"《創新方案》屆高考數學（文科）二輪專題突破預測演練提能訓練（浙江專版）：第1部分專題四第二講高考中的立體幾何(解答題型)（以年真題和模擬題為例，含答案解析）"1．在直角梯形A1A2A3D中，A1D＝10，A2A3＝16，A1A2＝8，A1A2⊥A1D，A1A2⊥A2A3，且B，C分別是邊A1A2，A2A3上的一點，沿線段BC，CD，DB分別將△BCA2，△CDA3，△DBA1翻折上去恰好使A1(1)求證：AB⊥CD；(2)求AC與平面BCD所成角的正弦值．解：(1)證明：由題意∠BAC＝∠BAD＝eq\f(π,2)，故BA⊥平面ACD，所以AB⊥CD.(2)由題意得，A1D＝A3D＝10，A1B＝A2B＝4，A2C＝A3C作點A在平面BCD內的射影點O，由VA-BCD＝VB-ACD得，S△BCD·AO＝S△ACD·AB，又S△ACD＝eq\f(1,2)×8×8＝32，S△BCD＝eq\f(1,2)(8＋10)×8－eq\f(1,2)×4×10－eq\f(1,2)×8×4＝36，所以AO＝eq\f(32×4,36)＝eq\f(32,9).設AC與平面BCD所成角為α，則sinα＝eq\f(AO,AC)＝eq\f(32,9×8)＝eq\f(4,9).2.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.(1)證明：BD⊥PC；(2)若AD＝4，BC＝2，直線PD與平面PAC所成的角為30°，求四棱錐P-ABCD的體積．解：(1)證明：因為PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD.又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC內的兩條相交直線，所以BD⊥平面PAC.而PC?平面PAC，所以BD⊥PC.(2)設AC和BD相交于點O，連結PO，由(1)知，BD⊥平面PAC，所以∠DPO是直線PD和平面PAC所成的角．從而∠DPO＝30°.由BD⊥平面PAC，PO?平面PAC知，BD⊥PO，在Rt△POD中，由∠DPO＝30°，得PD＝2OD.因為四邊形ABCD為等腰梯形，AC⊥BD，所以△AOD，△BOC均為等腰直角三角形，從而梯形ABCD的高為eq\f(1,2)AD＋eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×(4＋2)＝3，于是梯形ABCD的面積S＝eq\f(1,2)×(4＋2)×3＝9.在等腰直角三角形AOD中，OD＝eq\f(\r(2),2)AD＝2eq\r(2)，所以PD＝2OD＝4eq\r(2)，PA＝eq\r(PD2－AD2)＝4.故四棱錐P-ABCD的體積為V＝eq\f(1,3)×S×PA＝eq\f(1,3)×9×4＝12.3.如圖，在五面體ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥EF，AB⊥AD，M為EC的中點，AF＝AB＝BC＝FE＝eq\f(1,2)AD.(1)求異面直線BF與DE所成角的大小；(2)證明：平面AMD⊥平面CDE；(3)求二面角A-CD-E的余弦值．解：(1)由題設知，BF∥CE，所以∠CED(或其補角)為異面直線BF與DE所成的角．設P為AD的中點，連接EP，PC.因為FE綊AP，所以FA綊EP.同理，AB綊PC.又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD.而PC，AD都在平面ABCD內，故EP⊥PC，EP⊥AD.由AB⊥AD，可得PC⊥AD.設FA＝a，則EP＝PC＝PD＝a，CD＝DE＝EC＝eq\r(2)a.故∠CED＝60°.所以異面直線BF與DE所成角的大小為60°.(2)證明：因為DC＝DE且M為CE的中點，所以DM⊥CE.連接MP，則MP⊥CE.又MP∩DM＝M，故CE⊥平面AMD.而CE?平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.(3)設Q為CD的中點，連接PQ，EQ.因為CE＝DE，所以EQ⊥CD.因為PC＝PD，所以PQ⊥CD，故∠EQP為二面角A-CD-E的平面角．由(1)可得，EP⊥PQ，EQ＝eq\f(\r(6),2)a，PQ＝eq\f(\r(2),2)a.于是在Rt△EPQ中，cos∠EQP＝eq\f(PQ,EQ)＝eq\f(\r(3),3).所以二面角A-CD-E的余弦值為eq\f(\r(3),3).4.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四邊形ACFE是矩形，AE＝a，點M在線段EF上．(1)求證：BC⊥平面ACFE；(2)當EM為何值時，AM∥平面BDF？證明你的結論；(3)求二面角B-EF-D的平面角的余弦值．解：(1)證明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，∴四邊形ABCD是等腰梯形，且∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°，∴∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，∴AC⊥BC，又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交線為AC，∴BC⊥平面ACFE.(2)當EM＝eq\f(\r(3),3)a時，AM∥平面BDF，在梯形ABCD中，設AC∩BD＝N，連接FN，則CN∶NA＝1∶2，∵EM＝eq\f(\r(3),3)a，而EF＝AC＝eq\r(3)a，∴EM∶MF＝1∶2，∴MF綊AN，∴四邊形ANFM是平行四邊形，∴AM∥NF，又∵NF?平面BDF，AM?平面BDF，∴AM∥平面BDF.(3)取EF的中點G，EB的中點H，連接DG，GH，DH.∵DE＝DF，∴DG⊥EF，由(1)知BC⊥平面ACFE，∴BC⊥EF，又∵EF⊥FC，FC∩BC＝C，∴EF⊥平面FCB，∵FB?平面FCB，∴EF⊥FB，又∵GH∥FB，∴EF⊥GH，∴∠DGH是二面角B-EF-D的平面角．在△BDE中，DE＝eq\r(2)a，DB＝eq\r(3)a，BE＝eq\r(AE2＋AB2)＝eq\r(5)a，∴DE2＋DB2＝BE2，∴∠EDB＝90°，∴DH＝eq