動(dòng)量與角動(dòng)量3.1沖量(impulse)

與動(dòng)量(momentum)

定理力是物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化的原因。有力F，作用在質(zhì)量為m

的質(zhì)點(diǎn)上，經(jīng)過(guò)時(shí)間dt。F牛頓第二定律的微分形式積分：I動(dòng)量定理的積分形式動(dòng)量定理的微分形式合外力沖量的方向應(yīng)與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量的方向一致力和力作用時(shí)間的乘積，即力的時(shí)間積累稱為力的沖量恒力分量表達(dá)式：表明：質(zhì)點(diǎn)所受合外力的沖量在某一方向上的分量等于質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量在該方向的分量的增量。沖量：1.

沖量是矢量，其方向是由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量增量的方向所決定的。2.

沖量是一個(gè)過(guò)程量，表示力在某一段時(shí)間內(nèi)的積累效果。所以談及沖量，必須明確是哪一個(gè)力在哪段時(shí)間上的沖量。小結(jié)動(dòng)量：1.動(dòng)量是矢量，動(dòng)量的方向就是速度的方向。2.動(dòng)量是一個(gè)狀態(tài)量，具有即時(shí)性。對(duì)于一個(gè)物理量，如果定義時(shí)對(duì)應(yīng)的是某一時(shí)刻(某一瞬時(shí))，則該物理量是狀態(tài)量，如位矢、速度、動(dòng)量、動(dòng)能等都是狀態(tài)量。如果定義時(shí)對(duì)應(yīng)的是時(shí)間間隔，則該物理量是過(guò)程量，如位移、路程、沖量、功等都是過(guò)程量。討論題：胸口碎大石“迅速打擊”和“沉重的石板”是保護(hù)石板下的人不受損傷的關(guān)鍵。重錘猛擊思考題：兩根完全相同的線，用手拉下面的那根線，1.向下猛一扽；2.用力慢慢拉線，分別是那根線先斷？（假設(shè)拉力大于線能承受的耐力（極限張力））F下面的線斷而球不動(dòng)上面的線先斷例1：繩子一端固定，另一端系一質(zhì)量為m

的小球，小球以勻角速度ω

繞豎直軸OO’做圓周運(yùn)動(dòng)，繩子與豎直軸之間的夾角為θ，已知A、B為圓周直徑上的兩端點(diǎn)，求小球由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，繩子的拉力的沖量。ωABθOO’vAvBTW分析：應(yīng)用動(dòng)量定理。由于做圓周運(yùn)動(dòng)，故ωABθOO’vAvByxTW注意：此題用矢量運(yùn)算比較簡(jiǎn)單，若用動(dòng)量定理的分量式則頗為麻煩。碰撞：泛指物體間相互作用時(shí)間很短的過(guò)程。沖力：在碰撞過(guò)程中的相互作用力

特點(diǎn)：力的大小很大且隨時(shí)間改變動(dòng)量定理常常用于處理碰撞問(wèn)題平均沖力，即沖力對(duì)碰撞時(shí)間的平均值。例如：人從高處跳下、飛機(jī)與鳥(niǎo)相撞、打樁等碰撞事件中，作用時(shí)間很短，沖力很大。注意

越小，則越大。在一定時(shí)，解：建立如圖坐標(biāo)系,由動(dòng)量定理得例2一質(zhì)量為0.05kg、速率為10m·s-1

的鋼球，以與鋼板法線呈45o角的方向撞擊在鋼板上，并以相同的速率和角度彈回來(lái)。設(shè)碰撞時(shí)間為0.05s.求在此時(shí)間內(nèi)鋼板所受到的平均沖力。如直接用動(dòng)量定理矢量形式，是否會(huì)更簡(jiǎn)潔？。。。沿著x軸的正向例2：一籃球質(zhì)量0.58kg，從2.0m高度下落，到達(dá)地面后，以同樣速率反彈，接觸時(shí)間僅0.019s，求：對(duì)地平均沖力？解：籃球到達(dá)地面的速率(m/s)故平均沖力為：Vp2p1

pf||f

f’龍骨Vv例3：逆風(fēng)行船f假設(shè)帆面光滑：v1=v2v1

v2思考：能否實(shí)現(xiàn)“頂風(fēng)行船”

m3.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系：由有相互作用的若干個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)。

其中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)都遵從牛頓運(yùn)動(dòng)定律。質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量，是質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的矢量和。質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)方程，是質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程的集合。內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間的彼此施加的相互作用力；外力：系統(tǒng)以外的其他物體對(duì)系統(tǒng)內(nèi)任意質(zhì)點(diǎn)的作用力。以兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象：根據(jù)牛頓第二定律（微分形式）：對(duì)于質(zhì)點(diǎn)m1

和m2

組成的系統(tǒng)：牛頓第三定律推廣至任意多個(gè)質(zhì)點(diǎn)所組成的質(zhì)點(diǎn)系：表明：質(zhì)點(diǎn)系所受合外力的沖量等于系統(tǒng)總動(dòng)量的增量。這就是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式。質(zhì)點(diǎn)系的牛頓第二定律的微分形式—系統(tǒng)的總動(dòng)量隨時(shí)間的變化率等于該系統(tǒng)所受的合外力。在有限時(shí)間內(nèi)：表明：在t0

到t

這段時(shí)間內(nèi)，作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力的沖量的矢量和等于質(zhì)點(diǎn)系在同一時(shí)間內(nèi)動(dòng)量的增量。這就是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的積分形式。說(shuō)明：內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，只有外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量。分量式：例3-2-1

如下圖所示，用傳動(dòng)帶A輸送煤粉，料斗在A上方高h(yuǎn)=0.5m處，煤粉自料斗口自由落在A上。設(shè)料斗口連續(xù)卸煤的流量為qm=40kg/s，傳送帶以v=2.0m/s的水平速度勻速向右移動(dòng)。求裝煤的過(guò)程中，煤粉對(duì)傳送帶的作用力（不計(jì)相對(duì)于傳送帶靜止的煤粉重量）。hvAyxv分析：以

時(shí)間內(nèi)落在傳送帶上的煤粉作為研究對(duì)象。初：末：p0pv0解1：煤粉自料斗下落接觸傳送帶前具有豎直向下的速度設(shè)傳送帶對(duì)煤粉的平均作用力為f，由動(dòng)量定理得：由動(dòng)量定理可知：解2：設(shè)t時(shí)刻傳送帶上煤粉的質(zhì)量為M，在此后

時(shí)間內(nèi)將有的煤粉落在傳送帶上。取

為研究對(duì)象，則t

時(shí)刻系統(tǒng)總動(dòng)量在水平方向的分量為

時(shí)刻系總動(dòng)量在水平方向的分量為：Mvv0例3-2-2

一顆子彈水平的穿過(guò)并排放置在光滑水平桌面的木塊，以知兩個(gè)木塊的質(zhì)量分別為m1

和m2，子彈穿過(guò)它們的時(shí)間分別為Δt1

和Δt2，設(shè)子彈在木塊中所受的阻力恒為F。求：子彈穿過(guò)后，兩木塊分別以多大速度運(yùn)動(dòng)？解：子彈穿過(guò)第一塊木塊時(shí)，兩木塊速度相同，均為v1，子彈穿過(guò)第二塊木塊時(shí)，第二塊木塊速度為v2，注：子彈對(duì)木塊的推力是木塊對(duì)子彈的阻力的反作用力。運(yùn)用動(dòng)量定理解題時(shí)應(yīng)注意：找準(zhǔn)研究對(duì)象（質(zhì)點(diǎn)or質(zhì)點(diǎn)系）寫(xiě)出研究對(duì)象的初，末動(dòng)量的表達(dá)式分清外力和內(nèi)力，并找到真正起作用的外力。例3-2-3

長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的柔軟繩盤(pán)在水平面上。用手將繩的一端以恒定速率v0向上提起，求當(dāng)提起高度為x時(shí)手的提力。分析：由于被提起的繩的質(zhì)量是隨提起的高度變化的，在t時(shí)刻到t+Δt

時(shí)刻系統(tǒng)動(dòng)量有變化，根據(jù)動(dòng)量定理，可求出手的提力。v0x解：以整個(gè)繩索為研究對(duì)象，它共受到三個(gè)力的作用：重力G、臺(tái)面支持力N

和手的提力F。在這三個(gè)力的共同作用下，系統(tǒng)的動(dòng)量在不斷的變化。在t時(shí)刻，當(dāng)繩索提高x

時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)量為：在t+dt

時(shí)刻，繩索提起x+dx，系統(tǒng)的動(dòng)量為：由動(dòng)量定理：注意：式中第一項(xiàng)是長(zhǎng)為x

的繩索的質(zhì)量，第二項(xiàng)是系統(tǒng)動(dòng)量增加所需要的附加力。N只與剩在臺(tái)面上的繩索的質(zhì)量有關(guān)，即dx·mg

忽略不計(jì)3.3動(dòng)量守恒定律即：動(dòng)量守恒定律：當(dāng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力為零時(shí)，這一質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量就保持不變。若系統(tǒng)所受合外力為零，即，則：1.合外力為零，或外力與內(nèi)力相比小很多；2.動(dòng)量守恒的分量表述如果質(zhì)點(diǎn)系沿某坐標(biāo)軸方向所受合外力為零，則沿該坐標(biāo)軸方向的總動(dòng)量的分量守恒。討論：例如：碰撞、爆炸等（F內(nèi)

>>F外），內(nèi)力很大，重力等外力就可以忽略，認(rèn)為系統(tǒng)的總動(dòng)量是守恒的。在直角坐標(biāo)系中：當(dāng)Fx=0時(shí)，當(dāng)Fy=0時(shí)，當(dāng)Fz=0時(shí)，3.只適用于慣性系；4.動(dòng)量守恒定律比牛頓定律更普遍，是關(guān)于自然界的一切物理過(guò)程的一條最基本的定律。課堂討論：質(zhì)量都是M

的兩個(gè)冰車，一同靜止在光滑的水平冰面上，一質(zhì)量為m

的人從第一個(gè)冰車跳到第二個(gè)冰車，再由第二個(gè)冰車回到第一個(gè)冰車，求兩個(gè)冰車的末速度之比。12解：把冰車和人均視為質(zhì)點(diǎn)，由人和兩個(gè)冰車所組成的系統(tǒng)在水平方向上動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律可知：例3-3-1

一載人小船靜止于湖面上，小船的質(zhì)量為100kg，船頭到船尾共長(zhǎng)3.6m，人的質(zhì)量為50kg。試問(wèn)當(dāng)人勻速?gòu)拇沧叩酱^時(shí)，船將移動(dòng)多少距離？假定水的阻力不計(jì)。解：假定船的質(zhì)量為M，速度為v，人的質(zhì)量為m，相對(duì)于船的速度為u，其方向應(yīng)與v的方向相反。選x軸沿v的方向，則水平方向上的動(dòng)量守恒，有：vu設(shè)在t

時(shí)間內(nèi)人從船尾走到船頭，即：ut=l，船在相同時(shí)間內(nèi)走過(guò)的路程為vt=S，則有：故上式各項(xiàng)乘上時(shí)間t，得：課堂練習(xí)：質(zhì)量為M，長(zhǎng)為l

的小船靜止于河中，小船的兩頭分別站著質(zhì)量為m1

和m2(m1>m2)的人，他們同時(shí)相對(duì)于船以相同的速率u走向開(kāi)始位于船正中，但固定在河中的木樁。若忽略水對(duì)船的阻力作用，試問(wèn)：(1)誰(shuí)先走到木樁處？(2)他用了多少時(shí)間？?Ox解：

(1)選船及甲、乙兩人為研究系統(tǒng)，因?yàn)橄到y(tǒng)水平方向不受外力，故在此方向上動(dòng)量守恒。m1m2?令船對(duì)地速度為v，m1對(duì)地的速度為v1，m2對(duì)地的速度為v2。由動(dòng)量守恒：?Oxm1m2?由v人地＝v人船+v船地，得：因?yàn)閙1>m2

，故v>0，所以船沿x軸的正向運(yùn)動(dòng)。可見(jiàn)，故m2先到達(dá)木樁(2)第二個(gè)人到達(dá)木樁所需的時(shí)間為：v1v2M分析：在豎直方向?qū)π∏蜻\(yùn)用動(dòng)量定理，可以得到小球受到的平均沖力，根據(jù)牛頓第三定律，再對(duì)滑塊作受力分析，求出滑塊所受的支持力，其反作用力即為滑塊對(duì)地面的平均作用力；系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒，由此可得滑塊速度的增量。v0例3-3-2

如圖所示，質(zhì)量為M的滑塊正沿光滑水平面向右滑動(dòng)，一質(zhì)量為m的小球水平向右飛行，以速度v1（相對(duì)于地面）與滑塊斜面相碰，碰后豎直向上彈起，速度為v2（相對(duì)于地面）。若碰撞的時(shí)間為，試計(jì)算此過(guò)程中滑塊對(duì)地面的平均作用力和滑塊速度的增量。解：對(duì)小球沿豎直方向運(yùn)用動(dòng)量定理

為滑塊給小球沖力的y方向分力的平均值。.NMg滑塊在y方向上是受力平衡的，故選小球和滑塊為系統(tǒng)，系統(tǒng)在水平方向上動(dòng)量守恒，設(shè)滑塊碰前的速度為v0，碰后的速度為v，則：滑塊對(duì)地面的平均作用力為1.低速，v<<c▲粘附—

主體的質(zhì)量增加（如滾雪球）▲

拋射—

主體的質(zhì)量減少（如火箭發(fā)射）2.高速

v

c質(zhì)量隨速度變化m=m(v)，這是相對(duì)論情形，不討論。一.變質(zhì)量問(wèn)題可分為兩類3.4變質(zhì)量體力學(xué)簡(jiǎn)介當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，有一部分質(zhì)量從物體中分離出去或并入到物體中來(lái)，從而使物體的質(zhì)量發(fā)生變化的問(wèn)題。略去二階無(wú)窮小量：設(shè)質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻：m，v

；在t+dt

時(shí)刻：m+dm，v+dv

。外力F，dm(速度u)根據(jù)動(dòng)量定理有：二.討論低速情況令vr

=u-v

，表示dm與m合并前相對(duì)于m的速度，代入上式可得：用dt

除等式兩邊得：or變質(zhì)量動(dòng)力學(xué)的基本方程注意：與定質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)方程相比，增加了具有力量綱的附加項(xiàng)，它可理解為因質(zhì)量的變化引起的作用于質(zhì)點(diǎn)的附加推力。密歇爾斯基方程用于密歇爾斯基方程可以研究許多實(shí)際的問(wèn)題：如隕星對(duì)地球質(zhì)量和運(yùn)動(dòng)的影響；冰山運(yùn)動(dòng)受凍結(jié)和融化的影響；太陽(yáng)因吸收宇宙塵埃和輻射損失的質(zhì)量變化；火箭、氣球以及彗星的運(yùn)動(dòng)等。用變質(zhì)量體方法求解例3-2-3此例中方法似乎更簡(jiǎn)便些#系統(tǒng)是：已提升的質(zhì)量(主體)m和將要提升的質(zhì)量dmv0x，火箭加速飛行過(guò)程中，不斷噴出燃?xì)猓够鸺馁|(zhì)量不斷減小，速度不斷增加。vr

=u-v

表示火箭中噴出的燃?xì)庀鄬?duì)于火箭本身的速度，通常稱為噴氣速度。如果忽略外力時(shí)，由變質(zhì)量動(dòng)力學(xué)方程可得：設(shè)火箭作直線運(yùn)動(dòng)，沿火箭運(yùn)動(dòng)方向取坐標(biāo)軸x，由于噴氣速度vr

和火箭本身速度v

的方向相反，則上式可寫(xiě)為：三.火箭飛行問(wèn)題矢量表達(dá)式標(biāo)量表達(dá)式噴射前：Mi，vi燃料全部耗盡時(shí)：Mf

，vf噴氣速度vr

為常量燃料耗盡時(shí)火箭的速度——Mi

/Mf

：火箭的質(zhì)量比積分結(jié)論：要使火箭獲得大的速度，或者增大質(zhì)量比(即增大燃料在總質(zhì)量中所占的比例)，或者增大噴氣速度。表明：火箭的速度取決于質(zhì)量比及噴氣速度。單級(jí)火箭所能達(dá)到的速度的限制火箭推行的最基本的公式：聯(lián)想——

烏賊是怎樣運(yùn)動(dòng)的？討論：1.

單級(jí)火箭：u=4.1km/s

N=Mi

/Mf

=15

vf

=11km/s考慮地球引力和空氣阻力，實(shí)際末速只有：

7km/s<7.9km/s(第一宇宙速)。2.

多級(jí)火箭(一般為三級(jí))：v

=u1lnN1+u2lnN2+u3lnN3航天飛行器都是依靠火箭發(fā)射的。然而，作為發(fā)射航天飛行器的基礎(chǔ)技術(shù)——火箭，卻是古代中國(guó)勞動(dòng)人民發(fā)明創(chuàng)造的。火藥是古代中國(guó)的四大發(fā)明之一。秦漢的煉丹術(shù)士們把五金、八石、硝石、三黃等混合共煉，發(fā)明了火藥。南宋時(shí)期，人們利用火藥燃燒進(jìn)行噴氣推進(jìn)的方式制作的爆竹和煙火，已接近火箭制造的原理。而唐末宋初至明朝初期，火箭還只是作為燃燒物，其結(jié)構(gòu)多是在火藥筒上捆一根細(xì)竹桿，這叫“起火”。如在“起火”前端加一個(gè)箭頭，尾端裝上箭羽，就是“火箭”了。◆中國(guó)人最早發(fā)明火箭經(jīng)過(guò)配方和工藝的改進(jìn)，明代成為中國(guó)古代火箭技術(shù)運(yùn)用的全盛時(shí)期。火箭武器種類繁多，著名的有震天雷，一窩蜂，神火飛鴉，飛空砂筒，火龍出水等。“一窩蜂”：木桶內(nèi)裝32支火箭，用一根總藥線連接32支箭的引線，配置在地下，使用時(shí)點(diǎn)燃總線，箭如一窩蜂般飛出地面，殺傷敵方人馬。“火龍出水”

：火龍出水用于水戰(zhàn)，面對(duì)敵艦，點(diǎn)燃安裝在龍身上的四支火箭，這是第一級(jí)火箭，它能推動(dòng)火龍?jiān)谒嫔巷w行近千米；待第一級(jí)火箭燃燒完畢，就自動(dòng)引燃龍腹內(nèi)的火箭（四個(gè)火箭引信與龍腹內(nèi)火箭引信是相連的），這是第二級(jí)火箭。這時(shí)，從龍口里飛出數(shù)支火箭射向敵人，焚燒敵艦。現(xiàn)代多級(jí)火箭的始祖火藥：噴氣飛行的推進(jìn)劑和摧毀敵人艦船的爆炸物1981年，在加拿大渥太華市舉辦的中國(guó)古代傳統(tǒng)工藝展覽會(huì)上展出了“火龍出水”模型。許多外國(guó)學(xué)者觀看之后，都驚嘆中國(guó)古代軍事科學(xué)家的聰明才智，認(rèn)為這種以火箭為動(dòng)力，飛翔于水面上的海戰(zhàn)武器，可以說(shuō)是現(xiàn)代魚(yú)雷的雛型。還應(yīng)當(dāng)看到，火龍出水的發(fā)射原理跟現(xiàn)代兩級(jí)火箭發(fā)射的原理是相同的，也可以說(shuō)它是現(xiàn)代多級(jí)火箭的始祖。火藥在火箭中已有明確分工：噴氣飛行的推進(jìn)劑和摧毀敵人艦船的爆炸物。所以，明代火箭在技術(shù)上已有相當(dāng)大的突破。13世紀(jì)以后，中國(guó)的火箭制造技術(shù)沿著絲綢之路漸漸傳入印度，阿拉伯等地，向世界傳播，為世界的科技發(fā)展作出了巨大的貢獻(xiàn)。14世紀(jì)末(明朝)，一勇敢者萬(wàn)虎坐在裝有47個(gè)當(dāng)時(shí)最大的火箭的椅子上，雙手各持一大風(fēng)箏，試圖借助火箭的推力和風(fēng)箏的升力實(shí)現(xiàn)飛行的夢(mèng)想。盡管這次試驗(yàn)是一次失敗的悲劇（箭毀人亡），但萬(wàn)虎被公認(rèn)是嘗試?yán)没鸺w行的世界第一人。1959年，為了紀(jì)念萬(wàn)虎，人們以他的名字命名了月球背面的一座環(huán)形山，美國(guó)的火箭專家赫伯特·基姆也撰文記載他的事跡，在美國(guó)的航空和航天博物館中也標(biāo)示著：“最早的飛行器是中國(guó)的風(fēng)箏和火箭”。繼美國(guó)，俄羅斯之后，我國(guó)成功的發(fā)射了載人航天飛行的“神舟5號(hào)”(2003.10.15)，“神舟6號(hào)”(2005.10.12)，標(biāo)志著我國(guó)載人飛船技術(shù)已經(jīng)達(dá)到國(guó)際第三代載人飛船的水平。

◆我國(guó)現(xiàn)在的火箭技術(shù)已達(dá)到世界先進(jìn)水平。◆最早的火箭載人飛行試驗(yàn)也發(fā)生在中國(guó)長(zhǎng)征二號(hào)F型火箭火箭由四個(gè)液體助推器、芯一級(jí)火箭、芯二級(jí)火箭、整流罩和逃逸塔組成，是目前我國(guó)所有運(yùn)載火箭中起飛質(zhì)量最大、長(zhǎng)度最長(zhǎng)的火箭。全箭起飛質(zhì)量460噸全長(zhǎng)49.7米3.5質(zhì)心討論一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)時(shí)，引入質(zhì)量中心的概念。注意：質(zhì)心相對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各點(diǎn)的相對(duì)位置不會(huì)隨坐標(biāo)系的選擇而發(fā)生變化，即質(zhì)心是相對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系本身的一個(gè)特定的位置。xyzmircriO1.考慮由N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)質(zhì)心坐標(biāo)的分量表達(dá)式：2.對(duì)于大的連續(xù)物體，可認(rèn)為是由許多質(zhì)元所組成積分遍及整個(gè)質(zhì)量分布區(qū)域直角坐標(biāo)分量式為：dm：任一質(zhì)元的質(zhì)量，r：位矢對(duì)于均勻的直棒、均勻圓環(huán)、均勻圓盤(pán)、均勻球體、均勻立方體等形體質(zhì)心就在其幾何對(duì)稱中心上。例3-5-1

設(shè)一任意三角形的每個(gè)頂點(diǎn)處均有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，求該三角形的質(zhì)心。xyO213(x1,y1)(x2,0)(0,0)解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，根據(jù)質(zhì)心坐標(biāo)的分量式可得：例3-5-2

一個(gè)細(xì)長(zhǎng)均勻桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量為M1，與另一個(gè)半徑為a，質(zhì)量為M2

的均勻圓盤(pán)相連(如圖所示)。圓盤(pán)的中心在桿的一端。求圓盤(pán)中心距離該連結(jié)體質(zhì)心的距離。M1M2解：設(shè)連結(jié)點(diǎn)處為坐標(biāo)原點(diǎn)，即：x=0。圓盤(pán)和桿的質(zhì)心就是它們的幾何中心。用兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)分別代表圓盤(pán)和桿，則由它們組成的連結(jié)體的質(zhì)心：Lx=0x例3-5-3

一半徑為R的均質(zhì)薄圓盤(pán)，開(kāi)了一半徑為r的圓孔，兩圓中心O，O’相距為d。求其質(zhì)心。分析：補(bǔ)償法此黃色開(kāi)孔圓盤(pán)可設(shè)想由質(zhì)量為m1，半徑為R的無(wú)孔大圓盤(pán)和質(zhì)量為–m2(不妨稱為負(fù)質(zhì)量)，半徑為r的小圓盤(pán)所組成，兩者的質(zhì)量之和m1+(–m2)即為開(kāi)孔大圓盤(pán)的質(zhì)量。解：設(shè)圓盤(pán)的質(zhì)量面密度為σ，則無(wú)孔大圓盤(pán)的質(zhì)量為：其質(zhì)心在原點(diǎn)：x1=0小圓盤(pán)的質(zhì)量為：其質(zhì)心坐標(biāo)為：x2=d因此所求黃色開(kāi)孔圓盤(pán)的質(zhì)心坐標(biāo)為：負(fù)號(hào)表示質(zhì)心在圓盤(pán)中心O的左邊例3-5-4

已知半圓環(huán)質(zhì)量為M，半徑為R。求：它的質(zhì)心位置？解：如圖，半圓環(huán)對(duì)y軸對(duì)稱，故質(zhì)心應(yīng)在y軸上，即：xc=0。在環(huán)上任取一小段圓弧dl，其對(duì)應(yīng)的角度為，并假設(shè)環(huán)的線密度為，則。又：，y思考：如果是一個(gè)半圓盤(pán)xyOx=LO課堂練習(xí)：一根長(zhǎng)為L(zhǎng)

的直桿，一端置于坐標(biāo)原點(diǎn)，另一端的坐標(biāo)為x=L，如果桿單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為Ax，其中A為常數(shù)，求質(zhì)心的位置。則質(zhì)心坐標(biāo)為：dmx解：已知桿的線密度為。在桿上距離原點(diǎn)為x處取一段長(zhǎng)為dx

的質(zhì)元，其質(zhì)量為：3.6質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理由質(zhì)心公式可得：即表明：質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量等于它的總質(zhì)量與它的質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)速度的乘積。質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量與一個(gè)以系統(tǒng)的質(zhì)心速度運(yùn)動(dòng)且其質(zhì)量等于系統(tǒng)總質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量相同。對(duì)上式兩邊求導(dǎo)，得：由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理可得：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理表明：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，就如同這樣一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，該質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量等于整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量并且集中在質(zhì)心，而此質(zhì)點(diǎn)所受的力是質(zhì)點(diǎn)系所受的所有外力之和。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理告訴我們：系統(tǒng)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)由系統(tǒng)所受的合外力決定，與系統(tǒng)的內(nèi)力無(wú)關(guān)。推論：若合外力F=0，則mac=0，可得：vc=const.即：質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力為零時(shí)，質(zhì)心速度不變手榴彈高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員炮彈各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)很復(fù)雜質(zhì)心沿一條拋物線運(yùn)動(dòng)例3-6-1

設(shè)有一質(zhì)量為2m的彈丸，從地面斜拋出去，他飛行到最高點(diǎn)時(shí)爆炸成質(zhì)量相等的兩個(gè)碎片，其中一個(gè)碎片垂直自由下落，另一個(gè)碎片水平拋出，他們同時(shí)落地，試問(wèn)第二個(gè)碎片落地點(diǎn)在何處（忽略空氣阻力）？解：xcx1x2yxOT例3-6-2

水平桌面上拉動(dòng)紙，紙張上有一均勻球，球的質(zhì)量為M，紙被拉動(dòng)時(shí)與球的摩擦力為F，求：t

秒后球相對(duì)桌面移動(dòng)多少距離？?Oyx解：根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得：方向：沿拉動(dòng)紙的方向移動(dòng)FF例3-6-3

用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理來(lái)求解例3-3-3解：取人和船組成的質(zhì)點(diǎn)系為研究對(duì)象：根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：又整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系原來(lái)是靜止的即在整個(gè)過(guò)程中，系統(tǒng)的質(zhì)心位置保持不變。Ox在人走之前，人船系統(tǒng)質(zhì)心的坐標(biāo)為：當(dāng)人走到船尾，人船系統(tǒng)質(zhì)心的坐標(biāo)為：因?yàn)閤c=x’cOxx1x2x’1x’2船相對(duì)于湖岸向左移動(dòng)的距離SSOxx1x2x’1x’2例3-6-4

用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理來(lái)求解例3-2-3。解：仍取臺(tái)面為原點(diǎn)，取x軸豎直向上。當(dāng)繩索提起x

長(zhǎng)時(shí)，體系的質(zhì)心坐標(biāo)為：而整個(gè)體系共受三個(gè)力的作用：提力F，重力G(G=mg)，臺(tái)面支持力N()。由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得：思考將一根直尺豎立在光滑的冰面上，如果它倒下來(lái)的話，其質(zhì)心將劃過(guò)怎樣一條軌道。答：由于水平方向不受外力，故其質(zhì)心在水平方向應(yīng)保持不變，質(zhì)心將豎直向下運(yùn)動(dòng)。◆

質(zhì)心參考系：即質(zhì)心在其中靜止的平動(dòng)參考系。選取質(zhì)心為質(zhì)心參考系的坐標(biāo)原點(diǎn)，則根據(jù)質(zhì)心的定義：求導(dǎo)：零動(dòng)量參考系z(mì)'r'ix'y'xyzmircriOSS’另一方面，位矢滿足：故：求導(dǎo)可得質(zhì)心系中的速度：在自然界中經(jīng)常會(huì)遇到質(zhì)點(diǎn)圍繞著一定的中心運(yùn)轉(zhuǎn)的情況。例如，行星繞太陽(yáng)的公轉(zhuǎn)，人造衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)，電子繞原子核轉(zhuǎn)動(dòng)以及剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)等等。動(dòng)量定理及其守恒定律未必適用，我們采用角動(dòng)量的概念就比較方便。角動(dòng)量與動(dòng)量一樣，是一個(gè)重要概念。3.7質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量★角動(dòng)量概念

一個(gè)動(dòng)量為p的質(zhì)點(diǎn)，對(duì)慣性參考系中某一固定點(diǎn)O

的角動(dòng)量L用矢積定義：如果質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量大小角動(dòng)量方向滿足右手螺旋法則單位：kg·m2/s質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量v和p的方向一致，故矢積為零力矩單位：N·m★質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率：大小：方向：滿足右手螺旋法則O角動(dòng)量定理表明：質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩等于它的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率。討論：判斷下列有關(guān)角動(dòng)量的說(shuō)法的正誤。一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量一定為零。一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量一定不變。(1)不一定為零。因質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量與參考點(diǎn)有關(guān)。??vrr’OO’(2)不一定不變。2.作變速率直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定點(diǎn)的角動(dòng)量的大小是變化的。??vrr’OO’d1.作勻速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定點(diǎn)的角動(dòng)量是一個(gè)常矢量;角動(dòng)量方向不變，垂直于板面向里注意：的情況，可能是

r=0，也可能是F=0或者是

F//r(同向或反向)，質(zhì)點(diǎn)在有心力中運(yùn)動(dòng)就是這種情況。3.8角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律：如果對(duì)某一點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩為零，則此質(zhì)點(diǎn)對(duì)該固定點(diǎn)的角動(dòng)量矢量保持不變角動(dòng)量守恒定律也是自然界普遍適用的一條基本規(guī)律Aqualitativedemonstrationoftherelationshipofm,vsquared,andr.Theballisswunginacircularmotiononthesmoothstand.Pullingontheringshortenstheradiusoftheballpathandincreasesthevelocity.在光滑的水平桌面上，對(duì)固定參考點(diǎn)（桌面小孔）而言，小球受到的合力矩為零，小球的角動(dòng)量守恒。因此，運(yùn)動(dòng)半徑減小，運(yùn)動(dòng)速率增大。F◆用角動(dòng)量守恒定律解釋物理現(xiàn)象Theballissettoswinging,andasmallmassishookedtothering,exertingadownwardforceonthestring.Theradiusofthestringfromthepivottotheballshrinks,andtheball’svelocityincreases.討論1：作勻速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)const.定義：r在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積，稱為掠面速度質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒：質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒：結(jié)論：在這兩種情況下，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于某點(diǎn)(O)的角動(dòng)量守恒與質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于該點(diǎn)位矢的掠面速度相等是等價(jià)的討論2：作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)(有心力場(chǎng))位矢r的掠面速度在圓周上各點(diǎn)均相等開(kāi)普勒第二定律：行星對(duì)太陽(yáng)的矢徑在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積。開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)行星繞太陽(yáng)的軌道是橢圓形的，提出了開(kāi)普勒三定律*，開(kāi)普勒為此欣喜若狂。把二十余年觀測(cè)的幾千個(gè)數(shù)據(jù)歸納成這樣簡(jiǎn)潔的幾條規(guī)律，開(kāi)普勒應(yīng)該為此感到自豪。只是開(kāi)普勒尚不理解，他所發(fā)現(xiàn)的三大定律已傳達(dá)了重大的“天機(jī)”。由于角動(dòng)量正比于位矢的掠面速度，因此開(kāi)普勒第二定律意味著角動(dòng)量守恒。*：見(jiàn)附錄證明：太陽(yáng)對(duì)行星的引力是有心力，故行星對(duì)太陽(yáng)的角動(dòng)量保持不變。(1)角動(dòng)量的方向不變，表明位矢和速度所決定的平面的方位不變，行星就在這個(gè)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，即行星的軌道是一個(gè)平面。運(yùn)用角動(dòng)量守恒定律來(lái)證明開(kāi)普勒第二定律。(2)角動(dòng)量的大小為：另一方面，由幾何關(guān)系可得：行星運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒意味著這一掠面速度保持不變。由此證明了開(kāi)普勒第二定律。掠面速度例3-8-1

質(zhì)量為m的物體拴在穿過(guò)小孔的輕繩的一端，在光滑的水平面上以角速度ω0

作半徑為r0

的圓周運(yùn)動(dòng)。自t=0時(shí)刻起，手拉繩的另一端以勻速v向下運(yùn)動(dòng)，使半徑逐漸減小。試求角速度與時(shí)間的關(guān)系ω(t)。。vrm分析：質(zhì)點(diǎn)在水平方向上僅受通過(guò)小孔的繩的拉力作用，為有心力，故角動(dòng)量守恒。解：質(zhì)點(diǎn)對(duì)小孔的角動(dòng)量守恒。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)與小孔的距離為r

時(shí)，其角速度為ω，則有：即(1)聯(lián)立(1)、(2)兩式可得：根據(jù)題意可知，質(zhì)點(diǎn)m

與小孔距離的變化規(guī)律為：(2)。vrmrO3.9*

質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某一點(diǎn)的角動(dòng)量定義為其中各質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量的矢量和，即：········ijFiPifijfjiOrjri·對(duì)于任一質(zhì)點(diǎn)i，運(yùn)用角動(dòng)量定理：Fi

為第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受的外力；fij

為該質(zhì)點(diǎn)所受系內(nèi)第j

個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)它施加的內(nèi)力。其中：ri

-rj對(duì)系統(tǒng)內(nèi)所有的質(zhì)點(diǎn)求和：求和其中合外力矩合內(nèi)力矩其中，一對(duì)內(nèi)力矩為之和為：由牛頓第三定律可知：若無(wú)外力矩，即M=0，則L=const.

，表明質(zhì)點(diǎn)系總角動(dòng)量將不隨時(shí)間改變——質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力矩等于該質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率。由于內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)的，而每一對(duì)內(nèi)力矩之和為零，所以可推得所有內(nèi)力矩之和為零，即：討論：質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量為零，總角動(dòng)量一定為零？不正確。僅由不能導(dǎo)出?m1v1m2v2r1r2O但，對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量均是垂直于板面向內(nèi)的，故總角動(dòng)量不等于零。例：兩個(gè)質(zhì)量均為m

的質(zhì)點(diǎn)，用一根長(zhǎng)為2a

的質(zhì)量可忽略不計(jì)的輕桿相連，構(gòu)成一個(gè)簡(jiǎn)單的質(zhì)點(diǎn)系。兩質(zhì)點(diǎn)繞固定軸O’Z以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，軸線通過(guò)桿的中點(diǎn)O并與桿的夾角為，求質(zhì)點(diǎn)系對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量。分析：由圖可知。兩