微專題90取球問題

一、基礎知識:

在很多隨機變量的題目中，常以“取球”作為故事背景，通過對“取球”提出不同的要求，來

考察不同的模型，常見的模型及處理方式如下：

1、獨立重復試驗模型：關鍵詞“可放回的抽取“，即下一次的取球試驗與上一次的相同。

2、超幾何分布模型：關鍵詞“不放回的抽取“

3、與條件概率相關：此類問題通常包含一個抽球的規則，并一次次的抽取，要注意前一次的

結果對后一步抽球的影響

4、古典概型：要注意雖然題目中會說明“相同的”小球，但是為了能使用古典概型(保證基本

事件為等可能事件)，通常要將“相同的”小球視為“不同的”元素，在利用排列組合知識進行分

子分母的計數。

5、數字問題：在小球上標注數字，所涉及的問題與數字相關(奇，偶，最大，最小等)，在

解決此類問題時，要將數字模型轉化為“怎樣取球'’的問題，從而轉化為前幾個類型進行求解。

二、典型例題：

例1：一袋中有6個黑球，4個白球

(1)不放回地依次取出3個球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率

(2)有放回地依次取出3個球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率

(3)有放回的依次取出3個球，求取到白球個數X的分布列，期望和方差

(1)思路：因為是不放回的取球，所以后面取球的情況受到前面的影響，要使用條件概率相

關公式進行計算。第一次已經取到白球，所以剩下6個黑球，3個白球；若第二次取到黑球，

AvaA

則第三次取到黑球的概率為——，若第二次取到白球，則第三次取到黑球的概率為——，從

9898

而能夠得到第三次取到黑球的概率

解：設事件A為“不放回取球，第一次取出白球時，第三次取到黑球”

c/八6536482

/.P(A)=-----+------=—=—

9898723

(2)思路：因為是有放回的取球，所以每次取球的結果互不影響，屬于獨立重復試驗模型,

所以第三次取球時依然是6個黑球，3個白球，取得黑球的概率為g

9

解：設事件B為“有放回取球，第一次取出白球時，第三次取到黑球”

???P（5）=|

(3)思路：本問依然屬于獨立重復試驗模型，X的取值為0,1,2,3,則X符合二項分布，即

,所以可通過二項分布的概率計算公式求得概率，得到分布列

X~83,|

解：X的取值為0,1,2,3,依題意可得:

P(X=0)=Cfi3327

5)~125

2

叱2)=咱回唱

X0123

2754368

P

125125125125

???X~83,|

EX=32=9￡)X=3---=—

555525

例2：已知甲盒內有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內有大小相同的3個紅球和3個黑

球，現從甲，乙兩個盒內各任取2個球

(1)求取出的4個球中沒有紅球的概率

(2)求取出的4個球中恰有1個紅球的概率

(3)設自為取出的4個球中紅球的個數，求J的分布列和數學期望

思路：本題這三問的關鍵在于所取球中紅球的個數，考慮紅球個數來自于兩個盒內拿出紅球

個數的總和，所以可將紅球總數進行分配，從而得到每個盒中出紅球的情況，進而計算出^

率

(1)設事件A,為“甲盒中取出，個紅球”，事件與為“乙盒中取出/個紅球”

則p(a)=%，p(B/)=3

設事件A為“4個球中沒有紅球”

則尸(小尸("闖=等?等=抬4

（2）設事件B為“4個球中恰有1個紅球”

z^?0z^?2

.?.P（3）=P（44）+/W°）=巖?巖+巖償=32_2_3__2

615615-5

（3）自可取的值為0,1,2,3

12

??/偌=。）=64）=歷P（4=l）=P（B）=g

Z^r2?"'Oz"?lx~?l0

P（舁2）=P（4A）+P（44）=巖.巖+巖

P（4=3）=P（48J=普.安一3?—3=—1

C4C661510

???自的分布列為:

0123

1221

PioTo

12213

.-.E^^Ox—+lx-+2x-+3x—=-

1055102

例3：甲、乙兩袋中各裝有大小相同的小球9個，其中甲袋中紅色、黑色、白色小球的個數分

別為2、3、4,乙袋中紅色、黑色、白色小球的個數均為3,某人用左右手分別從甲、乙兩

袋中取球.

（1）若左右手各取一球，求兩只手中所取的球顏色不同的概率；

（2）若左右手依次各取兩球，稱同一手中兩球顏色相同的取法為成功取法，記成功取法次數

為隨機變量X,求X的分布列和數學期望.

解：（1）設事件A為“兩只手中所取的球顏色不同”，則A為“兩只手中所取的球顏色相同”

2333432

P（A）=1-P（A----1-----1-—?—

9999993

（2）X可取的值為0,1,2

Cl+C1+C；_5

左手取球成功的概率《

~18

右手取球成功的概率P2=G+Q-+G=-

C94

'7118J41814）18

p（x=2）=』,=a

'718472

X的分布列為

X012

1375

P

241872

“c13,7c519

EX=0x---F1x---F2x—=—

24187236

例4：袋中裝有若干個質地均勻大小相同的紅球和白球，白球數量是紅球數量的兩倍，每次從

袋中摸出一個球，然后放回，若累計3次摸到紅球則停止摸球，否則繼續摸球直到第5次摸

球后結束

（1）求摸球四次就停止的事件發生的概率

（2）記摸到紅球的次數為求隨機變量J的分布列及其期望

（1）思路：本題為有放回摸球，可理解為獨立重復試驗，如果摸球四次就停止，說明在這四

次中一共摸到3次紅球，且前三次有兩次摸到紅球，第四次又摸到紅球。通過紅白球數量關

系可知一次摸球中摸到紅球的概率為l，然后可按照分析列式并求出概率。

3

解：設事件4為“摸球四次即停止摸球“

解：依題意可得：在一次摸球中，摸到紅球的概率為！

3

/\

(^-

\/

（2）思路：可知〈可取的值為0,1,2,3,當占=0,1,2時，摸球是通過完成5次后停止，所以

可利用獨立重復試臉模型計算概率；當自=3時，按照規則有可能摸球提前結束，所以要按摸

球的次數（3次，4次，5次）分類討論后再匯總

解：J可取的值為0,1,2,3

P楂=2）=C；削Ij嗡

3222

5117

%=3)=

拼唱劇加怎孤）-

724381

??.4的分布列為:

r0123

32808017

p

24324324381

埼=0x衛+lx幽+2x幽+3X?131

2432432438117

例5：某商場在店慶日進行抽獎促銷活動，當日在該店消費的顧客可參加抽獎.抽獎箱中有大

小完全相同的4個小球，分別標有字“生”“意”“興”“隆顧客從中任意取出1個球，記下上面

的字后放回箱中，再從中任取1個球，重復以上操作，最多取4次，并規定若取出“隆”字球，

則停止取球.獲獎規則如下：依次取到標有“生”“意”“興”“隆”字的球為一等獎；不分順序取到

標有“生”“意”"興”"隆”字的球，為二等獎；取到的4個球中有標有“生”“意”“興”三個字的球為

三等獎.

（1）求分別獲得一、二、三等獎的概率；

（2）設摸球次數為求4的分布列和數學期望.

解：（1）設a為“獲得i等獎”

P(A)=—x—x—x—=-^―

v74444256

P(A>)=—x—x—x--1)=^—

'"4444、7256

P(AA=C[--X—X—X—-A^=—

V3734444464

（2）摸球次數4可取的值為1,2,3,4

?'P（-）=5g）亮;3

16

33327

P（一）VmP信=4)=

44464

g的分布列為:

1234

￡3927

P

4166464

L-1c3c9,2711

EJ=lx—+2x——i-3x——+4x—=—

41664644

例6：學校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球，2個黑球；乙箱子里面裝

有1個白球，2個黑球；這些球除了顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2

個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎(每次游戲后將球放回原箱)

(1)求在一次游戲中

①摸出3個白球的概率

②獲獎的概率

(2)求在三次游戲中獲獎次數X的分布列與期望

(1)思路：本題的結果實質上是一個“拼球”的過程，即兩個箱子各自拿球，然后統計白球的

個數。則①：若摸出3個白球，則情況為甲2乙1。②：若獲獎，則白球個數不少于2個，可

分成白球有3個或有2個兩種情況，分別求出概率再求和即可

解：設4為“甲箱子里取出，個白球”，鳥為“乙箱子里取出/個白球”

①設事件A為“摸出3個白球”

②設事件8為“獲獎”(即白球不少于2個)

..?喇=網的)+3)+3)=警?斷mm

(2)思路：三次游戲可視為獨立重復試驗，所以獲獎次數X服從二項分布，由(1)可得

X?8(3,焉)，從而可利用公式計算概率，列出分布列

解：X可取的值為0,1,2,3,依題意可得：X?^。，彳)

????—。)=心儒］=益尸—1)=4款高、蒜

P(X=2)=C；［落信卜焉唳=3)=《圖=器

.?.X的分布列為：

X0123

27189441343

P

1000100010001000

-/X3,—

I10

?“721

EX=3—=—

1010

例7：一個袋子中裝有6個紅球和4個白球，假設袋子中的每一個球被摸到可能性是相等的。

(1)從袋子中任意摸出3個球，求摸出的球均為白球的概率;

(2)一次從袋子中任意摸出3個球，若其中紅球的個數多于白球的個數，則稱“摸球成功”(每

次操作完成后將球放回)，某人連續摸了3次，記“摸球成功”的次數為求4的分布列和數

學期望。

(1)思路：此間可用古典概型解決，事件Q為“10個球中任意摸出3個球“，則〃(C)=C3

所求事件A為“均是白球”，則〃(A)=C，從而P(A)=4d=-!-

J4\)〃g)30

解：設事件A為“3個球均為白球“

n/八亡41

尸(A)=-F=----=—

、)對12030

(2)思路：按題目敘述可知對于摸3次球，由于是有放回的摸，所以相當于獨立重復試驗,

結合J的含義可知J服從二項分布。但“摸球成功'’的概率還未知，所以先根據“摸球成功'’的要

求利用古典概型計算出一次成功的^率，再通過二項分布的公式計算J的分布列即可

解：設事件8為“一次摸球成功”

...p(5)=c；y+gc=歿二

\)C：o1203

J的取值為0,1,2,3,依題意可得：

—2)=需閭若電=3)=嗚'吟

.?.4的分布列為：

0123

1248

P

279927

例8：袋中裝著標有數字1,2,3,4的小球各3個，從袋中任取3個小球，每個小球被取出的可

能性都相等.

(1)求取出的3個小球上的數字互不相同的概率；

(2)用X表示取出的3個小球上所標的最大數字，求隨機變量X的分布列和數學期望.

(1)思路：本題的特點在于每個編號都有3個球，若將這12個球視為不同元素，則可利用

古典概型進行計算，設。為“12個球中任取3個“，則”(。)=品，事件A為“三個球數字各

不相同”，則計數時第一步要先選出不同的三個編號，即C：,然后每個編號中都有3個小球可

供選擇，即所以〃(A)=C](C；y。進而可計算出尸(A)

解：設事件A為“三個球數字各不相同”

.P⑷=業L受立衛

-i，〃⑼a55

(2)思路：依題意可知X的取值為1,2,3,4,依然用古典概型解決，但要明確X取每個值時

所代表的情況：當X=1時，只能3個球均為1號球；當X=2時，說明至少有一個2號球，

其余的用1號球組成，即+C；C；+C；C；,或者使用間接法：從1,2號共6個球中先隨意

取三個，再減去不含2號球的情況，即(C；—C；)個，同理可得：X=3時，至少有一個3號

球，其余的球為1,2號球，所以由—個，X=4時，至少有一個4號球，其余的球為

1,2,3號球，所以由(C；2—C；)個，進而求得概率得到分布列

解：X的取值為1,2,3,4

=19

.P（X=1）;-G=_LP(X=2)：

C，220C；2220

Cl-Cl=64

P（X=3）=P（X=

%—220'3220

的分布列為：

X1234

1191634

p

2202205555

,1c19+3x3,34_775_155

=lx----+2x----_i_A\z__—

EX=十V人--2-20--

220220555544

例9：一個盒子中裝有大小相同的小球〃個，在小球上分別標有1,2,3,…，〃的號碼，已知從盒

子中隨機的取出兩個球，兩球的號碼最大值為"的概率為‘，

4

(1)盒子中裝有幾個小球？

(2)現從盒子中隨機的取出4個球，記所取4個球的號碼中，連續自然數的個數的最大值為

隨機變量自(如取2468時;。=1；取1246時，4=2,取1235時，J=3)

(1)思路：以兩球號碼最大值為拉的概率為入手點，則該敘述等價于“取出一個〃號球和一個

其它號碼球的概率為從而利用古典概型列出關于”的方程并解出n

4

解：設事件A為“兩球號碼最大值為〃”

111

得

角

即8

=-c,=---=

cr44

(2)思路：由(1)可得小球的編號為1—8,結合所給的例子可知自的取值為1,2,3,4,其概

率可用古典概型計算。4=1代表所取得數兩兩不相鄰，可能的情況有{1,3,5,7},

{1,3,5,8},{1,3,6,8},{1,4,6,8},{2,4,6,8}共5種；4=2表示只有一對相鄰的數或兩對相鄰的

數(兩隊相鄰的數之間不再相鄰)；4=3表示有三個相鄰的數，與另一個數不相鄰；J=4表

示四個數均相鄰，共5個。由于4=2包含情況較復雜，所以可以考慮算出其他情況的概率再

用1減即可。

解：J的取值為1,2,3,4

P（4=1）=W202

C814707

P（4=4）=--7=—-=—

’1C：7014

4

???P（&=2）=l—P4=l）—P（4=3）—P《=4）=,

J的分布列為:

1234

1421

P

147714

i,1c4c2,133

二.EJ=lx----l-2x—+3x—+4x—=——

14771414

例10：袋中裝有35個球，每個球上分別標有1-35的一個號碼，設號碼為〃的球重

n~

-—5〃+15克，這些球等可能的從袋中被取出

2

(1)如果任取1球，試求其重量大于號碼數的概率

(2)如果不放回任意取出2球，試求它們重量相等的概率

(3)如果取出一球，當它的重量大于號碼數，則放回，將拌均勻后重取；當它的重量小于號

碼數時，則停止取球，按照以上規則，最多取球3次，設停止之前取球次數為求J的分布

列和期望

思路：(1)本題的球重與編號存在函數關系，要解得重量大于號碼數的概率，先要判斷出在

35個球中，那些球的重量大于號碼數，即解不等式°-5"+15>〃，可解出〃>6+指或

2

〃<6—6，所以〃的解集為｛1,2,3,9,10,11,…35｝共30個數，所以取出球重量大于號碼數

以*,,306

的概率為——=-

357

解：設事件A為“取I球其重量大于號碼數”

r\~

若球重量大于號碼數，則上5〃+15>〃

2

/.n2—12/2+30>0,解得：n>6+V6<6-V6

v1<n<35,nGN*

.?.〃的取值集合為{1,2,3,9,10,11,…35},共30個元素

22

〃JYT

（2）思路：不妨設取出的球的編號為機,九，從而----5〃+15=-------5機+15,可推得:

22

4

根+〃=10,從而取出球的組合為{1,9},{2,8},{3,7},{4,6}共4組，所以概率為一了

。35

解：設所取球的編號為加,〃，依題意可得:

22

-----5〃+15=-------5/7t+15

22

n2-nr=10(/?-m)=>(A:-m-10)=0

'：m^n/.根+〃=10

取出球的組合為{1,9},{2,8},{3,7},{4,6}

設事件B為“取出2球重量相等”

???尸⑻技嗡

（3）思路：依題意可知：J可取的值為1,2,3,由（1）可知球重量大于號碼的概率為與，因

為是可放回的抽取，所以每次抽取為獨立重復試驗。當彳=1時，可知取出的球重量小于號碼

數；當4=2時，則第一次取出的球比號碼數大，第二次取出的球比號碼數小；當J=3時,

則前兩次取出的球比號碼數大（無論第三次如何都終止取球），從而求出概率得到分布列

解：J可取的值為1,2,3,由（1）可知取出球重量大于號碼的概率尸（A）=。

.-.P（^=1）=P（A）=1-^=1

p傳=2）=g[=cP（。=3）=9.9=迎

''7749'/7749

4的分布列為:

4123

636

P

74949

三、歷年好題精選

1、(2014,福建)為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行

獎勵，規定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個

球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.

(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元，求:

①顧客所獲的獎勵額為60元的概率；

②顧客所獲的獎勵額的分布列及數學期望.

(2)商場對獎勵總額的預算是60000元，并規定袋中的4個球只能由標有面值

10元和50元的兩種球組成，或標有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客

得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對

袋中的4個球的面值給出一個合適的設計，并說明理由.

2、(2014,重慶)一盒中裝有9張各寫有一個數字的卡片，其中4張卡片上的數

字是1,3張卡片上的數字是2,2張卡片上的數字是3.從盒中任取3張卡片.

(1)求所取3張卡片上的數字完全相同的概率；

(2)X表示所取3張卡片上的數字的中位數，求X的分布列與數學期望.

(注：若三個數。，"c,滿足aW力Wc,則稱沙為這三個數的中位數)

3、袋中共有10個大小相同的編號為1,2,3的球，其中1號球有1個，2號球有3個，3號球

有6個

(1)從袋中任意摸出2個球，求恰好是一個2號球和一個3號球的概率

(2)從袋中任意摸出2個球，記得到小球的編號數之和為求隨機變量J的分布列和數學

期望

4、袋中裝有標有數字1,2,345的小球各2個，現從袋中任意取出3個小球，假設每個小球被

取出的可能性都相等

(1)求取出的3個小球上的數字分別是1,2,3的概率

(2)求取出的3個小球上的數字恰有2個相同的概率

(3)用X表示取出的3個小球上的最大數字，求X的分布列

習題答案:

1、解析：(1)①設顧客所獲的獎勵額為X

，P(X=60)=卷弓

(2)X可取的值為20,60

1C21

P（X=60）*心…。）=才萬

」.X的分布列為

X2060

P0.50.5

所以顧客所獲的獎勵額的期望為歐=40.

(2)每個顧客平均獎勵額為竺吧=60元，可知期望有可能達到60的只有方案

1000

(10,10,50,50)或(20,20,40,40),分別分析以下兩種方案：

方案一：(10,10,50,50),則毛的取值為20,60,100

「(乂=2。)咱年360)=登彩尸”口。。)咱V

EX=20--+60-+100-=60

i636

1600

DX（20-60）2--+（60-60）2--+（100-60）2--

}6363

方案二：(20,20,40,40),則X?的取值為40,60,80

P(Xz=40)=W唳2=60)=詈=：網匕=80)=擊=；

。46C436

:.EX,=40-+60--+80--=60

2636

,1,291400

DX}=(40-60)'--+(60-60)---+(80-60)--=——