數：和、差、積、商可能是有理

數，也可能是無理數。故本題選Ao

2.B【解析】

本題考查空間曲線的方程。由

所以將參數方程化成一般方程式為故本題選B。

3.D【解析】

本題考查直角坐標與球坐標變換。

（方法一）設球坐標中任意一點P（P,0,）,根據題目中空間直角坐標與球坐標的變換公

式可知，表示原點。與點P之間的徑向距離，。表示0P'到0P的有向角，其中0P'是0P

在xOy坐標面上的投影，表示Ox軸到0P'的有向角，如圖1所示。因此，9=表示以

原點為頂點，以射線0P為母線，以z軸為中心軸的半錐面，如圖2所示。故本題選D。

4.C【解析】

本題考查矩陣初等變換及行列式的性質。若n階矩陣A作如下三種行（列）變換得到矩陣B：

①互換矩陣的兩行（列）；②用一個非零數k乘矩陣的某一行（列）；③把矩陣某一行（列）的k倍

加到另一行（列）上。則對應行列式的關系依次為⑻壬|A|,閭三k|A|,|B|=|A|,所以若n階

矩陣A經若干次初等變換得到矩陣曰，則有|B|=k|A1,k是一個非零常數。因此當|A|=0時，

定有|B|=k|A|=0。故本題選C。

5.B【解析】

本題考查泰勒級數的相關知識。因為

6.【解析】

本題考查矩陣特征向量的相關知識。因為三階矩陣A有三個線性無關的特征向量，且入=2是A

的二重特征根，所以齊次線性方程組（2E-A）x=0有兩個線性無關的解向量，則3-r（2E-A）=2,

7.A【解析】

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，

理解和解決數學問題的素養。主要包括：借助空間形式認識事物的位置關系、形態變化與運

動規律；利用圖形描述、分析數學問題；建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探

索解決問題的思路。④中的描述屬于數學建模素養。

8.【解析】

演繹推理是從一般規律出發，運用邏輯證明或數學運算，得出特殊事物應遵循的規律，即從

一般到特殊的推理。歸納推理是由個別、特殊到一般的推理，通過實驗驗證結論和通過觀察

猜想得到結論的推理，都是歸納推理。故本題選Ao

二、簡答題

9.【解析】

(1)根據中位數的定義可知，甲組學生脫粒數量的中位數是，乙組學生脫粒數量的

中位數是。

(2)①通過兩組數據能夠求出甲、乙兩組學生脫粒數量的平均值甲=74.6,乙=71.65根

據平均數的大小比較可知，甲組脫玉米粒速度更快。

②根據兩組數據的波動情況，能夠看出甲組數據更為穩定，而乙組數據波動很大。進而可知，

甲組學生的脫玉米粒能力差不多，而乙組學生脫玉米粒的能力存在很大的個體差異性。10.

【解析】

本題考查空間直線的位置關系、異面直線之間的距離的計算。

1L【解析】

(1)設三次多項式的表達式為

⑵平面上n個不同的點所唯一確定的多項式函數的最高次數為n-l?

1個未知量ai(i=O,1,2,m),當這m+1個未知量唯一確定時，多項式函數唯一確定。

因為n個不同的點都是多項式函數上的點所以把點坐標代入多項式函數可得一個有m+1個未知

量、n個不同方程的非齊次線性方程組，且其一定有解。

因為非齊次線性方程組一定有解，所以關于其解的情況只需對非齊次線性方程組的系數矩陣

當mWn-1時，根據范德蒙行列式的性質可知r(A)=m+l(存在m+1階不等于0的子式，且r(A)

Wmin{n,m+l}=m+l),此時系數矩陣的秩等于未知量的個數，非齊次線性方程組有唯一解，

即唯一確定一個多

當m>nT時，非齊次線性方程組方程的個數小于未知量的個數，此時非齊次線性方程組有無窮

多解，不能唯一確定一個多項式函數。

綜上，平面上n個不同的點所唯一確定的多項式函數的最高次數為n-l?

【解析】

高中數學課程的基礎性具有以下幾點含義。

①高中數學課程在課程內容上包含了數學中最基本的部分。在義務教育階段之后，為滿足給

學生提供更高水平的數學基礎的需求，面向全體學生提供了學生現階段學習及未來發展所需

要的數學基礎知識，為學生的未來發展奠定基礎。

②高中數學課程為學生進一步學習提供了選修內容。例如，高中數學設有選修與必修課程，

必修課程是為了滿足所有學生的共同數學需求，選修系列課程是為了滿足學生的不同數學需

求，它仍然是學生發展所需要的基礎性數學課程。

③高中數學課程為學生適應未來社會生活、高等教育和職業發展等提供必需的數學基礎。例

如，大學階段理工科類的學生需要更多的數學知識，而高中數學課程為大學數學的學習提供

了必備的基礎知識。

④高中數學課程也為學生學習其他學科的課程，如高中物理、化學、技術等，提供了必要的

知識準備。

13?【解析】

數學學習評價的形式多樣，主要有口頭測驗、書面測驗、開放式問題研究、活動報告、課堂

觀察、課后訪談、課內外作業、建立成長記錄袋等。下面列舉幾種不同的評價方式進行闡述。

①口頭測驗，是指在教學過程中教師通過與學生之間的言語互動，及時地了解學生的數學學

習情況，找出問題并及時糾正。

②書面測驗，是指教師對學生的作業或者其他測驗報告所做的書面性的評價。這種評價方式

可以幫助教師了解學生的數學學習狀態以及知識掌握水平。

③書面評語評價，教師對學生的作業或者其他活動報告所做的書面性的評價，評分形式不僅

僅是分數或者等級，評語一般以鼓勵為主，用以幫助學生認識與解決問題。

④課后訪談，是指教師通過課后與學生的溝通交流了解學生數學學習情況的一種評價方式。

這種評價方式可以幫助教師更直接地了解到學生的數學學習情況。

⑤建立成長記錄袋，是指將學生的數學學習過程進行有效記錄而形成的書面存檔。這種評價

方式既可以幫助教師隨時了解學生數學學習的成長經歷，也可以有效地幫助學生確立今后的

學習目標與方向。

三、簡答題

14.【解析】

(1)證明：設P(xp,yp),Q(xQ,yQ)是R2上任意的兩點，貝。

(2)(方法一)設0(0,0)是二維歐氏空間R2的原點。當P0是原點時，有

四、論述題

15.【解析】

函數是中學數學課程的主線，它貫穿于整個中學數學課程中，方程、不等式、數列等內容均

與函數有非常密切的聯系。

(1)函數與方程。中學數學課程中一元二次方程的求解問題，可以轉化成求對應函數的零點問

題。例如，求方程似ax2+bx+c=0(a#0)的實數根，可以轉化為求函數y=ax2+bx+c與x軸交

點的橫坐標的值，即求函數的零點問題。由此可以看出，方程可看作函數的局部性質，求方程的根就

變成了思考函數圖形與x軸的交點問題。利用函數的整體性質可以研究方程的根的性質，判斷根

的個數，并估計根所在的區間。

⑵函數與不等式。用函數的觀點看，不等式就是確定使函數圖像y=f(x)在x軸上方或下方

的x的區域。中學數學課程中的一元二次不等式的求解問題，可以借助二次函數的圖像找到不

等式的解集。例如，求不等式x2-3x+2>0的解集，可以通過畫出函數f(x)=x2-3x+2的圖像找到

使函數值大于0的所有x組成的集合，而這個集合就是該不等式的解集。

⑶函數與數列。數列是一種特殊的函數，它的定義域為自然數集或自然數子集。數列是離散的

函數，表現在坐標系中是一些離散的點的集合。中學數學課程主要涉及等差數列和等比數列，

等差數列的通項公式是一次函數的離散化，等差數列的前n項和公式是二次函數的離散化，等

比數列的通項公式以及前n項和公式都是指數函數的離散化，因此可以借助函數的性質來研究

數列。例如，求等差數列的前n項和Sn=n2-4n在第幾項取得最小值，可以將其轉化為求函數

f(x)=x2-4x的頂點橫坐標問題，根據函數的頂點坐標公式可知，當x=2時，函數f(x)取得最小

值，即Sn在第2項取得最小值。

總之，在方程、不等式、數列等內容中，可以用函數思想去思考、解決問題，用函數的概念

和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。

五、案例分析題

16.【解析】

⑴課堂提問要遵循目的性、啟發性、適度性、興趣性、循序漸進性、全面性、充分思考性、

及時評價性等八個原則。

A教師的課堂提問遵循了目的性、循序漸進性、充分思考性等幾個原則。但沒有涉及啟發性、適

度性、興趣性、全面性、及時評價性等原則。首先，A教師提出的問題相對比較難，比較抽象，

適合中等以上的學生，沒有考慮全體學生的水平，所以違背了適度性和全面性原則。其次，在A

教師的教學中，例子相對較少，更多的是直接提問知識層面上的問題，讓學生直接思考，沒有考

慮從學生的興趣出發，調動學生的積極性。最后，A教師在教學中沒有體現出對學生的回答及時

做出評價。

B教師在課堂提問中遵循了目的性、啟發性、適度性、興趣性、循序漸進性、充分思考性、全

面性等原則，但沒有涉及及時評價性原則。B教師在整個教學過程中，充分地利用例子，通過

循序漸進的提問，幫助學生一步一步地理解函數的零點概念以及方程的根與零點之間的關系。但

是在提問的過程中，B教師沒有對學生的回答及時做出評價。

⑵A教師的概念引入部分的提問沒有遵循循序漸進的原則，問題的設置要考慮學生的認知水

平，問題的設置應該由淺入深，由易到難。

建議A教師應該先這樣提問：同學們，在初中你是如何判斷一個方程是否有實數根的？(回顧之

前學過的方法)用初中的方法能判斷方程lnx+2x-6=0是否有實數根嗎？(引發學生的認知沖

突）回顧一下初中的時候一元二次方程與對應的二次函數之間有什么關系呢？（引導學生思考

方程和函數之間的關系）B教師的概念引入雖然給出了三組實例，但還需在函數的類型上進行改

進，不應該只呈現一元二次方程及其對應的二次函數，還可以增加一次方程及其對應函數讓學生

進行觀察。

六、教學設計題

17?【解析】

（1）①問題一：生活中，在檢測某食品衛生達標情況時，食品衛生工作人員一般抽取部分該食品進

行檢測。

你認為這種抽樣方法科學嗎?你還能舉出生活中需要運用這種抽樣方法的其他例子嗎？

【設計意圖】讓學生初步了解生活中需要運用到統計方法的實例，可以使其了解簡單隨機抽

樣方法的價值。讓學生舉出其他生活實例，可以培養學生提出問題、發現問題的能力，并使

其深切感受到隨機抽樣方法在解決實際問題中的重要性。

問題二：某校領導要了解全校學生的視力情況（近視和不近視），隨機抽取50名學生，統計出

這50名學生的視力情況，最后估計出全校學生的視力情況。你認為這種抽樣方法有什么優缺點？

在隨機抽取的過程中應該注意什么？

【設計意圖】該問題一方面可以使學生初步了解簡單隨機抽樣這一抽樣方法，并感受其實際

意義；另一方面使學生自主探究簡單隨機抽樣方法需要注意的問題，可以培養其發現問題和

解決問題的能力。

②實例：經消費者反映，某食品店小包裝餅干存在細菌超標問題。針對該問題，食品衛生工

作人員需要對該食品店小包裝餅干進行衛生達標檢驗。但是，若食品衛生工作人員對該食品

店所有小包裝餅干進行逐一檢測，將面臨巨大的工作量。因此，食品衛生工作人員只能隨機

抽取該食品店部分餅干進行衛生檢測。

【設計意圖】將實際生活問題作為實例進行教學，不僅可以使學生對簡單隨機抽樣方法有更

深的理解，還可以使其感受在面對總體數量較多時，簡單隨機抽樣方法的重要性。

③師：在1936年美國總統選舉前，某雜志工作人員做了一次民意測驗，即調查蘭頓和羅斯福誰

將成為美國的下一屆總統。該調查者通過電話簿和車輛登記簿上面的名單（只有少數富人擁有）給一大

批人發了調查表，通過分析調查表數據，從而做出預測。

問題一：該雜志工作人員運用了什么抽樣方法?研究的總體和樣本分別是什么?該抽樣方法具

有