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二十八函數(shù)的應(yīng)用（一）

【基礎(chǔ)全面練】（15分鐘?35分）

1.（2021?成都高一檢測）給容器甲注水，下面圖像中哪一個(gè)圖像可以大致

刻畫容器中水的高度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系（）

選B.容器下端較窄，上端較寬，當(dāng)均勻地注入水時(shí)，剛開始的一段時(shí)

間高度變化較大，隨時(shí)間的推移，高度的變化速度開始減小，即高度

變化不太明顯，四個(gè)圖像中只有B項(xiàng)符合該特點(diǎn).

2.小明騎車上學(xué)，開始時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間

后，為了趕時(shí)間加快速度行駛.與以上事件吻合得最好的圖像是（）

選C.距學(xué)校的距離應(yīng)逐漸減小，由于小明先是勻速運(yùn)動(dòng)，故前段是直

線段，途中停留時(shí)距離不變，后段加速，直線段比前段下降得快，故

應(yīng)選C.

3.某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種成本不同的產(chǎn)品，原來按成本價(jià)出售，由于

市場銷售發(fā)生變化，甲產(chǎn)品連續(xù)兩次提價(jià)，每次提價(jià)都是20%；同時(shí)

乙產(chǎn)品連續(xù)兩次降價(jià)，每次降價(jià)都是20%,結(jié)果都以92.16元出售，此

時(shí)廠家同時(shí)出售甲、乙產(chǎn)品各一件，盈虧的情況是（）

A.不虧不盈B.賺23.68元

C.賺47.32元D.虧23.68元

選D.設(shè)甲、乙產(chǎn)品原來每件分別為x元、y元，則X（1+20%）2=92.16,

y（l-20%）2=92.16,所以x=64,y=144,64+144-92.16x2=23.68.

4.根據(jù)統(tǒng)計(jì)，一名工人組裝第x件產(chǎn)品所用的時(shí)間（單位：min）為f（x）

'c

~f=,x<a,

vx

（a,c為常數(shù)）.已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)30min,

C

下x>a

組裝第a件產(chǎn)品用時(shí)-5min,那么c和a的值分別是（）

A.75,25B.75,16

C.60,144D.60,16

選C.由題意可得：5n

0=5

c=60,

故應(yīng)選C.

a=144,

5.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為20()0萬元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)

品，成本增加10萬元.又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù)，K(Q)

=40Q—④Q2,則總利潤L(Q)的最大值是萬元.

L(Q)=40Q一擊Q2-10Q-2000

=一點(diǎn)Q2+30Q-2000

=一擊(Q-300/+2500,

當(dāng)Q=300時(shí)，L(Q)的最大值為2500萬元.

答案：2500

官園【補(bǔ)償訓(xùn)練】

把總長為16m的籬笆圍成一個(gè)矩形場地，則矩形場地的最大面積是

設(shè)一邊長為xm,則另一邊長可表示為(8—x)m,則面積S=x(8一

(x+R—2

x)<-;一=16,當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí)取等號(hào)，故當(dāng)矩形的長與寬相

等，都為4m時(shí)面積取到最大值16m2.

答案：16

6.(2021?徐州高一檢測)隨著科技的發(fā)展，智能手機(jī)已經(jīng)開始逐步取代

傳統(tǒng)PC,滲透進(jìn)入了人們娛樂生活的各個(gè)方面，我們的生活已經(jīng)步入

移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的時(shí)代.2020年，某手機(jī)企業(yè)計(jì)劃將某項(xiàng)新技術(shù)應(yīng)用到手機(jī)

生產(chǎn)中去，為了研究市場的反應(yīng)，計(jì)劃用一年時(shí)間進(jìn)行試產(chǎn)、試銷.通

過市場分析，生產(chǎn)此款手機(jī)全年需投入固定成本280萬，每生產(chǎn)x(千

部)手機(jī)，需另投入成本C(x)萬元，且

C10x2+200x,0<x<50,

C(x)={“，?10000八“由市場調(diào)研知，每部手機(jī)售價(jià)0.8

I801x+——-9450,x>50.

萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的手機(jī)當(dāng)年能全部銷售完.

⑴求出2020年的利潤W(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(干部)的函數(shù)關(guān)系式(利

潤=銷售額一成本)；

(2)2020年產(chǎn)量為多少千部時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大？最大利潤是多少？

⑴當(dāng)0<x<50時(shí)，W(x)=800x-(1Ox2+200x)-280=-10x2+600x-

280;

當(dāng)x>50時(shí)，

W(x)=800x-(801x+^^-9450)—280=—卜+^^)+9170,

r-10x2+600x-280,0<x<50,

所以W(x)={(JO000、，

[-[x+-*J+9170,x>50.

(2)^0<x<50,W(x)=-10(x-30)2+8720,當(dāng)x=30時(shí)，W(x)max=8720

萬元;

M,10000

右x>50,W(x)=—Ix+---+9170<-2x.?+9170=8

970,

?10000,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),

x=----X-.---

即X=100時(shí)，W(X)max=8970萬元.

因?yàn)?970>8720,

所以2020年產(chǎn)量為100千部時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是8970

萬元.

【綜合突破練】（30分鐘?60分）

一、單選題（每小題5分，共20分）

1.某工廠2017年的產(chǎn)量為A,2018年的增長率為a,2019年的增長

率為b,這兩年的平均增長率為x,則有（）

A.x=g（a+b）B.x<^（a+b）

C.x〉3（a+b）D.x>2（a+b）

（a+bl2i

選B.由（l+x）2=（l+a）（l+b）Sl+-y-J,所以xg]（a+b）.

2.某店從水果批發(fā)市場購得椰子兩筐，連同運(yùn)費(fèi)總共花了300元，回

來后發(fā)現(xiàn)有12個(gè)是壞的，不能將它們出售，余下的椰子按高出成本價(jià)

1元/個(gè)售出，售完后共賺78元.則這兩筐椰子原來的總個(gè)數(shù)為（）

A.180B.160C.140D.120

選D.設(shè)原來兩筐椰子的總個(gè)數(shù)為x,成本價(jià)為a元/個(gè)，則

ax=300,

<

（a+1）（x-12）=378,

x=120,

解得故這兩筐椰子原來共有120個(gè).

[a=2.5,

3.（2021?武漢高一檢測）疫情暴發(fā)期間某種防護(hù)用品在近30天內(nèi)每件

的銷售價(jià)格P（元）和時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系為：

ft+20,0<t<25,

P=?..”二a、，設(shè)該商品的日銷售量Q（件）與時(shí)間

（-t+100,25<t<30.（teN）y

t（天）的函數(shù)關(guān)系為Q=40—1（0〈乜30,t￡N*），則這種商品的日銷售金

額最大時(shí)是第一天.（）

A.10B.20C.25D.30

選C.由題意得：

(t+20)(40-t)(0<t<25,teN*)

y=〈

[(-t+100)(40-t)(25<t<30,t6N*)'

當(dāng)0VtV25,t￡N*時(shí)，y=(t+20)(40-t)

=-t2+20t+800=-(t-10)2+900.

所以t=10天時(shí)，ymax=900元，

當(dāng)25SK30,t￡N*時(shí)，y=(-t+100)(40-t)=t2-140t+4000=(t-70)2

-900,

而y=(t-70)2-900,

在t￡[25,30]Bt,函數(shù)遞減，

所以t=25天時(shí)，ymax=1125元.

因?yàn)?125>900,

所以第25天日銷售額最大為1125元.

4.(2021?福州高一檢測)用一段長為36米的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的

矩形菜園.已知墻長20米，則菜園面積的最大值是()

A.144B.160C.162D.180

(36一X、

選C.設(shè)菜園靠墻一邊的長為x米，則矩形菜園的寬為一5—米，且

0<x<20,

c-e七136—x1、1fx+36-x),"

則菜園面積y=x?~■2-=2.xz,(36—x)<-x[-----------j-=162.

當(dāng)且僅當(dāng)x=36—x,

即x=18時(shí)等號(hào)成立.

二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得

3分，有選錯(cuò)的得。分)

5.如圖是本地區(qū)一種產(chǎn)品30天的銷售圖像，圖①是產(chǎn)品日銷售量y（單

位：件）與時(shí)間t（單位：天）之間的函數(shù)關(guān)系，圖②是一件產(chǎn)品的銷售利

潤z（單位：元）與時(shí)間t（單位：天）之間的函數(shù)關(guān)系，已知日銷售利潤=

日銷售量x一件產(chǎn)品的銷售利潤，下列結(jié)論正確的是（）

A.第24天的銷售量為200件

B.第10天銷售一件產(chǎn)品的利潤是15元

C.第12天與第30天這兩天的日銷售利潤相等

D.第30天的日銷售利潤是750元

選ABD.對(duì)于A選項(xiàng)，在圖①中，t=24時(shí)，y=200,故A選項(xiàng)結(jié)論正

確.對(duì)于B選項(xiàng)，根據(jù)圖②，（0,25）,（20,5）的中點(diǎn)坐標(biāo)為

（10,15）,故B選項(xiàng)結(jié)論正確.對(duì)于D選項(xiàng)，由圖①知第30天銷售

150件，由圖②知第30天一件產(chǎn)品利潤為5元，故日銷售利潤為150x5

=750元，故D選項(xiàng)結(jié)論正確.由①知（0,100）,（24,200）的中點(diǎn)為（12,

150）,即第12天和第30天的銷售量相同，根據(jù)圖②，第12天的一件

產(chǎn)品利潤高于第30天一件產(chǎn)品利潤，故第12天與第30天這兩天的日

銷售利泄不相等，故C選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤.故選ABD.

6.一個(gè)人以6m/s的速度去追停在交通燈前的汽車，當(dāng)他離汽車25m

時(shí)，交通燈由紅變綠，汽車以lm/s2的加速度勻加速開走，那么下列選

項(xiàng)不正確的是（）

A.人可在7s內(nèi)追上汽車

B.人可在10s內(nèi)追上汽車

C.人追不上汽車，其間距最少為5m

D.人追不上汽車，其間距最少為7m

選ABC.設(shè)汽車經(jīng)過ts行駛的路程為sm,則s=；t2,車與人的間距d

=(s+25)—6t=；t2—6t+25=1(t—6)2+7,

當(dāng)t=6時(shí)，d取得最小值7,

D項(xiàng)正確.故選ABC.

擎概【補(bǔ)償訓(xùn)練】

某沙漠地區(qū)的某時(shí)段氣溫與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式是f(t)=-t2+24t-

101(4<t<18),則該沙漠地區(qū)在該時(shí)段的最高氣溫與最低氣溫分別是

()

A.43B.-21C.21D.58

選AB.f(t)=-t2+24t—101的對(duì)稱軸為t=12,所以f(t)在［4,12］上

遞增，在［12,18］上遞減；所以f(t)max=f(12)=43,f(t)min=f(4)=

—21.

三、填空題(每小題5分，共10分)

7.甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一公園，甲同學(xué)家到公園的距離與乙

同學(xué)家到公園的距離都是2km.如圖表示甲從家出發(fā)到乙同學(xué)家經(jīng)過

的路程y(km)與時(shí)間x(min)的關(guān)系，其中甲在公園休息的時(shí)間是10min,

那么y=f(x)的解+析式為.

由題圖知所求函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)，且各段均是直線，可用待定系數(shù)

法求得

r1、

正x(0<x<30),

y=f(x)=<2(30<x<40),

擊x—2(40<x<60).

r1

(0<x<30),

答案：y=f(x)=<2(30<x<40),

擊x—2(40<x<60)

8.長為4、寬為3的矩形，當(dāng)長增加x,且寬減少方時(shí)面積最大，此

時(shí)*=,最大面積5=.

S=（4+x）（3—m=—y+x+12

-；（X-IN

當(dāng)X=1時(shí)，Smax=5~.

25

答案：1y

四、解答題（每小題10分，共20分）

9.（2021.太原高一檢測）某企業(yè)加工生產(chǎn)一批珠寶，要求每件珠寶都按

統(tǒng)一規(guī)格加工，每件珠寶的原材料成本為0.5萬元，每件珠寶售價(jià)（萬

元）與加工時(shí)間t（單位：天）之間的關(guān)系滿足圖1,珠寶的預(yù)計(jì)銷量（件）

與加工時(shí)間t（天）之間的關(guān)系滿足圖2.原則上，單件珠寶的加工時(shí)間不

能超過55天，企業(yè)支付的工人報(bào)酬為這批珠寶銷售毛利潤的三分之一,

其他成本忽略不計(jì)算.

⑴如果每件珠寶加工天數(shù)分別為5,13,預(yù)計(jì)銷量分別會(huì)有多少件？

(2)設(shè)工廠生產(chǎn)這批珠寶產(chǎn)生的純利潤為S(萬元),請(qǐng)寫出純利潤S(萬元)

關(guān)于加工時(shí)間t(天)之間的函數(shù)關(guān)系式，并求純利潤S(萬元)最大時(shí)的預(yù)

計(jì)銷量.

注：毛利潤=總銷售額一原材料成本，純利潤=毛利潤一工人報(bào)

酬.

4t+5,0<t<10

⑴預(yù)計(jì)訂單函數(shù)f(t)(t￡N)為f(t)=[八—，

—t十53,10<t<55

f(5)=20+5=25,f(13)=—13+55=42,

所以每件珠寶加工天數(shù)分別為5,13,預(yù)計(jì)銷量分別為25件，42件.

(2)售價(jià)函數(shù)為g(t)=1.5t+5,

所以利潤函數(shù)為S(t)

C2

3(1.5t+5-0.5)(4t+5),0<t<10,

=<

2

g(1.5t+5-0.5)(-t+55),10<t<55,

(t+3)(4t+5),0<t<10,

=<

[-(t+3)(t-55),10<t<55

4t2+17t+15,0<t<10,

--V

—(t2—52t—165),10<t<55.

當(dāng)0<t<10時(shí)，S(t)=4t2+17t+15的最大值為S(10)=585;

當(dāng)10<乜55時(shí)，S(t)=-(t2-52t-165)的最大值為S(26)=841>585,

故利潤最大時(shí)，t=26,此時(shí)預(yù)計(jì)的銷量為26件.

10.已知某企業(yè)原有員工2000人,每人每年可為企業(yè)創(chuàng)利3.5萬元.為

應(yīng)對(duì)新型冠狀病毒肺炎疫情給企業(yè)帶來的不利影響，該企業(yè)實(shí)施“優(yōu)化

重組，分流增效”的策略，分流出一部分員工待崗.為維護(hù)生產(chǎn)穩(wěn)定，

該企業(yè)決定待崗人數(shù)不超過原有員工的5%,并且每年給每位待崗員工

發(fā)放生活補(bǔ)貼0.5萬元.據(jù)評(píng)估，當(dāng)待崗員工人數(shù)x不超過原有員工1%

時(shí)，留崗員工每人每年可為企業(yè)多創(chuàng)利(1一懸)萬元；當(dāng)待崗員工人

數(shù)x超過原有員工1%時(shí)，留崗員工每人每年可為企業(yè)多創(chuàng)利0.9萬

元.為使企業(yè)年利潤最大，應(yīng)安排多少員工待崗？

設(shè)重組后，該企業(yè)年利潤為y萬元.

當(dāng)待崗人員不超過1%時(shí)，

由1一黑>0,x<2000xl%=20,

NDX

得票<x<20(xeN),

則y=(2000—x)(3.5+l—蕓)-0.5x

=-5lx+—I+9000.64;

當(dāng)待崗人員超過1%且不超過5%時(shí)，

由20<x<2000x5%,

得20<xS100(x￡N),

則y=(2000-x)(3.5+0.9)-0.5x=-4.9x4-8800.

故丫=r9000.64—5(卜,+2丁561［^16<x<20,x￡N,

l-4.9x+8800,20<x<100,x￡N.

當(dāng)堪<x<20且x￡N時(shí)，

七1256c/256℃

有x+丁汐訃丁=32,

則y=—5[x+q-J+9000.64

<-5x32+9000.64=8840.64,

當(dāng)且僅當(dāng)*=冬，即x=16時(shí)取等號(hào)，此時(shí)y取得最大值8840.64;

X

當(dāng)20<xS100且x￡N時(shí)，函數(shù)y=-4.9x+8800為減函數(shù).

所以y<-4.9x20+8800=8702.

又8840.64>8702,

故當(dāng)x=16時(shí)，y有最大值8840.64.

即要使企業(yè)年利潤最大，應(yīng)安排16名員工待崗.

【應(yīng)用創(chuàng)新練】

某特許專營店銷售福州市成功舉辦第一屆全國青年運(yùn)動(dòng)會(huì)的紀(jì)念

章，每枚進(jìn)價(jià)5元，同時(shí)每銷售一枚這種紀(jì)念章還需向組委會(huì)交特許

經(jīng)營管理費(fèi)2元，預(yù)計(jì)這種紀(jì)念章以每枚20元的價(jià)格銷售時(shí)該店一個(gè)

月內(nèi)可銷售2000枚，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)每枚紀(jì)念章的價(jià)格在20元的

基礎(chǔ)上每減少一元?jiǎng)t增加銷售400枚，而每增加一元?jiǎng)t減少銷售100

枚.現(xiàn)設(shè)每枚紀(jì)念章的銷售價(jià)格為x(x￡N)元.

⑴寫出該特許專營店一個(gè)月內(nèi)銷售這種紀(jì)念章所獲得的利潤y(元)與

每枚紀(jì)念章的銷售價(jià)格x(元)的函數(shù)關(guān)系式,并寫出這個(gè)函數(shù)的定義域.

⑵當(dāng)每枚紀(jì)念章的銷售價(jià)格x為多少元時(shí)，該特許專營店一個(gè)月內(nèi)利

潤y(元)最大？并求利潤的最大值.

(1)由題意可得：

(x-7)[2000+400(20-x)](x<20),

y=-(x￡N)

(x-7)[2000-100(x-20)](x>20)

且由題意有：x—7>0,所以x>7,

同時(shí)，2000—100a一20巨0,

所以x<40.

所以，函數(shù)的定義域?yàn)椋海鹸|7Sx*0,xGN).

⑵由⑴有：

(x-7)[2000+400(20-x)](7<x<20),

y=<

(x-7)[2000-100(x-20)](20