第2節用樣本估計總體高考總復習優化設計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025課標解讀1.能用樣本估計總體的集中趨勢參數(平均數、中位數、眾數),理解集中趨勢參數的統計含義.2.能用樣本估計總體的離散程度參數(標準差、方差、極差),理解離散程度參數的統計含義.3.能用樣本估計總體的取值規律.4.能用樣本估計百分位數,理解百分位數的統計含義.5.會計算簡單隨機抽樣的樣本均值和樣本方差.掌握分層隨機抽樣的樣本均值和樣本方差的計算.1強基礎固本增分2研考點精準突破目錄索引

1強基礎固本增分知識梳理1.總體百分位數的估計(1)第p百分位數的定義一般地,一組數據的第p百分位數是這樣一個值,它使得這組數據中

的數據小于或等于這個值,且至少有

的數據大于或等于這個值.

(2)計算一組n個數據的第p百分位數的步驟第1步,按從小到大排列原始數據.第2步,計算i=n×p%.第3步,若i不是整數,而大于i的比鄰整數為j,則第p百分位數為第j項數據;若i是整數,則第p百分位數為第i項與第(i+1)項數據的平均數.至少有p%

(100-p)%微點撥1.第0百分位數為數據中的最小數,第100百分位數為數據中的最大數;2.一組數據的百分位數既可能是這組數據中的數,也可能不是這組數據中的數;3.一組數據的某些百分位數可能是同一個數.2.總體集中趨勢的估計

數字特征概念眾數一組數據中出現次數

的數

不一定唯一,一定是這組數據中的數中位數把一組數據按從小到大(或從大到小)的順序排列,處在_______

位置的一個數據(或兩個數據的平均數)

唯一,不一定是這組數據中的數平均數如果有n個數據x1,x2,…,xn,那么這n個數的平均數

=

唯一,不一定是這組數據中的數

最多

中間3.總體離散程度的估計

常用結論1.在頻率分布直方圖中:(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數;(2)中位數左邊和右邊的直方圖的面積相等;(3)平均數是頻率分布直方圖的“重心”,等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘小矩形底邊中點的橫坐標之和.

自主診斷題組一思考辨析(判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)1.平均數、眾數與中位數從不同的角度描述了一組數據的集中趨勢.(

)2.一組數據的方差越大,說明這組數據越集中.(

)3.一組數據的眾數可以是一個或幾個,那么中位數也具有相同的結論.(

)4.對一組數據來說,平均數和中位數總是非常接近.(

)√×××題組二回源教材5.(人教A版必修第二冊9.2.2節例2改編)某機構調查了解10種食品的卡路里含量,結果如下:107,135,138,140,146,175,179,182,191,195.則這組數據的第25百分位數和中位數分別是(

)A.138,160.5 B.138,146C.138,175 D.135,160.5A解析

將10個數按從小到大排列:107,135,138,140,146,175,179,182,191,195,而10×25%=2.5,故這組數據的第25百分位數為第3項138;中位數為6.(人教A版必修第二冊習題9.2第3題改編)(多選題)在去年的足球聯賽上,一隊每場比賽平均失球數是1.5,全年比賽失球個數的標準差是1.1;二隊每場比賽平均失球數是2.1,全年比賽失球個數的標準差是0.4.則下列說法正確的有(

)A.平均來說一隊比二隊防守技術好B.二隊很少失球C.一隊有時表現差,有時表現又非常好D.二隊比一隊技術水平更不穩定AC解析

對于A,因為一隊每場比賽平均失球數是1.5,二隊每場比賽平均失球數是2.1,所以平均來說一隊比二隊防守技術好,故A正確;對于B,因為二隊每場比賽平均失球數是2.1,全年比賽失球個數的標準差為0.4,所以二隊經常失球,故B錯誤;對于C,因為一隊全年比賽失球個數的標準差為1.1,二隊全年比賽失球個數的標準差為0.4,所以一隊有時表現很差,有時表現又非常好,故C正確;對于D,因為一隊全年比賽失球個數的標準差為1.1,二隊全年比賽失球個數的標準差為0.4,所以二隊比一隊技術水平更穩定,故D不正確.題組三連線高考7.(2020·全國Ⅲ,文3)設一組樣本數據x1,x2,…,xn的方差為0.01,則數據10x1,10x2,…,10xn的方差為(

)A.0.01 B.0.1

C.1 D.10C8.(多選題)(2021·新高考Ⅱ,9)下列統計量中,能度量樣本x1,x2,…,xn的離散程度的是(

)A.樣本x1,x2,…,xn的標準差B.樣本x1,x2,…,xn的中位數C.樣本x1,x2,…,xn的極差D.樣本x1,x2,…,xn的平均數AC解析

能夠度量樣本離散程度的統計量有極差、方差、標準差,故選AC.2研考點精準突破考點一總體百分位數的估計例1(1)(2024·吉林白山模擬)某學習小組共有20人,在一次數學測試中,得100分的有2人,得95分的有4人,得90分的有5人,得85分的有3人,得80分的有5人,得75分的有1人,則這個學習小組成員該次數學測試成績的第70百分位數是(

)A.82.5 B.85

C.90 D.92.5D解析

根據題意,20×70%=14,這個學習小組成員該次數學測試成績數據的第14項為90,第15項為95,故第70百分位數為

=92.5,故這個學習小組成員該次數學測試成績的第70百分位數是92.5.(2)(2024·山東日照模擬)為了解學生每天的體育活動時間,某市教育部門對全市高中學生進行調查,隨機抽取1000名學生每天進行體育運動的時間,按照時長(單位:分鐘)分成6組:第一組[30,40),第二組[40,50),第三組[50,60),第四組[60,70),第五組[70,80),第六組[80,90].對統計數據整理得到如圖所示的頻率分布直方圖,則可以估計該市高中學生每天體育活動時間的第25百分位數約為(

)A.43.5 B.45.5C.47.5 D.49.5C解析

由頻率之和為1,得10(0.01+0.02+0.03+2a+0.01)=1,解得a=0.015,由10×0.01=0.1<0.25,10×0.01+10×0.02=0.3>0.25,故第25百分位數位于[40,50)內,則第25百分位數為40+10=47.5.可以估計該市高中學生每天體育活動時間的第25百分位數約為47.5.變式探究(變結論)例1(1)的條件下,求該次數學測試成績的第66百分位數.解

根據題意,20×66%=13.2,該次數學測試成績的第14項為90,故第66百分位數為90.[對點訓練1](2024·廣東江門模擬)某校從高一新生中隨機抽取了一個容量為10的身高樣本,數據(單位:cm)從小到大排序如下:158,165,165,167,168,169,x,172,173,175,若樣本數據的第60百分位數是170,則x=(

)A.169 B.170

C.171

D.172C考點二用樣本的數字特征估計總體的數字特征(多考向探究預測)考向1總體集中趨勢的估計(中位數、眾數、平均數)例2(1)(2024·山東濟南模擬)某射擊運動員連續射擊5次,命中的環數(環數為整數)形成的一組數據中,中位數為8,唯一的眾數為9,極差為3,則該組數據的平均數為(

)A.7.6 B.7.8

C.8

D.8.2B解析

依題意,這組數據一共有5個數,中位數為8.將數據從小到大排列,8的前面有2個數,后面也有2個數,又唯一的眾數為9,則有兩個9,其余數字均只出現一次,則最大數字為9,又極差為3,所以最小數字為6,所以這組數據為6,7,8,9,9,所以平均數為

=7.8.(2)(多選題)某城市在創建文明城市的活動中,為了解居民對“創建文明城市”的滿意程度,組織居民給活動打分(分數為整數,滿分100分),從中隨機抽取一個容量為100的樣本,發現數據均在[40,100]內.現將這些分數分成6組并畫出樣本的頻率分布直方圖,但不小心污損了部分圖形,如圖所示.觀察圖形,則下列說法正確的有(

)A.頻率分布直方圖中第三組的頻數為10B.根據頻率分布直方圖估計樣本的眾數為75分C.根據頻率分布直方圖估計樣本的中位數為75分D.根據頻率分布直方圖估計樣本的平均數為75分ABC解析

分數在[60,70)內的頻率為1-10×(0.005+0.020+0.030+0.025+0.010)=0.10,所以第三組的頻數為100×0.10=10,故A正確;因為眾數的估計值是頻率分布直方圖中最高矩形底邊的中點的橫坐標,從圖中可看出眾數的估計值為75分,故B正確;因為(0.005+0.020+0.010)×10=0.35<0.5,(0.005+0.020+0.010+0.030)×10=0.65>0.5,所以中位數位于[70,80)內,設中位數為x,則0.35+0.03(x-70)=0.5,解得x=75,所以中位數的估計值為75分,故C正確;樣本平均數的估計值為45×(10×0.005)+55×(10×0.020)+65×(10×0.010)+75×(10×0.030)+85×(10×0.025)+95×(10×0.010)=73(分),故D錯誤.[對點訓練2](1)(2024·山東煙臺模擬)某組樣本數據的頻率分布直方圖如圖所示,設該組樣本數據的眾數、平均數、第25百分位數分別為x1,x2,x3,則x1,x2,x3的大小關系是(注:同一組中數據用該組區間中點值近似代替)(

)A.x3<x1<x2 B.x2<x1<x3C.x1<x3<x2 D.x1<x2<x3A解析

由頻率分布直方圖可知眾數為

=2.5,即x1=2.5,平均數x2=0.2×1.5+0.24×2.5+0.2×3.5+0.16×4.5+0.12×5.5+0.04×6.5+0.04×7.5=3.54,顯然第25百分位數位于[2,3)之間,則0.2+(x3-2)×0.24=0.25,解得x3≈2.208,所以x3<x1<x2.(2)若一組數據1,x,7,7,9,10的眾數與平均數相等,則這組數據的中位數為

.

7.5

解析

在這組數據中7出現了兩次,其他的數只出現了一次(x除外),因為數據1,x,7,7,9,10的眾數與平均數相等,所以這組數據的眾數只能是7,則考向2總體離散程度的估計(方差與標準差)例3(2023·全國乙,理17,文17)某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產品伸縮率的處理效應,進行10次配對試驗,每次配對試驗選用材質相同的兩個橡膠產品,隨機地選其中一個用甲工藝處理,另一個用乙工藝處理,測量處理后的橡膠產品的伸縮率,甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產品的伸縮率分別記為xi,yi(i=1,2,…,10),試驗結果如下:試驗序號i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536解

(1)∵zi=xi-yi,∴z1=9,z2=6,z3=8,z4=-8,z5=15,z6=11,z7=19,z8=18,z9=20,z10=12,[對點訓練3](2024·江西南昌模擬)已知a,b,c,d的平均數和方差分別為5和10,則a,b,c,d,5的方差為(

)A.4 B.6

C.8

D.12C考向3分層隨機抽樣的方差與標準差例4(2024·山西太原五中模擬)現有甲、乙兩組數據,每組數據均由六個數組成,其中甲組數據的平均數為3,方差為5,乙組數據滿足如下條件時,若將這兩組數據混合成一組,則關于新的一組數據說法錯誤的是(

)A.若乙組數據的平均數為3,則新的一組數據平均數為3B.若乙組數據的方差為5,則新的一組數據方差為5C.若乙組數據的平均數為3,方差為5,則新的一組數據方差為5D.若乙組數據的平均數為5,方差為3,則新的一組數據方差為5B[對點訓練4](2024·福建泉州模擬)隨著老年人消費需求從“生存型”向“發展型”轉變.消費層次不斷提升,“銀發經濟”成為社會熱門話題之一,被各企業持續關注.某企業為了解該地老年人消費能力情況,對該地年齡在[60,80)的老年人的年收入按年齡[60,70),[70,80)分成兩組進行分層抽樣調查,已知抽取了年齡在[60,70)的老年人500人.年齡在[70,80)的老年人300人.現作出年齡在[60,70)的老年人年收入的頻率分布直方圖(如下圖所示).(1)根據頻率分布直方圖,估計該地年齡在[60,70)的老年人年收入的平均數及第95百分位