第11練函數(shù)的應用（二）

薯積累運用

【知識梳理】

1.函數(shù)零點的概念

對于函數(shù)）,=兀0,把使*x）=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=/（x）的零點.

函數(shù)v=/U）的零點就是方程/U）=0的實數(shù)解,也就是函數(shù)v=/U）的圖象與x軸的公共點的橫坐標.

注意：函數(shù)的零點不是一個點，而是/（x）=0的實數(shù)解.

2.方程的解與函數(shù)零點的關系

方程段）=0有實數(shù)解＜=＞函數(shù)v="）有零點=函數(shù)v=/U）的圖象與x軸有公共點.

3.函數(shù)零點存在定理

如果函數(shù)y=Ax）在區(qū)間口，一上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且有/la）/（函＜0,那么，函數(shù)y=/（x）在

區(qū)間3,〃）內至少有一個零點,即存在ce（a,h）,使得Qc）=0,這個c也就是7U）=0的解.

4.二分法

對于在區(qū)間口，一上連續(xù)不斷且版）?也）＜0的函數(shù)v=/U）,通過不斷地把函數(shù)?r）的零點所在的區(qū)間二

分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法.

5.給定精確度￡,用二分法求函數(shù)人x）零點近似值的步驟

第一步：確定閉區(qū)間[a,b],驗證人a）：/（8）V0,給定精確度e.

第二步：求區(qū)間（a,力的中點c.

第三步：計算火C）.

（1）若y（c）=o,則c就是函數(shù)的零點；

（2）若。0）漢。＜0,

則令6=c（此時零點x（）G（a,c））；

（3）若犬c）次份＜0,

則令a=c（此時零點冽G（c,Z?））.

第四步：判斷是否達到精確度心即若心一切＜e,則得到零點近似值。（或田，否則重復第二步至第四步.

以上步驟可簡化為：定區(qū)間，找中點，中值計算兩邊看；同號去，異號算，零點落在異號間；周而復始怎

么辦？精確度上來判斷.

6.幾類已知函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型fix)=ax+b{a,b為常數(shù),a^O)

凡，為常數(shù)且

反比例函數(shù)模型r)=1+b(R8AW0)

二次函數(shù)模型/（X）=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)，〃W0）

指數(shù)型函數(shù)模型J[x}=bax-\-c{a,b,c為常數(shù)，bWO,〃>0且

對數(shù)型函數(shù)模型fl,x）=b\ogax+c（a,b,c為常數(shù),bWO,a>0且a#l）

幕函數(shù)型模型y（x）=a^+6（a,b為常數(shù),aWO）

【易錯點撥】

1.忽視函數(shù)零點存在定理的應用條件.

2.不能把函數(shù)、方程問題相互靈活轉化.

3.求參數(shù)的取值范圍時忽略限制條件.

4.二分法并不適用于所有零點，只能求函數(shù)的變號零點.

5.用二分法求方程近似解時，對精確度理解不正確.

6.實際應用題易忘定義域和作答.

1.(2021.黑龍江?大興安嶺實驗中學高一期中)用二分法求方程log2X+x-4=0的近似解時，可以取的初始

區(qū)間為()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(5,6)

【答案】C

【解析】

令/(x)=log2X+x-4,易知“X)在(0,+8)上單調遞增.

/(l)=log2l+l-4=-3<0,/(2)=log22+2-4=-l<0,

/(3)=log23+3-4=log23-log22>0,所以方程1。8產(chǎn)+彳-4=0在區(qū)間(2,3)內有解，

所以可取的初始區(qū)間為(2,3).

故選：C.

2.(2021?遼寧,大連市一0三中學高一期中)函數(shù)/(x)=log3X+2x—8的零點所在的區(qū)間是()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

【答案】C

【解析】

函數(shù)f(x)=10g3X+2x-8在x>0遞增,

由f(3)=1+6-8=-1<0,f(4)=log34+8-8>0,

可得f(x)在(3,4)存在零點.

故選：C.

3.(2021?黑龍江?龍江縣第一中學高一階段練習)中國的5G技術領先世界，5G技術的數(shù)學原理之一便是著

名的香農(nóng)公式:C=Wlog?11+得］它表示:在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W,

信道內信號的平均功率S,信道內部的高斯噪聲功率N的大小，其中名叫做信噪比.當信噪比比較大時，公

N

式中真數(shù)中的1可以忽略不計.按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W,而將信噪比不從1000提升到8000,則C

N

大約增加了()(lg2?0.301)

A.10%B.20%C.30%D.50%

【答案】C

【解析】

由題意可知，G=Wlog,(1+8000)=Wlog,8000,

c2=Wlog,(1+1000)=IVlog,1000,

c,-c,log,8000-logJ0001,c

故提升了=~——=；~-=lg2,lg2?0.301

c2log,1000log,10

故選：c.

4.(2021.廣東.金灣一中高一階段練習)某同學參加研究性學習活動，得到如下實驗數(shù)據(jù)：

X1.02.04.08.0

y0.010.992.023

現(xiàn)欲從理論上對這些數(shù)據(jù)進行分析并預測，則下列模擬函數(shù)合適的是()

X2

A.y=log2xB.y=2C.y=x+2x-3D.y=2x-3

【答案】A

【解析】

解：由表中的數(shù)據(jù)看出：y隨x的增大而增大，且增大的幅度越來越小,

而函數(shù)y=2',y=Y+2x-3在(0,+s)的增大幅度越來越大，函數(shù)y=2x-3呈線性增大，只有函數(shù)y=log2X

與已知數(shù)據(jù)的增大趨勢接近,

故選：A.

5.(2021?江蘇阜寧?高一期中)函數(shù)"X)=YX2—4X—1的零點是.

【答案】

【解析】

因為函數(shù)/(x)=Td一4、一1的零點即為Tx2-4x-l=0的根，

又因為-4X2-4X-1=0O4X2+4X+1=0=>x=p

所以函數(shù)/(x)=Td-4x-l的零點是-g,

故答案為：

6.(2021?北京育才學校高一期中)函數(shù)y=/(x)的定義域為R,在［0,+8)上大致圖像如圖所示，則函數(shù)

y=/(Ixl)的零點個數(shù)為.

【答案】7個

【解析】

由圖知函數(shù)y=/(x)在［0,招>)上的零點個數(shù)為4,

又/(|x|)=/(|T|),故函數(shù)y=/(lx|)是定義在R上的偶函數(shù)，

又當X20時，y=/(|x|)=/(%),有4個零點，

根據(jù)對稱性，當x<0時，函數(shù)y=/(|x|),有3個零點，

故函數(shù)y=/(UI)的零點個數(shù)為7.

故答案為：7.

7.(2021.上海市西南位育中學高一期末)方程V+X+J0在xe(-l,o)上的近似解為(精確到

0.01)

【答案】x?-0.75

【解析】

令〃x)=d+x+l,設〃x)=0的根為X。，

因為〃-1)=-1-1+1<0,y(0)=l>0,/(-0.5)=-0.53-0.5+1>0,

因為/(-0.5〉/(一1)<0,所以修?-1,-0.5),

/(-0.75)=-0.753-0.75+1<0,/(-0.5)=-0.53-0.5+1>0

/(-0.5)-/(-0.75)<0,所以不?-0.75,-0.5),

/(-0.625)=-0.6253-0.625+1>0,/(-0.75)=-0.753-0.75+1<0,

所以/《-0.75,-0.625),

因為方程的解精確到Q01,

所以方程的解可以是X。-0.75,此答案不唯一.

8.(2021?陜西安康?高一期中)已知是定義在R上的奇函數(shù)，當xe(7O,0]時，/(力=-/-2-

(1)求“X)的解析式；

(2)若函數(shù)y=/(x)-%有三個零點，求實數(shù)，”的取值范圍.

【答案】

、f-x2-2x,x<0

⑴小》2->。；

(2)(-U).

【解析】

(1)解：令x>0,則一x<0,貝IJ/(X)=-/(-X)=-[-(-X)2-2X(-X)]=X2-2X.

2

因?此,,，f(x)、=?|-,x-2x,x<0.

''[X2-2X,X>0

(2)解：由〃x)-6=0得力=/(x),所以，直線曠=機與函數(shù)/(*)的圖象有三個交點，

如下圖所示:

由圖可知，當-1<機<1時，直線丁=機與函數(shù)"X)的圖象有三個交點.

因此，實數(shù)m的取值范圍是(-1,1).

9.(2021.廣西.南寧三中高一期末)已知函數(shù).“X)是定義域為R的奇函數(shù)，當x>0時，/(X)=X2-2X.

(1)求出函數(shù)/(x)在R上的解析式；

(2)若y=/(力與卜=機有3個交點，求實數(shù)〃?的取值范圍.

x2-2x,x>0

【答案】(1)/(x)=-0,x=0；(2)

-x2-2x,x<0

【解析】

(1)①由于函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，則"0)=0；

②當x<0時,-x>0,因為f(x)是奇函數(shù)，所以"—x)=—/(x).

所以/(X)=-/(-X)=4(-x)2-2(-x)]=-x2-2x.

x1-2x,x>0

綜上：/(x)=<0,x=0

-x2-2x,x<0

(2)圖象如下圖所示：.

因為方程/(x)=%有三個不同的解,

由圖象可知，即

10.(2021?福建省同安第一中學高一期中)某公司計劃投資4,B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調查與預測，A產(chǎn)品

的利潤與投資量成正比例，其關系如圖1,B產(chǎn)品的利潤與投資量的算術平方根成正比例，其關系如圖2(注:

利潤與投資量單位均為：萬元)

圖1圖2

(1)分別將48兩產(chǎn)品的利潤表示為投資量的函數(shù)關系式；

(2)該公司已有10萬元資金，并全部投入A,8兩種產(chǎn)品中，問：怎樣分配這10萬元資金，才能使公司

獲得最大利潤？其最大利潤為多少萬元？

【答案】

14I—

(1)A：/(x)=-x(x>0),B：g(x)=-y/x(x>0)；

14

(2)投入A,8兩產(chǎn)品6萬元和4萬元時，公司獲得最大利潤二萬元.

【解析】

(1)設投資量為x萬元(xNO),A,8產(chǎn)品的利潤分別為〃x),g(x)萬元,

則/(x)=A，g(x)=&4,

14r-

由圖表中數(shù)據(jù)可得："x)=?(x20),g(x)=^(x>0)；

(2)設投入8產(chǎn)品x萬元(04x410),

則投入A產(chǎn)品為10-x萬元，該公司獲得利潤為)，萬元，

則y=[(10_x)+：G=_l(5/7-2)+葭

14

，當x=4時，>3=了.

投入A,B兩產(chǎn)品6萬元和4萬元時，公司獲得最大利潤114萬元.

能力提升練

11.(2021?湖南岳陽?高二期末)某企業(yè)參加A項目生產(chǎn)的工人為1000人，平均每人每年創(chuàng)造利潤10萬元.

根據(jù)現(xiàn)實的需要，從A項目中調出x人參與B項目的售后服務工作，每人每年可以創(chuàng)造利潤I。,-萬

元(。>0),A項目余下的工人每人每年創(chuàng)造利圖需要提高()2r%

(1)若要保證A項目余下的工人創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名工人創(chuàng)造的年總利潤，則最多調出多少

人參加8項目從事售后服務工作？

(2)在(1)的條件下，當從A項目調出的人數(shù)不能超過總人數(shù)的40%時，才能使得A項目中留崗工人創(chuàng)

造的年總利潤始終不低于調出的工人所創(chuàng)造的年總利潤，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)500；(2)(0,5.1].

【解析】

設調出x人參加8項目從事售后服務工作

(1)由題意得：10(1000-x)(l+0.2x%)210x1000,

即500x40,又x>0,所以0<xW500.即最多調整500名員工從事第三產(chǎn)業(yè).

(2)由題知，0<xM400,

3Y

從事第三產(chǎn)業(yè)的員工創(chuàng)造的年總利潤為10(〃-蕓)x萬元，

從事原來產(chǎn)業(yè)的員工的年總利潤為10（1000-尤）（1+」工）萬元,

則10(〃一士-)xV10(1000-x)(l+0.2x%),

所以cix----W1000+2x—x-----x2,

500500

2x2

所以ax4---F1000+x9

500

,2x1000—

Br1rlPa<--+---+1恒成山

500x

因為0<x44OO,

.2x10002x4001000,一

所ce以ISI——+----+1>------+----+1=5.1

500x500400

所以。45.1,

又。>0,所以0<aW5.1,

即。的取值范圍為（0,5」.

12.（2021?山東濟南?高一期中）1.某科研機構為了研究某種藥物對某種疾病的治療效果，準備利用小白鼠進

行科學試驗.研究發(fā)現(xiàn)，藥物在血液內的濃度與時間的關系因使用方式的不同而不同.若使用注射方式給

藥，則在注射后的4小時內，藥物在白鼠血液內的濃度%（單位：毫克/升）與時間r（單位：小時）滿足關

系式,=5-G（。>0,。為常數(shù)）；若使用口服方式給藥，則藥物在白鼠血液內的濃度必（單位：毫克/升）

2?,0</<1,

與時間f（單位：小時）滿足關系式必=現(xiàn)對小白鼠同時進行注射和口服該種藥物，且注射

5——4,l<f<4.

It

藥物和口服藥物的吸收與代謝互不干擾.假設同時使用兩種方式給藥后，小白鼠血液中藥物的濃度等于單

獨使用每種方式給藥的濃度之和.

（1）若a=l,求4小時內，該小白鼠何時血液中藥物的濃度最高，并求出最大值；

（2）若要使小白鼠在用藥后4小時內血液中的藥物濃度都不低于4毫克/升，求正數(shù)a的取值范圍.

【答案】

（1）當f=2時血液中藥物的濃度最高，最大值為6

（2）0<a<-

4

【解析】

（1）當a=l時，藥物在白鼠血液內的濃度卜與時間/的關系為

—t+2.y[t+5,0<?<1,

〉=%+%='

,l<r<4.

①當0<f<l時，y=T+2?+5=-(〃-l)2+6<6.

4

②當1V/44時、因為f+—24(當且僅當f=2時，等號成立),

t

所以為a*=10-4=6.

故當，=2時血液中藥物的濃度最高，最大值為6.

(2)

-at+2,y/t+5,0</<1,

由題意得了=,

10-|az+-|,1<Z<4.

2]

Q)當0<，v1時，—+2yfi+524=>atK2>/F+1=>ciK—『H—,

小f

設,則a42/+2〃=(〃+1)—1,uG(1,4-co),則(〃+1)——1￡(3,+oo),故a<3；

,4、44

②當時，——J24nm+—46=>。/46——,

46

由1W/W4,得。工一二+一，

tt

,-i/、2f——■

1(319

令丫=-,則aS-W+6u=-4|v——+—,ve-7J,貝lj-+—G—,故aW：.

tI4)44J(4J4|_44」4

綜上，。<QK：.

4

13.(2021?廣西桂林?高一期末)已知函數(shù)[(x)=32-7,g(〉=|log2X.

2—3

(1)當xw[0,l]時，求函數(shù)〃x)的值城

(2)若關于x的方程g(x)=f有兩個不等根a,￡(a<￡),求加的值；

(3)是否存在實數(shù)〃，使得對任意〃?可0,11,關于x的方程4g2(力-4例(x)+3aT-〃〃?)=0在區(qū)間上,4

O

上學有3個不等根x，X2,X3,若存在，求出實數(shù)。與為M