普通高等學校招生全國統一考試沖刺壓軸卷（三）數學本試卷滿分150分，考試用時120分鐘注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合，，且，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．復數復平面內對應的點位于（

）A．直線上 B．直線上C．直線上 D．直線上3．拋擲一枚骰子兩次，將得到的點數分別記為，則能構成三角形的概率是（

）A． B． C． D．4．已知，直線與的交點在圓：上，則的最大值是（

）A． B． C． D．5．已知橢圓的左、右焦點分別為，傾斜角為且過原點的直線交橢圓于兩點.若，設橢圓的離心率為，則（

）A． B．C． D．6．若的最小值是4，則實數的值為（

）A．6或 B．或18C．6或18 D．或7．已知函數，若且，則的最小值為（

）A．11 B．5 C．9 D．78．在菱形中，，，將沿對角線折起，使點到達的位置，且二面角為直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知向量，，，則（

）A．若，則B．在方向上的投影向量為C．存在，使得在方向上投影向量的模為1D．的取值范圍為10．設分別為函數的極大值點和極小值點，且，則下列說法正確的是（

）A．為的極小值點 B．C． D．11．隨著我國航天科技的快速發展，雙曲線鏡的特性使得它在天文觀測中具有重要作用，雙曲線的光學性質是：從雙曲線的一個焦點發出的光線，經雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.由此可得，過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦點連線的夾角.已知分別為雙曲線的左，右焦點，過C右支上一點作直線l交x軸于，交y軸于點N，則（

）A．C的漸近線方程為B．過點作，垂足為H，則C．點N的坐標為D．四邊形面積的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．計算：＝.13．五一長假期間，某單位安排這3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知在五一長假期間值班2天，則連續值班的概率是.14．某數學興趣小組在閱讀了《選擇性必修第一冊》中數列的課后閱讀之后，對斐波那契數列產生了濃厚的興趣．書上說，斐波那契數列滿足：，，的通項公式為.在自然界，兔子的數量，樹木枝條的數量等都符合斐波那契數列．該學習興趣小組成員也提出了一些結論：①數列是嚴格增數列；②數列的前n項和滿足；③；④.那么以上結論正確的是（填序號）四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15．已知函數.(1)求曲線過點的切線方程；(2)若，求的取值范圍.16．如圖，在四棱錐中，平面，點是的重心.

(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求的長度.17．某校體育鍛煉時間準備提供三項體育活動供學生選擇.為了解該校學生對“三項體育活動中要有籃球”這種觀點的態度（態度分為同意和不同意），隨機調查了200名學生，數據如下：單位：人男生女生合計同意7050120不同意305080合計100100200(1)能否有的把握認為學生對“三項體育活動中要有籃球”這種觀點的態度與性別有關？(2)現有足球、籃球、跳繩供學生選擇.①若甲、乙兩名學生從這三項運動中隨機選一種，且他們的選擇情況相互獨立互不影響.記事件為“甲學生選擇足球”，事件為“甲、乙兩名學生的選擇不同”，判斷事件是否獨立，并說明理由.②若該校所有學生每分鐘跳繩個數.根據往年經驗，該校學生經過訓練后，跳繩個數都有明顯進步.假設經過訓練后每人每分鐘跳繩個數比開始時個數增加10，該校有1000名學生，預估經過訓練后該校每分鐘跳182個以上人數（結果四舍五入到整數）.參考公式和數據：，其中.0.0250.0100.0055.0246.6357.879若，則，，.18．已知A，B是拋物線E：上不同的兩點，點P在x軸下方，PA與拋物線E交于點C，PB與拋物線E交于點D，且滿足，其中λ是常數，且．(1)設AB，CD的中點分別為點M，N，證明：MN垂直于x軸；(2)若點P為半圓上的動點，且，求四邊形ABDC面積的最大值．19．設數列A：，,…().如果對小于()的每個正整數都有＜，則稱是數列A的一個“G時刻”.記“是數列A的所有“G時刻”組成的集合.（1）對數列A：-2，2，-1，1，3，寫出的所有元素；（2）證明：若數列A中存在使得>，則；（3）證明：若數列A滿足-≤1（n=2,3,…,N）,則的元素個數不小于-.1．C【分析】利用集合間的關系，建立不等式求解，注意集合元素的互異性．【詳解】根據題意得到，由，得，解得．故實數的取值范圍是.故選：C.2．B【分析】利用復數的乘方運算以及除法法則可得，求得其對應點坐標可得結論.【詳解】易知，所以，可得復數復平面內對應的點坐標為，位于直線上.故選：B3．A【分析】按照分類討論的方法求出能夠構成三角形的基本事件數，然后利用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】因為三角形兩邊之和大于第三邊，所以，又因為最大為，所以當時，有共六種情況，當時，有共五種情況，當時，有共四種情況，當時，有共三種情況，當時，有共兩種情況，當時，有一種情況，所以共有種情況，而總的可能數有種，所以概率為，故選：A.4．D【分析】根據兩直線方程可知兩直線分別過定點且垂直，可求得點軌跡方程，再由圓與圓的位置關系找出圓心距與兩圓半徑之間的關系可得結果.【詳解】易知直線恒過定點，直線恒過定點，且，易知直線與互相垂直，即可得，所以點軌跡是以為直徑的圓，圓心為的中點，半徑為；可得點軌跡方程為；又因為點在圓上，所以可得圓與圓有公共點，當兩圓內切（圓在外）時，取得最大值；此時滿足，解得.故選：D5．B【分析】根據題意，得到四邊形為矩形，由直線過原點且傾斜角為，在和中，利用余弦定理計算得，結合橢圓的定義,求得離心率，進而計算出.【詳解】如圖所示，

因為，且分別為和的中點，，所以四邊形為矩形，又直線過原點且傾斜角為，即，，且為等腰三角形，所以，在中，根據余弦定理可得，即，同時，在中，根據余弦定理可得，即，所以，可得，.故選：B.6．A【分析】分，，三種情況，得出每種情況下的最小值，令其為4，解出的值.【詳解】當時，，，解得，符合題意；當時，，，解得，符合題意；當時，，，舍掉.故選：A.7．D【分析】根據可知函數的一條對稱軸為，可得，求得，再根據正弦函數在處取得最小值，列出方程可求得結論.【詳解】由可知，在取得最小值，所以函數的一條對稱軸為，又，因此，即；所以，又在取得最小值，可知，解得，又，所以時，取得最小值為7.故選：D8．C【分析】根據給定條件，確定三棱錐的外接球的球心位置，再求出球半徑即可計算作答.【詳解】如圖所示：由題意在菱形中，互相垂直且平分，點為垂足，，由勾股定理得，所以，設點為外接圓的圓心，則外接圓的半徑為，，設點為外接圓的圓心，同理可得外接圓的半徑為，，如圖所示：設三棱錐的外接球的球心、半徑分別為點，而均垂直平分，所以點在面，面內的射影分別在直線上，即，由題意，且二面角為直二面角，即面面，，所以，即，可知四邊形為矩形，所以，由勾股定理以及，所以三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.【點睛】方法點睛：解決與球相關的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現這些元素的關系），達到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結論：根據作出截面中的幾何元素，建立關于球的半徑的方程，并求解.9．ACD【分析】由垂直向量的數量積表示可判斷A；由投影向量的計算公式可判斷B，C；由向量的模長公式結合三角函數的性質可判斷D.【詳解】對于A，若，則，則，即，所以，故A正確；對于B，在方向上的投影向量為，故B錯誤；對于C，在方向上的投影向量的模為，若，則，即，其中，，所以，所以存在，使得在方向上的投影向量的模為1，故C正確.對于D，,因為所以，所以，所以，故D正確.故選：ACD.10．AC【分析】求出函數的導數，由極大值小于1確定出的取值范圍，再逐項求解判斷即得答案.【詳解】函數的定義域為，求導得，由分別是函數的極大值點和極小值點，得有兩個不等的正根，即且，若，當或時，，當時，，函數在上單調遞增，在上單調遞減，函數在處取得極大值，在處取得極小值，即，滿足，若，當或時,，當時，，函數在上單調遞增，在上單調遞減，函數在處取得極大值，在處取得極小值，即，不滿足，因此，且為的極小值點，A正確，B錯誤；顯然，C正確；，，當時，，D錯誤.故選：AC【點睛】關鍵點睛：導數問題往往涉及到分類討論，分類討論標準的確定是關鍵，一般依據導數是否有零點、零點存在時零點是否在給定的范圍內及零點在給定范圍內時兩個零點的大小關系來分層討論.11．ABD【分析】根據方程，可直接求出漸近線方程，即可判斷A項；根據雙曲線的光學性質可推得點為的中點.進而得出，結合雙曲線的定義，即可判斷B項；由已知可得，進而結合雙曲線方程，即可得出點的坐標，即可判斷C項；由，代入利用基本不等式即可求出面積的最小值，判斷D項.【詳解】對于A項，由已知可得，，所以雙曲線的漸近線方程為，故A項正確；對于B項，如圖，

，且滿足，所以直線的方程為，聯立化簡得，由于，即為雙曲線的切線.由雙曲線的光學性質可知，平分，延長與的延長線交于點.則垂直平分，即點為的中點.又是的中點，所以，故B項正確；對于C項，設，則，整理可得.又，所以有，所以有，解得，所以點的坐標為，故C項錯誤；，當且僅當，即時，等號成立.所以，四邊形面積的最小值為，故D項正確.故選：ABD【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵是利用光學性質得點為的中點，結合雙曲線的定義求解，注意平面幾何的特性是解決此類問題的捷徑.12．【分析】由題意由兩角差的正切公式即可得解.【詳解】由題意．故答案為：．13．##0.4【分析】根據條件概率公式可求出結果.【詳解】記“在五一長假期間值班2天”，“連續值班”，則種，種，所以.所以已知在五一長假期間值班2天，則連續值班的概率為.故答案為：.14．②③【分析】根據數列的特征以及遞推公式，即可判斷①；由已知可得，累加法即可得出②；，變形可得時，，然后累加，即可得出③；舉例，驗證，即可判斷④.【詳解】對于①，由題意可知，，，.由已知，則當時，單調遞增.所以，時，由已知可知，單調遞增，且.所以數列在時，為嚴格增數列.但是該數列的前三項不滿足，故①錯誤；對于②，當時，有，，，，，，兩邊同時相加可得，，所以，，故②正確；對于③，由已知可得，，，，，兩邊同時相加可得，，故③正確；對于④，當時，左邊為，右邊為，顯然不成立，故④錯誤.所以，結論正確的是②③.故答案為：②③.【點睛】關鍵點睛：由遞推公式推得，，進而累加法，逐項相消即可得出.15．(1)(2)【分析】（1）利用導數的幾何意義求解，設切點為，對函數求導后可得切線的斜率為，然后利用點斜式求出切線方程，再將代入切線方程可求出，從而可求出切線方程；（2）由，得，構造函數，利用導數求出其最大值即可.【詳解】（1）設切點為，則，得，則切線的斜率，所以切線方程為，即，因為切線過點，所以，化簡得，解得，所以切線方程為，即；（2）由，得，令，則，當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，所以，所以，即的取值范圍為.16．(1)證明見解析；(2)或.【分析】（1）利用線面垂直的性質、判定及面面垂直的判定推理即得.（2）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用線面角的向量求法列式求出的長度.【詳解】（1）在四棱錐中，平面平面，則，而平面，于是平面，又平面，所以平面平面.（2）取中點為，連接，，則，即四邊形為矩形，則，又平面平面，顯然兩兩垂直，以為坐標原點，直線分別為為軸，建立空間直角坐標系，

設，則，由點是的重心，得，則，又，設平面的一個法向量，則，取，得，設與平面所成角為，，化簡得，解得或，即或，所以的長度為或.17．(1)故有的把握認為學生對“三項體育活動中要有籃球”這種觀點的態度與性別有關.(2)①相互獨立；②159人.【分析】（1）根據題中數據和公式計算，并與臨界值對比分析.（2）①根據獨立事件的定義判斷；②利用正態分布對稱性求特殊區間概率，進而估計人數.【詳解】（1）由題設列聯表，有，故有的把握認為學生對“三項體育活動中要有籃球”這種觀點的態度與性別有關.（2）①則故事件獨立.②訓練后，故預估經過訓練后該校每分鐘跳182個以上人數為答：故預估經過訓練后該校每分鐘跳182個以上人數約為人.18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據題意可得，結合斜率分析可得，即可得結果；（2）根據題意利用韋達定理求弦長，可得面積，結合二次函數分析運算.【詳解】（1）因為，且P，A，C共線，P，B，D共線，所以，所以直線AB和直線CD的斜率相等，即，設，，，，則點M的橫坐標，點N的橫坐標，由，得，因式分解得，約分得，所以，即，所以MN垂直于x軸．（2）設，則，且，當時，C為PA中點，則，，