9.4向量應用

新課程標準解讀核心素養

1.會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學問題以及其他實際

邏輯推理、直觀想象

問題

2.體會向量在解決數學和實際問題中的作用數學建模

?忽Mk富酸葡知濃梳理

b情境導入

［問題］圖①中兩個人提一重物怎樣提最省力？圖②中一個人靜止地垂掛在單杠上，手

臂的拉力與手臂握桿的姿勢有什么關系？

格新知初探

知識點向量的應用

1.用向量運算解決平面幾何問題的“三步法”

(1)建立平面兒何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題

轉化為向量問題；

(2)通過向量運算,研究兒何元素之間的關系；

(3)把運算結果“翻譯”成幾何關系.

2.平面向量在物理中的應用

(1)物理問題中常見的向量有力、速度、加速度、位移等；

(2)向量的加減法運算體現在力、速度、加速度、位移的合成與分解中；

(3)動量my是向量的數乘運算.

。做一做

判斷正誤.(正確的畫“，錯誤的畫“X”)

(1)若點8是線段AC的中點，則有方'+束=2茲.()

⑵若AB//CD,則直線4B與CD平行.()

⑶若AB〃AC,則A,B,C三點共線.()

(4)物理學中的功是一個向量.()

答案：⑴J(2)X(3)V(4)X

,?幽即酸銅典例精折

向量在平面幾何問題中的應用

［例1］(鏈接教科書第38頁例2)如圖所示，在正方形ABC。中，E,尸分

別是A8,8c的中點，求證：AF±DE.

I證明］法一：設4^=2,AB=b,則|a|=|b|,ab=O,

又-^二次+^^二^+9,~^F=~AB+7BF=b+^,

所以三萬?"D￡=^b+|j?[-a+^=_2a2-4a.b+T=_|la|2+||b|2=0.

故AF-LZJE,AF±DE.

法二：建立如圖所示的平面直角坐標系，設正方形的邊長為2,則A(0,

0),0(0,2),E(l,0),尸(2,1),7F=(2,1),"DE=(1,-2).

因為/聲=(2,1)(1,-2)=2—2=0,所以^■為F,即

AFYDE.

向量法解決平面幾何問題的兩種方法

(1)基底法：選取適當的基底(盡量用已知模或夾角的向量作為基底)，將題中涉及的向量

用基底表示，利用向量的運算法則、運算律或性質計算；

(2)坐標法：建立平面直角坐標系，實現向量的坐標化，將幾何問題中的長度、垂直、

平行等問題轉化為代數運算.

一般地，題目中已建好坐標系或易建坐標系的問題適合用坐標法.

I跟蹤訓練|

如圖，在△ABC中，ZACB=90°,CA^CB,力為8C的中點，E是4B上一點，且4E

=2EB,求證：ADLCE.

證明：法一：由題意知，瓦3?司=(京+〈苕)?(育+|7萬)=一|京F+￡

—>>2>--->1>>--->_1>>2、/2--->.

CB?CA+手AB?AC+3AB?CB=~\ACF+引CB||CA|?cos90。+予AC|2cos

45。+拳ACFeos45。=一IAC|2+|AC|2=0,，AD±CE,：.AD±CE.

法二：以直角頂點C為坐標原點，C4所在直線為x軸，CB所「

在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系.

設C4=l,則C(0,0),A(l,0),D［

：.AD

又AE=2EB,：,

yI)，

--->---?112

AD,CE=(—1)義；+爐§=0,

二AD±CE,：.AD±CE.

向量在物理中的應用

［例2］(鏈接教科書第38頁例1)(1)在長江南岸某渡口處，江水以12.5km/h的速度向

東流，渡船的速度為25km/h.渡船要垂直地渡過長江，其航向應如何確定？

(2)已知兩恒力Fi=(3,4),F?=(6,—5)作用于同一質點，使之由點A(20,15)移動到

點8(7,0),求Fi，F2分別對質點所做的功.(力的單位：牛頓，位移單位：

米)____

［解］(1)如圖，設AB表示水流的速度，AO表示渡船的速度，AC表\

示渡船實際垂直過江的速度.\!\

'：~AB+~\D=~AC,

四邊形ABCD為平行四邊形.

在RtZ\AC￡>中，NACD=90°,|商|=|商|=12.5,L|=25,，NCAD=30°,

即渡船要垂直地渡過長江，其航向應為北偏西30。.

(2)設物體在力F作用下的位移為S,則所做的功為W=Fs.

'：AB=(1,0)-(20,15)=(-13,-15).

；.Wi=Fi?方＞=(3,4)-(-13,-15)

=3X(—13)+4X(—15)=-99(焦)，

W2=F2?~AB=(6,-5)-(-13,-15)

=6X(_13)+(_5)X(T5)=_3(焦).

［母題探究］

1.(變設問)本例(2)條件不變，求B，F2的合力F對質點所做的功.

解：W=F~AB=(FI+F2)-A^=［(3,4)+(6,-5)卜(一13,-15)=(9,-1)?(一13,一

15)=9X(-13)+(—1)X(—15)=-117+15=-102(焦).

2.(變條件)本例⑵條件變為：兩個力H=i+j,F?=4i-5j作用于同一質點，使該質點

從點A(20,15)移動到點8(7,0)(其中i,j分別是與x軸，)，軸正方向相同的單位向量).求

Fi，F2分別對該質點做的功.

解：由題意，~AB=(7,0)-(20,15)=(—13,-15),FI=(l,1),F2=(4,-5).

Fi做的功WI=FI?s=Fi?下,=(1,1).(-13,-15)=—28(焦).

F2做的功卬2=尸2?S=F2?A耳=(4,—5)-(—13,—15)=23(焦).

用向量方法解決物理問題的“三步曲”

［跟蹤訓練?

一個物體受到同一平面內三個力F/,F2,F3的作用，沿北偏東45。的方向移動了8m,

其中|Fi|=2N,方向為北偏東30。；|F2|=4N,方向為北偏東60。；|F3|=6N,方向為北偏西

30。.求這三個力的合力F所做的功.

解：如圖，以物體的重心。為原點，正東方向為X軸的正方向建立平弋3|y

面直角坐標系，則Fi=（l,?。現2=（2<3,2）,F3=（-3,3小），\片]

...F=FI+F2+F,3=（2小一2,2+4小）.~

又位移S=（4小，4啦），

二合力F所做的功W=F-S=（2小一2）X*\E+（2+44§）X4&=45X6小=24加（J）.

二合力F所做的功為24^6J.

昌隨堂檢測

1.人騎自行車的速度是W，風速為V2,則逆風行駛的速度為（）

A.V|—V2B.V1+V2

c.|Vi|-|V2|D.—

V2

解析：選B由向量的加法法則可得逆風行駛的速度為V|+V2,注意速度具有方向和大

小，是一個向量.故選B.

2.在△4BC中，若■）=（）,則△ABC一定是（）

A.正三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.形狀無法確定

解析：選C因為（6+~CB）CCA-~CB）^O,所以石￥一譴=0,^|"C4>|2=|"CB

|2,故AABC是等腰三角形.

3.當兩人提起重量為G的旅行包時，夾角為仇兩人用力大小都為|F|,若|F|=|G|,則

0的值為（