湘教版高中數(shù)學(xué)教案

湘教版高中公開課數(shù)學(xué)教案1

一、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計

通過實例理解充分條件、必要條件的意義。

能夠在簡單的問題情境中判斷條件的充分性、必要性。

二、教學(xué)重點及難點

充分條件、必要條件的判斷；

充分條件、必要條件的判斷方法。

三、教學(xué)流程設(shè)計

四、教學(xué)過程設(shè)計

一、概念引入

早在戰(zhàn)國時期，《墨經(jīng)》中就有這樣一段話有之則必然，無

之則未必不然，是為大故無之則必不然，有之則未必然，是為小

故。

今天，在日常生活中，常聽人說：這充分說明，沒有這個必

要等，在數(shù)學(xué)中，也講充分和必要，這節(jié)課，我們就來學(xué)習(xí)教材

第一章第五節(jié)充分條件與必要條件。

二、概念形成

1、首先請同學(xué)們判斷下列命題的真假

(1)若兩三角形全等，則兩三角形的面積相等。

(2)若三角形有兩個內(nèi)角相等，則這個三角形是等腰三角形。

(3)若某個整數(shù)能夠被4整除，則這個整數(shù)必是偶數(shù)。

(4)若ab=O,則a=0。

解答：命題(2)、(3)、(4)為真。命題(4)為假；

2、請同學(xué)用推斷符號寫出上述命題。

解答：(1)兩三角形全等兩三角形的面積相等。

(2)三角形有兩個內(nèi)角相等三角形是等腰三角形。

(3)某個整數(shù)能夠被4整除則這個整數(shù)必是偶數(shù)；

(4)ab=Oa=0o

3、充分條件與必要條件

繼續(xù)結(jié)合上述實例說明什么是充分條件、什么是必要條件。

若某個整數(shù)能夠被4整除則這個整數(shù)必是偶數(shù)中，我們稱某

個整數(shù)能夠被4整除是這個整數(shù)必是偶數(shù)的充分條件，可以解釋

為：只要某個整數(shù)能夠被4整除成立，這個整數(shù)必是偶數(shù)就一定

成立；而稱這個整數(shù)必是偶數(shù)是某個整數(shù)能夠被4整除的必要條

件，可以解釋成如果某個整數(shù)能夠被4整除成立，就必須要這

個整數(shù)必是偶數(shù)成立

充分條件：一般地，用、分別表示兩件事，如果這件事成立，

可以推出這件事也成立，即，那么叫做的充分條件。［說明］:①

可以解釋為：為了使成立，具備條件就足夠了。②可進一步解釋

為：有它即行，無它也未必不行。③結(jié)合實例解釋為：x=0是

xy=0的充分條件，xy=0不一定要x=0。)

必要條件：如果，那么叫做的必要條件。

［說明］:①可以解釋為若，則叫做的必要條件，是的充分條

件。②無它不行，有它也不一定行③結(jié)合實例解釋為：如xy=O

是x=0的必要條件，若xyO,則一定有x若xy=0也不一定

有x=0。

回答上述問題(1)、(2)中的條件關(guān)系。

(1)中：兩三角形全等是兩三角形的面積相等的充分條件；

兩三角形的面積相等是兩三角形全等的必要條件。

(2)中：三角形有兩個內(nèi)角相等是三角形是等腰三角形的充

分條件；三角形是等腰三角形是三角形有兩個內(nèi)角相等的必要條

件。

4、拓廣引申

把命題：若某個整數(shù)能夠被4整除，則這個整數(shù)必是偶數(shù)中

的條件與結(jié)論分別記作與，那么，原命題與逆命題的真假同與之

間有什么關(guān)系呢？

關(guān)系可分為四類：

(1)充分不必要條件，即，而

(2)必要不充分條件，即，而

(3)既充分又必要條件，即，又有

(4)既不充分也不必要條件，即，又有。

三、典型例題(概念運用)

例1：(1)已知四邊形ABCD是凸四邊形，那么AC=BD是四邊

形ABCD是矩形的什么條件？為什么？(課本例題p22例4)

(2)是的什么條件。

(3)a+b是1,b什么條件。

解：(1)AC=BD是四邊形ABCD是矩形的必要不充分條件。

(2)充分不必要條件。

(3)必要不充分條件。

［說明］①如果把命題條件與結(jié)論分別記作與，則既要對進行

判斷，又要對進行判斷。②要否定條件的充分性、必要性，則只

需舉一反例即可。

例2:判斷下列電路圖中p與q的充要關(guān)系。其中p：開關(guān)

閉合；q：

燈亮。(補充例題)

［說明］①圖中含有兩個開關(guān)時，P表示其中一個閉合，另一

個情況不確定。②加強學(xué)科之間的橫向溝通，通過圖示，深化概

念認(rèn)識。

例3、探討下列生活中名言名句的充要關(guān)系。(補充例題)

(1)頭發(fā)長，見識短。(2)驕兵必敗。

(3)有志者事竟成。(4)春回大地，萬物復(fù)蘇。

(5)不入虎穴、焉得虎子(6)四肢發(fā)達，頭腦簡單

［說明］通過本例，充分調(diào)動學(xué)生生活經(jīng)驗，使得抽象概念形

象化。從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情。

四、鞏固練習(xí)

1、課本P/22練習(xí)lo5(1)

2：填表（補充）

pqp是q的

什么條件q是P的

什么條件

兩個角相等兩個角是對頂角

內(nèi)錯角相等兩直線平行

四邊形對角線相等四邊形是平行邊形

a=bac=bc

［說明］通過練習(xí)，及時鞏固所學(xué)新知，反饋教學(xué)效果。

五、課堂小結(jié)

1、本節(jié)課主要研究的內(nèi)容：

推斷符號，

充分條件的意義命題充分性、必要性的判斷。

必要條件的意義

2、充分條件、必要條件判別步驟：

①認(rèn)清條件和結(jié)論。

②考察pq和qP的真假。

3、充分條件、必要條件判別技巧：

①可先簡化命題。

②否定一個命題只要舉出一個反例即可。

③將命題轉(zhuǎn)化為等價的逆否命題后再判斷。

六、課后作業(yè)

書面作業(yè)：課本P/24習(xí)題1。51,2,3o

五、教學(xué)設(shè)計說明

1、充分條件、必要條件以及下節(jié)課中充要條件與集合的概

念一樣涉及到數(shù)學(xué)的各個分支，用推出關(guān)系的形式給出它的定義,

對高一學(xué)生只要求知道它的意義，并能判斷簡單的充分條件與必

要條件。

2、由于充要條件與命題的真假、命題的條件與結(jié)論的相互

關(guān)系緊密相關(guān)，為此，教學(xué)時可以從判斷命題的真假入手，來分

析命題的條件對于結(jié)論來說，是否充分，從而引入充分條件的概

念，進而引入必要條件的概念。

3、教材中對充分條件、必要條件的定義沒有作過多的解釋

說明，為了讓學(xué)生能理解定義的合理性，在教學(xué)過程中，教師可

以從一些熟悉的命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系來認(rèn)識充分條件

的概念，從互為逆否命題的等價性來引出必要條件的概念。

4、由于這節(jié)課概念性、理論性較強，一般的教學(xué)使學(xué)生感

到枯燥乏味，為此，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣是關(guān)鍵。教學(xué)中始終要

注意以學(xué)生為主，結(jié)合相關(guān)學(xué)科及學(xué)生生活經(jīng)驗讓學(xué)生在自我思

考、相互交流中去給概念下定義，去體會概念的本質(zhì)屬性。

湘教版高中公開課數(shù)學(xué)教案2

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識與技能

(1)理解等差數(shù)列的定義，會應(yīng)用定義判斷一個數(shù)列是否是

等差數(shù)列：

(2)賬務(wù)等差數(shù)列的通項公式及其推導(dǎo)過程：

(3)會應(yīng)用等差數(shù)列通項公式解決簡單問題。

2.過程與方法

在定義的理解和通項公式的推導(dǎo)、應(yīng)用過程中，培養(yǎng)學(xué)生的

觀察、分析、歸納能力和嚴(yán)密的邏輯思維的能力，體驗從特殊到

一般，一般到特殊的認(rèn)知規(guī)律，提高熟悉猜想和歸納的能力，滲

透函數(shù)與方程的思想。

3.情感、態(tài)度與價值觀

通過教師指導(dǎo)下學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、相互交流和探索活動，培

養(yǎng)學(xué)生主動探索、用于發(fā)現(xiàn)的求知精神，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,

讓學(xué)生感受到成功的喜悅。在解決問題的過程中，使學(xué)生養(yǎng)成細(xì)

心觀察、認(rèn)真分析、善于總結(jié)的良好習(xí)慣。

【教學(xué)重點】

①等差數(shù)列的概念;②等差數(shù)列的通項公式

【教學(xué)難點】

①理解等差數(shù)列“等差”的特點及通項公式的含義;②等差

數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)過程.

【學(xué)情分析】

我所教學(xué)的學(xué)生是我校高一⑺班的學(xué)生（平行班學(xué)生），經(jīng)

過一年的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，大部分學(xué)生知識經(jīng)驗已較為豐富，他們

的智力發(fā)展已到了形式運演階段，具備了較強的抽象思維能力和

演繹推理能力，但也有一部分學(xué)生的基礎(chǔ)較弱，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

還不是很濃，所以我在授課時注重從具體的生活實例出發(fā)，注重

引導(dǎo)、啟發(fā)、研究和探討以符合這類學(xué)生的心理發(fā)展特點，從而

促進思維能力的進一步發(fā)展.

【設(shè)計思路】

1.教法

①啟發(fā)引導(dǎo)法：這種方法有利于學(xué)生對知識進行主動建構(gòu);

有利于突出重點，突破難點；有利于調(diào)動學(xué)生的主動性和積極性,

發(fā)揮其創(chuàng)造性.

②分組討論法：有利于學(xué)生進行交流，及時發(fā)現(xiàn)問題，解決

問題，調(diào)動學(xué)生的積極性.

③講練結(jié)合法：可以及時鞏固所學(xué)內(nèi)容，抓住重點，突破難

點.

2.學(xué)法

引導(dǎo)學(xué)生首先從三個現(xiàn)實問題（數(shù)數(shù)問題、水庫水位問題、

儲蓄問題）概括出數(shù)組特點并抽象出等差數(shù)列的概念；接著就等

差數(shù)列概念的特點，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項公式；可以對各種能

力的同學(xué)引導(dǎo)認(rèn)識多元的推導(dǎo)思維方法.

【教學(xué)過程】

一：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

1.從0開始，將5的倍數(shù)按從小到大的順序排列，得到的數(shù)

列是什么？

2.水庫管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，用定

期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚.如果一個水庫的水位為

18m,自然放水每天水位降低2.5m,最低降至5nl.那么從開始放

水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位（單位：

m）組成一個什么數(shù)列？

3.我國現(xiàn)行儲蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，

即不把利息加入本息計算下一期的利息.按照單利計算本利和的

公式是：本利和=本金x（l+利率X存期）.按活期存入10000元

錢，年利率是0.72%,那么按照單利，5年內(nèi)各年末的本利和（單

位：元）組成一個什么數(shù)列？

教師：以上三個問題中的數(shù)蘊涵著三列數(shù).

學(xué)生：

1：0,5,10,15,20,25,….

2：18,15.5,13,10.5,8,5.5.

3：10072,10144,10216,10288,10360.

（設(shè)置意圖：從實例引入，實質(zhì)是給出了等差數(shù)列的現(xiàn)實背景,

目的是讓學(xué)生感受到等差數(shù)列是現(xiàn)實生活中大量存在的數(shù)學(xué)模

型.通過分析，由特殊到一般，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)探究知識的自主性，

培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力.

二：觀察歸納，形成定義

①0,5,10,15,20,25,….

②18,15.5,13,10.5,8,5.5.

③10072,10144,10216,10288,10360.

思考1上述數(shù)列有什么共同特點？

思考2根據(jù)上數(shù)列的共同特點，你能給出等差數(shù)列的一般定

義嗎？

思考3你能將上述的文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)符號語言嗎？

教師：引導(dǎo)學(xué)生思考這三列數(shù)具有的共同特征，然后讓學(xué)生

抓住數(shù)列的特征，歸納得出等差數(shù)列概念.

學(xué)生：分組討論，可能會有不同的答案：前數(shù)和后數(shù)的差符

合一定規(guī)律；這些數(shù)都是按照一定順序排列的…只要合理教師就

要給予肯定.

教師引導(dǎo)歸納出：等差數(shù)列的定義；另外，教師引導(dǎo)學(xué)生從

數(shù)學(xué)符號角度理解等差數(shù)列的定義.

（設(shè)計意圖：通過對一定數(shù)量感性材料的觀察、分析，提煉

出感性材料的本質(zhì)屬性;使學(xué)生體會到等差數(shù)列的規(guī)律和共同特

點；一開始抓?。骸睆牡诙椘穑恳豁椗c它的前一項的差為同

一常數(shù)”，落實對等差數(shù)列概念的準(zhǔn)確表達.）

三：舉一反三，鞏固定義

1.判定下列數(shù)列是否為等差數(shù)列？若是，指出公差d.

(1)1,1,1,1,1;

(2)1,0,1,0,1；

(3)2,1,0,-1,-2；

(4)4,7,10,13,16.

教師出示題目，學(xué)生思考回答.教師訂正并強調(diào)求公差應(yīng)注

意的問題.

注意：公差d是每一項(第2項起)與它的前一項的差，防止

把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒，而且公差可以是正數(shù)，負(fù)數(shù)，也可以為

0.

(設(shè)計意圖：強化學(xué)生對等差數(shù)列“等差”特征的理解和應(yīng)

用).

2思考4：設(shè)數(shù)列｛an｝的通項公式為an=3n+l,該數(shù)列是等差

數(shù)列嗎？為什么？

(設(shè)計意圖：強化等差數(shù)列的證明定義法)

四：利用定義，導(dǎo)出通項

1.已知等差數(shù)列：8,5,2,求第200項？

2.已知一個等差數(shù)列｛an｝的首項是al,公差是d,如何求

出它的任意項an呢？

教師出示問題，放手讓學(xué)生探究，然后選擇列式具有代表性

的上去板演或投影展示.根據(jù)學(xué)生在課堂上的具體情況進行具體

評價、引導(dǎo)，總結(jié)推導(dǎo)方法，體會歸納思想以及累加求通項的方

法;讓學(xué)生初步嘗試處理數(shù)列問題的常用方法.

（設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生觀察、歸納、猜想，培養(yǎng)學(xué)生合理的

推理能力.學(xué)生在分組合作探究過程中，可能會找到多種不同的

解決辦法，教師要逐一點評，并及時肯定、贊揚學(xué)生善于動腦、

勇于創(chuàng)新的品質(zhì)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造意識.鼓勵學(xué)生自主解答，培

養(yǎng)學(xué)生運算能力）

五：應(yīng)用通項，解決問題

1判斷100是不是等差數(shù)列2,9,16,…的項？如果是，是

第幾項？

2在等差數(shù)列｛an｝中，已知a5=10,al2=31,求al,d和an.

3求等差數(shù)列3,7,11,…的第4項和第10項

教師：給出問題，讓學(xué)生自己操練，教師巡視學(xué)生答題情況.

學(xué)生：教師叫學(xué)生代表總結(jié)此類題型的解題思路，教師補充:

已知等差數(shù)列的首項和公差就可以求出其通項公式

（設(shè)計意圖：主要是熟悉公式，使學(xué)生從中體會公式與方程之

間的聯(lián)系.初步認(rèn)識“基本量法”求解等差數(shù)列問題.）

六：反饋練習(xí)：教材13頁練習(xí)1

七：歸納總結(jié)：

1.一個定義：

等差數(shù)列的定義及定義表達式

2.一個公式：

等差數(shù)列的通項公式

3.二個應(yīng)用：

定義和通項公式的應(yīng)用

教師：讓學(xué)生思考整理，找?guī)讉€代表發(fā)言，最后教師給出補

充

（設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生去聯(lián)想本節(jié)課所涉及到的各個方面，

溝通它們之間的聯(lián)系，使學(xué)生能在新的高度上去重新認(rèn)識和掌握

基本概念，并靈活運用基本概念.）

【設(shè)計反思】

本設(shè)計從生活中的數(shù)列模型導(dǎo)入，有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主

動性，增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列的興趣.在探索的過程中，學(xué)生通過分

析、觀察，歸納出等差數(shù)列定義，然后由定義導(dǎo)出通項公式，強

化了由具體到抽象，由特殊到一般的思維過程，有助于提高學(xué)生

分析問題和解決問題的能力.本節(jié)課教學(xué)采用啟發(fā)方法，以教師

提出問題、學(xué)生探討解決問題為途徑，以相互補充展開教學(xué)，總

結(jié)科學(xué)合理的知識體系，形成師生之間的良性互動，提高課堂教

學(xué)效率.

湘教版高中公開課數(shù)學(xué)教案3

圓的方程

教學(xué)目標(biāo)

(1)掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑熟練地寫出

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，也能根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程熟練地寫出圓的圓心坐標(biāo)

和半徑.

(2)掌握圓的一般方程，了解圓的一般方程的結(jié)構(gòu)特征，熟

練掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程之間的互化.

(3)了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程，能夠進行圓

的普通方程與參數(shù)方程之間的互化，能應(yīng)用圓的參數(shù)方程解決有

關(guān)的簡單問題.

(4)掌握直線和圓的位置關(guān)系，會求圓的切線.

(5)進一步理解曲線方程的概念、熟悉求曲線方程的方法.

教學(xué)建議

教材分析

(1)知識結(jié)構(gòu)

(2)重點、難點分析

①本節(jié)內(nèi)容教學(xué)的重點是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程、參數(shù)方

程的推導(dǎo)，根據(jù)條件求圓的方程，用圓的方程解決相關(guān)問題.

②本節(jié)的難點是圓的一般方程的結(jié)構(gòu)特征，以及圓方程的求

解和應(yīng)用.

教法建議

(1)圓是最簡單的曲線.這節(jié)教材安排在學(xué)習(xí)了曲線方程概

念和求曲線方程之后，學(xué)習(xí)三大圓錐曲線之前，旨在熟悉曲線和

方程的理論，為后繼學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.同時，有關(guān)圓的問題，特別

是直線與圓的位置關(guān)系問題，也是解析幾何中的基本問題，這些

問題的解決為圓錐曲線問題的解決提供了基本的思想方法.因此

教學(xué)中應(yīng)加強練習(xí)，使學(xué)生確實掌握這一單元的知識和方法.

(2)在解決有關(guān)圓的問題的過程中多次用到配方法、待定系

數(shù)法等思想方法，教學(xué)中應(yīng)多總結(jié).

(3)解決有關(guān)圓的問題，要經(jīng)常用到一元二次方程的理論、

平面幾何知識和前邊學(xué)過的解析幾何的基本知識，教師在教學(xué)中

要注意多復(fù)習(xí)、多運用，培養(yǎng)學(xué)生運算能力和簡化運算過程的意

識.

(4)有關(guān)圓的內(nèi)容非常豐富，有很多有價值的問題.建議適當(dāng)

選擇一些內(nèi)容供學(xué)生研究.例如由過圓上一點的切線方程引申到

切點弦方程就是一個很有價值的問題.類似的還有圓系方程等問

題.

教學(xué)設(shè)計示例

圓的一般方程

教學(xué)目標(biāo)：

(1)掌握圓的一般方程及其特點.

(2)能將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求出圓心

和半徑.

(3)能用待定系數(shù)法，由已知條件求出圓的一般方程.

(4)通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，進一步掌握配方法和待定系數(shù)法.

教學(xué)重點：(1)用配方法，把圓的一般方程轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程，

求出圓心和半徑.

(2)用待定系數(shù)法求圓的方程.

教學(xué)難點：圓的一般方程特點的研究.

教學(xué)用具：計算機.

教學(xué)方法：啟發(fā)引導(dǎo)法，討論法.

教學(xué)過程：

【引入】

前邊已經(jīng)學(xué)過了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

把它展開得

任何圓的方程都可以通過展開化成形如

①

的方程

【問題1】

形如①的方程的曲線是否都是圓？

師生共同討論分析：

如果①表示圓，那么它一定是某個圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開整理得

到的.我們把它再寫成原來的形式不就可以看出來了嗎？運用配

方法，得

②

顯然②是不是圓方程與是什么樣的數(shù)密切相關(guān)，具體如下:

(1)當(dāng)時，②表示以為圓心、以為半徑的圓；

(2)當(dāng)時，②表示一個點；

(3)當(dāng)時，②不表示任何曲線.

總結(jié)：任意形如①的方程可能表示一個圓，也可能表示一個

點，還有可能什么也不表示.

圓的一般方程的定義：

當(dāng)時，①表示以為圓心、以為半徑的圓，

此時①稱作圓的一般方程.

即稱形如的方程為圓的一般方程.

【問題2］圓的一般方程的特點，與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的異同.

(1)和的系數(shù)相同，都不為0.

(2)沒有形如的二次項.

圓的一般方程與一般的二元二次方程

③

相比較，上述(1)、(2)兩個條件僅是③表示圓的必要條件,

而不是充分條件或充要條件.

圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程各有千秋：

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程帶有明顯的幾何的影子，圓心和半徑一目

了然.

(2)圓的一般方程表現(xiàn)出明顯的代數(shù)的形式與結(jié)構(gòu)，更適合

方程理論的運用.

【實例分析】

例1:下列方程各表示什么圖形.

(1);

(2)；

(3).

學(xué)生演算并回答

(1)表示點(0,0)；

(2)配方得，表示以為圓心，3為半徑的圓；

(3)配方得，當(dāng)、同時為0時，表示原點(0,0)；當(dāng)、不

同時為0時，表示以為圓心，為半徑的圓.

例2：求過三點，，的圓的方程，并求出圓心坐標(biāo)和半

徑.

分析：由于學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程，那么本題

既可以用標(biāo)準(zhǔn)方程求解，也可以用一般方程求解.

解：設(shè)圓的方程為

因為、、三點在圓上，則有

解得：，，

所求圓的方程為

可化為

圓心為，半徑為5.

請同學(xué)們再用標(biāo)準(zhǔn)方程求解，比較兩種解法的區(qū)別.

【概括總結(jié)】通過學(xué)生討論，師生共同總結(jié)：

(1)求圓的方程多用待定系數(shù)法.其步驟為：由題意設(shè)方程

(標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程)；根據(jù)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組;

解方程組求出系數(shù)，寫出方程.

(2)如何選用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程.一般地，易求圓

心和半徑時，選用標(biāo)準(zhǔn)方程；如果給出圓上已知點，可選用一般

方程.

下面再看一個問題：

例3：經(jīng)過點作圓的割線，交圓于、兩點，求線段的

中點的軌跡.

解：圓的方程可化為，其圓心為，半徑為2.設(shè)是軌跡

上任意一點.

即

化簡得

點在曲線上，并且曲線為圓內(nèi)部的一段圓弧.

【練習(xí)鞏固】

(1)方程表示的曲線是以為圓心，4為半徑的圓.求、、

的值.(結(jié)果為4,-6,-3)

(2)求經(jīng)過三點、、的圓的方程.

分析：用圓的一般方程，代入點的坐標(biāo)，解方程組得圓的方

程為.

(3)課本第79頁練習(xí)1,2.

【小結(jié)】師生共同總結(jié)：

(1)圓的一般方程及其特點.

(2)用配方法化圓的一般方程為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求圓心坐標(biāo)

和半徑.

(3)用待定系數(shù)法求圓的方程.

【作業(yè)】課本第82頁5,6,7,8.

湘教版高中公開課數(shù)學(xué)教案4

直線的方程

教學(xué)目標(biāo)

(1)掌握由一點和斜率導(dǎo)出直線方程的方法，掌握直線方程

的點斜式、兩點式和直線方程的一般式，并能根據(jù)條件熟練地求

出直線的方程.

(2)理解直線方程幾種形式之間的內(nèi)在聯(lián)系，能在整體上把

握直線的方程.

(3)掌握直線方程各種形式之間的互化.

(4)通過直線方程一般式的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生全面、系統(tǒng)、周密

地分析、討論問題的能力.

(5)通過直線方程特殊式與一般式轉(zhuǎn)化的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生靈

活的思維品質(zhì)和辯證唯物主義觀點.

(6)進一步理解直線方程的概念，理解直線斜率的意義和解

析幾何的思想方法.

教學(xué)建議

1.教材分析

(1)知識結(jié)構(gòu)

由直線方程的概念和直線斜率的概念導(dǎo)出直線方程的點斜

式；由直線方程的點斜式分別導(dǎo)出直線方程的斜截式和兩點式;

再由兩點式導(dǎo)出截距式；最后都可以轉(zhuǎn)化歸結(jié)為直線的一般式;

同時一般式也可以轉(zhuǎn)化成特殊式.

(2)重點、難點分析

①本節(jié)的重點是直線方程的點斜式、兩點式、一般式，以及

根據(jù)具體條件求出直線的方程.

解析幾何有兩項根本性的任務(wù)：一個是求曲線的方程；另一

個就是用方程研究曲線.本節(jié)內(nèi)容就是求直線的方程，因此是非

常重要的內(nèi)容，它對以后學(xué)習(xí)用方程討論直線起著直接的作用，

同時也對曲線方程的學(xué)習(xí)起著重要的作用.

直線的點斜式方程是平面解析幾何中所求出的第一個方程，

是后面幾種特殊形式的源頭.學(xué)生對點斜式學(xué)習(xí)的效果將直接影

響后繼知識的學(xué)習(xí).

②本節(jié)的難點是直線方程特殊形式的限制條件，直線方程的

整體結(jié)構(gòu)，直線與二元一次方程的關(guān)系證明.

2.教法建議

(1)教材中求直線方程采取先特殊后一般的思路，特殊形式

的方程幾何特征明顯，但局限性強；一般形式的方程無任何限制，

但幾何特征不明顯.教學(xué)中各部分知識之間過渡要自然流暢，不

生硬.

(2)直線方程的一般式反映了直線方程各種形式之間的統(tǒng)一

性，教學(xué)中應(yīng)充分揭示直線方程本質(zhì)屬性，建立二元一次方程與

直線的對應(yīng)關(guān)系，為繼續(xù)學(xué)習(xí)“曲線方程”打下基礎(chǔ).

直線一般式方程都是字母系數(shù)，在揭示這一概念深刻內(nèi)涵時,

還需要進行正反兩方面的分析論證.教學(xué)中應(yīng)重點分析思路，還

應(yīng)抓住這一有利時使學(xué)生學(xué)會嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的分類討論方法，從而培

養(yǎng)學(xué)生全面、系統(tǒng)、辯證、周密地分析、討論問題的能力，特別

是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力，同時培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義觀點

(3)在強調(diào)幾種形式互化時要向?qū)W生充分揭示各種形式的特

點，它們的幾何特征，參數(shù)的意義等，使學(xué)生明白為什么要轉(zhuǎn)化，

并加深對各種形式的理解.

(4)教學(xué)中要使學(xué)生明白兩個獨立條件確定一條直線，如兩

個點、一個點和一個方向或其他兩個獨立條件.兩點確定一條直

線，這是學(xué)生很早就接觸的幾何公理，然而在解析幾何，平面向

量等理論中，直線或向量的方向是極其重要的要素，解析幾何中

刻畫直線方向的量化形式就是斜率.因此，直線方程的兩點式和

點斜式在直線方程的幾種形式中占有很重要的地位，而已知兩點

可以求得斜率，所以點斜式又可推出兩點式(斜截式和截距式僅

是它們的特例)，因此點斜式最重要.教學(xué)中應(yīng)突出點斜式、兩點

式和一般式三個教學(xué)高潮.

求直線方程需要兩個獨立的條件，要依不同的幾何條件選用

不同形式的方程.根據(jù)兩個條件運用待定系數(shù)法和方程思想求直

線方程.

(5)注意正確理解截距的概念，截距不是距離，截距是直線

(也是曲線)與坐標(biāo)軸交點的相應(yīng)坐標(biāo)，它是有向線段的數(shù)量，因

而是一個實數(shù);距離是線段的長度，是一個正實數(shù)(或非負(fù)實數(shù)).

(6)本節(jié)中有不少與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)有關(guān)的問題，

是函數(shù)、不等式、三角與直線的重要知識交匯點之一，教學(xué)中要

適當(dāng)選擇一些有關(guān)的問題指導(dǎo)學(xué)生練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力.

(7)直線方程的理論在其他學(xué)科和生產(chǎn)生活實際中有大量的

應(yīng)用.教學(xué)中注意聯(lián)系實際和其它學(xué)科，教師要注意引導(dǎo)，增強

學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識和能力.

(8)本節(jié)不少內(nèi)容可安排學(xué)生自學(xué)和討論，還要適當(dāng)增加練

習(xí)，使學(xué)生能更好地掌握，而不是僅停留在觀念上.

湘教版高中公開課數(shù)學(xué)教案5

排列

教學(xué)目標(biāo)

(1)正確理解排列的意義。能利用樹形圖寫出簡單問題的所

有排列；

(2)了解排列和排列數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符

合要求的排列；

(3)會分析與數(shù)字有關(guān)的排列問題，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和

邏輯思維能力；

教學(xué)重點難點

重點是排列的定義、排列數(shù)并運用這個公式去解決有關(guān)排列

數(shù)的應(yīng)用問題。

難點是解有關(guān)排列的應(yīng)用題。

教學(xué)過程設(shè)計

一、復(fù)習(xí)引入

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了兩個基本原理，請大家完成以下兩題的練

習(xí)(用投影儀出示)：

1.書架上層放著50本不同的社會科學(xué)書，下層放著40本不

同的自然科學(xué)的書.

(1)從中任取1本，有多少種取法？

(2)從中任取社會科學(xué)書與自然科學(xué)書各1本，有多少種不

同的取法?

2.某農(nóng)場為了考察三個外地優(yōu)良品種A,B,C,計劃在甲、

乙、丙、丁、戊共五種類型的土地上分別進行引種試驗，問共需

安排多少個試驗小區(qū)？

找一同學(xué)談解答并說明怎樣思考的的過程

第1(1)小題從書架上任取1本書，有兩類辦法，第一類辦

法是從上層取社會科學(xué)書，可以從50本中任取1本，有50種方

法；第二類辦法是從下層取自然科學(xué)書，可以從40本中任取1本，

有40種方法.根據(jù)加法原理，得到不同的取法種數(shù)是50+40=90.

第⑵小題從書架上取社會科學(xué)、自然科學(xué)書各1本(共取出2本),

可以分兩個步驟完成：第一步取一本社會科學(xué)書，第二步取一本

自然科學(xué)書，根據(jù)乘法原理，得到不同的取法種數(shù)是：50X

40=2000.

第2題說，共有A,B,C三個優(yōu)良品種，而每個品種在甲類

型土地上實驗有三個小區(qū)，在乙類型的土地上有三個小區(qū)……所

以共需3X5=15個實驗小區(qū).

二、講授新課

學(xué)習(xí)了兩個基本原理之后，現(xiàn)在我們繼續(xù)學(xué)習(xí)排列問題，這

是我們本節(jié)討論的重點.先從實例入手：

1.北京、上海、廣州三個民航站之間的直達航線，需要準(zhǔn)備

多少種不同飛機票？

由學(xué)生設(shè)計好方案并回答.

(1)用加法原理設(shè)計方案.

首先確定起點站，如果北京是起點站，終點站是上?；驈V州，

需要制2種飛機票，若起點站是上海，終點站是北京或廣州，又

需制2種飛機票;若起點站是廣州，終點站是北京或上海，又需

要2種飛機票，共需要2+2+2=6種飛機票.

(2)用乘法原理設(shè)計方案.

首先確定起點站，在三個站中，任選一個站為起點站，有3

種方法.即北京、上海、廣泛任意一個城市為起點站，當(dāng)選定起

點站后，再確定終點站，由于已經(jīng)選了起點站，終點站只能在其

余兩個站去選.那么，根據(jù)乘法原理，在三個民航站中，每次取

兩個，按起點站在前、終點站在后的順序排列不同方法共有3X

2=6種.

根據(jù)以上分析由學(xué)生(板演)寫出所有種飛機票

再看一個實例.

在航海中，船艦常以“旗語”相互聯(lián)系，即利用不同顏色的

旗子發(fā)送出各種不同的信號.如有紅、黃、綠三面不同顏色的旗

子，按一定順序同時升起表示一定的信號，問這樣總共可以表示

出多少種不同的信號？

找學(xué)生談自己對這個問題的想法.

事實上，紅、黃、綠三面旗子按一定順序的一個排法表示一

種信號，所以不同顏色的同時升起可以表示出來的信號種數(shù)，也

就是紅、黃、綠這三面旗子的所有不同順序的排法總數(shù).

首先，先確定位置的旗子，在紅、黃、綠這三面旗子中任取

一個，有3種方法;

其次，確定中間位置的旗子，當(dāng)位置確定之后，中間位置的

旗子只能從余下的兩面旗中去取，有2種方法.剩下那面旗子，

放在最低位置.

根據(jù)乘法原理，用紅、黃、綠這三面旗子同時升起表示出所

有信號種數(shù)是：3X2X1=6（種）.

根據(jù)學(xué)生的分析，由另外的同學(xué)（板演）寫出三面旗子同時升

起表示信號的所有情況.（包括每個位置情況）

第三個實例，讓全體學(xué)生都參加設(shè)計，把所有情況（包括每

個位置情況）寫出來.

由數(shù)字1,2,3,4可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?

寫出這些所有的三位數(shù).

根據(jù)乘法原理，從四個不同的數(shù)字中，每次取出三個排成三

位數(shù)的方法共有4X3X2=24（個）.

請板演的學(xué)生談?wù)勗鯓酉氲模?/p>

第一步，先確定百位上的數(shù)字.在1,2,3,4這四個數(shù)字中

任取一個，有4種取法.

第二步，確定十位上的數(shù)字.當(dāng)百位上的數(shù)字確定以后，十

位上的數(shù)字只能從余下的三個數(shù)字去取，有3種方法.

第三步，確定個位上的數(shù)字.當(dāng)百位、十位上的數(shù)字都確定

以后，個位上的數(shù)字只能從余下的兩個數(shù)字中去取，有2種方法.

根據(jù)乘法原理，所以共有4X3X2=24