2024-2025學年高中數學上學期第10周3.1.1方程的根與函數的零點教學設計科目授課時間節次--年—月—日（星期——）第—節指導教師授課班級、授課課時授課題目（包括教材及章節名稱）2024-2025學年高中數學上學期第10周3.1.1方程的根與函數的零點教學設計教材分析《高中數學課程標準》中明確指出，方程與函數是數學教學的核心內容，本章“3.1.1方程的根與函數的零點”旨在讓學生通過具體實例，理解方程的根與函數的零點之間的關系，掌握用函數方法解決方程問題。教材以二次函數為例，引導學生觀察和分析函數圖像與方程根的聯系，通過探究活動，讓學生感悟到函數零點的存在性和唯一性，進而推廣到一般函數。內容與實際教學緊密結合，既鞏固了學生已學的函數知識，又為后續學習不等式與函數圖像打下堅實基礎。核心素養目標教學難點與重點1.教學重點

-理解方程的根與函數零點之間的聯系，掌握用函數圖像分析方程根的方法。

-能夠通過二次函數圖像探討零點的存在性和唯一性，并推廣到一般函數。

-應用函數零點定理解決實際問題，體會數學在解決具體問題中的應用。

舉例：通過二次函數f(x)=ax^2+bx+c的圖像，講解判別式Δ=b^2-4ac與零點個數的關系，強調當Δ>0時有兩個不同實數根，Δ=0時有兩個相同實數根，Δ<0時無實數根。

2.教學難點

-掌握如何從函數圖像中準確地判斷零點的位置和個數。

-理解零點存在性定理，并能夠運用定理分析函數在給定區間內零點的存在情況。

-解決涉及函數零點的實際問題時，能夠合理地選擇變量和建立函數模型。

舉例：講解零點存在性定理時，以函數f(x)=x^3-6x^2+9x-1為例，分析在區間[1,2]內存在零點的條件，即f(1)·f(2)<0，引導學生理解定理背后的數學原理，并能夠推廣到一般區間。同時，通過具體例題，指導學生如何根據實際問題抽象出函數模型，識別關鍵信息，進而解決零點問題。教學方法與策略1.教學方法選擇

-講授法：教師通過PPT展示，結合板書，系統地講解方程的根與函數零點的基本概念、性質和定理，確保學生掌握基礎理論知識。

-討論法：在講解零點存在性定理和應用時，組織學生進行小組討論，讓學生通過互相交流，加深對方程與函數零點關系的理解。

-案例研究：通過具體函數案例，如實際生活中的優化問題，引導學生分析問題、建立函數模型，并探討零點的求解方法。

-項目導向學習：設計綜合性的項目任務，要求學生自主探究，從實際問題中抽象出函數模型，運用所學知識解決零點問題。

2.教學活動設計

-角色扮演：學生模擬數學家，探索零點存在性定理的發現過程，增強學習的趣味性和參與感。

-實驗：利用數學軟件（如GeoGebra）進行函數圖像的繪制和變換，讓學生直觀感受零點的變化。

-游戲：設計數學游戲，如“零點偵探”，讓學生在游戲中練習判斷零點的位置和個數，提高解題技巧。

3.教學媒體和資源使用

-PPT：制作多媒體課件，包含函數圖像、案例分析和定理推導等內容，提高教學效率。

-視頻：播放數學家講解零點存在性定理的科普視頻，幫助學生更直觀地理解理論。

-在線工具：利用在線數學工具和平臺，如KhanAcademy、Mathematica等，為學生提供豐富的學習資源和互動練習。

-板書：重要概念和定理的推導過程通過板書展示，方便學生跟隨教師的思路，加強對知識點的記憶。教學流程（一）課前準備（預計用時：5分鐘）

學生預習：

發放預習材料，引導學生提前了解方程的根與函數零點的學習內容，標記出有疑問或不懂的地方。設計預習問題，如“如何通過函數圖像判斷零點的個數？”激發學生思考，為課堂學習做好準備。

教師備課：

深入研究教材，明確教學目標和重難點。準備教學用具和多媒體資源，確保教學過程的順利進行。設計課堂互動環節，提高學生學習積極性。

（二）課堂導入（預計用時：3分鐘）

激發興趣：

回顧舊知：

簡要回顧上節課學習的二次函數圖像和性質，幫助學生建立知識之間的聯系。提出問題，檢查學生對舊知的掌握情況，為學習新課打下基礎。

（三）新課呈現（預計用時：25分鐘）

知識講解：

清晰、準確地講解方程的根與函數零點之間的關系，結合實例幫助學生理解。突出重點，強調難點，通過對比、歸納等方法幫助學生加深記憶。

互動探究：

設計小組討論環節，讓學生圍繞零點存在性定理和應用問題展開討論，培養學生的合作精神和溝通能力。鼓勵學生提出自己的觀點和疑問，引導學生深入思考，拓展思維。

技能訓練：

總結歸納：

在新課呈現結束后，對方程的根與函數零點的知識點進行梳理和總結。強調重點和難點，幫助學生形成完整的知識體系。

（四）鞏固練習（預計用時：5分鐘）

隨堂練習：

隨堂練習題，讓學生在課堂上完成，檢查學生對知識的掌握情況。鼓勵學生相互討論、互相幫助，共同解決問題。

錯題訂正：

針對學生在隨堂練習中出現的錯誤，進行及時訂正和講解。引導學生分析錯誤原因，避免類似錯誤再次發生。

（五）拓展延伸（預計用時：3分鐘）

知識拓展：

介紹與方程的根和函數零點相關的拓展知識，如高次函數的零點問題。拓寬學生的知識視野，引導學生關注學科前沿動態。

情感升華：

結合內容，引導學生思考數學在生活中的應用，培養學生的社會責任感。鼓勵學生分享學習心得和體會，增進師生之間的情感交流。

（六）課堂小結（預計用時：2分鐘）

簡要回顧本節課學習的方程的根與函數零點的內容，強調重點和難點。肯定學生的表現，鼓勵他們繼續努力。

布置作業：

根據本節課學習的內容，布置適量的課后作業，鞏固學習效果。提醒學生注意作業要求和時間安排，確保作業質量。知識點梳理1.方程的根與函數零點的定義

-方程的根：指使方程左右兩邊相等的未知數的值。

-函數的零點：指函數圖像與x軸交點的橫坐標值，即f(x)=0時的x值。

2.方程的根與函數零點的關系

-一次函數f(x)=ax+b的零點為-b/a，即x軸截距的相反數。

-二次函數f(x)=ax^2+bx+c的零點個數與判別式Δ=b^2-4ac有關，Δ>0有兩個不同實數根，Δ=0有兩個相同實數根，Δ<0無實數根。

3.零點存在性定理

-若函數在區間[a,b]上連續，且f(a)·f(b)<0，則至少存在一點ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0，即函數在區間(a,b)上至少有一個零點。

4.函數零點的求解方法

-圖像法：通過繪制函數圖像，觀察與x軸的交點，判斷零點的位置和個數。

-二分法：利用零點存在性定理，逐步縮小零點所在的范圍，提高零點的求解精度。

-數值方法：如牛頓迭代法，通過迭代計算，逼近函數零點。

5.方程的根與函數零點的應用

-解決實際問題中的優化問題，如求最大值、最小值。

-識別函數圖像的增減性和極值，為解決方程和不等式問題提供直觀依據。

6.函數零點與方程根的推廣

-對于高次函數，利用圖像法、二分法等求解零點。

-探討其他類型函數（如分段函數、絕對值函數）的零點問題。

7.典型例題與解題方法

-求解二次方程的根，根據判別式判斷根的個數。

-給定函數在區間上的值，利用零點存在性定理判斷零點存在的可能性。

-結合實際問題，建立函數模型，求解函數零點。典型例題講解例題1：求解二次方程的根

給定方程：f(x)=x^2-5x+6=0

解：因式分解可得：(x-2)(x-3)=0

所以，x=2或x=3

答案：x1=2,x2=3

例題2：利用零點存在性定理判斷零點

給定函數：f(x)=x^3-6x^2+9x-1

已知f(1)=3,f(2)=-1，判斷在區間[1,2]上是否存在零點。

解：由于f(1)·f(2)<0，根據零點存在性定理，函數在區間[1,2]上至少存在一個零點。

答案：存在零點

例題3：求解函數零點

給定函數：f(x)=x^2-2

求解f(x)=0的零點。

解：通過圖像法，可以觀察到該函數為開口向上的拋物線，與x軸有兩個交點，分別在x=√2和x=-√2。

答案：x1=√2,x2=-√2

例題4：求解實際問題中的函數零點

某產品的成本函數為C(x)=3x^2+2x+10，其中x為生產數量。若收入函數為R(x)=5x，求盈虧平衡點的生產數量。

解：盈虧平衡點即為收入等于成本的點，即C(x)=R(x)。解方程3x^2+2x+10=5x，得到x=2或x=-5/3。由于生產數量不能為負，故盈虧平衡點的生產數量為x=2。

答案：x=2

例題5：求解分段函數的零點

給定函數：f(x)={x+2,x<0

{x^2-2,x≥0

求解f(x)=0的零點。

解：分別求解兩個部分的零點。

當x<0時，f(x)=x+2=0，得到x=-2。

當x≥0時，f(x)=x^2-2=0，得到x=√2。

答案：x1=-2,x2=√2

補充說明：

1.例題1展示了二次方程的根的求解方法，通過因式分解得到方程的根。

2.例題2利用零點存在性定理判斷零點的存在，無需具體求解。

3.例題3通過圖像法求解函數零點，適用于二次函數等具有明顯圖像特征的函數。

4.例題4結合實際問題的應用，求解函數零點，展示了函數在經濟學中的應用。

5.例題5求解分段函數的零點，需分別考慮每段的零點，并注意定義域的限制。板書設計①重點知識點：

-方程的根：使方程左右兩邊相等的未知數的值。

-函數的零點：函數圖像與x軸交點的橫坐標值，即f(x)=0時的x值。

-二次方程的根與判別式Δ的關系：Δ=b^2-4ac，Δ>0有兩個不同實數根，Δ=0有兩個相同實數根，Δ<0無實數根。

-零點存在性定理：若函數在區間[a,b]上連續，且f(a)·f(b)<0，則至少存在一點ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0。

②重點詞句：

-方程的根：左右兩邊相等，未知數的值。

-函數的零點：圖像與x軸交點，f(x)=0的x值。

-二次方程的根：Δ與根的關系。

-零點存在性定理：連續、f(a)·f(b)<0、至少存在一個零點。

③藝術性與趣味性：

-使用圖形和色彩：繪制函數圖像，突出零點的位置，使用不同顏色表示不同的根。

-設計有趣的例子：通過實際生活中的例子，如優化問題，激發學生的興趣。

-使用互動方式：在板書中設計互動環節，如讓學生上臺繪制函數圖像，提高參與度。課堂小結，當堂檢測課堂小結：

本節課我們學習了方程的根與函數的零點，包括方程的根的定義、函數的零點的定義、二次方程的根與判別式Δ的關系、零點存在性定理以及函數零點的求解方法。通過學習，我們掌握了方程的根與函數零點之間的關系，學會了如何利用函數圖像和零點存在性定理求解方程的根，以及如何將方程與函數應用到實際問題中。

當堂檢測：

1.求解方程：2x^2-4x+1=0

2.給定函數：f(x)=x^3-6x^2+9x-1，判斷在區間[1,2]上是否存在零點。

3.求解函數零點：f(x)=x^2-2

4.某產品的成本函數為C(x)=3x^2+2x+10，收入函數為R(x)=5x，求盈虧平衡點的生產數量。

5.求解分段函數的零點：f(x)={x+2,x<0;x^2-2,x≥0

答案：

1.x1=1/2,x2=1/2

2.存在零點

3.x1=√2,x2=-√2

4.x=2

5.x1=-2,x2=√2教學反思與改進十、教學反思與改進

在本次教學中，我發現學生在理解方程的根與函數零點的關系上還存在一定的困難。有些學生對二次方程的根與判別式Δ的關系掌握不夠牢固，還有一部分學生對零點存在性定理的理解不夠深入。針對這些問題，我將在未來的教學中進行改進。

首先，我會在課堂上增加一些實例，通過具體的例子來幫助學生更好地理解方程的根與函數零點的關系。同時，我會加強學生的練習，讓學生通過實際操作來加深對知識的理解。

其次，