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數學必修1-5常用公式及結論

必修1：一、集合1、含義與表示：(1)集合中元素的特征：確定性，互異性，無序

性

(2)集合的分類；有限集，無限集(3)集合的表示法：列舉法，描述法，圖示法

2、集合間的關系：子集：對任意xA,都有xB,則稱A是B的子集。記作AB真

子集：若A是B的子集，且在B中至少存在一個元素不屬于A,則A是B的真子集，記作

AB集合相等：若：AB,BA,則AB

3.元素與集合的關系：屬于不屬于：空集：

4、集合的運算：并集：由屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合叫并集，記為

AB

交集：由集合A和集合B中的公共元素組成的集合叫交集，記為AB

補集：在全集U中，由所有不屬于集合A的元素組成的集合叫補集，

記為CUA

5.集合｛al,a2,,an｝的子集個數共有2個；真子集有2-1個；非空子集有2-1

個；

6.常用數集：自然數集：N正整數集：N整數集：Z有理數集：Q實數集：R

二、函數的奇偶性

1、定義：奇函數<=>f(-X)=-f(X),偶函數〈=>f(-X)=f(X)

(注意定義域)

2、性質：(1)奇函數的圖象關于原點成中心對稱圖形；

(2)偶函數的圖象關于y軸成軸對稱圖形；

(3)如果一個函數的圖象關于原點對稱，那么這個函數是奇函數；

(4)如果?個函數的圖象關于y軸對稱，那么這個函數是偶函數.

二、函數的單調性

1、定義：對于定義域為D的函數f(x),若任意的xl,x2eD,且xl<x2

①f(xl)<f(x2)<=>f(xl)-f(x2)<0<=>f(x)是增函數

②f(xl)>f(x2)<=>f(xl)-f(x2)>0<=>f(x)是減函數

2、復合函數的單調性：同增異減

三、二次函數y=ax2+bx+c(a0)的性質*nnn

b4acb2b4acb2

1、頂點坐標公式：2a,4a,對稱軸：x2a,最大(小)值：4a

2.二次函數的解析式的三種形式

(D一般式f(x)ax2bxc(a0);(2)頂點式f(x)a(xh)2k(a0);

(3)兩根式f(x)a(xxl)(xx2)(a0).

四、指數與指數函數

1、塞的運算法則：

(1)am*an=am+n,(2)aaa

nmnmn,(3)(am)n=amn(4)(ab)n=an?bn

nnIlanannOm(5)n(6)a=1(aWO)(7)an(8)aa(9)am

nabba

2、根式的性質

(1

G

)na.

(2)當

a；當n

Iaa,a0.

a,a01

4、指數函數y=ax(a>0且aWl)的性質：

(1)定義域：R;值域：(0,+8)(2)圖象過定點(0,1)

5.指數式與對數式的互化：logaNbabN(a0,a1,N0).

五、對數與對數函數

1對數的運算法則：

logN(1)ab=N<=>b=logaN(2)loga1=0(3)logaa=1(4)logaa

b=b(5)aa=N

(6)loga(MN)=logaM+logaN(7)loga(M)=logaM-logaNN

(8)logaNb=blogaN(9)換底公式：logaN=

nlogbNlogba(10)推論logamb

(11)logaN=nlogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).ml(12)常用

對數：1gN=log10N(13)自然對數：InA=logeAlogNa

(其中e=2.71828”)2、對數函數y=logax(a>0且aWl)的性質：

(1)定義域：(0,+8)；值域：R(2)圖象過定點(1,0)

六、幕函數y二xa的圖象：（1）根據

Y

例如:

七.圖象平移：若將函數yf(x)的圖象右移a、上移b個單位，

得到函數yf(xa)b的圖象；規律：左加右減，上加下減

八.平均增長率的問題2

如果原來產值的基礎數為N,平均增長率為p,則對于時間x的總產值y,有

yNl(p)x.九、函數的零點：1.定義：對于yf(x),把使f(x)0的X叫yf(x)的

零點。即yf(x)的圖象與X軸相交時交點的橫坐標。

2.函數零點存在性定理：如果函數yf(x)在區間a.b上的圖象是連續不斷的一條

曲線，并有f(a)f(b)0,那么yf(x)在區間a.b內有零點，即存在ca,b,

使得f(c)0,這個C就是零點。3.二分法求函數零點的步驟：(給定精確度)

ab

2

(3)計算f(xl)①若f(xl)0,則xl就是零點；②若f(a)f(xl)0,則零點

(1)確定區間a,b，驗證f(a)f(b)0;(2)求a.b的中點xl

x0a,xl③若f(xl)f(b)0,則零點xOxl,b；

(4)判斷是否達到精確度，若ab，則零點為a或b或a,b內任一值。否

則重復(2)到(4)

必修2：一、直線與圓1、斜率的計算公式：k=tana=

y2yl

(aK90°,x1力x2)

x2xl

2、直線的方程(1)斜截式y=kx+b,k存在；(2)點斜式y-yO=k(x-

x0),k存在；(3)兩點式

yylxxlxy

(xlx2,yly2)；4)截距式1(a0,b0)

aby2ylx2xl

(5)一般式AxByc0(A,B不同時為0)

/i：y=k|x+b|/|：A(x+Biy+Cj=0

l2ty=k1x+b2/2：A2x+B2y+C2=0

B\

重合kj=k211b|=b?AG

&B?G

_芻_

平行k]=k?且b[WbA.Q.

2A?"Q

垂直kjk2=~IA)An+B)B2=0

4、兩點間距離公式：設Pl(x1,y1)、P2(x2,y2),貝I」|PlP2!=5、

點P(x0,y0)到直線1：

圓的方程圓心

1>>

X-+y-=r-(0,0)

標準方程

(x-t?)2+(y-b)2=r-(a,b)

2

一般方程x+y-+Dx+Ey+F=OI212j

■

Ax+By+C=O的距離：dxlx22yly22

2

2

AxOByOCAB

J(4,%廣+(萬一比尸

3

222

點P(xO,yO)與圓(xa)(yb)r的位置關系有三種若d則dr點P在圓

外;dr點P在圓上;dr點P在圓內.

9.直線與圓的位置關系(圓心到直線的距離為d)

直線AxByC0與圓(xa)2(yb)2r2的位置關系有三種：

dr相離0;dr相切0;dr相交0.

10.兩圓位置關系的判定方法

設兩圓圓心分別為01,02,半徑分別為rl,r2,0102d

drlr2外離4條公切線；

drlr2外切3條公切線；

rlr2drlr2相交2條公切線；

drlr2內切1條公切線；

0drlr2內含無公切線.

H.圓的切線方程

(1)已知圓x2y2DxEyF0.

①若已知切點(x0,y0)在圓上，則切線只有一條，其方程是D(x0x)E(yOy)F0.

22

D(x0x)E(yOy)F0表示過兩個切點當(xO,yO)圓外時，xOxyOy22

xOxyOy

的切點弦方程.

②過圓外一點的切線方程可設為yy0k(xx0),再利用相切條件求k,這時必有兩

條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線.

③斜率為k的切線方程可設為ykxb,再利用相切條件求b,必有兩條切線.

(2)已知圓xyr.

2①過圓上的P點的切線方程為；(x,y)xxyyr00000222

②斜率為k

Jl+A，

的圓的切線方程為ykx二、立體幾何(一)、線線平行判定定理：1、平行于同一

條直線的兩條直線互相平行。

2、垂直于同一平面的兩直線平行。3、如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的

平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。

4、如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。

（二）、線面平行判定定理

1、若平面外的一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

2、若兩個平面平行，則其中一個平面內的任何一條直線都與另一個平面平行。

（三）、面面平行判定定理：

如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

（四）、線線垂直判定定理：

若一直線垂直于一平面，則這條直線垂直于這個平面內的所有直線。

（五）、線面垂直判定定理

1、如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平

面。

2、如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平

面。

（六）、面面垂直判定定理

如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

4

（七）.證明直線與直線的平行的思考途徑

（1）轉化為判定共面二直線無交點；（2）轉化為二直線同與第三條直線平行；

（3）轉化為線面平行；（4）轉化為線面垂直；（5）轉化為面面平行.

（八）,證明直線與平面的平行的思考途徑

（1）轉化為直線與平面無公共點；（2）轉化為線線平行；（3）轉化為面面平行.

（九）.證明平面與平面平行的思考途徑（1）轉化為判定二平面無公共點;

（2）轉化為線面平行；（3）轉化為線面垂直.

（十）.證明直線與直線的垂直的思考途徑

（1）轉化為相交垂直；（2）轉化為線面垂直；（3）利用三垂線定理或逆定理；

（十一）.證明直線與平面垂直的思考途徑

（1）轉化為該直線與面內任一直線垂直；（2）轉化為該直線與平面內相交二直線垂

直；

（3）轉化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉化為該直線垂直于另一個平行平

面；（十二）.證明平面與平面的垂直的思考途徑（1）轉化為判斷二面角是直二面

角；（2

圖形外接圓半徑內切圓半徑面枳

正方形OB=-----aOA=—S=a~

:I:9

圖形外接圓半徑內切圓半徑而積

4\

正三角形OA——aOD=-aS=—a

364

BD

三、空間幾何體

（一）、正三棱錐的性質

1、底面是正三角形，若設底面正三角形的邊長為a,則有作PO_L底面ABC于0,則0

為AABC的中心，P0為棱錐的高，

取AB的中點D,連結PD、CD,則PD為三棱錐的斜高，CD為△ABC的AB邊上的高，且

點0在CD上。...△POD和△P0C都是直角三角形，且NPOD=NP0C=90°

（二）、正四棱錐的性質

B

E

A

2、正四棱錐的輔助線作法一般是：

作P0,底面ABCD于0,則0為正方形ABCD的中心，P0為棱錐的高，取AB的中點E,

連結PE、OE、0A,則PE為四棱錐的斜高，點0在AC上。.?.△POE和aPOA都是直角三角

形，且/POE=ZP0A=90°

（三）、長方體

長方體的一條對角線長的平方等于這個長方體的長、寬、高的平方和。

特殊地，若正方體的棱長為a,則這個正方體的?條對角線長為3a。

5

（四）、正方體與球

1、設正方體的棱長為a,它的外接球半徑為R1,它的內切球半徑為R2,則

5、正方體：a一邊長，S=6a2,V=a3

6,長方體a一長，b一寬，c—高S=2(ab+ac+bc)V=abc

7、棱柱：全面積=側面枳+2X底而枳V=Sh

8、棱錐：全面積=側而積+底面積V=Sh/3

9、棱臺：全而枳=側面積+上底面積+下底面枳V=?($+2+sg

四、三視圖1.投影：把光由一點向外散射形成的投影稱為中心投影。

把在一束平行光線照射下形成的投影，稱為平行投影。平行投影按照投射方口

影面，可以分為斜投影和正投影兩種。

2、光線從幾何體的前面向后面正投影，得到投影圖，這種投影圖叫做幾何體

主視圖);光線從幾何體的上面向F面正投影，得到投影圖，這種投影圖叫做幾

光線從幾何體的左面向右而正投影，得到投影圖，這種投影圖叫做幾何體的側?

(五)幾何體的表而枳體枳計算公式

1,圓柱：表面積:2n/?2+2nRh體積:nR個

2、圓錐：表面枳:nR2+nRL體積TiR2h/3(L為母線長)

3、圓臺：衣而枳：打〃+開/?二+zr(r+R)/體積：V^nh(R2+Rr+r2)/：

4、球：S球面=4"口2丫球=JtR3（其中R為球的半徑）3、“長對正，高平齊，寬

相等”是三視圖之間的投影規律,是畫圖和讀圖的重要依據.

畫幾何體的三視圖時,能看見的輪廓線和棱用實線表示，不能看見的輪廓線和棱用虛線

表示。

必修3:第一章算法初步

1、算法概念：在數學上，現代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來解決的某一

類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內完成.

6

2、構成程序框的圖形符號及其作用

程序框名稱功能

表示一個算法的起始和結#

起止框

不可少的。

一表示一個算法輸入和輸出#

輸入、輸出框

法中任何需要輸入、輸出自

賦值、計算，算法中處理愛

處理框公式等分別寫在不同的用1

—

理框內。

判斷某一條件是否成立，成

<>判斷框明“是”或“Y”：不成立1

4、（1）、輾轉相除法：用較大的數除以較小的數所得的余數和較小的數構成新的一對

數，繼續做上面的除法，直到大數被小數除盡，這個較小的數就是最大公約數。（2）、

更相減損術。以較大的數減去較小的數，接著把較小的數與所得的差比較，并以大數減小

數。繼續這個操作，直到所得的數相等為止，則這個數（等數）就是所求的最大公約數。

（3）進位制①以k為基數的k進制換算為十進制：

anan1...alaO（k）ankan1k

n

n1

alklaOkO

②十進制換算為k進制：除以k取余，倒序排列

第二章統計1.總體和樣本：在統計學中，把研究對象的全體叫做總體.

把每個研究對象叫做個體.把總體中個體的總數叫做總體容量.

為了研究總體的有關性質，一般從總體中隨機抽取一部分：研究，我們稱它為樣本.其

中個體的個數稱為樣本容量.

2、簡單隨機抽樣，也叫純隨機抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完

全隨機地抽取調查單位。特點是：每個樣本單位被抽中的可能性相同。（總體個數較少）

3、簡單隨機抽樣常用的方法：（1）抽簽法；⑵隨機數表法；⑶計算機模擬法；

4、系統抽樣（等距抽樣）：把總體的單位進行排序，再計算出抽樣距離，然后按照這

一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個樣木采用簡單隨機抽樣的辦法抽取。（總體個數較

多）

K（抽樣距離）=N（總體規模）/n（樣本規模）

5、分層抽樣：先將總體中的所有單位按照某種特征或標志（性別、年齡等）劃分成若

干類

7,，，

型或層次，然后再在各個類型或層次中采用簡單隨機抽樣或系統抽樣的辦法抽取一個子

樣本，最后，將這些子樣本合起來構成總體的樣本。先以分層變量將總體劃分為若干層，

再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。（總體中差異明顯）6、總體分布的估計：⑴

一表二圖：①頻率分布表——數據詳實

②頻率分布直方圖——分布直觀③頻率分布折線圖——便于觀察總體分布趨勢注：總

體分布的密度曲線與橫軸圍成的面積為1。

⑵莖葉圖：①莖葉圖適用于數據較少的情況，從中便于看出數據的分布，以及中位數、

眾位數等。②個位數為葉，十位數為莖，右側數據按照從小到大書寫，相同的數重復

寫。

7、用樣本的數字特征估計總體的數字特征（s

為標準差）

xlx2xn（1）、平均值：x（2）、sn8、兩個變量的線性相關（1）、概念:

（1）回歸直線方程：yabx

（2）回歸系數：bi1

nxiyinxy

iInxnx2i2,aybx

（3）.應用直線回歸時注意：回歸分析前,最好先作出散點圖；

第三章概率

一、概念1、事件：試驗的每一種可能的結果，用大寫英文字母表示；

（1）必然事件：在條件S下，一定會發生的事件，叫相對于條件S的必然事件；

（2）不可能事件：在條件S下，?定不會發生的事件，叫相對于條件S的不可能事

件；

（3）隨機事件：在條件S下可能發生也可能不發生的事件，叫相對于條件S的隨機事

件；

2、古典概型：⑴基本事件：一次試驗中可能出現的每一個基本結果；

3、幾何概型：（D特點：①所有的基本事件是無限個；②每個基本翁件都是，

構成事件4的區域長度（面積或，

⑵幾何概型概率計算公式：試驗的全部結果所構〃購區域及度（代

⑵古典概型的特點：基本事件可列舉；每個基本事件都是等可能發生

⑶概率計算公式：一次試驗的等可能基本事件共有n個，事件A包含了其中的m個基本

事件，則事件A發生的概率p（A）m4、若ACB=",即不可能同時發生的兩個事件，那

么稱事件A與事件B互斥；

5、若ACB為不可能事件，AUB為必然事件，即不能同時發生且必有一個發生的兩個事

件，

那么稱事件A與事件B互為對立事件；

二、概率的基本性質：1）必然事件概率為1，不可能事件概率為0,因此OWP（A）W1；

2）當事件A與B互斥時,滿足加法公式：P（AUB）=P（A）+P（B）；

8

3）若事件A與B為對立事件，則AUB為必然事件，所以P（AUB）=P（A）+P（B）=1,于

是有P（A）=1—P（B）；

4）互斥事件與對立事件的區別與聯系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗中不

會同時發生，具體包括三種不同的情形：（1）事件A發生且事件B不發生；（2）事件A

不發生且事件B發生；（3）事件A與事件B同時不發生，而對立事件是指事件A與事件B

有且僅有一個發生，其包括兩種情形；（1）事件A發生B不發生；（2）事件B發生事件

A不發生，對立事件是互斥事件的特殊情形。

必修4一、三角函數與三角恒等變換

函數正弦函數余弦函數

一

圖象

定義域RR

值域[-IJ1MJ]

周期性2n2TT

奇偶性奇函數偶函數

增區間LTT+2kn,2kn]

增區間[-丁+2kn,—+2kn]

J減區間[2kTT,n+2kn]

單調性

減區間[g+2kn,f+2kn](kez)

對稱軸x=—十kn(keZ)x=kn(k6Z)

0一

n/、

對稱中心(kn.0)(kez)(—+kn.0)(kez)

2

2、同角三角函數公式sin2a+cos2a=1tantanacota=1

3、二倍角的三角函數公式

sin2a=2sinacosacos2a=2cos2a-1=1-2sin2a二cos2a-sin2a

tan2

2tan

2

1tan

2

4、降幕公式cos

1cos21cos22

sin22

5、升密公式1±sin2a=(sina±cosa)21+cos2a=2cos2a1-cos2a=2

sin2a

6、兩角和差的二角函數公式

sin(a±B)二sinacosB土cosasinBcos(a±8)二cosacosP干

sinasinB9

tantantan1tantan

7、兩角和差正切公式的變形：

tana±tanB二tan(a±B)(1干tanatanB)

1tantan45tan1tantan45tan二=tan(+a)=二tan(-a)

1tan1tan45tan1tan1tan45tan44

8、兩角和差正弦公式的變形(合一變形)

asinbcosa2b2sin(其中tan

9、半角公式：sinb)a

2coscosco222

1cossin1cos1cos1cossintan

2

10、三角函數的誘導公式“奇變偶不變，符號看象限。”

sin(n-a)=sina,cos(n-a)=-cosa,tan(n—a)=-tana；sin

(JI+Q)二—sinacos(n+a)二—cosatan(n+a)=tanasin(2n—a)=——

sinacos(2n—a)=cosatan(2n—a)二—tana

sin(一a)二一sinacos(-a)=cosatan(-a)二—tana-a)=

cosacos(-a)=sinatan(-a)=cota222

sin(+a)=cosacos(+a)=—sinatan(+a)=—cota222sin(

11.三角函數的周期公式

函數ysin(x),x￡R及函數ycos(x),xeR(A,w,為常數，且

AWO,3>0)的周期T2

；函數ytan(x),xk

2,kZ(A,為常數，且A

WO,3>0)的周期T.

二、平面向量(一)、向量的有關概念

1、向量的模計算公式：(1)向量法：I

yla-a

22(2)坐標法：設=(x,y),則||=xy2、單位向量的計算公式：

xy(1)與向量二(x,y)同向的單位向量是,22x2y2xy；10

(2)與向量a二(x,y)反向的單位向量是xy

22,；xyx2y2

3、平行向量規定：零向量與任一向量平行。設二(xl,yl),=(x2,y2),人為實數

向量法：〃(W)<=>=人坐標法：〃(W)<=>xx

1y2-x2yl=0<=>1x2

yy(yl六0,y2NO)

12

4、垂直向量規定：零向量與任一向量垂直。設二(xl,yl),=(x2,y2)向量法:

±<=>2=0坐標法：±<=>xlx2+yly2=0

5.平面兩點間的距離公式

d

y/ABAB

A,B=|AB|

一內尸+(必一)，了

(xl,yl),B(x2,y2)).

(二)、向量的加法

(1)向量法：三角形法則(首尾相接首尾連)，平行四邊形法則(起點相同連對角)

(2)坐標法：設=(xl,yl),=(x2,y2),則+=(xl+x2,yl+y2)

(三)、向量的減法

(1)向量法：三角形法則(首首相接尾尾連，差向量的方向指向被減向量)

(2)坐標法：設a=(xl,yl),b=(x2,y2),則a-b=(xl-x2,yl-y2)

(3)、重要結論：||a|-|b||W|a+b|W|a|+|b|

(西)、兩個向量的夾角計算公式：(1)向量法：cos=

(2)坐標法：設=(xl,yl),=(x2,y2),則cos=xlx2yly2

x2y222

11x2y2

(五)、平面向量的數量積計算公式：(1)向量法：a2b=|a||b|cos

(2)坐標法：設a=(xl,yl),b=(x2,y2),則a?b=xlx2+yly2

(3)a2b的幾何意義:

數量積a2b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos0的乘積.

(六).1、實數與向量的積的運算律：設入、u為實數，那么

(1)結合律：入(口a)=(人君)a;(2)第一分配律:(入+口)a=入a+口a;

(3)第二分配律：X(a+b)=入a+入b.

2,向量的數量積的運算律：(1)a2b=b2a(交換律)；

(2)(a)2b=(a2b)=a2b=a2(b);(3)(a+b)2c=a2c+b2c.113.平面向

量基本定理：如果el、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一

向量，有且只有一對實數入1、入2,使得a二入lel+入2e2.不共線的向量el、e2叫做表

示這一平面內所有向量的?組基底.

(七).三角形的重心坐標公式

△ABC三個頂點的坐標分別為A(xl,yl)、B(x2,y2)、C(x3,y3),則△ABC的重心的坐標

是G(xlx2x3yly2y3,)33

必修5—、解三角形：△ABC的六個元素A,B,C,a,b,c滿足下列關系：

1、角的關系：A+B+C二九，

特殊地，若△ABC的三內角A,B,C成等差數列，則NB=60°,ZA+ZC=120°

2、誘導公式的應用：sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=--cosC,

sin(ABCABC)二cos,cos()二sin222222

abc2R(R為△ABC外接圓半徑)sinAsinBsinC3>邊的關系：a+b>c,a

-b<c(兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。)4、邊角關系：(1)正弦定

理：

a:b:c=sinA:sinB:sinC分體型a=2RsinA,b=2RsinB,c=2R

sinC,

(2