2.5.1直線與圓的位置關系的實際應用（第2課時）

基礎練習

一、單選題

1.某考點配備的信號檢測設備的監測范圍是半徑為100米的圓形區域，一名工作人員持手機

以每分鐘50米的速度從設備正東方向50#米的A處出發，沿A處西北方向走向位于設備正北

方向的B處，則這名工作人員被持續監測的時長為（）

3

A.1分鐘B.1■分鐘

D.1■分鐘

C.2分鐘

【答案】C

【分析】以設備的位置為坐標原點o,其正東方向為工軸正方向，正北方向為y軸正方向建立

平面直角坐標系xoy,求得直線3和圓。的方程，利用點到直線的距離公式和圓的弦長公式,

求得MN的長，進而求得持續監測的時長.

t詳解】以設備的位置為坐標原點o,其正東方向為8軸正方向，正北方向為y軸正方向建立

平面直角坐標系xOy,如圖所示，

則A（50n,0）,B（0,50>/6）,可得的：x+y=50幾，圓O:/+丁=10000.

記從N處開始被監測，到〃處監測結束，

|-50而「

因為。到L的距禺為O。'=??=50/米，

#77

所以MN=2^MO2-O（y2=100米，故監測時長為熊=2分鐘.

二、多選題

2.己知直線/：x+y-4=0,圓O：/+y2=2,M是/上一點，MA,何8分別是圓。的切線,

貝IJ（）

A.直線/與圓。相切B.圓。上的點到直線/的距離的最小值為近

C.存在點使NA7WS=90。D.存在點M,使為等邊三角形

【答案】BD

【分析】對于A選項，分析圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關系，若』=八則直線/與

圓0相切，若d片廠，則直線/與圓0不相切；對于B選項，圓。上的點到直線I的距離的最

小值為圓心到直線的距離減去半徑長；對于C選項，當M。最短時，有最大的張角NAM8；

對于D選項，考慮ZAMB能否等于60°.

【詳解】對于A選項，圓心到直線的距離d=4%=2&>a=r,所以直線和圓相離，故

vlz+lz

A錯誤；

對于B選項，圓O上的點到直線/的距離的最小值為=夜，故B正確；

對于C選項，當。時，NAMB有最大值60。，故C錯誤；

對于D選項，當OM，/時，AMB為等邊三角形,故D正確.

三、填空題

3.(2022.云南?羅平縣第一中學高二開學考試)直線or+6y+c=0與圓O:W+y2=i6相交于兩

點N,若滿足/=4(/+燈，貝”,小=.

【答案】4右

【分析】首先得到圓心坐標與半徑，即可求出圓心到直線的距離，從而求出弦長，再由面積公

式計算可得.

【詳解】解：圓0：/+產=16圓心為0(0,0),半徑廠=4，

所以=lyjr-d1=2742-22=40

所以SM0M=；X2X46=4技

4.在平面直角坐標系xOy中，已知直線以-曠+2=0與圓C:/+y2-2x-3=0交于A,8兩點,

若鈍角一A5C的面積為則實數a的值是.

3

【答案】一-##-0.75

4

【分析】由鈍角的面積為百，求得sinNACB=」L得至l」ZACB=M，進而求得圓心

23

到直線的距離為1,結合點到直線的距離公式，列出方程，即可求解.

【詳解】解：由圓C:f+y2-2x-3=0,即(才-11+/=4,

可得圓心坐標為C(l,0),半徑為r=2,

因為鈍角，A8C的面積為可得SMe=gx2x2sinNACB=6,

解得sinNAC8=且，因為*ZAC8〈萬，所以NACB=T，

223

可得|AB\=-JAC2+BC2-2AC-BCcosZACB=2G,

設圓心到直線的距離為d,又由圓的弦長公式，可得2/^Z=20，解得4=1,

根據點到直線6-丫+2=0的距離公式1=力^=1,解得

5.規定：在桌面上，用母球擊打目標球，使目標球運動，球的位置是指球心的位置，球A是

指該球的球心點A.兩球碰撞后，目標球在兩球的球心所確定的直線上運動，目標球的運動方

向是指目標球被母球擊打時，母球球心所指向目標球球心的方向.所有的球都簡化為平面上半

徑為1的圓，且母球與目標球有公共點時，目標球就開始運動，在桌面上建立平面直角坐標系,

如圖，設母球A的位置為(0,0),目標球B的位置為(4,0),要使目標球B向48.-4)處運動,

則母球A的球心運動的直線方程為.

【答案】y=^^-x

7

【分析】求出BC所在的直線方程，得到碰撞時A的坐標，可得母球A球心運動的直線方程.

【詳解】點8(4,0),C(8,-4)所在直線的方程為x+y-4=0,如圖所示

可知A,B兩球碰撞時，球A的球心在直線x+y-4=0上，且在第一象限，設A,8兩球碰撞

a+b-4=0

時，球A的球心坐標為A'(aS),此時|AB|=2,則《血-叫從=2,解得，。=4-應力=&

a>0,b>0

即A,B兩球碰撞時，球A的球心坐標川4-四,企)

所以母球A的球心運動的直線方程為y=x,即y=馬?x.

6.如下圖所示，一座圓拱橋，當水面在某位置時，拱頂離水面2肛水面寬12見當水面下降加后,

水面寬為I

12—

【答案】2底

【分析】以圓拱拱頂為坐標原點，以水平與圓拱相切的直線為橫軸，以過拱頂的豎線為縱軸，建立

直角坐標系，根據題意可以求出找到一個點的坐標，這樣可以求出圓的方程，最后可以求出當水

面下降1,“后，水面寬的大小.

【詳解】以圓拱拱頂為坐標原點，以水平與圓拱相切的直線為橫軸，以過拱頂的豎線為縱軸，建立

直角坐標系，如卜圖所示：

由題意可知：設圓的方程為：/+(3；+')2=尸(其中『為圓的半徑),因為拱頂離水面2憾水面寬

12九所以設A(6,-2)，代入圓的方程中得：r=10.所以圓的方程為：

/+(),+10)2=100,當水面下降后，設4(%-3)(%>3)代入圓的方程中得:

x0=25/51.

7.已知圓C的方程為V+y2=2,點尸是直線x-2y-5=0上的一個動點，過點尸作圓C的兩

條切線R4、PB,A、B為切點、,則四邊形以C8的面積的最小值為

【答案】底

【分析】依題意可得=2S…2xJPAHAC|=夜|PA|,由點到直線的距離公式結合勾股定

理求出1尸川的最小值，即可求得四邊形R4cB的面積的最小值；

【詳解】解：由圓V+y2=2,得到圓心C(0,0),半徑”0

由題意可得：PA=PB，PALCA,PBLCB,

???SP4CB=25wc=2x11PA|.|AC|=>/21PA|)

在RtZ\R4C中,由勾股定理可得：|PA『TPC『f2=|PCF-2,

當IPC|最小時，IPA|最小，此時所求的面積也最小,

點戶是直線x—2y—5=0」二的動點,

1.|-5|=石

當PC_U時，IPC|有最小值―"+(-2)2,此時|PA|=1,

所求四邊形R4CB的面積的最小值為應x6="；

四、解答題

8.已知點A(—1,0),8(0,2),圓C的方程為/+/-?+—+4=0,過點8的直線/與圓C

相切，點P為圓C上的動點.

(1)求直線/的方程；

(2)求4PA8面積的最小值.

【答案］(l)x=0或3x+4y-8=0

⑵4-右

【分析】(1)當直線/的斜率不存在時，畫圖即可求出此時的切線方程，當切線的斜率存在時

設出直線/的方程利用點到直線的距離公式即可求解；

(2)利用點到直線的距離公式求出圓心到宜線4B的距離，則點P到直線AB的距離的最小值

為圓心到直線AB的距離減半徑，故利用三角形面積公式即可求出△2$面積的最小值.

(1)①圓C:(x-2『+(y+2)2=4的圓心C(2,—2),半徑/"=2,

當直線/的斜率不存在時，/的方程為x=0,易知此直線與圓C相切，符合題意;

②當直線/的斜率存在時，設/的方程為曠=丘+2,即京-y+2=0.

因為直線/與圓C相切，所以圓心到直線的距離d=2,

則2」2j+2：2|,解得無=

y/l+k24

3

所以直線/的方程為y=_：x+2,即3x+4y_8=0.

4

綜上，直線/的方程為x=0或3x+4y-8=0.

（2）由題意，得|明=石，I,［線AB的方程為2x-y+2=0,

|4+2+2|8石

則圓心C（2,-2）到直線AB的距離d=

石一方

???點P到直線A8的距離的最小值為曳5-2,

5

1/o/c

的面積的最小值為kx^x*-2=4-石.

9.已知圓M的圓心為（。,0）（。40）,它過點尸（0,-2）,且與直線x+y+2應=0相切.

（1）求圓M的標準方程；

（2）若過點。（0,1）且斜率為左的直線/交圓”于A,8兩點，若弦A8的長為舊，求直線/的方

程.

【答案】⑴/+/=4

（2）y=±x+l

【分析】（1）先設出圓M的標準方程，再根據過點產（0,-2）及圓M與直線x+y+2&=0相

切建立方程組求解即可；

（2）由點到直線的距離公式及垂徑定理可求解.

⑴設圓用的標準方程為：。一。）2+y2=r2（?<0）

則圓心M到直線x+y+2&=0的距融為I".

V2

/+4=/

由題意得1〃+2及］,解得a=0或a=4及（舍去）.

~^n~=r

所以產=4,所以圓M的方程為一+丁=4.

（2）設直線/的方程為丫="+1

1

則圓心M到直線/的距離為

jY+i

...,回=2^^=2格子，因為|他|=后，解得々2=1,;"=±1

則直線的方程為^=士犬+1.

10.已知圓C經過坐標原點。和點(4,0),且圓心在x軸上

⑴求圓C的方程；

(2)已知直線/：3x+4y-ll=0與圓C相交于A、8兩點，求所得弦長|相|的值.

【答案】⑴(x-2y+y2=4

⑵

【分析】(1)求出圓心和半徑，寫出圓的方程；(2)求出圓心到直線距離，進而利用垂徑定

理求出弦長.

(1)由題意可得，圓心為(2,0),半徑為2.則圓的方程為(x-2)z+丁=4；

(2)由(1)可知：圓C半徑為r=2,設圓心(2,0)至心的距離為由則〃=與5=1,由

垂徑定理得：|AB|=2>/產-42=26.

11.已知圓C:x2+y2-2x+4y-4=0和直線/：3x-4y+9=。，點P是圓C上的動點.

(1)求圓C的圓心坐標及半徑；

(2)求點P到直線/的距離的最小值.

【答案】(1)圓心坐標(1,-2),半徑為3；(2)1

【解析】(1)將圓化為標準方程：(x-iy+(y+2)2=9,即可求解.

(2)求出圓心到直線的距離，減去半徑即可.

【詳解】(1)由圓C:Y+y2-2尤+4y-4=0,

化為(x-1)2+(y+2『=9,

所以圓C的圓心坐標(1,-2),半徑為3.

(2)由直線/：3x-4y+9=0,

|3xl-4x(-2)+9|

所以圓心到直線的距離」==4,

所以點尸到直線/的距離的最小值為4-3=1.

12.己知圓。：/+丁=8,〃(一1,2)是圓。內一點，P(4,0)是圓。外一點.

(1)AB是圓。中過點M最長的弦，C￡>是圓。中過點M最短的弦，求四邊形ACB。的面積;

(2)過點尸作直線/交圓于E、尸兩點，求一OEF面積的最大值，并求此時直線/的方程.

【答案】⑴46

(2)40E尸面積的最大值為4，直線/的方程為y=±￥(x-4).

【分析】(1)圓內弦最長的即是圓的直徑即A8為直徑，而CD是過〃且與AB垂直的弦，從

而得到四邊形ACBO的面積；

(2)利用正弦表示三角形面積，可知當NEO尸=]時，_OEF面積最大，從而得到直線的傾

斜角，進而得到直線方程.

(1)M(-l,2)在圓/+產=8內，由于圓內弦最長的即是圓的直徑即為直徑，

而C。是過M且與A6垂直的弦

此時AB=4日圓心(0,0)到直線CD的距離d=爐覆=石，

從而可得，CD=2班,

.-.5=1x2>/3x4x/2=4>/6；

(2)\OE\=\OF\=2y[2,S^OEf.=|x|OE|x|OF|xsinZEOF,

TT

當N￡OF=5時，。比■面積的最大值為4,

此時，。到直線/的距離為2,|OR=4,

；?直線/的傾斜角為3或挈，

則直線/的斜率為土迫，

3

.?.直線/的方程為y=±爭x-4).

13.圓拱橋的一孔圓拱如圖所示，該圓拱是一段圓弧，其跨度AB=20米，拱高OP=4米，在

建造時每隔4米需用一根支柱支撐.

(1)建立適當的坐標系，寫出圓弧的方程；

(2)求支柱4星的長度(精確到0.01米).

【答案】(1)/+()，+3)2="，(T04xW10,04y44)；

24

⑵3.86米.

【分析】(1)以。為原點，AB,OP為X,y軸，確定4民P的點坐標，設圓弧方程為

(x-",)2+(y-〃)2=，H—104x410,04y44,將點坐標代入求參數，即可得方程.

(2)由(I)及題設有員(-2,y),y>0且在圓弧上，代入圓弧所在方程求y,即可知&&的

長度

(1)構建如下直角坐標系，則A(-10,0),8(10,0),尸(0,4),

設A,B,P所在圓弧方程為(x-M、。-〃”產且-104XM10,0M”4,

（機+10）2+n2=r2

｛（10-ZH）2+n2=r2,解得,〃=一萬

/?2+（4-n）2=r2,841

,一丁

所以圓弧的方程/+()>+32=亍，-10<x<10,0<y<4.

(2)由題設知：&(-2,0),則g(-2,y),y>0且在圓弧上，

所以4+(y+?)2=筌，可得)，=5"-21,故44的長度為5嗎-21°3.86米.

14.某風暴中心位于某海礁A處，距離風暴中心A正西方向150km的B處有一艘輪船，正以北

偏東〃(夕為銳角)角方向航行，速度30km/h.已知距離風暴中心756km以內的水域受其影響.

(1)若輪船不被風暴影響，求角，的正切值的最大值？

(2)若輪船航行方向為北偏東45。，求輪船被風暴影響持續多少時間？

【答案】⑴tan?=且；(2)5小時.

3

【分析】(1)由題設分析知：當航行路線正好與圓A相切時輪船不被風暴影響，此時角。最

大，結合已知求最大。的正切值即可.

(2)寫出輪船航行方向為北偏東45。所在直線的方程，再利用弦心距、圓的半徑與弦長的幾何

關系求該直線被圓A所截弦長，即可求輪船被風暴影響持續時間.

【詳解】(1)設圓A為以坐標原點為圓心，75道為半徑的圓，

由題意，要使輪船不被風暴影響，當航行路線正好與圓A相切時，角。最大，

由45=150,r-755/3?

（2）航行路線所在直線方程為x-y+150=0,圓心A到直線的距離為4=察=75a,

，該直線與圓A相交的弦長為150,即輪船被風暴影響持續時間為三三=5〃.

15.如圖所示，AB是。的直徑，CD是：。的一條弦，且ABLCD,E為垂足.利用坐標法

證明E是CD的中點.

OE

【分析】如圖所示，以。為坐標原點，直徑AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，設的

半徑為十>0），|0同=，〃，寫出圓的標準方程，由|。耳=機及垂直求出的坐標，再求得CD

中點坐標后可證結論成立.

【詳解】如圖所示，以。為坐標原點，直徑AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系.

設〈O的半徑為r（r>0）,|OE|=m,則，。的方程為/+丁=心因為ABLCQ,故設C（見乙），

￡）（加也）.

則有病+"=/，/+孑=產，即姐%是關于的方程療+〃=/的兩個不等實根，解方

程得b=±5//—加2,

'J2-2-J2-2}

則CO的中點坐標為-r----m-于-r----m--，即（〃?,0）.故E（m,0）是C7）的中點，即E是CO

I7

的中點.

16.已知過點A（0,l）且斜率為&的直線/與圓C：（x-2『+（y-3『=l交于M,N兩點；

(1)求k的取值范圍；

(2)若。〃ON=12,其中。為坐標原點，點。(。,2。-10)的軌跡與MN的中垂線交于點P,求

/XPAM的面積.

【答案】(1)上也＜%〈生電

33

(2)12-30或小也

22

【分析】(1)由題意可得，直線斜率存在，聯立直線和圓的方程，利用直線和圓有兩個交點

可知聯立后所得方程△＞(),解方程即可.

(2)設“(不切)，Nd，%)，利用OMON=12可以表達出坐標的關系，根據韋達定理代入

解得直線斜率，及|AM|長度，利用三角形面積公式求解.

(1)解：由題意得：

y=kx+l

設直線/的斜率為&，由小2/*,，得1+公片-4(1+%》+7=0

(x-2)+(y-3)=1''

A=—3公+8々—3＞0

解得上且＜%＜丑也

33

(2)設例(不必)，N(七,卜2),.+X，中2=gr

2H?

則OMON=xyx2+yiy1=(1+公)玉工2+%(%+%,)+!=7++1=12

解得％=1.

故直線方程為y=x+l,故由圓的方程可知圓心坐標為C(2,3),故該直線過圓心.

MN的中垂線方程為y=-x+5.

則。的軌跡為y=2x-10,則尸(5,0)

故|PC|二J(5-2'+(0-3)2=3五,|AC|二J(2-O1+(3-1)2=2夜

若M在N的下方：|AW|=|AC|-1=2&-1,

若M在N的上方：|AM=|AC|+1=20+1

SA.=夫(2&-1卜3忘=1^^或=gx(2立+1)X3忘=

17.(2022.江蘇.南京市中華中學高二開學考試)已知圓C：(x-3)2+產=1與直線相：3x-

y+6=0,動直線/過定點A(0,1).

(2)若直線/與圓C相交于P、Q兩點，點M是PQ的中點，直線/與直線相相交于點N.探

索AM.AN是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

3

【答案】(1)y=l或丁=+1；(2)是，-5.

4

【分析】(1)由題意可得直線的斜率存在，所以設直線/的方程為丁=如+1,然后利用點到

直線的距離公式可得g空4=1求出機的值，從而可求出切線方程，

Vl+m2

(2)設/的方程為y=^+l,M(xo,%),將直線方程與圓方程聯立方程組消去y,解方程可

求出點M的坐標，再將兩直線方程聯立可求出點N的坐標，從而可表示出麗？.麗，化簡可

得結論

【詳解】解：(1)1°當直線/的斜率不存在時,

/的方程為x=0,與圓C不相切：

2。當直線/的斜率存在時，

設直線/的方程為丫=皿+1,即於-y+l=0,

|3/n+l|3

i,=],解得相=0或"?=->

V1+W4

3

.??直線/的方程為y=l或y=-9+l；

(2)由題意可知直線/的斜率存在,

設/的方程為y=fcr+l,M(x(),yo),

由消去，得,(1+&2)/-(6-2k)x+9=0,

3-k3Z+1

3-k3A+1)(3-k3k-k2

：.MT7F,TTFj,：.AM

5

x=----

y=fcr+lk-3

由

3%-y+6=06攵一3

y=-----

k-3

??.AN=

15-545.2（3/

AMAN=

（］+公）任_3）+（［+公）億_3）

A例?AN為定值.

18.（2022?浙江?瑞安市第六中學高二開學考試）已知點尸（0,-2）關于直線y=一工的對稱點為°,

以。為圓心的圓與直線>=-x相交于A,B兩點，且HM=2j7.

⑴求圓。的方程；

（2）過坐標原點。任作一直線交圓。于C,。兩點，求證：|OC|?|oq為定值.

【答案】（1）（*-2）2+9=9

（2）證明見解析

【分析】（1）先求出。點坐標，然后根據圓心到直線的距離公式及|明的值求出半件即可求

得圓的方程.

（2）設出直線方程，聯立圓和直線方程利用韋達定理來求解.

（1）解：點尸（0,-2）關于直線y=-x的對稱點。為（2,0）由0到直線的距離d=0,

所以r=^/7壽=3所以圓的方程為（x-2）2+y2=9.

（2）當直線CD斜率不存在時，|OC|=|O￡>|=內二齊=石，所以|。。卜|。&=5.當直線CQ

斜率存在時，設為鼠則直線為丫=依，記C（x“y）,聯立+"=9,得

y=kx

（1+A：2）X2_4X_5=0所以王+g:一^y,

1I/v

x}x2=-5|OC|-|OD|=qx；+y：Jx；+￡=小（4網+5）（4/+5）=Jl6玉々+20（%+芻）+25

ivK

=.p^Z-^P+25=5.綜上，|oq-|oq為定值5.

Vl+fc-1+Z~

fx=14-coscr,「、

19.已知曲線G的參數方程為￡：.（其中aw0,2g），以坐標原點為極點，以X

［y=sma

軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為C2：0sin（g+F）=O.

（1）分別求曲線G，G的直角坐標方程;

(2)若曲線G，C?相交于A,B兩點，。點為曲線C1上的一動點，求△A8O面積的最大值.

【答案】(l)(x_lj+y2=l,x+y=O

⑵M

2

【分析】(1)消去參數即可將C|化為直角坐標方程，將極坐標轉化為直角坐標即可將C。化為

直角坐標方程.(2)由圓上的點到直線的距離最大即可求面積最大.

⑴將G化為直角坐標方程為(x-l)2+y2=i,即以(1,0)為圓心，以1為半徑的圓，將G化為

直角坐標方程為x+y=o；

(2)圓心(1,0)到直線x+y=O的距離〃=專=當，

則|48|=2jl_1=&.

QO點到AB的最大距離為：圓心到直線AB的距離與半徑之和孝+1,

提升訓練

一、多選題

1.已知&和乂)，Bg,%)是圓O：V+y2=l上兩點，則下列結論正確的是()

A.若=則NA08=?

B.若點O到直線AB的距離為則|4同=乎

C.若=則|與+y-1|+尾+%-1|的最大值為2夜

D.若乙408=1，則|芭+乂一1|+后+丫2-1|的最大值為4

【答案】AD

【分析】對于選項A,B,根據垂徑定理可判斷，對于選項C,D,根據點到直線的距離公式

可求解判斷.

【詳解】對于A,若回=1,則可知點。到網的距離為弓，從而可知乙4。8=。，故A正

確；

對于B,若點O到直線A5的距離為則可知惇1=亭，從而得|45|=有，故B錯誤；

后花二1+與著臼的值可轉化為單位圓上的AGMHW，%）兩點到直線

對于C,D,

x+y-1=0的距離之和，乂403=90,所以三角形AOB是等腰直角三角形，設M是的

中點，則OM_LM,且|0M=4|O4|=q,則M在以。點為圓心，半徑為孝的圓上，A.B

兩點到直線x+N-1=。的距離之和為AB的中點M到直線x+y-i=o的距離的兩倍.

1_V2

點。（0,0）到直線x+=0的星巨離為

所以點M到直線x+y-i=o的距離的最大值為"+變=應,

22

%+0-1|,舊+y2Tl

所以的最大值為2&.因此1%+M-1|+昆+、2-1|的最大值為4.從而可

7272

知C錯誤，D正確..

故選：AD.

2.三角形的外心、重心、垂心所在的直線稱為歐拉線.已知圓O'的圓心在。48的歐拉線/上,

。為坐標原點，點8（4,1）與點4（1,4）在圓O'上，且滿足則下列說法正確的是（）

A.圓O'的方程為x2+y2-4x-4y+3=0

B./的方程為x-y=0

C.圓O'上的點到/的最大距離為3

D.若點（X,y）在圓O'上，貝I"-y的取值范圍是

【答案】BCD

【分析】分析可知的歐拉線/即為AB的中垂線，求出線段AB的中垂線方程，可判斷B

選項；根據題意可設。（凡。），求出〃的值，可得出圓。'的方程，可判斷A選項；求出圓O'上

的點到/的最大距離，可判斷C選項；利用點到直線的距離公式可判斷D選項.

【詳解】對于B選項，由題意可知|。4|=|。叫=5/萬，故的歐拉線/即為線段AB的中垂

線,

線段AB的中點為M佶,斗,直線AB的斜率為%=汜=T,

所以，線段A8的垂直平分線方程為y-|=x-|,U|Jy=x,B對；

對于A選項，因為圓。'的圓心在OA3的歐拉線/上，

因為CMLOB,|。4|=|研|明=30,所以[0刈=孝卜8|=3,

設圓心。'為則圓心的方程為(x-4+(y-a)2=9,

將4(1,4)代入圓O,的方程可得/_5“+4=0,解得。=1或a=4,

所以,圓。'的方程為(x-iy+(y-iy=9或(x-4y+(y-4)2=9,A錯;

對于C選項，因為/過圓心。，所以圓O'上的點到/的最大距離為圓O'的半徑3,C對；

對于D選項，因為點(x,y)在圓。'上，設2=》一八圓心在y=x上，半徑為3,

貝IJ裳=1^^43n-3&4x-y43應，D對.

3.(2022?江蘇鎮江?高二開學考試)已知圓C的方程為(x+l?+y2=4,貝!!()

A.若過點(0,1)的直線被圓C截得的弦長為26，則該直線方程為y=i

B.圓C上的點到直線3x-4y-12=0的最大距離為5

C.在圓C上存在點。，使得。到點(-L1)的距離為4

D.圓C上的任一點M到兩個定點0(0,0)、A(3,0)的距離之比為g

【答案】BD

【分析】根據勾股定理結合點到直線的距離公式求出直線的方程，可判斷A選項：求出圓C上

的點到直線3x-4y-12=0的最大距離，可判斷B選項；求出圓C上的點到點㈠⑴的距離的取

值范圍，可判斷C選項；求出點M的軌跡方程，可判斷D選項.

【詳解】圓C的圓心為C(—l,0),半徑為r=2.

對于A選項，若過點(0,1)的直線的斜率不存在，則該直線的方程為x=0,

由勾股定理可知，圓心C到直線x=0的距離為@2-(石丫=1,

而圓心C到直線x=0的距離為1,合乎題意.

若所求直線的斜率存在，設直線的方程為y="+i,

則圓心C到直線y=履+1的距離為"=[\=]-=k\L=1,解得女=0,

J1+M

此時直線的方程為y=L

綜上所述，滿足條件的直線的方程為x=o或y=l,A錯;

上3-12|

圓心C到直線3x-4y-12=0的距離為=3

對于B選項,行+㈠?

因此，圓C上的點到直線3x-4y-12=0的最大距離為3+2=5,B對;

對于C選項，記點（-1+1）2+12<4,即點N在圓C內,

當°、C、N三點不共線時，根據三角形三邊關系可得||。1-|。7卜|，>叫<|。。+17|,即

1<|D7V|<3,

當C、N三點共線且當點N在線段0c上時，|3叫=|。［一］。叫=1,

當0、C、N三點共線且當點C在線段0V上時，|ZW|=|￡）q+|CN|=3.

綜上所述，14|OV|V3,C錯；

對于D選項，設點M（x,y）,則|MA|=2|M0|,BP^-3y+y2=2^2+/,

整理可得（x+iy+V=l,即點M的軌跡為圓C,D對.

故選：BD.

二、填空題

4.若點尸為直線x-y+4=0上的一個動點，從點p引圓C:V+y2=2的兩條切線尸”，尸N（M,

N為切點），則直線MN恒過定點E的坐標為.

【答案】卜第）

【分析】根據圓的切線方程的求解，求得MN的直線方程，再根據直線方程求其過的定點即可.

【詳解】設P（x0,Xo+4）,〃a，x）,N（X2，），2）,過點M的切線方程為町+處=2,理由如下：

若過點M的切線斜率存在，則所求切線的斜率％=-_L=_A

k°My

故其切線方程為：y-y=-即X|X+xy=x；+y；,

又點M在圓Y+y2=2上，故x；+y；=2,則過點M的切線方程為*然+NJ=2：

若過點M的斜率不存在，此時M的坐標為(-血,0)或(0,0卜

對應切線方程為彳=-也或彳=&，也滿足x/+xy=2,

綜上所述，過點M的切線方程為：為x+%y=2；

同理所得：過點N的切線方程為叫+?2=2,

兩切線均過點則玉田

P,+(x0+4)x=2,XOX2+5+4)%=2,

故過腸V的直線方程為/x+(/+4)y=2,

x=-

x+y=0,2

xO(x+y)+4y=2,

4y=2,1

y

2

則直線MN恒過定點E

5.已知某隧道內設雙行線公路，車輛只能在道路中心線一側行駛，隧道截面是半徑為4米的

半圓，若行駛車輛的寬度為2.5米，則車輛的最大高度為米.

【答案】叵

2

【分析】建立如圖所示的平面直角坐標系，得出半圓方程，設A(250),求出A點處半圓的高

度即可得.

【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，。是圓心，|。4|=2.5，

半圓方程為x2+V=i6(y^O)A(2.5,0),B在半圓上，且8A_Lx軸,

咽

則W=16-2.52=9.75,

%=~2~~

6.已知圓0：/+丁=3,/為過的圓的切線，A為/上任一點，過A作圓N：

(X+2)2+/=4的切線，則切線長的最小值是.

【答案】叵

3

【分析】先求得/的方程，再根據圓心到切線的距離，半徑和切線長的勾股定理求最小值即可

【詳解】由題，直線的斜率為正，故直線/的斜率為-乎，故，的方程為

l|-2+0-3|5

-1),即x+夜y-3=0.又N到/的距離d=J.二=耳，故切線長的最小

值是

7.設nzwR,圓M:x2+y2-2x-6y=(),若動直線4：x+”?y-2-機=0與圓M交于點A、C,

動直線/2：如-廣2%+1=0與圓”交于點8、D,則|AC|+忸。的最大值是.

【答案】2而

【分析】求出圓的圓心和半徑，求出兩條直線位置關系和經過的定點，作出圖像，設圓心到其

中一條直線的距離為d,根據幾何關系表示出|AC|+忸力，利用基本不等式即可求出其最大值.

【詳解】x2+/-2x-6y=O=>(x-l)2+(y-3)2=IO,

圓心M(l,3),半徑「=「而，

x+〃zy-2-帆=O=x-2+〃?(y-l)=O=4過定點￡(2,1),

皿一、一2/77+1=0=/?(萬-2)-'+1=0=>/2過定點￡(2.1)，

且

如圖，設AC和8。中點分別為F、G,則四邊形EFMG為矩形,

設I"尸|=d,0<d<|A/E|=V5,則|MG|==片/,

則|AC|+忸0=2V10-J2+2^10-(5-J3)=2Mo-/+15+/)

,,2^2(10-J2+5+J2)=2同，當且僅當10-/=5+解即d=當時取等號.

三、解答題

8.在平面直角坐標系xQy中.已知圓C經過A(0,2),0(0,0),0)(00)三點，〃是線

段AO上的動點，《4是過點8(1,0)且互相垂直的兩條直線，其中乙交y軸于點E,&交圓C于

P,。兩點.

（1）若工=鼻2=6,求直線4的方程；

（2）若r是使AA/428M恒成立的最小正整數，求△EPQ的面積的最小值.

【答案】（l）4x-3y-l=0

【分析】（1）設直線4的方程丫=%（了-1）,即—廠％=0,根據圓心到直線的距離建立方程

求解即可；

22

（2）設”（x,y）,由點M在線段AD上，得：+1=1,依題意，線段AD與圓X-：+y+^>^-

至多有一個公共點，解得?心（舍）或￡216+1°4,由此求得f=4,得出圓C的方程.分

11II

直線4的斜率不存在和直線4的斜率存在時，分別求得△EPQ的面積，運用關于斜率%的函數

求最值，比較可得最小值.

⑴解：由題意，圓心坐標為（3,1）,半徑為則

設直線勾的方程y=Z（kl）,即去一y一%=0,

圓心到直線的距離d=塔』=710^9=1,

y/k2+\

4

.?M=0（舍）或

二直線4的方程為4L3廠1=0；

（2）解：設M（x,y）,由點“在線段AD上，得：+]=1,

即2x+ty_2r=0,

由3428“，得+（一）2W2（（x-l）2+y2,即x-三+>'+|>y,

依題意，線段A。與圓+改至多有一個公共點，

339

故

在T7F

解得/口述（舍）或此3叵，

1111

f是使4WW28M恒成立的最小正整數，.r=4,

圓C的方程為x—2?+y—/=5.

①當直線4：X=1時，直線4的方程為y=o,此時S.0=2；

②當直線4的斜率存在時，設4的方程為'二可廣1)，ZxO,

則4的方程為y=-：(Ll),點E(o1),=

,\k+\\

又圓心到6的距離為力4^，

VI+*2

I115J15

)----H2----￡±----,

Z442

?s-叵

…uEPQmin—?'

9.已知圓C:(x-2)-+V=9.

⑴直線6過點。(-■),且與圓C相切，求直線《的方程；

(2)設直線/2：x+6y—l=O與圓C相交于M,N兩點,點P為圓C上的一動點，求PMN的面

積S的最大值.

【答案】(1)尤=-1或4x—3y+7=0

⑵返

4

【分析】(1)根據直線4的斜率是否存在，分別設出直線方程，再根據圓心到直線的距離等

于半徑，即可解出；

(2)根據弦長公式求出再根據兒何性質可知，當CPLA8時，點P到直線4距離的最

大值為半徑加上圓心C到直線AB的距離，即可解出.

(1)由題意得C(2,0),圓C的半徑為3.

當直線4的斜率存在時，設直線《的方程為yT=A(x+1),即入一y+k+l=O,

由直線4與圓C相切，得%0+上+1=3,解得％=:,所以直線人的方程為4x—3y+7=0.

yjk2+l3

當直線4的斜率不存在時，直線4的方程為x=T,顯然與圓C相切.

綜上，直線/］的方程為X=-1或4無一3y+7=0.

(2)由題意得圓心C到直線4的距離〃等=；'

設圓C的半徑為r,所以r=3,所以MM=2X=底，

7

點戶到直線4距離的最大值為一+d=］，

則，的面積的最大值5皿=；x|MN|x(r+")=gx屈=A詈.

10.已知圓C:%2+y2+2x-4y+3=0.

⑴若圓c的切線在x軸和y軸上的截距相等，且截距不為零，求此切線的方程；

(2)從圓C外一點P(%,yJ向該圓引一條切線，切點為〃，。為坐標原點，且有|PM|=|PO|,

求使得PM的長度取得最小值的點P的坐標.

【答案】⑴x+y+l=0或x+y-3=0

33

10,5

【分析】(1)根據題意，設所求切線方程為x+y=a(a/0),利用圓心到直線的距離等于圓

的半徑，可得出關于實數〃的等式，解出〃的值，即可得出所求切線的方程；

(2)利用兩點間的距離公式結合勾股定理可知點尸在直線2x-4y+3=0上，再由可

知當OP與直線2x-4y+3=0垂直時，|PM|取最小