6.4.2向量在物理中的應用舉例

導學案

【學習目標】

1.通過力的合成與分解模型、速度的合成與分解模型，掌握利用向量方法研究物

理中相關問題的步驟.

2.明了向量在物理中應用的基本題型，進一步加深對所學向量的概念和向量運算

的認識.

3.培養運用向量知識解決物理問題的能力.

【自主學習】

知識點1力與向量

力與前面學過的自由向量有區別.

(1)相同點：力和向量都既要考慮大小又要考慮方向.

(2)不同點：向量與始點無關,力和作用點有關，大小和方向相同的兩個力，如

果作用點不同，那么它們是不相等的.

知識點2向量方法在物理中的應用

(1)力、速度、加速度、位移都是向量.

1

(2)力、速度、加速度、位移的合成與分解就是向量的加、減運算,運動的疊加

亦用到向量的合成.

(3)動量mv是數乘向量.

(4)功即是力耳與所產生位移s的數量積.

2

【合作探究】

探究一向量的線性運算在物理中的應用

【例1】帆船比賽是借助風帆推動船只在規定距離內競速的一項水上運動，如果

一帆船所受的風力方向為北偏東30°,速度為20km/h,此時水的流向是正東,

流速為20km/h.若不考慮其他因素，求帆船的速度與方向.

解建立如圖所示的直角坐標系，風的方向為北偏東30°,速度為=

20(km/h),水流的方向為正東，速度為|的|=20(km/h),

設帆船行駛的速度為％

則V=V,+v2.

由題意，可得向量匕=(20cos60°,20sin60°)=(10,1咪)，向量，=(20,0),

則帆船的行駛速度

v=匕+外=(10,1073)+(20,0)=(30,10-\/3),

所以|H=-\/302+(10^3)2=2073(km/h).

因為tan。=與￡=算(。為v和匕的夾角，。為銳角)，

oUo

所以a=30°.

所以帆船向北偏東60°的方向行駛，速度為2項km/h.

歸納總結：利用向量法解決物理問題有兩種思路，第一種是幾何法，選取適當的

基底，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量運算法則，運算律或性質計算.

第二種是坐標法，通過建立平面直角坐標系，實現向量的坐標化，轉化為代數運

3

算.

【練習11某人在靜水中游泳，速度為44km/h,水的流速為4km/h,他必須

朝哪個方向游才能沿與水流垂直的方向前進？實際前進的速度大小為多少？

解如圖所示，設此人的實際速度為宓，水流速度為應.

???實際速度=游速+水速，

二游速為第一湯=欣，

在如中，|9|="百，I/1=4,|南|=4/，cos/初0=辿~=坐.

\AB\3

故此人應沿與河岸夾角余弦值為號，逆著水流方向前進，實際前進速度的大小

O

為4^2km/h.

探究二向量的數量積在物理中的應用

【例2】已知兩恒力￡=⑶4),￡=(6,—5)作用于同一質點，使之由點4(20,15)

移動到點3(7,0).

(1)求E,用分別對質點所做的功；

(2)求凡的合力戶對質點所做的功.

4

解(1)萍(7,0)—(20,15)=(-13,-15),

明=A?急=(3,4)?(—13,-15)

=3X(-13)+4*(-15)=-99(J),

W2=F,?AB=(6,-5)?(-13,-15)

=6X(一⑶+(—5)義(-15)=—3仃).

二力E，為對質點所做的功分別為一99J和一3J.

⑵W=F*荔=(人+E)?AB

=[(3,4)+(6,-5)]?(-13,-15)=(9,-1)?(-13,-15)

=9X(-13)+(-I)X(-15)=-117+15=-102(J).

二合力尸對質點所做的功為一102J.

歸納總結：物理中力尸所做功/問題常運用向量的數量積解決.

【練習2】已知尸=(2,3)作用于一物體，使物體從小2,0)移動到8(—2,3),求

產對物體所做的功.

解AB=(-4,3),

勺尸?6=尸?漉=(2,3)?(-4,3)=-8+9=1(J).

...力產對物體所做的功為1J.

5

6

課后作業

A組基礎題

一、選擇題

1.一質點受到平面上的三個力A,R,K（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態，

已知￡,E成90°角，且￡,￡的大小分別為2和4,則K的大小為（）

A.6NB.2N

C.2^5ND.2小N

答案C

2.用力尸推動一物體水平運動sm,設廠與水平面的夾角為心則對物體所做

的功為（）

A.|冏?sB./cos，?s

C.咫in0?sD.|F\cos9?s

答案D

3.兩個大小相等的共點力E,R,當它們夾角為90°時，合力大小為20N,則

當它們的夾角為120°時，合力大小為（）

A.40NB.10^/2N

C.20^/2ND.1073N

答案B

解析|川==|尸|cos45。=10^/2,

當9=120°,由平行四邊形法則知：

1^|=|^|=|^|=10^2N.

4.共點力￡=（lg2,1g2）,E=（lg5,1g2）作用在物體物上，產生位移s

7

=(21g5,1),則共點力對物體做的功『為()

A.1g2B.1g5C.1D.2

答案D

解析月十月=(1,21g2).

；.『=(E+E)?s=(1,21g2)?(21g5,1)

=21g5+21g2=2.

5.已知作用在點/的三個力￡=(3,4),￡=(2,-5),[=⑶1)且4(1,1),

則合力f=￡+￡+￡的終點坐標為()

A.(9,1)B.(1,9)

C.(9,0)D.(0,9)

答案A

解析/*=￡+￡+￡=⑶4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),設合力F的終點為P(x,

力，則

OP=OA+f=(1,1)+(8,0)=(9,1).

6.如圖所示，一力作用在小車上，其中力尸的大小為10N,方向與水平面成60°

角，當小車向前運動10m,則力尸做的功為（）

A.100JB.50J

C.50小JD.200J

8

【答案】B

解析：設小車位移為s,則|s|=10m,%=尸，$=|尸||s|,cos60°=10

1

X10X-=50J.

7.坐標平面內一只小螞蟻以速度丫=(1,2)從點4(4,6)處移動到點8(7,12)處，

其所用時間長短為()

A.2B.3

C.4D.8

【答案】B

解析：v|=^/12+22=^/5,又|闔={~7—4~彳―12—6~.,.時間方

二、填空題

8.用兩條成120°角的等長的繩子懸掛一個燈具，如圖所示，已知燈具重10N,

則每根繩子的拉力大小為N.

答案10

解析設重力為G，每根繩的拉力分別為E，F2,則由題意得E，8與一G都成

60°角,

且|￡|=|￡|.

.，?1^1=1^1=1^1=10N.

,每根繩子的拉力都為10N.

9

9.已知一個物體在大小為6N的力尸的作用下產生的位移s的大小為100m,且

b與s的夾角為60°,則力尸所做的功-J.

答案300

解析W—F,s=|F|s|cos(F,s)

=6X100Xcos60°=300(J).

10.一條河寬為800m,一船從［出發航行垂直到達河正對岸的8處，船速為20

km/h,水速為12km/h,則船到達6處所需時間為分鐘.

答案3

解析YV炳=/船+7木=匕+匕，

1-1=20,|=12,

/.Iv\=\jIvX'--v.y

=A/202-122=16(km/h).

f)8

.?.所需時間1=尢■nO.OSl小時)=3(分鐘).

16

.?.該船到達A處所需的時間為3分鐘.

11.若麗=(2,2),旗=(-2,3)分別表示E,貝！J|E+￡l=.

答案5

解析???4+￡=(0,5),

.?.出+知=后兩=5.

10

12.如圖，兩根固定的光滑硬桿/，必成〃角，在桿上各套一小套只Q,P、Q

用輕線相連，現用恒力尸沿龐方向拉環0,則當兩環穩定時，輕線上的拉力的大

小為.

解析做受力分析，依題意，重力可以忽略不計，。受輕線的拉力為7,由于受

力平衡，只能是輕線與桿垂直，即輕線與勿的夾角為方一0,7bos停一〃)=￡

故⑺

sina

13.已知力Q(2,3)作用于一物體，使物體從4(2,0)移動到8(—2,3),則力尸

對物體所做的功為.

【答案】1

解析:W=F?s=F*AB=(2,3)X(—4,3)=—8+9=1.

14.如圖所示，小船被繩索拉向岸邊，船在水中運動時設水的阻力大小不變，那

么小船勻速靠岸過程中，下列說法中正確的是.(寫出正確的所有序

號)

①繩子的拉力不斷增大；②繩子的拉力不斷變小；③船的浮力不斷變小；④船的

浮力保持不變.

答案①③

11

解析設水的阻力為￡繩的拉力為F,廠與水平方向夾角為。（0＜，＜］）.則

,/。增大，cos。減小，...|尸|增大.

V|F|sin〃增大，...船的浮力減小.

三、解答題

15.一艘船從南岸出發，向北岸橫渡.根據測量，這一天水流速度為3km/h,

方向正東，風的方向為北偏西300,受風力影響，靜水中船的漂行速度為3km/h,

若要使該船由南向北沿垂直于河岸的方向以2mkm/h的速度橫渡，求船本身的

速度大小及方向.

解如圖，設水的速度為％,風的速度為%,匕+6=&易求得a的方向是北偏

東30°,a的大小是3km/h.設船的實際航行速度為K

方向由南向北，大小為2mkm/h,船本身的速度為匕，則a+%=v,即v3=v

—a,數形結合知內的方向是北偏西60°,大小是小km/h.

16.在水流速度為4千米/小時的河流中，有一艘船沿與水流垂直的方向以8千

米/小時的速度航行，求船實際航行的速度的大小.

12

解如圖用小表示水流速度，匕表示與水流垂直的方向的速度.

則%+%表示船實際航行速度，

IFb|=4,|K|=8,

解直角三角形|%十%|

=d'+G=4#.

故船實際航行的速度為44千米/小時.

17.質量/=2.0kg的木塊，在平行于斜面向上的拉力尸=10N的作用下，沿傾

斜角6=30°的光滑斜面向上滑行|s|=2.0m的距離.

(1)分別求物體所受各力對物體所做的功；

⑵在這個過程中，物體所受各力對物體做功的代數和是多少？

解(1)木塊受三個力的作用，重力G,拉力戶和支持力"，如圖所示.拉力產

與位移s方向相同，所以拉力對木塊所做的功為：

Wt=F*s=|F|S|COS0°=20(J).

支持力尸v與位移方向垂直，不做功，

所以網=戶,?5=0.

重力G對物體所做的功為：

%=G?s=|G\Is|cos(90°+J)=-19.6(J).

(2)物體所受各力對物體做功的代數和為：

—%+%+%=0.4(J).

13

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B組能力提升

一、選擇題

1.質點尸在平面上作勻速直線運動，速度向量〃=(4,一3)(即點尸的運動方向

與r相同，且每秒移動的距離為I丫|個單位).設開始時點尸的坐標為(一10,10),

則5秒后點尸的坐標為()

A.(-2,4)B.(-30,25)

C.(10,-5)D.(5,-10)

答案C

解析設(-10,10)為4設5秒后尸點的坐標為4(x,y),則筋i=(x+10,y

-10),由題意有筋i=5幾

即(x+10,y-10)=(20,-15)

x+10=20\x=10,

=J10=-15=<ly=-5.

二、填空題

2.一纖夫用牽繩拉船沿直線方向前進60m,若牽繩與行進方向夾角為30°,纖

夫的拉力為50N,則纖夫對船所做的功為.