2022-2023學年高三上數學期末模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若集合，，則=（）A． B． C． D．2．設全集為R，集合，，則A． B． C． D．3．已知等差數列中，，則（）A．20 B．18 C．16 D．144．已知命題,；命題若，則，下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．5．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（）A．α∥β且∥α B．α⊥β且⊥βC．α與β相交，且交線垂直于 D．α與β相交，且交線平行于6．已知F是雙曲線（k為常數）的一個焦點，則點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為（）A．2k B．4k C．4 D．27．網絡是一種先進的高頻傳輸技術，我國的技術發展迅速，已位居世界前列.華為公司2019年8月初推出了一款手機，現調查得到該款手機上市時間和市場占有率（單位：%）的幾組相關對應數據.如圖所示的折線圖中，橫軸1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根據數據得出關于的線性回歸方程為.若用此方程分析并預測該款手機市場占有率的變化趨勢，則最早何時該款手機市場占有率能超過0.5%（精確到月）（）A．2020年6月 B．2020年7月 C．2020年8月 D．2020年9月8．總體由編號為01，02，...，39，40的40個個體組成.利用下面的隨機數表選取5個個體，選取方法是從隨機數表（如表）第1行的第4列和第5列數字開始由左到右依次選取兩個數字，則選出來的第5個個體的編號為（）A．23 B．21 C．35 D．329．存在點在橢圓上，且點M在第一象限，使得過點M且與橢圓在此點的切線垂直的直線經過點，則橢圓離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．10．在四邊形中，，，，，，點在線段的延長線上，且，點在邊所在直線上，則的最大值為（）A． B． C． D．11．學業水平測試成績按照考生原始成績從高到低分為、、、、五個等級．某班共有名學生且全部選考物理、化學兩科，這兩科的學業水平測試成績如圖所示．該班學生中，這兩科等級均為的學生有人，這兩科中僅有一科等級為的學生，其另外一科等級為，則該班（）A．物理化學等級都是的學生至多有人B．物理化學等級都是的學生至少有人C．這兩科只有一科等級為且最高等級為的學生至多有人D．這兩科只有一科等級為且最高等級為的學生至少有人12．已知正四面體的棱長為，是該正四面體外接球球心，且，，則（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知變量(m>0)，且，若恒成立，則m的最大值________．14．函數在的零點個數為_________.15．設O為坐標原點,,若點B(x,y)滿足，則的最大值是__________．16．的二項展開式中，含項的系數為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的頂點為原點，其焦點關于直線的對稱點為，且.若點為的準線上的任意一點，過點作的兩條切線，其中為切點.（1）求拋物線的方程；（2）求證：直線恒過定點，并求面積的最小值.18．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），將曲線上每一點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到曲線，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，射線與曲線交于點，將射線繞極點逆時針方向旋轉交曲線于點.（1）求曲線的參數方程；（2）求面積的最大值．19．（12分）已知橢圓：（），與軸負半軸交于，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設直線：與橢圓交于，兩點，連接，并延長交直線于，兩點，已知，求證：直線恒過定點，并求出定點坐標.20．（12分）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中.若問題中的正整數存在，求的值；若不存在，說明理由.設正數等比數列的前項和為，是等差數列，__________，，，，是否存在正整數，使得成立？21．（12分）已知橢圓：的離心率為，右焦點為拋物線的焦點.（1）求橢圓的標準方程；（2）為坐標原點，過作兩條射線，分別交橢圓于、兩點，若、斜率之積為，求證：的面積為定值.22．（10分）已知動圓恒過點，且與直線相切.（1）求圓心的軌跡的方程；（2）設是軌跡上橫坐標為2的點，的平行線交軌跡于，兩點，交軌跡在處的切線于點，問：是否存在實常數使，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】試題分析：化簡集合故選C．考點：集合的運算．2、B【解析】分析：由題意首先求得，然后進行交集運算即可求得最終結果.詳解：由題意可得：，結合交集的定義可得：.本題選擇B選項.點睛：本題主要考查交集的運算法則，補集的運算法則等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.3、A【解析】

設等差數列的公差為,再利用基本量法與題中給的條件列式求解首項與公差,進而求得即可.【詳解】設等差數列的公差為.由得,解得.所以.故選：A【點睛】本題主要考查了等差數列的基本量求解,屬于基礎題.4、B【解析】解：命題p：?x＞0，ln（x+1）＞0，則命題p為真命題，則￢p為假命題；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，則命題q是假命題，則￢q是真命題．∴p∧q是假命題，p∧￢q是真命題，￢p∧q是假命題，￢p∧￢q是假命題．故選B．5、D【解析】

試題分析：由平面，直線滿足，且，所以，又平面，，所以，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于，故選D．考點：平面與平面的位置關系，平面的基本性質及其推論．6、D【解析】

分析可得,再去絕對值化簡成標準形式,進而根據雙曲線的性質求解即可.【詳解】當時,等式不是雙曲線的方程；當時,,可化為,可得虛半軸長,所以點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為2.故選：D【點睛】本題考查雙曲線的方程與點到直線的距離.屬于基礎題.7、C【解析】

根據圖形，計算出，然后解不等式即可.【詳解】解：，點在直線上，令因為橫軸1代表2019年8月，所以橫軸13代表2020年8月，故選：C【點睛】考查如何確定線性回歸直線中的系數以及線性回歸方程的實際應用，基礎題.8、B【解析】

根據隨機數表法的抽樣方法，確定選出來的第5個個體的編號.【詳解】隨機數表第1行的第4列和第5列數字為4和6，所以從這兩個數字開始，由左向右依次選取兩個數字如下46，64，42，16，60，65，80，56，26，16，55，43，50，24，23，54，89，63，21，…其中落在編號01，02，…，39，40內的有：16，26，16，24，23，21，…依次不重復的第5個編號為21.故選：B【點睛】本小題主要考查隨機數表法進行抽樣，屬于基礎題.9、D【解析】

根據題意利用垂直直線斜率間的關系建立不等式再求解即可.【詳解】因為過點M橢圓的切線方程為,所以切線的斜率為,由,解得,即,所以,所以.故選：D【點睛】本題主要考查了建立不等式求解橢圓離心率的問題,屬于基礎題.10、A【解析】

依題意，如圖以為坐標原點建立平面直角坐標系，表示出點的坐標，根據求出的坐標，求出邊所在直線的方程，設，利用坐標表示，根據二次函數的性質求出最大值.【詳解】解：依題意，如圖以為坐標原點建立平面直角坐標系，由，，，，，，，因為點在線段的延長線上，設，解得，所在直線的方程為因為點在邊所在直線上，故設當時故選：【點睛】本題考查向量的數量積，關鍵是建立平面直角坐標系，屬于中檔題.11、D【解析】

根據題意分別計算出物理等級為，化學等級為的學生人數以及物理等級為，化學等級為的學生人數，結合表格中的數據進行分析，可得出合適的選項.【詳解】根據題意可知，名學生減去名全和一科為另一科為的學生人（其中物理化學的有人，物理化學的有人），表格變為：物理化學對于A選項，物理化學等級都是的學生至多有人，A選項錯誤；對于B選項，當物理和，化學都是時，或化學和，物理都是時，物理、化學都是的人數最少，至少為（人），B選項錯誤；對于C選項，在表格中，除去物理化學都是的學生，剩下的都是一科為且最高等級為的學生，因為都是的學生最少人，所以一科為且最高等級為的學生最多為（人），C選項錯誤；對于D選項，物理化學都是的最多人，所以兩科只有一科等級為且最高等級為的學生最少（人），D選項正確.故選：D.【點睛】本題考查合情推理，考查推理能力，屬于中等題.12、A【解析】

如圖設平面，球心在上，根據正四面體的性質可得，根據平面向量的加法的幾何意義，重心的性質，結合已知求出的值.【詳解】如圖設平面，球心在上，由正四面體的性質可得：三角形是正三角形，，，在直角三角形中，，，，，，因為為重心，因此，則，因此，因此，則，故選A.【點睛】本題考查了正四面體的性質，考查了平面向量加法的幾何意義，考查了重心的性質，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

在不等式兩邊同時取對數，然后構造函數f（x）＝，求函數的導數，研究函數的單調性即可得到結論．【詳解】不等式兩邊同時取對數得，即x2lnx1＜x1lnx2，又即成立，設f（x）＝，x∈（0，m），∵x1＜x2，f（x1）＜f（x2），則函數f（x）在（0，m）上為增函數，函數的導數，由f′（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1，得0＜x＜e，即函數f（x）的最大增區間為（0，e），則m的最大值為e故答案為：e【點睛】本題考查函數單調性與導數之間的應用，根據條件利用取對數得到不等式,從而可構造新函數，是解決本題的關鍵14、1【解析】

本問題轉化為曲線交點個數問題，在同一直角坐標系內，畫出函數的圖象，利用數形結合思想進行求解即可.【詳解】問題函數在的零點個數，可以轉化為曲線交點個數問題.在同一直角坐標系內，畫出函數的圖象，如下圖所示：由圖象可知：當時，兩個函數只有一個交點.故答案為：1【點睛】本題考查了求函數的零點個數問題，考查了轉化思想和數形結合思想.15、【解析】,可行域如圖，直線與圓相切時取最大值，由16、【解析】

寫出二項展開式的通項，然后取的指數為求得的值，則項的系數可求得.【詳解】，由，可得.含項的系數為.故答案為：【點睛】本題考查了二項式定理展開式、需熟記二項式展開式的通項公式，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析，最小值為4【解析】

（1）根據焦點到直線的距離列方程，求得的值，由此求得拋物線的方程.（2）設出的坐標，利用導數求得切線的方程，由此判斷出直線恒過拋物線焦點.求得三角形面積的表達式，進而求得面積的最小值.【詳解】（1）依題意，解得（負根舍去）∴拋物線的方程為（2）設點，由，即，得∴拋物線在點處的切線的方程為，即∵，∴∵點在切線上，①，同理，②綜合①、②得，點的坐標都滿足方程.即直線恒過拋物線焦點當時，此時，可知：當，此時直線直線的斜率為，得于是，而把直線代入中消去得，即：當時，最小，且最小值為4【點睛】本小題主要考查點到直線的距離公式，考查拋物線方程的求法，考查拋物線的切線方程的求法，考查直線過定點問題，考查拋物線中三角形面積的最值的求法，考查運算求解能力，屬于難題.18、（1）（為參數）；（2）.【解析】

（1）根據伸縮變換結合曲線的參數方程可得出曲線的參數方程；（2）將曲線的方程化為普通方程，然后化為極坐標方程，設點的極坐標為，點的極坐標為，將這兩點的極坐標代入橢圓的極坐標方程，得出和關于的表達式，然后利用三角恒等變換思想即可求出面積的最大值．【詳解】（1）由于曲線的參數方程為（為參數），將曲線上每一點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到曲線，則曲線的參數方程為（為參數）；（2）將曲線的參數方程化為普通方程得，化為極坐標方程得，即，設點的極坐標為，點的極坐標為，將這兩點的極坐標代入橢圓的極坐標方程得，，的面積為，當時，的面積取到最大值.【點睛】本題考查參數方程、極坐標方程與普通方程的互化，考查了伸縮變換，同時也考查了利用極坐標方程求解三角形面積的最值問題，要熟悉極坐標方程所適用的基本類型，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.19、（1）（2）證明見解析；定點坐標為【解析】

（1）由條件直接算出即可（2）由得，，，由可得，同理，然后由推出即可【詳解】（1）由題有，.∴，∴.∴橢圓方程為.（2）由得，.又∴，同理又∴∴∴∴∴∴，此時滿足∴∴直線恒過定點【點睛】涉及橢圓的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數的關系采用“設而不求”“整體帶入”等解法.20、見解析【解析】

根據等差數列性質及、，可求得等差數列的通項公式，由即可求得的值；根據等式，變形可得，分別討論取①②③中的一個，結合等比數列通項公式代入化簡，檢驗是否存在正整數的值即可.【詳解】∵在等差數列中，，∴，∴公差，∴，∴，若存在正整數，使得成立，即成立，設正數等比數列的公比為的公比為，若選①，∵，∴，∴，∴，∴當時，滿足成立.若選②，∵，∴，∴，∴，∴方程無正整數解，∴不存在正整數使得成立.若選③，∵，∴，∴，∴，∴解得或（舍去），∴，∴當時，滿足成立.【點睛】本題考查了等差數列通項公式的求法，等比數列通項公式及前n項和公式的應用，遞推公式的簡單應用，補充條件后求參數的值，屬于中檔題.21、（1）；（2）見解析【解析】

（1）由條件可得，再根據離心率可求得，則可得橢圓方程；（2）當與軸垂直時，設直線的方程為：，與橢圓聯立求得