湖北省鄂東南示范高中教改聯盟高三第一次模擬考試新高考數學試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數若恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．2．設集合，，若集合中有且僅有2個元素，則實數的取值范圍為A． B．C． D．3．拋物線的焦點為，準線為，，是拋物線上的兩個動點，且滿足，設線段的中點在上的投影為，則的最大值是（）A． B． C． D．4．設函數若關于的方程有四個實數解，其中，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．對某兩名高三學生在連續9次數學測試中的成績（單位：分）進行統計得到折線圖，下面是關于這兩位同學的數學成績分析．①甲同學的成績折線圖具有較好的對稱性，故平均成績為130分；②根據甲同學成績折線圖提供的數據進行統計，估計該同學平均成績在區間110,120內；③乙同學的數學成績與測試次號具有比較明顯的線性相關性，且為正相關；④乙同學連續九次測驗成績每一次均有明顯進步．其中正確的個數為（）A．4 B．3 C．2 D．16．總體由編號01，,02，…，19,20的20個個體組成．利用下面的隨機數表選取5個個體，選取方法是隨機數表第1行的第5列和第6列數字開始由左到右依次選取兩個數字，則選出來的第5個個體的編號為7816

6572

0802

6314

0702

4369

9728

0198

3204

9234

4935

8200

3623

4869

6938

7481

A．08 B．07 C．02 D．017．設，則（）A． B． C． D．8．設集合，，若，則（）A． B． C． D．9．在直三棱柱中，己知，，，則異面直線與所成的角為（）A． B． C． D．10．函數在上的大致圖象是（）A． B．C． D．11．已知冪函數的圖象過點，且，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．12．在我國傳統文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五個物質類別，在五者之間，有一種“相生”的關系，具體是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.從五行中任取兩個，這二者具有相生關系的概率是（）A．0.2 B．0.5 C．0.4 D．0.8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等比數列的各項都是正數，且成等差數列，則=__________．14．已知實數，且由的最大值是_________15．“石頭、剪子、布”是大家熟悉的二人游戲，其規則是：在石頭、剪子和布中，二人各隨機選出一種，若相同則平局；若不同，則石頭克剪子，剪子克布，布克石頭.甲、乙兩人玩一次該游戲，則甲不輸的概率是______.16．已知函數的圖象在處的切線斜率為，則______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，其中e為自然對數的底數.（1）討論函數的單調性；（2）用表示中較大者，記函數.若函數在上恰有2個零點，求實數a的取值范圍.18．（12分）已知點，若點滿足.（Ⅰ）求點的軌跡方程；（Ⅱ）過點的直線與（Ⅰ）中曲線相交于兩點，為坐標原點，求△面積的最大值及此時直線的方程.19．（12分）已知數列滿足（），數列的前項和，（），且，．（1）求數列的通項公式：（2）求數列的通項公式．（3）設，記是數列的前項和，求正整數，使得對于任意的均有．20．（12分）已知函數.（1）當時，解關于的不等式；（2）若對任意，都存在，使得不等式成立，求實數的取值范圍.21．（12分）如圖，空間幾何體中，是邊長為2的等邊三角形，，，，平面平面，且平面平面，為中點.（1）證明：平面；（2）求二面角平面角的余弦值.22．（10分）已知函數.（1）討論函數f(x)的極值點的個數；（2）若f(x)有兩個極值點證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由恒成立，等價于的圖像在的圖像的上方，然后作出兩個函數的圖像，利用數形結合的方法求解答案.【詳解】因為由恒成立，分別作出及的圖象，由圖知，當時，不符合題意，只須考慮的情形，當與圖象相切于時，由導數幾何意義，此時，故.故選：D【點睛】此題考查的是函數中恒成立問題，利用了數形結合的思想，屬于難題.2、B【解析】

由題意知且，結合數軸即可求得的取值范圍.【詳解】由題意知，，則，故，又，則，所以，所以本題答案為B.【點睛】本題主要考查了集合的關系及運算，以及借助數軸解決有關問題，其中確定中的元素是解題的關鍵，屬于基礎題.3、B【解析】

試題分析：設在直線上的投影分別是，則，，又是中點，所以，則，在中，所以，即，所以，故選B．考點：拋物線的性質．【名師點晴】在直線與拋物線的位置關系問題中，涉及到拋物線上的點到焦點的距離，焦點弦長，拋物線上的點到準線（或與準線平行的直線）的距離時，常常考慮用拋物線的定義進行問題的轉化．象本題弦的中點到準線的距離首先等于兩點到準線距離之和的一半，然后轉化為兩點到焦點的距離，從而與弦長之間可通過余弦定理建立關系．4、B【解析】

畫出函數圖像，根據圖像知：，，，計算得到答案.【詳解】，畫出函數圖像，如圖所示：根據圖像知：，，故，且.故.故選：.【點睛】本題考查了函數零點問題，意在考查學生的計算能力和應用能力，畫出圖像是解題的關鍵.5、C【解析】

利用圖形，判斷折線圖平均分以及線性相關性，成績的比較，說明正誤即可．【詳解】①甲同學的成績折線圖具有較好的對稱性，最高130分，平均成績為低于130分，①錯誤；②根據甲同學成績折線圖提供的數據進行統計，估計該同學平均成績在區間[110,120]內，②正確；③乙同學的數學成績與測試次號具有比較明顯的線性相關性，且為正相關，③正確；④乙同學在這連續九次測驗中第四次、第七次成績較上一次成績有退步，故④不正確．故選：C．【點睛】本題考查折線圖的應用，線性相關以及平均分的求解，考查轉化思想以及計算能力，屬于基礎題．6、D【解析】從第一行的第5列和第6列起由左向右讀數劃去大于20的數分別為：08,02,14,07,01，所以第5個個體是01，選D.考點：此題主要考查抽樣方法的概念、抽樣方法中隨機數表法，考查學習能力和運用能力.7、D【解析】

結合指數函數及對數函數的單調性,可判斷出,,,即可選出答案.【詳解】由,即,又,即,,即,所以.故選:D.【點睛】本題考查了幾個數的大小比較,考查了指數函數與對數函數的單調性的應用,屬于基礎題.8、A【解析】

根據交集的結果可得是集合的元素，代入方程后可求的值，從而可求.【詳解】依題意可知是集合的元素，即，解得，由，解得.【點睛】本題考查集合的交，注意根據交集的結果確定集合中含有的元素，本題屬于基礎題.9、C【解析】

由條件可看出，則為異面直線與所成的角，可證得三角形中，，解得從而得出異面直線與所成的角．【詳解】連接，，如圖：又，則為異面直線與所成的角.因為且三棱柱為直三棱柱，∴∴面，∴，又，，∴，∴，解得.故選C【點睛】考查直三棱柱的定義，線面垂直的性質，考查了異面直線所成角的概念及求法，考查了邏輯推理能力，屬于基礎題．10、D【解析】

討論的取值范圍，然后對函數進行求導，利用導數的幾何意義即可判斷.【詳解】當時，，則，所以函數在上單調遞增，令，則，根據三角函數的性質，當時，，故切線的斜率變小，當時，，故切線的斜率變大，可排除A、B；當時，，則，所以函數在上單調遞增，令，，當時，，故切線的斜率變大，當時，，故切線的斜率變小，可排除C，故選：D【點睛】本題考查了識別函數的圖像，考查了導數與函數單調性的關系以及導數的幾何意義，屬于中檔題.11、A【解析】

根據題意求得參數，根據對數的運算性質，以及對數函數的單調性即可判斷.【詳解】依題意，得，故，故，，，則.故選：A.【點睛】本題考查利用指數函數和對數函數的單調性比較大小，考查推理論證能力，屬基礎題.12、B【解析】

利用列舉法，結合古典概型概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】從五行中任取兩個，所有可能的方法為：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共種，其中由相生關系的有金水、木水、木火、火土、金土，共種，所以所求的概率為.故選：B【點睛】本小題主要考查古典概型的計算，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據等差中項性質，結合等比數列通項公式即可求得公比；代入表達式，結合對數式的化簡即可求解.【詳解】等比數列的各項都是正數，且成等差數列，則，由等比數列通項公式可知，所以，解得或（舍），所以由對數式運算性質可得，故答案為：.【點睛】本題考查了等差數列通項公式的簡單應用，等比數列通項公式的用法，對數式的化簡運算，屬于中檔題.14、【解析】

將其轉化為幾何意義，然后根據最值的條件求出最大值【詳解】由化簡得，又實數，圖形為圓，如圖:，可得，則由幾何意義得，則，為求最大值則當過點或點時取最小值，可得所以的最大值是【點睛】本題考查了二元最值問題，將其轉化為幾何意義，得到圓的方程及斜率問題，對要求的二元二次表達式進行化簡，然后求出最值問題，本題有一定難度。15、【解析】

用樹狀圖法列舉出所有情況，得出甲不輸的結果數，再計算即得.【詳解】由題得，甲、乙兩人玩一次該游戲，共有9種情況，其中甲不輸有6種可能，故概率為.故答案為：【點睛】本題考查隨機事件的概率，是基礎題.16、【解析】

先對函數f（x）求導，再根據圖象在（0，f（0））處切線的斜率為﹣4，得f′（0）＝﹣4，由此可求a的值.【詳解】由函數得，∵函數f（x）的圖象在（0，f（0））處切線的斜率為﹣4，，.故答案為4【點睛】本題考查了根據曲線上在某點切線方程的斜率求參數的問題，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；（2）.【解析】

（1）由題可得,結合的范圍判斷的正負,即可求解；（2）結合導數及函數的零點的判定定理,分類討論進行求解【詳解】（1）,①當時,,∴函數在內單調遞增；②當時,令,解得或,當或時,,則單調遞增,當時,,則單調遞減,∴函數的單調遞增區間為和,單調遞減區間為（2）（Ⅰ）當時,所以在上無零點；（Ⅱ）當時,,①若,即,則是的一個零點；②若,即,則不是的零點（Ⅲ）當時,,所以此時只需考慮函數在上零點的情況,因為,所以①當時,在上單調遞增。又，所以（ⅰ）當時,在上無零點；（ⅱ）當時,,又,所以此時在上恰有一個零點；②當時,令,得,由,得；由,得,所以在上單調遞減,在上單調遞增,因為,,所以此時在上恰有一個零點,綜上,【點睛】本題考查利用導數求函數單調區間,考查利用導數處理零點個數問題,考查運算能力,考查分類討論思想18、（Ⅰ）；（Ⅱ）面積的最大值為，此時直線的方程為.【解析】

（1）根據橢圓的定義求解軌跡方程；（2）設出直線方程后，采用（表示原點到直線的距離）表示面積，最后利用基本不等式求解最值.【詳解】解：（Ⅰ）由定義法可得，點的軌跡為橢圓且，.因此橢圓的方程為.（Ⅱ）設直線的方程為與橢圓交于點，，聯立直線與橢圓的方程消去可得，即，.面積可表示為令，則，上式可化為，當且僅當，即時等號成立，因此面積的最大值為，此時直線的方程為.【點睛】常見的利用定義法求解曲線的軌跡方程問題：（1）已知點，若點滿足且，則的軌跡是橢圓；（2）已知點，若點滿足且，則的軌跡是雙曲線.19、（1）（）．（2），．（3）【解析】

（1）依題意先求出,然后根據,求出的通項公式為,再檢驗的情況即可;（2）由遞推公式,得,結合數列性質可得數列相鄰項之間的關系,從而可求出結果;（3）通過（1）、（2）可得,所以,,,,．記,利用函數單調性可求的范圍,從而列不等式可解.【詳解】解：（1）因為數列滿足（）①；②當時,．檢驗當時,成立.所以,數列的通項公式為（）．（2）由,得,①所以,．②由①②,得,,即,,③所以,,．④由③④,得,,因為,所以,上式同除以,得,,即,所以,數列時首項為1,公差為1的等差數列,故,．（3）因為．所以,,,,．記,當時,．所以,當時,數列為單調遞減,當時,．從而,當時,．因此,．所以,對任意的,．綜上,．【點睛】本題考在數列通項公式的求法、等差數列的定義及通項公式、數列的單調性,考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力以及化歸與轉化思想、分類討論思想.20、（1）；（2）.【解析】

（1）分類討論去絕對值號，然后解不等式即可.（2）因為對任意，都存在，使得不等式成立，等價于，根據絕對值不等式易求，根據二次函數易求，然后解不等式即可.【詳解】解：（1）當時，，則當時，由得，，解得；當時，恒成立；當時，由得，，解得.所以的解集為（2）對任意，都存在，得成立，等價于.因為，所以，且|，①當時，①式等號成立，即.又因為，②當時，②式等號成立，即.所以，即即的取值范圍為：.【點睛】知識：考查含兩個絕對值號的不等式的解法；恒成立問題和存在性問題求參變數的范圍問題；能力：分析問題和解決問題的能力以及運算求解能力；中檔題.21、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）分別取，的中點，，連接，，，，，要證明平面，只需證明面∥面即可.（2）以點為原點，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標系，分別計算面的法向量，面的法向量可取，并判斷二面角為銳角，再利用計算即可.【詳解】