6.2向量基本定理與向量的坐標6.2.1向量基本定理基礎過關練題組一對共線向量基本定理的理解及應用1.平面向量a,b共線的充要條件是()A.a,b方向相同B.a,b兩向量中至少有一個為零向量C.?λ∈R,使b=λaD.存在不全為零的實數λ1,λ2,使得λ1a+λ2b=02.(2024廣東廣州期中)已知向量a與b不共線.(1)若AB=a+7b,BC=3a+4b,DC=a-10b,證明A,B,D三點共線;(2)若a+kb與(k+1)a+b共線,求實數k的值.題組二對平面向量基本定理的理解3.下列說法中正確的是()①一個平面內只有一對不共線向量可組成該平面內向量的基底;②一個平面內有無數對不共線向量可組成該平面內向量的基底;③零向量不可以作為基底中的向量.A.①②B.②③C.①③D.①②③4.(多選題)(2023山東濰坊高密第三中學月考)如果e1,e2是平面α內兩個不共線的向量,那么下列說法中正確的是()A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α內的所有向量B.對于平面α內任一向量a,使a=λe1+μe2的實數對(λ,μ)有無窮多個C.若λ1e1+μ1e2與λ2e1+μ2e2共線,則有且只有一個實數λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)D.若存在實數λ,μ使得λe1+μe2=0,則λ=μ=05.(2024山東日照期中)設{e1,e2}是平面內向量的一組基底,則下列不能組成平面內向量的一組基底的是()A.e2和e1+e2B.e1和e1-e2C.2e1-4e2和-e1+2e2D.e1+2e2和2e1+e2題組三用基底表示向量6.(2022山東新泰第一中學質檢)若OP1=a,OP2=b,P1P=λPA.a+λbB.λa+(1-λ)bC.λa+bD.11+λa+7.(2024福建三明期中)如圖,在平行四邊形ABCD中,E是CD的中點,AE和BD相交于點F.記AB=a,AD=b,則()A.CF=?23a-13bB.CFC.CF=?13a-23bD.CF8.(2023山東濱州期末)在四邊形ABCD中,AB∥CD,AB=4CD,點E在線段CB上,且CE=3EB,設AB=a,AD=b,則AE=()A.58a+12bB.54aC.1316a+14bD.138a9.如圖,已知AB是圓O的直徑,點C,D是半圓弧的兩個三等分點,AB=a,AC=b,則AD=()A.a-12bB.12aC.a+12bD.12a題組四平面向量基本定理的應用10.(2024山西運城期中)如圖,在△ABC中,AD=13A.111.(2024河南鄭州期中)在△ABC中,D是CB延長線上一點,E是AD的中點.若CB=3BD,λABA.λ=2μB.λ=-2μC.μ=2λD.μ=-2λ12.(2024江蘇南通期中)如圖,△BCD與△ABC的面積之比為2∶1,點P是四邊形ABDC內任意一點(含邊界),且AP=λAB+μACA.[0,1]B.[0,2]C.[0,3]D.[0,4]13.(多選題)(2023廣東廣州協和中學期中)在等邊三角形ABC中,BD=A.ADC.AF14.(2023湖北華中師大一附中期中)在△ABC中,點D滿足BD=34BC,當點E在線段AD上移動時,若AE=λAB+μAC,則t=(λ-1)215.(2024遼寧葫蘆島期中)如圖,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=2BC=2CD=2DA,M為線段BC的中點,AM與BD交于點N,P為線段CD上的一個動點.(1)用AB和(2)求ANNM(3)設AC=xDB+yAP能力提升練題組一共線向量定理的應用1.已知向量a,b,c中的任意兩個都不共線,但a+b與c共線,b+c與a共線,則a+b+c=()A.aB.bC.cD.02.(多選題)(2023河南省實驗中學月考)設點M是△ABC所在平面內一點,則下列說法正確的是()A.若BM=2B.若AM=2C.若點M是△ABC的重心,則MA+D.若AM=xAB+yAC且x+y=13,則3.如圖,在平行四邊形ABCD中,AE=12ED,DF=3FC,AF與BE相交于點G,若AF=λAG4.(2024四川綿陽檢測)如圖,在△ABC中,AD=2DB,P為CD上一點,且滿足AP=mAC+1題組二平面向量基本定理的應用5.(2022山東煙臺棲霞第一中學月考)數學家趙爽在《周髀算經》中利用一幅“弦圖”給出了勾股定理的證明,后人稱其為“趙爽弦圖”,它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形,如圖所示,在“趙爽弦圖”中,若BC=a,BA=b,BE=3EF,則A.1225a+925bB.1625a+1225bC.45a+35b6.(2024福建福州檢測)在△ABC中,BC=3BD,CF=2FAA.377.(2024山東德州期中)已知△ABC中,M為BC邊上一個動點,若AM=xAB+3yAC(x,y∈R),則8.(2023重慶輔仁中學質檢)如圖,在△ABC中,AE=(1)若AO=mAB+nAC(2)設△ABC的面積為S,△OBC的面積為S',求S'

答案與分層梯度式解析6.2向量基本定理與向量的坐標6.2.1向量基本定理基礎過關練1.D3.B4.AD5.C6.D7.A8.C9.D10.A11.A12.C13.ABC1.D對于A,向量a,b共線?/a,b方向相同.對于B,向量a,b共線?/a,b兩向量中至少有一個為零向量.對于C,當a=0,b≠0時,a,b共線,但不存在λ∈R,使得b=λa.對于D,若a=0,則存在λ1≠0,λ2=0,使得λ1a+λ2b=0,若a≠0,則由a,b共線,知存在實數λ,使得b=λa,即λa-b=0,符合λ1a+λ2b=0的形式,必要性成立;當存在不全為零的實數λ1,λ2,使得λ1a+λ2b=0時,不妨設λ2≠0,則b=-λ1λ2a,即a,b共線,充分性成立.2.解析(1)證明:∵BD=BC+CD=2a+14b=2AB,∴(2)設λ(a+kb)=(k+1)a+b,λ∈R,即λa+λkb=(k+1)a+b,則λ=3.B同一個平面內任意兩個不共線的向量都可以組成該平面內向量的基底,故①是錯的,②③是正確的,故選B.4.AD由平面向量基本定理可知A、D正確;對于B,由平面向量基本定理可知,如果一個平面內向量的基底確定,那么任意一個向量在此基底下的實數對是唯一的;對于C,當λ1=λ2=μ1=μ2=0時,這樣的λ有無數個.故選AD.5.C對于A,令e2=m(e1+e2),m∈R,則m=0,m=1,故m不存在,∴e2,e1+對于B,令e1=n(e1-e2),n∈R,則-n=0,n=1,故n不存在,∴e1,e1對于C,∵2e1-4e2=-2(-e1+2e2),∴2e1-4e2和-e1+2e2共線,即不能組成平面內向量的一組基底,C符合題意;對于D,令e1+2e2=t(2e1+e2),t∈R,則2t=1,t=2,無解,故t不存在,∴e1+2e2,2e16.D∵P1∴(1+λ)OP=∴OP=11+λO7.A在平行四邊形ABCD中,AB∥CD,AE和BD相交于點F,所以△ABF∽△EDF,又E是CD的中點,所以DFBF=DE所以CF=CD+DF=?8.C因為AB∥CD,AB=4CD,所以DC=因為CE=3EB,所以BE=則AE=AB+BE=故選C.9.D連接OC,OD,CD,如圖,由點C,D是半圓弧的兩個三等分點,可得∠AOC=∠COD=∠BOD=60°,則△OAC和△OCD均為邊長等于圓O半徑的等邊三角形,所以四邊形OACD為菱形,所以AD=AO+AC故選D.10.A∵AD=又AP=m∵B,P,D三點共線,∴m+2311.ABE=12又λAB+μ12.C根據題意,將圖形特殊化,設AD垂直平分BC于點O,因為△BCD與△ABC的面積之比為2∶1,所以DO=2AO,當點P與點A重合時,AP=0,此時λ=μ=0,所以λ+μ的最小值為0;當點P與點D重合時,AP=3AO=3×13.ABC對于A,∵BD=DC,∴∴AD=12(對于B,∵EC=2∴BE=BA+AE對于C,由E,F,B三點共線,可設AF=λAE+(1?λ)AB由A,F,D三點共線,可設AF=xAD=1則1∴AF=14AB對于D,BF=14.答案9解析由題可知,在△ABC中,BD=∴AD=由點E在線段AD上移動,可設AE=kAD,0≤k∴AE=又AE∴t=(λ-1)2+μ2=k4-12+3∴當k=25時,t取得最小值,最小值為515.解析(1)易得AM=AB因為M為線段BC的中點,所以CM=?①+②得2AM=所以AM=(2)設AN=tAM=t3因為B,N,D三點共線,所以3t4+所以AN=45(3)由題意,可設DP=mAB0≤又AC=所以x+ym=所以xy=(y-1)y=y2-y=y-因為0≤m≤12,所以1≤y≤3易知g(y)=y-所以當y=1時,g(y)取最小值,即(xy)min=0,當y=32時,g(y)取最大值,即(xy)max=34,所以xy的取值范圍為能力提升練1.D2.ACD5.B6.A1.D依題意,設a+b=mc,b+c=na(m,n∈R),則有(a+b)-(b+c)=mc-na,即a-c=mc-na,所以(1+m)c=(1+n)a.又a與c不共線,所以1+故a+b=-c,即a+b+c=0.故選D.2.ACD對于A,BM=23BC?AM?對于B,若M,B,C三點共線,則存在唯一實數λ,使得MB=λ則AB?AM=λ(AC∵AM=2對于C,如圖,延長AM,交BC于點D,∵M是△ABC的重心,∴D是BC的中點,則MB+∴MA+MB+MC對于D,∵AM=xAB+y∴3AM=3x設AE=3AM,則由AE=3AM可知ME=23AE,故△MBC的面積是△ABC面積的233.答案15解析取AB=a,AD=b,{a,b}作為平行四邊形所在平面內向量的一組基底.由題知AG=1λAF=因為E,G,B三點共線,所以可設EG=μEB,μ∈(0,1),則AG=AE+EG所以34λ=μ且1λ4.答案1解析因為AD=2DB,所以AB=又C,P,D三點共線,所以m+34=1,解得m=15.BBF==BC+∴BF=1625BC+6.A如圖,因為BC=3BD,所以BD=因為A,P,D三點共線,所以AP=λAD=2因為CF=2FA,所以因為E是AB的中點,所以AE=因為E,P,F三點共線,所以AP=kAE+(