培優課兩個原理的應用

A級必備知識基礎練

1.某班要從a,6,c,de共5個人中選1名班長，1名副班長，但a不能當副班長,不同選法的種數是

（）

2.現有4種不同的顏色為一行字“嚴勤活實”涂顏色，要求相鄰的兩個字涂色不同，則不同的涂色

種數為（）

3.若一個三位數的自然數的各位數字中，有且僅有兩個數字一樣,我們就把這樣的三位數定義為

“單重數”，例如232,114等，則不超過200的“單重數”有（）

4.由0,1,2,3,5組成的無重復數字的五位偶數共有（）

5.（多選題）某學校高一年級數學課外活動小組中有男生7人，女生3人,則下列說法正確的是

（）

A.從中選2人，1人做正組長，1人做副組長,共有100種不同的選法

B.從中選2人參加數學競賽,其中男、女生各1人,共有21種不同的選法

C.從中選1人參加數學競賽,共有10種不同的選法

D.若報名參加學校的足球隊、羽毛球隊,每人限報其中的1個隊,共有100種不同的報名方法

6.如圖所示的幾何體是由一個三棱錐P-4%與三棱柱/8C-4AG組合而成的,現用3種不同顏色對

這個幾何體的表面涂色（底面484不涂色），要求相鄰的面均不同色,則不同的涂色方案共有.

種.

7.將紅、黃、藍、白、黑五種顏色涂在如圖所示“田”字形的4個小方格內，每格涂一種顏色，相

鄰兩格涂不同的顏色.如果顏色可以反復使用，共有多少種不同的涂色方法?

B級關鍵能力提升練

8.在由0,1,2,3,4,5所組成的沒有重復數字的四位數中，能被5整除的有（）

9.用5種不同顏色給圖中A,B,C。四個區域涂色,規定每個區域只涂一種顏色,相鄰區域顏色不同,

則不同的涂色方法種數為（）

10.如圖,給7條線段的5個端點涂色，要求同一條線段的兩個端點不能同色，現有4種不同的顏色

可供選擇，則不同的涂色方法種數為()

11.一個三位數,其十位上的數字既小于百位上的數字也小于個位上的數字(735,414等)，那么這樣

的三位數共有()

12.甲，乙，丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項志愿者活動，要求每人參加一天且每

天至多安排一人,并要求甲安排在另外兩位前面,則不同的安排方法共有.,種.

13.如圖所示的A,B,C,〃按照下列要求涂色.

ABD

(1)用3種不同顏色填涂圖中A,B,C。四個區域,且使相鄰區域不同色,若按從左到右依次涂色,有

多少種不同的涂色方案?

(2)若有3種不同顏色,恰好用2種不同顏色涂完四個區域,且相鄰區域不同色,共有多少種不同的

涂色方案?

C級學科素養創新練

14.（2022江蘇蘇州相城高二期中）在埃及金字塔內有組數字142857,因為142857X2=285

714,142857X3=128571,142857X4=571428,…，所以這組數字又叫“走馬燈數”.該組數字還

有如下發現：142用57q99,428巧71F99,285+714=999,…，若從這組神秘數字中任選3個數字構成

一個三位數x,剩下的三個數字構成另一個三位數%若x+y句99,將所有可能的三位數x按從小到大

依次排序，則第12個三位數了為（）

參考答案

培優課兩個原理的應用

1.B分兩類進行:第一類,當a當班長時，共有1X4力種選法;第二類，當a不當班長時，又因為a

也不能當副班長,則共有4X3=12種選法.

根據分類加法計數原理,共有4+12=16種選法.故選B.

2.D第一步，給“嚴”字涂色的方法有4種;第二步，給“勤”字涂色的方法有3種;第三步，給

“活”字涂色的方法有3種;第四步，給“實”字涂色的方法有3種.由分步乘法計數原理可知，共

有4X3X3X3=108種.故選D.

3.D依題意，當兩個數字一樣同為0時,有100,200,有2個;兩個數字一樣同為1時,有

110,101,112,121,113,131,一直到191,119,共18個;兩個數字一樣同為2時，有122,有1個；同理,

兩個數字一樣同為3,4,5,6,7,8,9時，各1個.

綜上,不超過200的“單重數”共有2+18冏夕8個.

4.B依題意,無重復數字的五位偶數分兩類:第一類,若五位數的個位數是0,則可以組成

4X3X2X124個無重復數字的五位偶數;第二類,若五位數的個位數是2,由于0不排首位,因此只

有1,3,5,有3種選擇，中間的三個位置有3X2X1=6種排法,可以組成3X6=18個無重復數字的五

位偶數.

由分類加法計數原理,可得所有無重復五位偶數的個數為24+18=42.故選B.

5.BC對于A,選1人做正組長，1人做副組長需要分兩步：

第一步,先選正組長有10種選法;第二步,再選副組長有9種選法.

根據分步乘法計數原理,共有10X9-90種不同的選法，故A錯誤；

對于B,從中選2人參加數學競賽,其中男、女生各1人,則共有7X331種不同的選法,故B正確；

對于C,選1人參加數學競賽,既可以選男生,也可以選女生,則共有7+3=10種不同的選法,故C正確;

對于D,每人報名都有2種選擇,共有10人,則共有2'°=1024種不同的報名方法,故D錯誤.故選BC.

6.12先涂三棱錐/T笈的三個側面,再涂三棱柱的三個側面，由分步乘法計數原理,共有

3X2X1X2=12種不同的涂法.

7.解分兩類進行:第一類,第1個小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上,有5種不同的涂法；

當第2個、第3個小方格涂不同顏色時,有4X3=12種不同的涂法;第4個小方格有3種不同的涂

法.

由分步乘法計數原理,可知有5義12X3=180種不同的涂法；

第二類,第1個小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上,有5種不同的涂法;當第2個、第3個

小方格涂相同顏色時,有4種涂法；由于相鄰兩格不同色，第4個小方格也有4種不同的涂法.由分

步乘法計數原理可知有5X4X4=80種不同的涂法.

由分類加法計數原理可得共有180+80=260種不同的涂法.

8.D能被5整除的四位數，可分為兩類：

第一類,個位為0,共有5X4X3W0個沒有重復數字,能被5整除的四位數；

第二類,個位為5,共有4X4X3N8個沒有重復數字,能被5整除的四位數.

由分類加法計數原理,共有60刊8=108個沒有重復數字,能被5整除的四位數.

9.C分兩類.第一類:若A,。的顏色相同時,第一步,涂4c區域，有5種方法;第二步,涂8區域，有

4種方法;第三步,涂〃區域，有3種方法.則共有5X4X3=60種涂法.第二類:若4，的顏色不同時,

第一步,涂4區域，有5種方法;第二步,涂8區域，有4種方法;第三步,涂。區域，有3種方法;第四

步,涂。區域,有2種方法.則共有5X4X3X2=120種方法.根據分類加法計數原理,共有

60+120=180種方法.

10.C第一類,若A,〃顏色相同,先涂￡有4種涂法,再涂A,〃有3種涂法,再涂B有2種涂法,。只

有一種涂法,共有4X3X234種涂法；

第二類,若顏色4〃不同,先涂￡有4種涂法,再涂力有3種涂法,再涂〃有2種涂法,當6和。相同

時，。有2種涂法,當8和〃不同時,8,C只有一種涂法,共有4X3X2X(2+1)=72種涂法.

根據分類加法計數原理可得,共有24+72句6種涂法.故選C.

11.c?.?十位上的數字既小于百位上的數字也小于個位上的數字，

當十位數字是。時，有9X9J1種結果；當十位數字是1時，有8X8W4種結果；

當十位數字是2時,有7X7力9種結果；當十位數字是3時,有6X6=36種結果；

當十位數字是4時,有5X525種結果；當十位數字是5時,有4X4=16種結果;

當十位數字是6時,有3X3田種結果；當十位數字是7時，有2X2N種結果；

當十位數字是8時，有1種結果.

根據分類加法計數原理得,共有8144弘9+36+25+16對留+1=285個滿足條件的三位數.故選C.

12.20分三類:第一類，若甲在周一，則乙、丙有4義3=12種排法；

第二類，若甲在周二，則乙、丙有3X24種排法；

第