編號：019課題:§11.3余弦定理、正弦定理的應用

目標要求

1、理解并掌握解三角形中的常見術語問題.

2、理解并掌握測量距離、高度問題.

3、理解并掌握測量角度問題.

4、理解并掌握正弦定理、余弦定理的綜合應用問題.

學科素養目標

解三角形是高中數學的重要教學內容，它涉及三角形的邊、角、面積，以及三角函數、

圓等知識，綜合性較強.在解三角形的教學中，重點講解如何運用正弦定理和余弦定理解三

角形問題，以及判斷三角形的解.做好解三角形的教學，不但可以提高學生的解題能力，而

且還對學生的數學思路的發展有幫助.

重點難點

重點：測量距離、高度、角度問題；

難點：正弦定理、余弦定理的綜合應用問題.

教學過程

基礎知識點

1.解三角形中的常見術語

術語

術語意義圖形表示

名稱

啰

與目標視線在同一鉛直平面內的水

仰角與平視線和目標視線的夾角，目標視線鉛角

直—水平視線

俯角在水平視線_______時叫仰角，目標視線線\俯角

在水平視線——時叫俯角.

視線

北

從正北方向___________轉到目標方向線所西卡東

方位成的水平角，如點8的方位角為a（如

角圖所示）.方位角的取值范圍：0°?

360°.南

方向指以觀測者為中心，指北或指南的方向線與目如圖，左圖中表示北偏東

角標方向線所成的小于90。的水平角，它是方位30°,右圖中表示南偏西

角的另一種表示形式.60°.

2.本質：仰角、俯角、方位角等都是在生產、生活中為方便使用而人為定義的.方向角亦是在

測量中人為設置的量.

3.應用：仰角、俯角、方向角、方位角等經常用于求距離、高度和角度的題目中.選擇合適的

角可以簡化運算,提高測量的精確度.

【課前基礎演練】

題1.（多選）下列命題正確的是（）

A.若尸在。的北偏東44°方向，則Q在尸的東偏北44°方向.

B.方位角與方向角其實質是一樣的,均是確定觀察點與目標點之間的位置關系,其范圍均

71

是［0,耳）?

C.方位角210°的方向與南偏西30°的方向一致.

D.方位角是指從正北方向順時針轉到目標方向線所成的水平角.

題2.如圖，為了測量隧道A8的長度，給定下列四組數據，測量時應選用數據（）

A.a,a,bB.a,13,aC.a,b,yD.a,/3,b

題3.已知兩座建筑A,B與規劃測量點C的距離相等,A在C的北偏東40°,B在C的南偏東

60°,則A在B的（）

A.北偏東10°A北偏西10°C.南偏東10°D南偏西10°

關鍵能力?合作學習

類型一測量距離、高度問題（數學建模、數學運算）

【題組訓練】

題4.如圖所示，設A,B兩點在河的兩岸，一測量者與A在河的同側，在A所在的河岸邊先確定一

點C,測出A,C的距離為50m,/AC3=45°,NCAB=105°后，

可以計算出AB兩點的距離為（）

OSB

A.50^2mB.50yf^mC.25A/2mD.--------m

2

B

題5.已知船A在燈塔C北偏東85°且到。的距離為2km,船3在燈塔。北偏西65°且到

C的距離為ekm,則A、8兩船的距離為()

A.2^3kmB.3-J2kmC.kmD.A/T3km

題6.如圖所示,D,C,B在地平面同一直線上,DC=1Qm,從D,C兩地測得A點的仰角分

別為30°和45°,則A點離地面的高A3等于()

A.10mB.5y/3mC.5(A/3—l)mD.5(\/3+1)m

【解題策略】

1.求距離問題時應注意的兩點

(1)選定或確定所求量所在的三角形,若其他量已知，則直接求解;若有未知量,則先把未知量

放在另一確定三角形中求解.

(2)確定用正弦定理還是余弦定理,如果都可用，就選擇更便于計算的定理.

2.解決測量高度問題的一般步驟

(1)畫圖：根據已知條件畫出示意圖.

(2)分析三角形:分析與問題有關的三角形,在高度問題中，經常用到直角三角形.

(3)求解:運用正、余弦定理,有序地解相關的三角形,逐步求解.在解題中,要綜合運用平面幾

何知識,注意方程思想的運用.

【補償訓練】

題7.如圖所示,為了測定河的寬度,在一岸邊選定兩點A、B,望對岸標記物C,測得/

CAB=30°,NCA4=75°,42=120S則河的寬度為()

C

、—1------?'

-------------/--------

A30°75°B

A.230mB.240mC.50mD.60m

題&在一幢20m高的樓頂測得對面一塔吊頂的仰角為60°,塔基的俯角為45°,那么這座

塔吊的高是()

A.20(1+—)mB.20(1+73)mC.10(6+72)mD.20(76+A/2)m

類型二測量角度問題(數學建模、數學運算)

【典例】題9.在海岸A處,發現北偏東45°方向,距離A為6-1海里的B處有一艘走私船,

在A處北偏西75。方向,距離A為2海里的C處有一艘緝私艇奉命以100海里/時的速度

追截走私船，此時，走私船正以10海里/時的速度從2處向北偏東30°方向逃竄.

(1)問C與B相距多少海里?C在B的什么方向？

(2)問緝私艇沿什么方向行駛才能最快追上走私船?并求出所需時間.

【解題策略】

解決測量角度的常用方法與注意點

(1)測量角度問題的關鍵是弄清題意，畫出圖形,并在圖形中標出有關的角和距離，再用正弦

定理或余弦定理解三角形,最后將結果轉化為實際問題的解.

(2)求角的度數時,多用余弦定理求角.因為余弦函數在(0,乃)上是單調遞減的,而正弦函數

不單調,一個正弦值可能對應兩個角.若角在(0,萬］上時,用正、余弦定理皆可.

【跟蹤訓練】

題10.甲船在A處觀察到乙船在它的北偏東60°方向的2處，兩船相距anmile,乙船向

正北方向行駛.若甲船的速度是乙船速度的血倍，問甲船應沿什么方向前進才能最快追上

乙船?相遇時乙船行駛了多少nmile?

【拓展延伸】

1.函數與方程思想在距離問題中的應用

⑴函數思想的應用

將三角形中邊角之間的關系問題借助余弦定理和正弦定理建立函數關系，結合有關函數的圖

象和性質，加以分析、轉化、解決有關求取值范圍、最大(小)值問題.

(2)方程思想的應用

余弦定理和正弦定理涉及三個邊和三個角共六個量，只要知道其中三個獨立的量(必須有邊)

就能求出其余三個量.因此,解三角形的實際應用問題中,直接求相關量較難時,通常將問題

的數量關系運用這兩個定理轉化為數學模型(方程、方程組)加以解決.

【拓展訓練】

題11.某港口。要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上,在小艇出發時,輪船

位于港口。北偏西30°且與該港口相距20海里的A處,并正以30海里/小時的航行速度沿

正東方向勻速行駛.假設該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛,經過/小時

與輪船相遇.

(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？

(2)為保證小艇在30分鐘內(含30分鐘)能與輪船相遇,試確定小艇航行速度的最小值.

類型三余弦定理、正弦定理的綜合應用(數學建模)

角度1余弦定理、正弦定理在立體幾何中的應用

【典例】題12.如圖,為了測量河對岸的塔高有不同的方案,其中之一是選取與塔底2在

同一水平面內的兩個測點C和D,測得8=200米，在C點和D點測得塔頂A的仰角分別是

45°和30。，且/CB￡)=30°,求塔高AA

角度2余弦定理、正弦定理在三角形中的應用

【典例】題13.如圖，在△ABC中，乙4BC=90°,48=石，嵐：=1,「為△ABC內一點，NBPC

=90°.

⑴若求朋；

2

(2)若NAPB=150°，求tanZPBA.

【解題策略】

在復雜圖形中利用正弦定理、余弦定理解題的方法

(1)分析復雜圖形,找準需要解決的問題所在的三角形，找出該三角形與其他三角形之間的關

系.

(2)根據題目給出的條件,適當選用正弦定理或余弦定理解題.

【題組訓練】

題14.瑞云塔是福清著名的歷史文化古跡.如圖,一研究小組同學為了估測塔的高度,在塔底

D和A,2(與塔底D同一水平面)處進行測量,在點A,B處測得塔頂C的仰角分別為

45°,30°,且兩點相距91m,由點。看的張角為150°,則瑞云塔的高度。=

A.91mB.13y/21mC.13^7mD.916m

題15.如圖所示，位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇

險,在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的。處的乙船,

現乙船朝北偏東6的方向沿直線CB前往B處救援,則cos。=.

【補償訓練】

題16.某海域的東西方向上分別有A,B兩個觀測點(如圖)，它們相距5(3+石)海里.現有一

艘輪船在。點發出求救信號，經探測得知。點位于A點北偏東45。，2點北偏西60。，這時,

位于B點南偏西60°且與3點相距206海里的C點有一救援船,其航行速度為30海里/

小時.

(1)求B點到D點的距離2D;

(2)若命令C處的救援船立即前往。點營救,求該救援船到達D點需要的時間.

題17.如圖,某公園內有兩條道路現計劃在AP上選擇一點C,新建道路BC,并把△

JT

ABC所在區域改造成綠化區域，已知ABAC=-,AB=2km.

（1）若綠化區域△ABC的面積為1km2,求道路BC的長度；

（2）綠化區域△ABC每平方千米的改造費用與新建道路2C每千米修建費用都是的函

數,其中綠化區域△ABC改造費用為％=10sinNACB（單位:萬元/平方千米），新建道路

27r

BC新建費用為為=5sin2ZACB（單位:萬元/千米），設ZABC=8（0＜。W后），某工程

隊承包了該公園的綠化區域改造與新道路修建,已知綠化區域改造費與道路新建費用越高，

則工程隊所獲利潤也越高,試問當。為何值時,該工程隊獲得最高利潤？

課堂檢測?素養達標

題18.如圖,兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°,燈塔

2在觀察站南偏東60°,則燈塔A在燈塔3的（）

A.北偏東10。B.北偏西10°C.南偏東80°D.南偏西80°

題19.一海輪從A處出發，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行,30分鐘后

到達B處.在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70°,在B處觀察燈塔,

其方向是北偏東65°,那么8,C兩點間的距離是（）

A10月海里A10近海里C.20j§■海里。20拒海里

題20.如圖所示,在山底A處測得山頂2的仰角NCAB=45°,沿傾斜角為30°的山坡向山頂

走1000m到達S點，又測得山頂仰角/。$2=75°,則山高2C為（）

A.5000mB.200mC.1000A/2mD.1000m

題21.一輪船從A點沿北偏東70°的方向行駛10海里至海島民又從B沿北偏東10°的方

向行駛10海里至海島C,若此輪船從A點直接沿直線行駛至海島C,則此船沿方向

行駛海里至海島C.

題22.海上某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75。，距離為12癡海里;在A處看燈塔C,

在貨輪的北偏西30°,距離為8月海里;貨輪向正北由A處航行到D處時看燈塔B在南偏東

60°,求：

(1)4處與。處之間的距離；

(2)燈塔C與。處之間的距離.

編號：019課題:§11.3余弦定理、正弦定理的應用

目標要求

1、理解并掌握解三角形中的常見術語問題.

2、理解并掌握測量距離、高度問題.

3、理解并掌握測量角度問題.

4、理解并掌握正弦定理、余弦定理的綜合應用問題.

學科素養目標

解三角形是高中數學的重要教學內容，它涉及三角形的邊、角、面積，以及三角函數、

圓等知識，綜合性較強.在解三角形的教學中，重點講解如何運用正弦定理和余弦定理解三

角形問題，以及判斷三角形的解.做好解三角形的教學，不但可以提高學生的解題能力，而

且還對學生的數學思路的發展有幫助.

重點難點

重點：測量距離、高度、角度問題；

難點：正弦定理、余弦定理的綜合應用問題.

教學過程

基礎知識點

1.解三角形中的常見術語

術語

術語意義圖形表示

名稱

啰

與目標視線在同一鉛直平面內的水

仰角與平視線和目標視線的夾角，目標視線鉛角

直—水平視線

俯角在水平視線—上方一時叫仰角，目標視線線\俯角

在水平視線—下午一時叫俯角.

視線

北

從正北方向—順時針—轉到目標方向線所西卡東

方位成的水平角，如點8的方位角為a（如

角圖所示）.方位角的取值范圍：0°?

360°.南

方向指以觀測者為中心，指北或指南的方向線與目如圖，左圖中表示北偏東

角標方向線所成的小于90。的水平角，它是方位30°,右圖中表示南偏西

角的另一種表示形式.60°.

2.本質：仰角、俯角、方位角等都是在生產、生活中為方便使用而人為定義的.方向角亦是在

測量中人為設置的量.

3.應用：仰角、俯角、方向角、方位角等經常用于求距離、高度和角度的題目中.選擇合適的

角可以簡化運算,提高測量的精確度.

【課前基礎演練】

題1.（多選）下列命題正確的是（）

A.若尸在。的北偏東44°方向，則Q在尸的東偏北44°方向.

B.方位角與方向角其實質是一樣的,均是確定觀察點與目標點之間的位置關系,其范圍均

71

是［0,耳）?

C.方位角210°的方向與南偏西30°的方向一致.

D.方位角是指從正北方向順時針轉到目標方向線所成的水平角.

【答案】選CD

提示:AX.因為若P在。的北偏東44。方向，則。應在尸的南偏西44°方向.

BX.因為方向角的范圍為0。?90°,而方位角的范圍為0°-360°.

CV.由方位角與方向角的定義知正確.

。，方位角是指從正北方向順時針轉到目標方向線所成的水平角，這是方位角的定義.

題2.如圖，為了測量隧道A8的長度，給定下列四組數據，測量時應選用數據（）

A.a,a,bB.a,/3,aC.a,b,yD.a,/3,b

【解析】選C.選擇a,b,尸可直接利用余弦定理AB=揚+"2"cos7求解,而名尸無

法測量得到,故排除A,B,D.選C.

題3.已知兩座建筑A,B與規劃測量點C的距離相等,A在C的北偏東40°,B在C的南偏東

60°,則A在B的（）

A.北偏東10°A北偏西10°C.南偏東10°D南偏西10°

【解析】選A如圖，由題意可知△ABC為等腰三角形，NACB=80°,

所以NCB4=L（180°-80°）=50°,又60°-50°=10°.所以A在8的北偏西10°.

2

關鍵能力?合作學習

類型一測量距離、高度問題（數學建模、數學運算）

【題組訓練】

題4.如圖所示，設A乃兩點在河的兩岸，一測量者與A在河的同側，在A所在的河岸邊先確定一

點C,測出A,C的距離為50m,NACB=45°,NCAB=105°后，

可以計算出AB兩點的距離為（）

A.50^/2mB.50y/3mC.25A/2mD.----------m

2

AB50

【解析】選A.NABU180°-45°-105°=30°,在△ABC中由

sin45°sin30°

得A5=100x走=500(m).

2

題5.已知船A在燈塔C北偏東85。且到C的距離為2km,船B在燈塔C北偏西65。且到

C的距離為也km,則A、8兩船的距離為()

A.2y/3kmB.3A/2kmC.yfl5kmD.A/13km

【解析】選D如圖可知NAC5=85°+65°=150°,AC=2km,gkm,

所以AB?=人。2+BC2_2AC.5C?cos150°=13,所以AB二屈km.

北

?

題6.如圖所示,D,C,B在地平面同一直線上,DC=10m,從C兩地測得A點的仰角分

別為30°和45°,則A點離地面的高AB等于()

A.10mB.5A/3mC.5(A/3—l)mD.5(\/3+1)m

【解析】選D方法一：設m,則BC=xm,所以B￡?=(10+x)m.

所以tan/AD5=&_=^^=3,解x=5(G+l).

AD10+x3

所以A點離地面的高AB等于5(G+l)m.

方法二：因為NACB=45°,所以NACD=135°,所以NCAD=180°-135°-30°=15

由正弦定理,得AC=———?sinZADC=3一?sin30°=二。尸(m),

sinZCADsin15°J6-J2

所以4B=ACsin45°AB=ACsin45°=5(^/^+1)m.

【解題策略】

1.求距離問題時應注意的兩點

(1)選定或確定所求量所在的三角形,若其他量己知,則直接求解;若有未知量,則先把未知量

放在另一確定三角形中求解.

(2)確定用正弦定理還是余弦定理,如果都可用,就選擇更便于計算的定理.

2.解決測量高度問題的一般步驟

(1)畫圖:根據已知條件畫出示意圖.

(2)分析三角形:分析與問題有關的三角形,在高度問題中，經常用到直角三角形.

(3)求解:運用正、余弦定理,有序地解相關的三角形,逐步求解.在解題中,要綜合運用平面幾

何知識,注意方程思想的運用.

【補償訓練】

題7.如圖所示,為了測定河的寬度,在一岸邊選定兩點A、B,望對岸標記物C,測得/

CA8=30°,NCA4=75°,AB=120犯則河的寬度為()

C

A30°75°B

A.230mB.240mC.50mD.60m

【解析】選D在△ABC中，N042=30°,NCBA=75：

所以ZACB=75°,ZACB=NABC.所以AC=AB=]20m.

如圖，作CD±AB,垂足為D,則CD即為河的寬度.

心“?工、、巾2ACCD-120CD

在Rt^ACD中，由正弦定理，得----------=----------,所以-------=-------

sinZADCsinZCADsin90°sin30°

所以CD=60,所以河的寬度為60m.

題&在一幢20m高的樓頂測得對面一塔吊頂的仰角為60°,塔基的俯角為45°,那么這座

塔吊的高是()

A.20(1+—)mB.20(1+73)mC.10(6+^)mD.20(76+72)m

【解析】選B如圖，由條件知四邊形ABC。為正方形，

所以AB=CZXBC=Ar)=20m.在△OCE中，NEDC=60",

ZDCE=90°,CD=2Qm,所以EC=CD?tan60°=20A/3(m),

所以BE=BC+CE=(20+20有)=20(1+百)m.

類型二測量角度問題（數學建模、數學運算）

【典例】題9.在海岸A處,發現北偏東45°方向,距離A為6-1海里的B處有一艘走私船,

在A處北偏西75。方向，距離A為2海里的C處有一艘緝私艇奉命以10通海里/時的速度

追截走私船，此時，走私船正以10海里/時的速度從8處向北偏東30°方向逃竄.

（1）問C與B相距多少海里?C在8的什么方向？

（2）問緝私艇沿什么方向行駛才能最快追上走私船?并求出所需時間.

四步內容

條件：已知人.B.C三個位置.八，B兩處的距

離及方向.A.C兩處的距離及緝私艇的時速

理解和走私船的時速.已知走私船的航行方向.

題意結論：（1）求B.C之間的距離及（'在B的什

么方向；（2）緝私艇沿什么方向能最快追上

走私船并求追上的時間.

思路先畫出示意圖.再利用正弦、余弦定理解三

探求角形.

(1)根據題意作出示意圖.如圖.①

則八8=6一1.八('=2.

Z/M('=12O".

在△八3(,中由余弦定理0

—東

得：BC:=AB2+AC--

南

2AB,AC,cos12()0=6.

所以3('=病，由正弦定理得

AC,BC加2V_6

sinz^ABCsin/^BACsinz^ABCV23

解得sinN/W（'=容.所以/八3（'=45°.

所以（'在8的正西方向.

（2）由（1）知BC=76,ZDBC=120°,

書寫設/小時后緝私艇在處追上走私船.

表達則BD=18.CD=10而.在ABCD中由正弦定

理得羋黑=.%子）?解得疝上比刀=??

sin120sinZ_/x.u2

所以NBCD=30°?所以△BCD是等腰三角形.

所以10，=而?即

fa

所以緝私艇沿東偏北3（）°方向行駛3小時才

能最快追上走私船.②

注意書寫的規范性：

①根據題意作出示意圖有利于分析問題.故

解三角形的實際問題如果沒有圖.需先作出

圖.而且作圖要規范；

②從圖中找到某一三角形的三個元素后方

可求解.同時注意實際問題應該有設有答.

（1）解決角度問題的關鍵是將實際問題轉化

為具體的解三角形問題.即確定所求角.找

出三角形中已知的邊和角：

題后

（2）利用余弦定理、正弦定理將這些邊和角

反思

聯系起來求解：

（3）關于追擊問題通常利用相遇時的時間相

等設出時間變量后建立關系式求解.

【解題策略】

解決測量角度的常用方法與注意點

（1）測量角度問題的關鍵是弄清題意,畫出圖形,并在圖形中標出有關的角和距離,再用正弦

定理或余弦定理解三角形,最后將結果轉化為實際問題的解.

（2）求角的度數時，多用余弦定理求角.因為余弦函數在（0,不）上是單調遞減的，而正弦函數

不單調,一個正弦值可能對應兩個角.若角在（0,萬］上時,用正、余弦定理皆可.

【跟蹤訓練】

題10.甲船在A處觀察到乙船在它的北偏東60°方向的8處，兩船相距anmile,乙船向

正北方向行駛.若甲船的速度是乙船速度的血倍，問甲船應沿什么方向前進才能最快追上

乙船?相遇時乙船行駛了多少nmile?

r

【解析】如圖所示,設兩船在C處相遇，并設NCA5=e,

乙船行駛距離BC為尤nmile,則AC二小x,

由正弦定理得sine='C,sm120=工,而。＜60°,

AC2

所以。=30°,所以/4(78=30°,8。=48=0

所以甲船應沿北偏東30°方向前進才能最快追上乙船，兩船相遇時乙船行駛了anmile.

【拓展延伸】

1.函數與方程思想在距離問題中的應用

⑴函數思想的應用

將三角形中邊角之間的關系問題借助余弦定理和正弦定理建立函數關系，結合有關函數的圖

象和性質，加以分析、轉化、解決有關求取值范圍、最大(小)值問題.

(2)方程思想的應用

余弦定理和正弦定理涉及三個邊和三個角共六個量，只要知道其中三個獨立的量(必須有邊)

就能求出其余三個量.因此,解三角形的實際應用問題中,直接求相關量較難時,通常將問題

的數量關系運用這兩個定理轉化為數學模型(方程、方程組)加以解決.

【拓展訓練】

題11.某港口。要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上,在小艇出發時,輪船

位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處,并正以30海里/小時的航行速度沿

正東方向勻速行駛.假設該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛,經過t小時

與輪船相遇.

(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？

(2)為保證小艇在30分鐘內(含30分鐘)能與輪船相遇,試確定小艇航行速度的最小值.

【思路導引】(1)設相遇時小艇的航行距離為S海里,根據余弦定理可得S關于t

的表達式為S900(1--)2+300,進而可知當。=工時,S有最小值為10石，進而求得此

V33

時的速度V.

(2)設小艇與輪船在B處相遇.根據余弦定理可得v關于t的表達式,再根據t的范圍及二次

函數的單調性求得v的最小值及此時t的值.

【解析】⑴設相遇時小艇航行的距離為S海里,

22

則S=7(300+20-2X30tX20cos(90--30°)

=4900/一600f+400=小900?—3+300.

故當f=g時，Smin=IOAV=粵1=30G(海里/小時).

3

即小艇以30j§■海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小.

⑵設小艇與輪船在B處相遇,如圖所示.

由題意可得：(匕)2=202+(30/)2—2x20X30/xcos(90°—30°),

2

化簡得聲=^2-^22+900=400(j-1)+675,

由于0</w1,即122,所以當』=2時V取得最小值10屈，

2tt

即小艇航行速度的最小值為10而海里/小時.

類型三余弦定理、正弦定理的綜合應用(數學建模)

角度1余弦定理、正弦定理在立體幾何中的應用

【典例】題12.如圖,為了測量河對岸的塔高AB,有不同的方案,其中之一是選取與塔底B在

同一水平面內的兩個測點C和D,測得。=200米，在C點和D點測得塔頂A的仰角分別是

45°和30。，且/CBD=30°，求塔高AA

A

D

【思路導引】設.表示出BC=h,BD=^3h,然后在△BCD中利用余弦定理求解.

【解析】在RtAABC中，ZACB=45°,若設則BC=h.

在RtAABD中，ZADB=3Q°,則BD=-j3h.在ABCD中，

由余弦定理可得CD1=BC2+BD1-2BC-BDcosZCBD,

222

即200=h+(3)2—2丸?血?乎，所以/?=200,解得/i=200(行-200舍去),

即塔高42=200米.

角度2余弦定理、正弦定理在三角形中的應用

【典例】題13.如圖，在△A2C中，NA8C=90°為AABC內一點，/BPC

=90°.

⑴若PB=L求朋；

2

(2)若NAPB=150°，求tanZPBA.

【思路導引】（1）根據PB,BC的值及NBPC求出NPBC的值,再在△ABP中，求出NPBA,利

用余弦定理求出PA的長.

⑵根據/PA4+NE43=30°,用/P8A表示NE48,再利用正弦定理求出tanZPBA.

【解析】⑴由已知得，NPBC=60°，所以NPft4=30°,在AAB尸中，

由余弦定理得出2=3+』—2義出><工《?30。=1，所以巳4=立（負值舍去）.

4242

(2)設/P8A=a,所以,PB=sina.

0s’11”---,化簡得6cosa=4sin?,

在△PBA中，由正弦定理得，—

sin150°sin(30o-a)

所以tana=—,即tanZPBA=—

44

【解題策略】

在復雜圖形中利用正弦定理、余弦定理解題的方法

（D分析復雜圖形,找準需要解決的問題所在的三角形,找出該三角形與其他三角形之間的關

系.

（2）根據題目給出的條件,適當選用正弦定理或余弦定理解題.

【題組訓練】

題14.瑞云塔是福清著名的歷史文化古跡.如圖,一研究小組同學為了估測塔的高度,在塔底

D和A,2（與塔底D同一水平面）處進行測量,在點A,B處測得塔頂C的仰角分別為

45°,30°,且A,B兩點相距91m,由點?？吹膹埥菫?50°,則瑞云塔的高度CD=

A.91mB.13-721mC.13^7mD.91A/3m

c

【解析】選C設CD=h,因為在點A,B處測得塔頂C的仰角分別為45°,30°，

所以3。=6加4。=瓦

因為AB2=BD2+AD1-2BDADcos150°，所以9付=7A2，即”=1377（負值舍去）.

題15.如圖所示，位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇

險,在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船,

現乙船朝北偏東6的方向沿直線CB前往B處救援,則cos。=.

二一^—

【解析】在△ABC中,AB=40,AC=20,NBAC=120°,

由余弦定理知BC~=AB2+AC2-2AB-ACcos1200=2800nBC=20s.

由正弦定理

nsinNACB=——sinABAC=--,ABAC=120°,

sinNACBsinABACBC7

則ZACB為銳角，cosZACB=二一.由8=ZACB+3O0,

7

J21

則cos9=cos(/AC8+30°)=cosZACB?cos30°-sinZACB,sin30°=----.

【補償訓練】

題16.某海域的東西方向上分別有兩個觀測點（如圖），它們相距5（3+6）海里.現有一

艘輪船在。點發出求救信號，經探測得知。點位于A點北偏東45°,2點北偏西60°,這時,

位于B點南偏西60°且與B點相距20月海里的C點有一救援船,其航行速度為30海里/

小時.

D

⑴求B點到。點的距離2D;

(2)若命令C處的救援船立即前往D點營救,求該救援船到達。點需要的時間.

【解析】(1)由題意知45=5(3+6)海里，/。氏4=90°-60°=30°,ZDAB=90°-45°

二45。，

所以NAZ)B=180°-(45°+30°)=105°,在△ZM8中，由正弦定理得

DBAB

sinZDAB~sinZADB，

AB.sinZDAB5(3+^-sm45°5(3+Ji)?sm45°

所以DB=----------------------=-----------------------------=-------------------------------------------------

sinZADBsin105°sin45°cos60°+cos45°sin60°

=浮殳口2=10機海里)

V3+1

2

⑵在△O8C中，NO8C=/D3A+/ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC=20百(海里)，

由余弦定理得

CD2=BD-+BC~-2BD-BC-cosZDBC=300+1200-2x1073x2073x-=900,

2

30

所以CD=30(海里)，則需要的時間/=——=1(小時).

30

答:救援船到達。點需要1小時.

題17.如圖,某公園內有兩條道路AB,AP,現計劃在AP上選擇一點C,新建道路BC,并把△

JT

ABC所在區域改造成綠化區域，已知ABAC=-,AB=2km.

6

(1)若綠化區域△ABC的面積為1km2,求道路BC的長度；

(2)綠化區域△ABC每平方千米的改造費用與新建道路8C每千米修建費用都是/ACB的函

數,其中綠化區域△ABC改造費用為％=10sinNACB(單位:萬元/平方千米)，新建道路

27r

BC新建費用為%=5sin2ZACB(單位:萬元/千米)，設ZABC=8(0＜。W瓦-),某工程

隊承包了該公園的綠化區域改造與新道路修建，已知綠化區域改造費與道路新建費用越高，

則工程隊所獲利潤也越高,試問當。為何值時,該工程隊獲得最高利潤?

【解析】（1）因為綠化區域△ABC的面積為1km2,

所以工?ACAB-sinN8AC=l.

2

TT1TT

因為A3=2,NR4C=—,所以一?AC2?sin—=1,得AU2,

626

由余弦定理得

222

BC=AB+AC-2AB-ACcosABAC=4+4-2x2x2x與=8-46

所以BC=,8-4退="-后

即BC的長度為（卡-應）km.

⑵設綠化區域改造費與道路新建費用之和為y萬元.

7TS77-

因為NABC=e,/BAC=—，所以NAC3=——6,

66

由正弦定理-----------=------=——,得BC=-------------,AC=-------------

?/5萬xjx?冗sin0?,5萬zj\?(、兀/n\

sin(-----0)sin—sin(------0)sin(------0)

6666

則由題意可得y=yrgAB-AC-sinNR4C+%-5C

、八.4萬八、1八2sin°1「.?5萬八、1

=10sm(-----0)-2-------------------F5sin2(-----3)--------------

62sin(*6)26sin(*6)

=10sin+cos(--0)=10sin^+10(-^-cos^+—sin0)

622

=15sin6-5gcos0=106sin（^-—）,

6

因為o<ew二，所以—王<e—工

3662

所以loGsin（"令WIOG,當且僅當"彳="即6=g時取等號，

27r

所以當6=」時，該工程隊獲得最高利潤.

3

課堂檢測?素養達標

題18.如圖,兩座燈塔A和8與海岸觀察站C的距離相等,燈塔