第09講空間向量的應用【學習目標】1.能用向量語言描述直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量2.能用向量語言表述直線與直線，直線與平面，平面與平面的夾角以及垂直與平行關系3.能用向量方法證明有關直線、平面位置關系的判定定理4.能用向量方法解決點到直線，點到平面，相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題和簡單夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會向量方法在研究幾何問題中的作用．【基礎知識】一、空間中點、直線和平面的向量表示1.點的位置向量在空間中,我們取一定點O作為基點,那么空間中任意一點P就可以用向量來表示.我們把向量稱為點P的位置向量.2.空間直線的向量表示式a是直線l的方向向量,在直線l上取=a,設P是直線l上的任意一點,由向量共線的條件可知,點P在直線l上的充要條件是存在實數t,使得=ta,即.進一步地,取定空間中的任意一點O,可以得到點P在直線l上的充要條件是存在實數t,使③

ta(i),將=a代入(i)式,得(ii).(i)式和(ii)式都稱為空間直線的向量表示式.3.空間平面的向量表示式取定空間中的任意一點O,可以得到點P在平面ABC內的充要條件是存在實數使得，該式稱為空間平面的向量表示式。二、平面的法向量求法設a,b是平面α內兩不共線向量,n為平面α的法向量,則求法向量的方程組為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·b＝0.))三、用向量證明空間中的平行關系1.設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2,則l1∥l2(或l1與l2重合)?v1∥v2.2.設直線l的方向向量為v,與平面α共面的兩個不共線向量v1和v2,則l∥α或l?α?存在兩個實數x,y,使v＝xv1＋yv2.3.設直線l的方向向量為v,平面α的法向量為u,則l∥α或l?α?v⊥u.4.設平面α和β的法向量分別為u1,u2,則α∥β?u1∥u2.【解讀】用向量證明直線與平面平行,可以通過證明直線的方向向量與平面內某直線的方向向量平行,也可以通過證明直線的方向向量與平面的法向量垂直,當然,直線要在平面外．用向量證明直線和平面垂直,可以通過證明直線的方向向量和平面內的兩條相交直線的方向向量分別垂直,也可以通過證明該直線的方向向量和平面的法向量平行．四、用向量證明空間中的垂直關系1.設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2,則l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0.2.設直線l的方向向量為v,平面α的法向量為u,則l⊥α?v∥u.3.設平面α和β的法向量分別為u1和u2,則α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0.【解讀】利用空間向量證明面面垂直的基本方法：①證明兩平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理,只要能證明一個平面內的一條直線的方向向量為另一個平面的法向量即可．五、兩條異面直線所成角的求法設a,b分別是兩異面直線l1,l2的方向向量,則l1與l2所成的角θa與b的夾角β范圍eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))[0,π]求法cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)cosβ＝eq\f(a·b,|a||b|)【解答】要求異面直線AG與CE所成角的余弦值,可利用向量的數量積,求出eq\o(AG,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))及|eq\o(AG,\s\up6(→))|和|eq\o(CE,\s\up6(→))|的值,再套用公式cos〈eq\o(AG,\s\up6(→)),eq\o(CE,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AG,\s\up6(→))·\o(CE,\s\up6(→)),|\o(AG,\s\up6(→))||\o(CE,\s\up6(→))|)求得eq\o(AG,\s\up6(→))與eq\o(CE,\s\up6(→))所成角的余弦值,但上述結果并不一定是異面直線所成的角,由于異面直線所成角的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))),所以,若求得的余弦值為負值,則取其絕對值．六、直線與平面所成角的求法設直線l的方向向量為a,平面α的法向量為n,直線l與平面α所成的角為θ,a與n的夾角為β,則sinθ＝|cosβ|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).【解讀】利用空間向量求直線與平面所成的角,可以有兩種方法：①通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角,取其余角就是斜線和平面所成的角；②分別求出斜線和它在平面內的射影的方向向量,再轉化為求這兩個方向向量的夾角(或其補角)．注意：直線與平面所成角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).七、求二面角的大小1.如圖①,AB,CD分別是二面角α－l－β的兩個面內與棱l垂直的直線,則二面角的大小θ＝〈eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(CD,\s\up6(→))〉．2.如圖②③,n1,n2分別是二面角α－l－β的兩個半平面α,β的法向量,則二面角的大小θ滿足|cosθ|＝|cos〈n1,n2〉|,二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補角)．八、利用空間向量求點到平面的距離的距離為|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).【考點剖析】考點一：求平面的法向量例1．(多選)(2022學年山東省濟寧市兗州區高二上學期期中)在如圖所示的空間直角坐標系中，是棱長為1的正方體，給出下列結論中，正確的是(

)A．直線的一個方向向量為B．直線的一個方向向量為C．平面的一個法向量為D．平面的一個法向量為【答案】AC【解析】由題意，,,,,,∵，∴向量為直線的一個方向向量，故正確,不正確；設平面的法向量為，則,由，得，令得，則正確;設平面的法向量為，則，由，得，令得，則不正確.故選.考點二：用空間向量判斷或證明平行關系例2．已知?分別為不重合的兩直線?的方向向量，?分別為不重合的兩平面?的法向量，則下列所有正確結論的序號是___________.①；②；③；④.【答案】①②③④【解析】因為?分別為不重合的兩直線?的方向向量，?分別為不重合的兩平面?的法向量；直線，的方向向量平行(垂直)等價于直線?平行(垂直)，故①、②正確；平面，的法向量平行(垂直)等價于平面，平行(垂直)、故③、④正確；故答案為：①②③④考點三：用向量判斷或證明垂直關系例3．(2022學年江蘇省鹽城市濱?？h五汛中學高二下學期期中)已知平面的法向量為，，則直線與平面的位置關系為(

)A． B． C． D．或【答案】B【解析】因為，即與平行，所以直線與平面垂直.故選B考點四：用空間向量求異面直線所成角例4．(2022學年四川省成都市蓉城名校聯盟高二下學期期中聯考)將正方形沿對角線折起，使得平面平面，則異面直線與所成角的余弦值為(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】取中點為，連接，所以，又面面且交線為，面，所以面，面，則.設正方形的對角線長度為2，如圖所示，建立空間直角坐標系，，所以，.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選A考點五：用空間向量求線面角例5．如果平面的一條斜線與它在這個平面上的射影的方向向量分別是，，那么這條斜線與平面所成角的大小為___________.【答案】60°【解析】∵，∴，又∵斜線和平面夾角的范圍是，∴這條斜線與平面所成角的大小為．考點六：用空間向量求二面角例6．(2022學年江西省南昌市六校高二下學期期中聯考)如圖，在四棱錐中，平面平面，是等邊三角形，四邊形為平行四邊形，，.(1)求證：平面平面；(2)求二面角的余弦值.【解析】(1)證明：在平行四邊形中，令，則，在中，，所以.又平面平面，且平面平面，所以平面.又因為平面，所以平面平面；(2)由(1)得，以為空間直角原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，令，，，，，，，，設平面的法向量為，則得令，得，，所以平面的法向量為；設平面的法向量為，即令，得，所以平面的法向量為.所以，由圖可知二面角為鈍角，所以所求二面角的余弦值為.考點七：用空間向量求距離例7.(2022學年福建省龍巖第一中學高二下學期第二次月考)已知平面的一個法向量，點在內，則到的距離為(

)A． B． C．4 D．10【答案】C【解析】由題意，得，又知平面的一個法向量，則到平面的距離，故選C.【真題演練】1.(2022學年江蘇省宿遷市三校高二5月聯考)已知向量，分別為直線方向向量和平面的法向量，若，則實數的值為(

)A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】由題意得：，所以，解得：，故選C2.(2022學年貴州省遵義市第五中學高二上學期期中)在三棱錐P—ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC，M、N分別為AC、AB的中點，則異面直線PN和BM所成角的余弦值為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】以點P為坐標原點，以，，方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，令，則，，，，則，，設異面直線PN和BM所成角為，則.故選B.3.(2022學年廣東省廣州市奧林匹克中學高二6月月考)如圖，在正四棱柱中，是底面的中心，分別是的中點，則下列結論正確的是(

)A．//B．C．//平面D．平面【答案】B【解析】在正四棱柱中，以點D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，令，是底面的中心，分別是的中點，則，，，對于A，顯然與不共線，即與不平行，A不正確；對于B，因，則，即，B正確；對于C，設平面的法向量為，則，令，得，，因此與不垂直，即不平行于平面，C不正確；對于D，由選項C知，與不共線，即不垂直于平面，D不正確.故選B4.(多選)(2022學年重慶市南華中學校高二上學期10月月考)以下命題正確的是(

)A．直線l方向向量為，直線m方向向量，則l與m垂直；B．直線l的方向向量，平面的法向量，則；C．平面的法向量分別為，則；D．平面經過三點，，，向量是平面的法向量，則．【答案】AD【解析】，直線l與m垂直，A正確；，或，B錯誤；不共線，所以與不平行，故C錯誤；，向量是平面的法向量，，即，則，D正確．故選AD．5.(2022學年廣東省潮州市高二上學期月考)兩平面的法向量分別為，，則兩平面的夾角為____【答案】【解析】兩平面的法向量分別為，，設兩平面的夾角為，所以，即，因為，所以，即兩平面的夾角為．6.(2020-2021學年廣東省江門市廣雅中學高二下學期期中)如圖，在正三棱柱中，、分別是、的中點.設D是線段上的(包括兩個端點)動點，當直線與所成角的余弦值為，則線段的長為_______.【答案】【解析】如圖以為坐標原點建立空間直角坐標系：則設，則，設直線與所成角為所以，即，解得或(舍去)，所以，7.(2022新高考全國卷Ⅰ)如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．

(1)求A到平面的距離；(2)設D為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值．【解析】(1)在直三棱柱中，設點A到平面的距離為h，則，解得，所以點A到平面的距離為；(2)取的中點E,連接AE,如圖，因為，所以,又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以兩兩垂直，以B為原點，建立空間直角坐標系，如圖，由(1)得，所以，，所以，則,所以的中點，則，,設平面的一個法向量，則，可取，設平面的一個法向量，則，可取，則，所以二面角的正弦值為.8.(2022新高考全國卷Ⅱ)如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點．(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．【解析】(1)證明：連接并延長交于點，連接、，因為是三棱錐的高，所以平面，平面，所以、，又，所以，即，所以，又，即，所以，，所以所以，即，所以為的中點，又為的中點，所以，又平面，平面，所以平面(2)解：過點作，如圖建立平面直角坐標系，因為，，所以，又，所以，則，，所以，所以，，，，所以，則，，，設平面的法向量為，則，令，則，，所以；設平面的法向量為，則，令，則，，所以；所以設二面角為，由圖可知二面角為鈍二面角，所以，所以故二面角的正弦值為；【過關檢測】1.(2022學年福建省古田縣高二下學期月考)已知直線的方向向量為，平面的法向量為，若，，則直線與平面(

)A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．位置關系無法確定【答案】D【解析】由題意得，∵，∴⊥，∴直線l在平面α內或直線l與平面α平行．故選D．2.(2022學年安徽省阜陽市臨泉第一中學高二下學期月考)在正方體中，為正方形ABCD的中心，則直線與直線所成角的余弦值為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，以D為坐標原點，DA,DC,分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，設正方體棱長為2，則,則，故，故線與直線所成角的余弦值為，故選B3.(2022學年福建省龍巖市一級校聯盟(九校)高二下學期期中)如圖，正三棱柱的所有棱長都相等，E，F，G分別為AB，，的中點，則EF與平面所成角的正弦值為(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】設正三棱柱的棱長為2，取的中點，連接，，分別以，，所在的直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，，，設平面的法向量為，則，取，則，，故為平面的一個法向量，EF與平面所成角為，則EF與平面所成角的正弦值為，故選A．4.(2022學年江蘇省南京市第十三中學高二上學期12月月考)點A，B分別在空間直角坐標系O-xyz的x，y正半軸上，點C(0，0，2)，平面ABC的法向量為，設二面角C—AB—O的大小為θ，則cosθ的值為(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】設平面ABO的法向量為，設，則，于是有：，因此，故選D5.(多選)(2022學年云南省會澤縣高二下學期開學考試)已知為直線l的方向向量，，分別為平面，的法向量(，不重合)，那么下列說法中，正確的有(

)A． B．C． D．【答案】AB【解析】A選項，平面α，β不重合，所以平面α，β的法向量平行等價于平面α，β平行，故A正確；B選項，平面α，β不重合，所以平面α，β的法向量垂直等價于平面α，β垂直，故B正確；C選項，直線的方向向量平行于平面的法向量等價于直線垂直于平面，故C錯誤；D選項，直線的方向向量垂直于平面的法向量等價于直線平行于平面或直線在平面內，故D錯誤.故選AB.6.(多選)(2022學年江蘇省南京市第十三中學高二上學期12月月考)已知點P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，，，，下列結論中正確的是(

)A．AP⊥AB B．存在實數λ，使C．是平面ABCD的法向量 D．四邊形ABCD的面積為【答案】ACD【解