，2）。例8.（2011浙江金華、麗水3分）如圖，西安路與南京路平行，并且與八一街垂直，曙光路與環城路垂直．如果小明站在南京路與八一街的交叉口，準備去書店，按圖中的街道行走，最近的路程約為【】 A、600m B、500mC、400m 【答案】B。【考點】平行的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理。【分析】如圖，由于BC∥AD，那么有∠DAE=∠ACB，由題意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED，利用AAS可證△ABC≌△DEA，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC=，從而可求得CE=AC﹣AE=200。根據圖可知從B到E的走法有兩種：①BA＋AE=700；②BC＋CE=500。∴最近的路程是500m。故選B例9.（2011湖北宜昌10分）如圖1，Rt△ABC兩直角邊的邊長為AC=1，BC=2．（1）如圖2，⊙O與Rt△ABC的邊AB相切于點X，與邊CB相切于點Y．請你在圖2中作出并標明⊙O的圓心（用尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）（2）P是這個Rt△ABC上和其內部的動點，以P為圓心的⊙P與Rt△ABC的兩條邊相切．設⊙P的面積為S，你認為能否確定S的最大值？若能，請你求出S的最大值；若不能，請你說明不能確定S的最大值的理由．【答案】解：(1)作圖如下：（2）能。①當⊙P與Rt△ABC的邊

AB和BC相切時，由角平分線的性質，動點P是∠ABC的平分線BM上的點，如圖1。在∠ABC的平分線BM上任意確定點P1

(不為∠ABC的頂點)，∵

OX

＝BO·sin∠ABM,P1Z＝BP1·sin∠ABM，當

BP1＞BO

時

，P1Z＞OX，即P與B的距離越大，⊙P的面積越大。這時，BM與AC的交點P是符合題意的、BP長度最大的點。如圖2，∵∠BPA＞90°，過點P作PE⊥AB，垂足為E，則E在邊AB上。∴以P為圓心、PC為半徑作圓，則⊙P與邊CB相切于C，與邊AB相切于E。即這時的⊙P是符合題意的圓。這時⊙P的面積就是S的最大值。∵∠A＝∠A，∠BCA＝∠AEP＝90°，∴

Rt△ABC∽Rt△APE。∴。∵AC＝1，BC＝2，∴AB＝。設PC＝x，則PA＝AC－PC＝1－x,PC＝PE，∴。∴x＝

=2－4。②如圖3，同理可得：當⊙P與Rt△ABC的邊AB和AC相切時，設PC＝y，則

，∴y=

=。③如圖4，同理可得：當⊙P與Rt△ABC的邊BC和AC相切時，設PF＝z，則，∴z=。∵y－x=>0，∴y>x。∵z－y=>0

∴

z＞y。∴

z＞y＞x。∴⊙P的面積S的最大值為。【考點】尺規作圖，切線的性質，角平分線的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，解一元一次方程，二次根式化簡，實數的大小比較。【分析】（1）作出∠B的角平分線BD，再過X作OX⊥AB，交BD于點O，則O點即為⊙O的圓心。（2）由于⊙P與△ABC哪兩條邊相切不能確定，故應分⊙P與Rt△ABC的邊AB和BC相切；⊙P與Rt△ABC的邊AB和AC相切時；⊙P與Rt△ABC的邊BC和AC相切時三種情況進行討論。例10.（2011山東濰坊3分）身高相等的四名同學甲、乙、丙、丁參加風箏比賽，四人放出風箏的線長、線與地面夾角如表（假設風箏線是拉直的），則四名同學所放的風箏中最高的是.同學甲乙丙丁放出風箏線長1401009590線與地面夾角30°45°45°60°A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】D。【考點】解直角三角形的應用（坡度坡角問題），特殊角的三角函數，無理數的大小比較。【分析】根據題意畫出圖形，分別利用解直角三角形的知識求出風箏的高再進行比較即可：如圖，甲中，AC=140，∠C=30°，AB=140×sin30°=70=；乙中，DF=100，∠C=45°，DE=100×sin45°=50=；丙中，GI=95，∠I=45°，GH=95×sin45°==；丁中，JL=90，∠C=60°，JK=90×sin60°=45=。∵＜＜＜，∴GH＜AB＜DE＜JK。可見丁同學所放的風箏最高。故選D。例11.（2011安徽省12分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉，旋轉角為(0°＜＜180°)，得到△A1B1C．(1)如圖1，當AB∥CB1時，設A1B1與BC相交于點D．證明：△A1CD是等邊三角形；(2)如圖2，連接AA1、BB1，設△ACA1和△BCB1的面積分別為S1、S2．求證：S1∶S2＝1∶3；如圖3，設AC的中點為E，A1B1的中點為P，AC＝a，連接EP．當＝°時，EP的長度最大，最大值為．【答案】解：（1）證：∵△A1B1C是△ABC∴∠A1B1C＝∠ABC＝30°，∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠CA1B1＝∠CAB＝60°又∵AB∥CB1，∴∠BCB1＝∠ABC＝30°。∴∠A1CD＝60°。∴∠A1DC＝60°。∴△A1CD是等邊三角形。(2)證：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴AC：CB＝tan∠ABC＝又∵在△ACA1和△BCB1中，∠ACA1＝∠BCB1，AC：CB＝A1C：CB1＝，∴△ACA1∽△BCB1。∴S1∶S2＝。（3）120，。【考點】旋轉的性質，平行的性質，三角形內角和定理，等邊三角形的判定，銳角三角函數，相似三角形的判定和性質，直角三角形斜邊上的中線性質。【分析】（1）易求得△A1CD的三內角都等于600，因此得證。(2)易證得△ACA1∽△BCB1，且相似比為，應用相似三角形面積的比等于對應邊的比的平方的性質，得證。（3）連接CP，則EP≤CE＋CP，當E、C、P共線時，EP最大。由直角三角形斜邊上的中線性質可知，CP＝，故EP的最大值為。沒有旋轉時∠ACP＝60°，從而當E、C、P共線時，旋轉了1200。例12.（黑龍江大慶3分）已知⊙O的半徑為1，圓心O到直線l的距離為2，過l上的點A作⊙O的切線，切點為B，則線段AB的長度的最小值為【】A．1B．eq\r(2)C．eq\r(3)D．2【答案】C。【考點】點到直線的距離的定義，切線的性質，勾股定理。【分析】先連接OB，易知△AOB是直角三角形，再利用勾股定理即可求出AB：AB。故選C。例13.（四川資陽9分）在一次機器人測試中，要求機器人從A出發到達B處．如圖1，已知點A在O的正西方600cm處，B在O的正北方300cm處，且機器人在射線AO及其右側(AO下方)區域的速度為20cm/秒，在射線AO的左側(AO(1)分別求機器人沿A→O→B路線和沿A→B路線到達B處所用的時間(精確到秒)；(3分)(2)若∠OCB=45°，求機器人沿A→C→B路線到達B處所用的時間(精確到秒)；(3分)(3)如圖2,作∠OAD=30°，再作BE⊥AD于E,交OA于P．試說明：從A出發到達B處，機器人沿A→P→B路線行進所用時間最短．(3分)(參考數據：≈1.414，≈1.732，≈2.236，≈2.449)【答案】解：(1)沿A→O→B路線行進所用時間為：600÷20+300÷10=60(秒)，在Rt△OBA中，由勾股定理，得AB==300(cm)。∴沿A→B路線行進所用時間為：300÷10≈300×2.236÷10≈67(秒)。(2)在Rt△OBC中,OB=300,∠OCB=45°，∴OC=OB=300cm，BC==300(cm)。∴AC=600－300=300(cm)。∴沿A→C→B路線行進所用時間為：AC÷20+BC÷10=300÷20+300÷10≈15+42.42≈57(秒)。(3)在AO上任取異于點P的一點P′，作P′E′⊥AD于E′，連結P′B，在Rt△APE和Rt△AP′E′中，sin30°=，∴EP=，E′P′=。∴沿A→P→B路線行進所用時間為：AP÷20+PB÷10=EP÷10+PB÷10=(EP+PB)÷10=BE(秒)；沿A→P′→B路線行進所用時間為：AP′÷20+P′B÷10=E′P′÷10+P′B÷10=(E′P′+P′B)÷10=(E′P′+P′B)(秒)。連結BE′，則E′P′+P′B>BE′>BE，∴BE<(E′P′+P′B)。∴沿A→P→B路線行進所用時間，小于沿A→P′→B路線行進所用時間，即機器人沿A→P→B路線行進所用時間最短。【考點】動態型問題，勾股定理，銳角三角函數定義，特殊角的三角函數值，垂線段的性質。【分析】(1)直接由速度、路程和時間的關系可求沿A→O→B路線行進所用時間；由勾股定理求出AB的長即可求得沿A→B路線到達B處所用的時間。（2）由銳角三角函數求出BC的長，即可求出沿A→C→B路線行進所用時間。（3）根據垂線段最短的性質即可求得。例14.（2011江西南昌7分）如圖，已知⊙O的半徑為2，弦BC的長為2，點A為弦BC所對優弧上任意一點（B，C兩點除外）．（1）求∠BAC的度數；（2）求△ABC面積的最大值．（參考數據：，，.）【答案】解：(1)連接BO并延長，交⊙O于點D，連接CD。∵BD是直徑，∴BD=4，。在Rt△DBC中，，∴，∴。(2)因為△ABC的邊BC的長不變，所以當BC邊上的高最大時，△ABC的面積最大，此時點A落在優弧BC的中點處。過O作OE⊥BC于E，延長EO交⊙O于點A，則A為優弧BC的中點.連接AB，AC，則AB=AC，。在Rt△ABE中，∵，∴。∴S△ABC=。答：△ABC面積的最大值是。【考點】垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形，銳角三角函數定義，特殊角的三角函數值。【分析】（1）連接BO并延長，交⊙O于點D，連接CD。由直徑所對圓周角是直角的性質，，