8.6.3平面與平面垂直的性質

導學案

編寫：廖云波初審：譚光垠終審：譚光垠廖云波

【學習目標】

1.記住平面與平面垂直的性質定理，并能應用定理解決有關問題

2.能綜合運用直線與平面垂直，平面與平面垂直的判定和性質解決有關問題

【自主學習】

知識點1平面與平面垂直的性質定理

1.文字語言：兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線,

那么這條直線與另一個平面垂邕_

aUa

2.符號語言:

aCp=l

a.Ll>

3.圖形語言:

【合作探究】

探究一面面垂直性質定理的應用

【例1】如圖所示，P是四邊形A8CO所在平面外的一點，四邊形ABCC是/D4B=60。的

菱形，側面附￡>為正三角形，其所在平面垂直于底面4BCD若G為AD邊的中點，求證：

BG_L平面PAD.

［分析］解答本題可先由面面垂直依據面面垂直的性質定理得線面垂直.

［證明］連接B。，

；四邊形ABCD是菱形且ND48=60。,

/\ABD是正三角形.

：G是AO的中點，BG1AD.

又平面用。，平面48c。，平面以on平面A8CO=AD,

；.BG_L平面PAD.

歸納總結：證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理，另一種方法是利用面面垂

直的性質定理，本題已知面面垂直，故可考慮面面垂直的性質定理.利用面面垂直的性質定

理，證明線面垂直的問題時，要注意以下三點：（1）兩個平面垂直；（2）直線必須在其中一個

平面內；（3）直線必須垂直于它們的交線

【練習1】如圖，在四棱錐P-A8C。中，平面%8J_平面ABC￡>,BC〃平面以。，NPBC=

90°,NPB4K90°.求證：

(1)AZ)〃平面PBC；

(2)平面PBC_L平面PAB.

證明：(1)因為8c〃平面以。，而8Cu平面A8CO,平面4BCOCI平面以力=4。，所

以BC〃AD因為AOC平面PBC,8Cu平面PBC,所以A。〃平面P8C.

(2)如圖，自P點作PH_LAB于H,因為平面平面ABCD,且平面用BCI平面ABC。

=AB,所以P"_L平面A8CD

因為BCu平面ABCD,

所以BCLPH.

因為/PBC=90。，所以8C_LPB,

而/尸84#90。，于是點，與B不重合,

即PBCPH=P.

因為PB,平面以8,

所以8CL平面PAB.

因為8Cu平面PBC,

故平面P8cl.平面PAB.

探究二垂直關系的綜合應用

【例2】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB〃C￡),AB1AD,CD^2AB,平面力O_L平面ABCD,

PAA.AD,E和尸分別為CO和PC的中點，求證：

⑴布_L平面ABC。；

(2)BE〃平面PAD；

(3)平面BEF_L平面PCD.

［證明］(1)因為平面出￡>_1_平面ABC。,且以垂直于這兩個平面的交線AO,所以％J_

平面ABCD.

(2)因為A8〃CQ,CD=2AB,E為CQ的中點，

所以AB〃DE,且AB=DE.

所以四邊形ABEO為平行四邊形.所以8E〃AD

又因為BEU平面附O,AOu平面附。，

所以8E〃平面PAD.

(3)因為而且四邊形ABE1。為平行四邊形.

所以BE-LCD,AD1CD,

由(1)知司，平面ABCD.

所以M1CD.XADQM=A,

所以CO_L平面mD所以CD1PD.

因為E和尸分別是CD和PC的中點，

所以PD//EF.

所以COJ_EE又EFCBE=E,

所以CD_L平面BEF.又COu平面PCD,

所以平面8EF_L平面PCD.

歸納總結：掌握線線、線面、面面垂直的性質和判定是三種垂直相互轉化的關鍵.由線面垂

直可知線與面內任何一條直線都垂直；由線面垂直亦可得到面面垂直（面面垂直的判定）.因此

說線面垂直是線線垂直和面面垂直的樞紐

【練習2】如圖所示，四棱錐P-ABCO的底面是一個直角梯形，AB//CD,BALAD,CD=

2AB,%JL平面ABCD,E^PC的中點，則平面EBD能垂直于平面ABCD嗎?請說明理由.

解：平面E8力不能垂直于平面A8CD理由如下：

假設平面EBD垂直于平面ABCD,

過E作E0_L8。于0,連接A。、CO.

平面E8力，EO1BD,平面E8DCI平面

；.E0_L平面ABCD.

又：以，平面A8CZ）,：.E0//PA.

VA,0、C是PC上三點P、E、C在平面A8CO上的投影,

：.P.E、C三點的投影均在直線AC上，

...A、0、C三點共線.

又是PC的中點，二。是AC的中點.

^\"AB//CD,:.△ABOS^CDO.

又：A0=0C,：.AB=CD,

這與C￡>=2A8矛盾，

二假設不成立.故平面E8Z）不能垂直于平面A8CD

課后作業

A組基礎題

一、選擇題

1.已知直線〃?，〃和平面a,P，若aJ_￡,aC\p=m,“Ua,要使〃_1_W，則應增加的條件是

（）

A.m//nB.〃_!_〃？

C.n//aD.〃J_a

【答案】B

解析：由面面垂直的性質定理知，要使n邛,應有”與交線加垂直，，應增加條件nlm.

2.下列命題中錯誤的是（）

A.如果平面aJ_平面夕，那么平面a內一定存在直線平行于平面￡

B.如果平面a不垂直于平面￡,那么平面a內一定不存在直線垂直于平面夕

C.如果平面a_L平面平面4_1_平面y,那么/J_平面y

D.如果平面。，平面夕，那么平面a內所有直線都垂直于平面￡

【答案】D

解析：由平面與平面垂直的有關性質可以判斷出D項錯誤.

3.如圖所示，三棱錐尸-ABC中，平面A2C_L平面以8,PA^PB,AD^DB,則（）

A.PQU平面ABC

B.P￡>_L平面ABC

C.與平面ABC相交但不垂直

D.P。〃平面ABC

【答案】B

解析：：/]4=P8,AQ=DB,，PO_LA8.又?..平面ABUL平面PAB,平面ABCCl平面PAB

=AB,，尸。，平面ABC.

4.如圖，在斜三棱柱ABC-AiBG中，ZBAC=90。，BC\LAC,則點Ci在平面ABC上的射

影H必在（）

A.直線AB上

B.直線BC上

C.直線AC上

D.△ABC內部

【答案】A

解析：連接AG,如圖所示,

：/區4c=90。，：.AB±AC.

VBC\A-AC,ABC\BC}=B,

；.AC_L平面ABCs.

又；ACu平面ABC,

二平面A8GJ_平面ABC,

又?平面A8CC平面ABC=AB,

...點G在底面A8C上的射影點”必在A8上.故選A.

jrTT

5.如圖，平面a，平面夕，AGa,Be/?,AB與兩平面a、夕所成的角分別為]和4.過A、B

分別作兩平面交線的垂線，垂足為A'、B',則AB：A'B'等于（）

A.2:1B.3：1C.3：2D.4：3

【答案】A

7T

解析：由已知條件可知

ZABA'—^,設AB—2a,

則88'=2，與（=啦"，A'B—2aco^—y[3a,

...在RtA中，得A'B'=a,：.AB-.A'B'=2：1.

6.（多選）如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,ZABC=90°,AD:BC:AB=2：3：4,E,F

分別是A8,CD的中點，將四邊形AOFE沿直線EF進行翻折，給出四個結論，在翻折過程

中，可能成立的結論的為（）

A.DFVBC

B.BDLFC

C.平面QBF_L平面BFC

D.平面。CF_L平面BFC

【答案】BC

解析：如圖，因為8C〃AD,A。與。尸相交不垂直,

所以BC與OF不垂直，則A錯誤；

設點。在平面BCF上的射影為點P,

當8PJ_C/時，有8DJ_FC,而AOBCAB=234,可使條件滿足，所以B正確;

當點?落在BF上時，QPu平面8DP,

從而平面跳開，平面8FC,所以C正確；

因為點。的投影不可能在尸C上，

所以平面OCF1■平面8FC不成立，即D錯誤.

二、填空題

7.如圖，把RtaABC沿斜邊上的高CD折起，使平面ADCJ_平面BOC,如圖所示，互相

垂直的平面有對，其中］對是-

【答案】3平面AOC與平面8CC（【答案】丕唯二）

解析：由已知得C￡>_LA8,所以平面AOCJ_平面ABO,平面AO8_L平面8QC,又因為

平面ADC_L平面BDC,綜上可知，互相垂直的平面有3對.

8.已知直二面角a-//,點Ada,ACLl,C為垂足，Be夕，BDLI,。為垂足，若A8=2,

AC=BD=1,則CD的長為.

【答案】yj2

解析：如圖，連接8C,；二面角a-//為直二面角，ACua,且ACL/,，ACJ?夕，又

BCup,：.AC±BC,：.BC2=AB2-AC2=3,又BDLCD,：.CD=yjBC2~BD2=y[2.

9.如圖，若邊長為4和3與邊長為4和2的兩個矩形所在的平面互相垂直，則cosa:cos￡

【答案】<5：2

解析：由題意，兩個矩形的對角線長分別為5,2小，所以cosa=

2^5

啊所以cosa：cos^=\5：2.

三、解答題

10.把一副三角板如圖拼接，設BC=6,ZBAC=90°,AB=AC,ZBCD=90°,ZD=60°,

使兩塊三角板所在的平面互相垂直.求證：平面ABOJ_平面ACD

A

證明：?.?平面4BCJ_平面8C。，CDIBC,二CD_L平面ABC.

又A8u平面ABC,：.CDLAB,

XAB±AC,CDC\AC=C,

平面ACD.又A8u平面ABD,

，平面ABD_L平面ACD.

11.如圖，在三棱錐P-ABC中，E,尸分別為AC,BC的中點.

⑴求證：EF〃平面R48；

(2)若平面以C_L平面ABC,且朋=PC,ZABC=90°.

求證：平面PErJ_平面P8C.

證明：(1)：E,F分別為AC,8c的中點，，E尸〃AB.又EFC平面/MB,A8u平面以8,

.?.EF〃平面PAB.

(2)VM=PC,E為AC的中點,：.PELAC.

又；平面以CJ_平面ABC,

，PE_L平面ABC,：.PELBC.

又?尸為8c的中點，：.EF//AB.

VZABC=90°,：.BC±EF.

,：EFCPE=E,：.BC_L平面PEF.

又,?BCu平面PBC,：.平面PBC1.平面PEF.

B組能力提升

一、選擇題

1.如圖，在四邊形A8C。中，AD//BC,AD^AB,ZBCD=45°,ZBAD=90°,將△48。

沿折起，使平面AB。，平面BCD,構成三棱錐A—BCC,則在三棱錐A-BCQ中，下

列命題正確的是（）

AD

A.平面ABOJ_平面ABC

B.平面ADC_L平面BOC

C.平面ABC_L平面BDC

D.平面AOCJ■平面ABC

【答案】D

解析如圖，在平面圖形中CDJ_8。,折起后仍然滿足CO_L8D由于平面平面BCD,

平面ARDC平面BCD=2￡>,故CD_L平面ABD,CD±AB.^AB1AD,故A8_L平面ADC,

所以平面AOCJ_平面ABC.

:A

c

2.如圖所示，三棱錐P-ABC的底面在平面a內，平面a,且AC_LPC,平面必。，平

面PBC,點P,A,8是定點，則動點C的軌跡是（）

/A^^B/

aC

A.一條線段

B.一條直線

C.一個圓

D.一個圓，但要去掉兩個點

【答案】D

解析：：平面小C_L平面PBC,ACLPC,平面以CCI平面PBC=PC,ACu平面以C,

；.AC_L平面PBC.

又平面PBC,：.AC±BC.：.ZACB=90°.

二動點C的軌跡是以A8為直徑的圓，除去4和8兩點.

3.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AO=CD=1,BD=-^2,8。_LCD將四邊形ABC。沿對

角線80折成四面體A'-BCD,使平面4'8。，平面8（7。，則下列結論正確的是（）

A.A'C1.BD

B.NBA'C=90°

C.CA'與平面4'8。所成的角為30。

D.四面體4'-BC。的體積為g

【答案】B

解析：取的中點0,連接40,0C,'：A'B=A'D,：.A'01.BD,又平面平面BCD,

平面A'BDD平面8c￡>=84，；.40_L平面BCD,；CO，0C不垂直于8D假設4CJ_8。,

又4CrM'O=A,，8。_￡平面4。。，.?.8￡>J_0C與0C不垂直于8。矛盾，二“。不垂直

于8DA錯誤.?.,CO_L8D平面48。，平面BCD,.*.CO_L平面48D,，。。，人，。，

=巾,；A'8=1,BC=、BD2+C》=/,：.A'B2+A'C2^BC2,A'BLA'C,B正確.ZCA'D

為直線CA與平面ABO所成的角，ZCA'D=45°,C錯誤.以皿=亂D錯誤，

故選B.

二、填空題

4.如圖所示，AB為圓。的直徑，點C在圓周上（異于點A,B）,直線以垂直于圓。所在

的平面，點M為線段P8的中點.有以下四個命題：①以〃平面M08；②M0〃平面以C；

③0。_1_平面PAC；④平面FC，平面P8C.其中正確的命題是.（填上所有正確命

題的序號）

【答案】②④

解析因為用U平面MOB,所以①不正確；因為〃辦，而且MOC平面以C,所以②正

確；OC不垂直于AC,所以③不正確；因為8CLAC,BCLPA,ACQPA=A,所以BCL平

面H1C,所以平面用C_L平面P8C,所以④正確.

5.〃?、〃是兩條不同的直線，a、夕、y是三個不同的平面，給出如下命題：

①若a_L"aC￡=m,〃Ua,nVm,則〃J_￡；

②若a，y,皿，貝Ua〃尸；

③若a_L夕，且〃_L￡,n^m,則

④a_L￡,tn邛,mda,則m//a；

⑤若a邛,m//a,則mA.fi.

其中正確命題的序號為.

【答案】阪

解析：根據平面與平面垂直的性質定理知①正確；②中，a、P可能平行，也可能相交，不

正確；③中，"Z還可能在a內或/w〃a,或"［與a斜交，不正確；④中，a邛,ml。,mCa

時，有m//a,正確；⑤中，，"與6的位置關系可能是m//P或"口3或與￡相交，不正確.

三、解答題

6.如圖，已知%_L平面ABC,AD1.PB,垂足為。，AE1PC,垂足為E,ZABC=90°.

(1)證明：平面4OE_L平面以C.

(2)作出平面4OE與平面ABC的交線/,并證明NE4C是二面角E-/-C的平面角.(在圖中體

現作圖過程不必寫出畫法)

解：(1)證明：在三棱錐P-ABC中，BC1.AB,

BCA-PA,ABHPA=A,所以8C_L平面用8,

又AQu平面以8,所以8C_LAO,

又