第3章導數應用第3章

導數應用3-1微分中值定理

3-2洛必達法則

3-3函數單調性判別法3-4函數的極值3-6函數的最大值和最小值

3-5曲線的凹凸和拐點

3-7導數在經濟分析中的應用

3-1微分中值定理一、羅爾定理

如果函數滿足條件：（1）在上連續；（2）在內可導；（3），定理3.1（羅爾定理）則在區間內至少存在一點，使．3-1微分中值定理羅爾定理的幾何意義是:

如果連續曲線除端點外處處都有不垂直于x軸的切線,且兩端點處的縱坐標相等,那么其上至少有一條平行于x軸的水平切線

注意羅爾定理的三個條件只是充分條件,不是必要條件.即若滿足定理中三個條件,結論一定是成立的,反之,若不滿足定理的條件,結論仍然有可能成立.3-1微分中值定理3-1微分中值定理3-1微分中值定理定理3.2

則在區間內至少有一點，使得.

如果函數滿足條件：

(1)在上連續；

(2)在內可導；羅爾定理中,條件f(a)=f(b)比較特殊,若把此條件去掉并相應地改變結論,就得到十分重要的---二、拉格朗日Lagrange定理3-1微分中值定理拉格朗日中值定理的幾何意義:

如果連續曲線除端點外處處都有不垂直于x軸的切線,那么其上至少有一條平行于連接兩端點的直線的切線.3-1微分中值定理3-1微分中值定理3-1微分中值定理推論1

如果函數在區間內任一點的導數都等于零，則在內是一個常數.推論2

如果函數與函數在區間

內的導數處處相等，即，則與在區間內只相差一個常數.即．

3-1微分中值定理

3-1微分中值定理

3-1微分中值定理

3-2洛必達法則

若與滿足：定理3.3洛必達法則Ⅰ

(2)與在點的某個鄰域內(點可除外)可導，且；

(1)，；

(3)（或）．則（或）．3-2洛必達法則

解由洛必達法則得

3-2洛必達法則

解由洛必達法則得

3-2洛必達法則

解

3-2洛必達法則

解

3-2洛必達法則

3-2洛必達法則

3-2洛必達法則

3-2洛必達法則

3-2洛必達法則

若與滿足：定理3.4洛必達法則Ⅱ

(1)，；

(2)與在點的某個鄰域內(點可除外)可導，且；

(3)或.則或．3-2洛必達法則

解解

=3-2洛必達法則

解

3-2洛必達法則

三、其它未定式3-2洛必達法則

解

3-2洛必達法則

解

3-2洛必達法則

解

3-3函數單調性判別法第一章已經給出了函數單調性的定義,本節介紹利用導數判定函數單調性的方法．先從幾何直觀上觀察一下:容易看到,當函數單調遞增時,曲線是上升的,此時其上每一點處的切線與ｘ軸正方向的夾角都是銳角,切線的斜率大于零,也就是說在相應點處的導數大于零；相反地,當函數單調遞減時,曲線是下降的；其上每一點處的切線與ｘ軸正方向的夾角都是鈍角,切線的斜率小于零,也就是說在相應點處的導數小于零.一般地,有判別定理：3-3函數單調性判別法

(1)如果在內，，那么函數在內單調增加.

(2)如果在內，，那么函數在內單調減少．定理3.5（函數單調性判定）設函數在上連續，在

內可導，3-3函數單調性判別法3-3函數單調性判別法3-3函數單調性判別法3-3函數單調性判別法3-3函數單調性判別法3-3函數單調性判別法3-3函數單調性判別法3-3函數單調性判別法判別函數增減性的步驟如下：（1）確定函數的定義域；（2）求出使=0和

不存在的點，并以這些點為分界點，將定義域分割成幾個子區間.（3）確定

在各個子區間內的符號，從而判定函數的單調性.※注意

有的可導函數在某區間內的個別點處導數等于零，但函數在該區間內仍為單調增加（或減少）．3-3函數單調性判別法3-3函數單調性判別法3-4函數的極值

設函數在區間有定義,.如果在某個鄰域內

(1)，則稱為函數的極大值，并且稱點是的極大值點.

(2)

,則稱為函數的極小值，并且稱點是的極小值點.函數的極大值與極小值統稱為函數的極值，極大值點、極小值點統稱為函數的極值點.函數的極值僅僅是在某一點的近旁而言的,它是局部性概念.在一個區間上,函數可能有幾個極大值與幾個極小值，甚至有的極小值可能大于某個極大值.

極值與水平切線的關系:

在函數取得值處（該點可導）,曲線上的切線是水平的.但曲線上有水平切線的地方,函數不一定取得極值3-4函數的極值定理3.7(極值存在的必要條件)如果

在點處取得極值且在點處可導,則

.說明：（1）定理3.7的幾何解釋是：可微函數的圖形在極值點處有水平切線.(2)定理3.7的條件僅僅是取得極值的必要條件，但不是充分條件.3-4函數的極值使

為零的點稱為函數f(x)的駐點.可導函數f(x)的極值點必定是函數的駐點.但函數f(x)的駐點卻不一定是極值點.

定理3.7是對函數在點x0處可導而言的,在導數不存在的點,函數可能取得極值,也可能沒有極值.總之,函數的極值點必在函數的駐點或連續不可導的點中取得，但是，駐點或導數不存在的點不一定是函數的極值點.

下面介紹函數極值的充分條件，給出求函數的極值的具體方法.3-4函數的極值3-4函數的極值應用定理3.7、3.8求函數極值點和極值的步驟如下：3-4函數的極值3-4函數的極值3-4函數的極值定理3.9(極值第二充分條件)設函數在點處有二階導數，且，那么

(1)若，則函數在點處取得極大值；

(2)若，則函數在點處取得極小值；3-4函數的極值3-4函數的極值3-5曲線的凹凸和拐點

在研究函數圖形特性時,只知道它的上升和下降性質是不夠的,還要研究曲線的彎曲方向問題.討論曲線凹凸性就是討論曲線的彎曲方向問題，

定義3.1如果在某區間內，曲線弧位于其上任意一點的切線的上方，則稱此曲線弧是凹的；如果在某區間內，曲線弧位于其上任意一點切線的下方，則稱此曲線弧是凸的.3-5曲線的凹凸和拐點一、曲線的凹凸

3-5曲線的凹凸和拐點如何判別曲線在某一區間上的凹凸性呢？若曲線是凸弧，則當x由小變大時，x軸與曲線的切線的夾角是減小的，即切線的斜率是遞減的；若曲線是凹弧，則當x由小變大時，x軸與曲線的切線的夾角是增大的，即切線的斜率是遞增的.從而我們可以根據函數的一階導數是遞增的還是遞減的，或根據原來函數的二階導數是正的還是負的來判別曲線弧的凹凸性.3-5曲線的凹凸和拐點

(2)若時，恒有，則曲線在上的圖形是凸的.

(1)若時，恒有，則曲線在上的圖形是凹的；定理3.6（曲線凹凸性的判別法）

設函數在閉區間上連續，且在區間內存在二階導數，3-5曲線的凹凸和拐點3-5曲線的凹凸和拐點連續曲線

上凹弧與凸弧的分界點稱為這曲線的拐點.3-5曲線的凹凸和拐點二、曲線的拐點3-5曲線的凹凸和拐點3-5曲線的凹凸和拐點3-6函數的最值

在工農業生產、工程技術及科學實驗中，常常會遇到這樣一類問題：在一定條件下，怎樣使“產品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等問題，這類問題數學上有時可歸結為求某一函數（通常稱為目標函數）的最大值或最小值問題.設函數f(x)在閉區間［a,b］上連續,則函數的最大值和最小值一定存在，函數的最大值和最小值有可能在區間的端點取得，如果最大值不在區間的端點取得，則必在開區間(a,b)內取得,在這種情況下，最大值一定是函數的極大值.

因此,函數在閉區間［a,b］上的最大值一定是函數的所有極大值和函數在區間端點的函數值中最大者.

同理,函數在閉區間［a,b］上的最小值一定是函數的所有極小值和函數在區間端點的函數值中最小者.一、函數在閉區間上的最大值和最小值的求法3-6函數的最值閉區間［a,b］上最大值和最小值的求法和步驟：（1）求出函數f(x)在(a,b)內的駐點和不可導點（它們可能是極值點）;

（2）求出駐點和不可導點以及端點處的函數值;

（3）比較這些函數值的大小,其中最大的和最小的就是函數f(x)的最大值和最小值.3-6函數的最值

例13-6函數的最值3-6函數的最值二、實際問題中的最大值和最小值

在解決實際問題時，應注意以下結論.3-6函數的最值例3設有一塊邊長為a的正方形鐵皮，從四個角各截去大小一樣的小正方形，做一個無蓋的方匣，問截去邊長為多少的小正方形時能使做成的方匣的容積最大？3-6函數的最值3-6函數的最值